B.Étudedelalimitationtransversaled’unfaisceaulumineux A.Propagationetdécompositionenondesplanesd’unchampélectrique Problèmen 1–Faisceaugaussien DevoirsurveillédeSciencesPhysiquesn 7du10-03-2022

(1)

Devoir surveill´ e de Sciences Physiques n

^◦

7 du 10-03-2022

— Dur´ee : 4 heures. Solutions —

Calculatrice interdite

Probl` eme n

^o

1 – Faisceau gaussien

^{X MP 2020}

A. Propagation et d´ ecomposition en ondes planes d’un champ ´ electrique

1.Dans le vide, on a divE~ = 0 , −→rot ~E=−^{∂ ~}∂t^B , divB~ = 0 et −→rot ~B=µ0ε0∂ ~E

∂t . 2. On utilise la relation −→rot−→rot ~E = −−→

graddivE~ −∆E. Comme div~ E~ = 0 dans le vide, on en d´eduit que

−→rot−→rot ~E=−∆E~ =−→rot(−^{∂ ~}∂t^B) =−∂t^∂(−→rot ~B). En utilisant l’´equation de Maxwell-Amp`ere−→rot ~B =µ0ε0∂ ~E

∂t, on trouve : ∆E~ =µ0ε0∂²E~

∂t² . Cela permet de donner l’expression de la célérité de la lumière dans le vide : c=√µ¹0ε0.

3. L’équation dite de Helmholtz s’obtient très facilement car ^∂_∂t²Ê²^~ = −ω²E~ et car la factorisation par exp(−iωt) est possible. On arrive bien à : ∆E(~r) +~ ^ω_c²²E(~r) =~ ~0 .

4.On a ∆E~ =~ey(∆E(x, z)) exp(−iωt) avec ∆ = _∂x^∂²² +_∂z^∂²² puisque la coordonnéey n’intervient pas dans le problème. D’après la décomposition du paquet d’ondes, on peut écrire queE(x, z) =R+∞

−∞ E(α, z) exp˜ iαx^dα_2π. D’après les propriétés de l’intégration et des opérations de dérivation, on peut dériver sous l’intégrale pour obtenir : ^∂²Ê(x,z)_∂x2 =R+∞

−∞ E(α, z)˜ ^∂²^(exp_∂x2^iαx)

dα

2π. Cela donne ^∂²^E(x,z)_∂x2 =R+∞

−∞ −α²E(α, z) exp˜ iαx^dα_2π. On fait de la mˆeme fa¸con pourzet on obtient ^∂²^E(x,z)_∂z2 =R+∞

−∞

∂²E(α,z)˜

∂z² expiαx^dα_2π. On peut alors rassembler les trois termes dans l’équation de Helmholtz pour arriver à l’équation : R+∞

−∞[^∂²^E(α,z)^˜_∂z2 + (^ω_c2² −α²) ˜E(α, z)] expiαx^dα_2π = 0.

Cette équation étant vraie ∀x, on aura une validité∀α de ^∂²Ê(α,z)^˜_∂z2 + (^ω_c2² −α²) ˜E(α, z) = 0 . Cela correspond bien à l’équation attendue qui poseγ²=ω²

c² −α².

5. Rappelons que αest un réel et par conséquent α² est aussi réel. Comme ^ω_c²² est un réel positif, pour γ soit aussi un réel, il faut que son carré soit un réel positif. γ = γ lorsque α < ^ω_c . Dans ce cas de figure, les solutions de l’équation différentielle sont harmoniques, ce que nous écrirons en complexes selon ˜E(α, z) = A(α) expiγz +B(α) exp−iγz. γ est un imaginaire pur lorsque ^ω_c²² −α² < 0. Avec la forme proposée par l’énoncé, on arrive ˜E(α, z) =A^′(α) exp−δz+B^′(α) expδz. Dans le cas d’un milieu illimité enz >0 ce qui est apparemment le cas dans le problème, la solution expδz divergerait puisque δ >0. On ne peut l’accepter, ce qui provoque B^′ = 0. Le cas d’un milieu amplificateur n’étant pas très courant, on ne gardera que la forme décroissante de type effet de peau enz. On prendra garde au fait que la notation habituelle pour l’épaisseur de peau estδ alors qu’ici, l’épaisseur de peau est ¹_δ. On retiendra donc : ˜E(α, z) =A^′(α) exp−δz .

6.La forme proposée montre que le paquet d’ondes est constitué uniquement d’ondes planes harmoniques (les ondes amorties sont éliminées par l’hypothèse effectuée). La phase d’une onde plane est de la forme générale expi(~k·~r−ωt). On peut donc identifier~k·~r=αx+γz. Le vecteur d’onde est ~k=α~ex+γ~ez . Comme ce sont des ondes qui se propagent dans le vide, elles vérifient l’équation de D’Alembertet la relation de dispersion associée :k²= ^ω_c²² =α²+γ².A(α) est l’amplitude d’une onde plane sinuso¨ıdale.

7.Dans le cas oùγest imaginaire pur, on a des ondes qui s’écrivent par sommation deA(α) exp−γzexpi(αx− ωt). Ce sont des ondes qui se propagent sur l’axeOxavec une amplitude évanescente dans le plan perpendiculaire

`a (Ox) selon la variablez.

8.Si l’on se place dans le planz = 0, on d´efinit le champ ´electrique parE(x, z = 0) =R+∞

−∞ A(α) expiαx^dα_2π. On reconnaˆıt, ici, une transformée deFourier, on peut donc prendre la transformée deFourierinverse pour arriver à A(α) =R+∞

−∞ E(x, z= 0) exp(−iαx)dx.

B. ´ Etude de la limitation transversale d’un faisceau lumineux

9.On peut se placer dans le cadre de l’approximation de l’optique géométrique lorsque la longueur d’onde est petite devant toute longueur caractéristique du système qui interagit avec l’onde. Ici, la fente étant considérée

(2)

comme infinie sur (Oy), il n’y a pas de restriction à l’emploi de l’Optique géométrique. par contre sur (Ox), il n’en va pas de même puisque la taille de la fente est W0. L’optique géométrique est possible lorsque W0≫λ.

Dans notre cas, on a W0 ≃ 5µm etλ = 0,6µm. La condition attendue n’est pas respect´ee, on va mettre en

évidence le phénomène de diffraction .

10.Par ce que nous avons démontré avant, on peut écrire que A(α) =R+∞

−∞ E(x, z = 0) exp−iαxdx. Or, le champ ´electrique est E(−x, z = 0) = E0 sur la largeur W0 et nul ailleurs. On peut en d´eduire queA(α) = R+W0/2

−W0/2 E0exp−iαxdx = E0 1

−iα[exp−i^αW₂⁰ −expi^αW₂⁰]. Le calcul aboutit à A(α) =W0E0sinc^αW₂⁰ . Cette est maximale en α= 0 (il s’agit de la direction de l’Optique géométrique) et vautA(α) =W0E0. Ensuite, elle s’annule à chaque fois que sin^αW₂⁰ = 0 et donc pourp∈Z^∗tel queαp=p_W^2π

0. En ce qui concerne les extrema de la fonction, on peut se contenter d’une réponse approchée, ils se situent au milieu¹de l’intervalle séparant deux annulations successives à l’exception de pic principal de diffraction, c’est-à-dire pour|p| ≥1. La représentation graphique de la fonction est réalisée à la figure 1.

α A(α)

b b b

b

b b b

b b

b

0

2π W₀

−

2π W₀

4π W₀

−

4π W₀

W₀E₀

~k

γ θ α

~ez

~ex

b

Figure1 – Amplitude diffract´ee par la fente

11.Le vecteur d’onde est~k=α~ex+γ~ez, il est représenté sur la figure 1. L’angleθdéfini par l’énoncé est tel que tanθ=^α_γ. Les annulations deA(α) sont caractérisées parα=p_W^2π₀ pourp∈Z^∗. Cela correspond aux directions tels que tanθnul = 2p_γW^π₀. Pour les extrema, il faut prendre les entiers impairs : tanθext = (2p+ 1)_γW^π₀ pour

|2p+ 1| ≥ 3. Toujours d’après la définition de l’angleθ, on a sinθ= ^α_k aveck= ^2π_λ puisque c’est la norme du vecteur d’onde. On peut en déduire que les directionsθobservent la relation sinθ= ^αλ_2π. Nous allons considérer, en l’absence de précision de l’énoncé, la première annulation à droite pourα >0. On a alorsα=_W^2π₀. On arrive

`a : sinθ= _W^λ₀ .

12.Dans le cas de l’Optique géométrique, on observe un point image au foyer image pour le faisceau parallèle

à l’axe optique. En ce qui concerne, l’autre faisceau de rayons parallèles faisant un angleβ par rapport à l’axe optique, on obtient un point image au foyer secondaire image distant du foyer image de f^′tanβ ≃f^′β . Pour obtenir deux points images, encore faut-il se trouver dans les conditions deGauss qui imposent àβ d’être un petit angle :β ≪π.

13.On peut raisonner comme dans la question précédente en faisant jouer à θ le rôle de l’angleβ que nous avons introduit. On a sinθ ≃θ = _W^λ₀ et par conséquent ∆x= f^′θ =f^′_W^λ₀. On peut donc trouver la largeur de la tache de diffraction : 2∆x= 24 mm . Cette valeur est déjà conséquente. Comme nous l’avions prévu, la diffraction est notable dans les conditions de l’étude que nous venons de faire.

C. Source laser et faisceau gaussien

14. On utilise toujours la d´ecomposition du paquet d’onde : E_L(x, z) = R+∞

−∞ A(α) expi(αx+γz)^dα_2π. Cela nous permet d’´ecrire que E_L(x, z = 0) = R+∞

−∞ A(α) expiαx^dα_2π. Par transform´ee de Fourier inverse encore une fois, on va pouvoir ´ecrire que A(α) = R+∞

−∞ E(x, z = 0) exp(−iαx)dx. Dans le cas du laser, cela donne

1. Cette réponse n’est pas exacte. En réalité si l’on dérive pour rechercher les extrema, on arrive à l’équation tan^αW₂⁰ = ^αW₂⁰ que l’on doit résoudre numériquement ou appréhender par une méthode graphique tra¸cant tan^αW₂⁰ et ^αW₂⁰ en fonction deαsur le même graphique. On constate du fait de la croissance rapide de la fonction tangente près des multiples impaires deπ/2 que cela revient bien très vite à situer un extremum au milieu de l’intervalle de deux annulations de sinc^αW₂⁰.

(3)

A(α) =R+∞

−∞ E0exp−_W^x²₀²exp(−iαx)dx.

15. Si z ≫ zR alors on peut ´ecrire que W(z) = W0 z

zR. On a une fonction affine. Dans le cas opposé où z≪zR, on effectue un développement limité de la racine :W(z) =W0(1 +_2z^z²²

R). C’est une forme parabolique.

La repr´esentation deW(z) est fournie `a la figure 2.

z W(z)

θ

b b

bW0

0 zR

Figure2 – Repr´esentation deW(z), perception de la largeur du faisceau laser.

Le coefficient directeur de la droiteW(z) =W0 z

zR est ^dW_dz =^W_z_R⁰. C’est par définition d’une dérivée, la tangente.

On peut donc écrire que tanθ = ^W_z_R⁰. Dans l’approximation des petits angles, on va trouver θ ≃ ^WzR⁰. Avec l’expression donnée pourzR, on peut conclure que : θ≃ _πW^λ0 . Cela fait largement penser à la diffraction que nous venons d’étudier.

16. L’intensité du faisceau laser est reliée au module carré du champ électrique. On a donc IL(x, z) = β|E_L(x, z)|² = |K(z)|²exp−_W^2x²_(z)² . En utilisant les expressions fournies par l’énoncé, on arrive à la formule

IL(x, z) = 2βE₀²r ¹ 1+_z^z22

R

exp−_W2^2x² 0(1+_z^z2²

R

) . Si l’on se place à z fixé, il n’y a plus qu’une dépendance en exp−x² pour faire simple. C’est bien une évolution gaussienne. Soyons plus précis :IL(x, z = 0) = 2βE₀²exp−^2xW₀²² et IL(x, z=zR) =β√

2E₀²exp−_W^x²₀². Ces deux intensités sont représentées en fonction dexsur le graphique de la figure 3.

x IL(x, z)

b

0

Figure 3 – ´Evolution de l’intensit´e laser en sortie du laser (z = 0) et au niveau de la distance deRayleigh (z=zR).

17. Le terme de phase d’une onde sphérique est de la forme expi(kr−ωt), c’est-à-dire expikr où r est la distance de l’origine au point d’étude de coordonnées (x, y = 0, z). Dans le cas z ≫ |x|, on peut faire l’approximationr =√

x²+z² =z q

1 + ^x_z²² ≃z(1 +_2z^x²²). Si l’on prend le terme de phase donné par l’énoncé, on observe que Tϕ = exp(ikz) exp(_2R(z)îkx² ) peut se mettre sous une forme identique puisqu’avec z ≫ zR, on aura R(z) ≃ z à l’ordre 1. On a donc Tϕ = expikz(1 + _2z^x²²). Une onde sphérique est de la forme s(r, t) = s0r0

r expi(kr−ωt). La surface d’onde est une sphère de rayon r si l’on étudie le point M de coordonnée r par rapport à l’origine. Le rayon de courbure est donc r. Par analogie, on peut voir que r= √

z²+x² ≃z `a l’ordre 0 enx. On peut dire que le rayon de courbure estz. Pourz≪zR, on peut simplifier pas mal de choses et ´ecrire que W(z) ≃ W0 et queK(z) ≃ E0

√2 expikz. Tout ceci nous fait constater qu’il va apparaˆıtre un terme de phase de type onde plane en expikz mais il faut ˆetre prudent dans la perception de l’onde plane car

(4)

le champ électrique évolue transversalement, en l’occurrence en fonction dexpuisque le champ électrique est : E_L(x, z) =E0

√2 exp−_W^x²₀²expikz. On trouve quezR≃5 cm pourW0= 100µm etzR≃5 m pourW0= 1 mm.

En TP par exemple, lorsqu’on utilise le laser, on aW0= 1 mm. On l’utilise souvent pour z < zRce qui fait que le modèle onde plane est plutôt adapté , le laser diverge peu.

D. Moment dipolaire d’un atome

Modèle d’atome : l’électron élastiquement lié

18. On cherche le champ électrique créé par la boule de rayon R0 chargée uniformément avec la charge volumique ρ = _4πR^3e³

0. Compte tenu de la symétrie sphérique, on trouve des invariances en θ et ϕ lorsqu’on pense le problème, comme il se doit, en coordonnées sphériques (r, θ, ϕ). La distribution de charge présente deux plans de symétrie positives (M, ~er, ~eθ) et (M, ~er, ~eϕ) ce qui fait que le champ électrique enM appartient

`

a leur intersection. On a donc E = Er(r)~er. On applique le théorème de Gauss en choisissant une sphère de rayon r < R0. on a v

SE~ ·dS~ = ^q^int_ε₀ . Comme dS~ = r²sinθdθdϕ~er, le calcul du flux est tr`es simple : v

SE~˙dS~ = 4πr²Er = ^q_εînt₀ . La charge intérieure estqint=ρ₃⁴πr³. On arrive donc à l’équationEr4πr²= _εêr³

0R³₀. Le champ estE~ =Er~er= _4πε^e

0R³0r~er=_4πε^e

0R³0~r. La force est le produit d la charge de l’´electron par le champ.

On trouve : F~e = −_4πε^e0²R³0

~re. La constante de raideur correspondant à cette force de rappel linéaire est : kel= _4πεê²

0R³0 . Par analogie, la pulsation propre de cet oscillateur harmonique estω0=q

kel

me. Si l’on effectue une application numérique pour situer l’ordre de grandeur, on trouve : ω0 ≃ 3×10¹⁶rad·s⁻¹. On peut en déduire la fréquenceν0 = ^ω_2π⁰ = 5×10¹⁵Hz et la longueur d’onde associée λ0 = _f^c₀ = 0,06µm = 60 nm. On se situe dans l’UV.

Etablissement du moment dipolaire de l’atome´

19.E(~r) et~ B(~r) varient significativement `~ a l’échelle de la longueur d’ondeλ= 600 nm. Or, la taille de l’atome est inférieure au nanomètre. On a donc la condition R0≪λ. On peut considérer les champs agissant sur l’atome comme uniformes.

20.La masse du noyau de l’atome est vite 2 000 fois plus grande que celle de l’électron. La force subie par l’électron est la même en norme que celle exercée sur le noyau. On peut donc comparer les accélérations de chacun :ae=_m^F_e etano= _m^F_no d’où ae≫ano . On peut considérer le noyau comme immobile.

21.Le champ magnétique est responsable de la force −e~v∧B~ qui est de la forme evB. On a affaire à une onde plane monochromatique dans le vide pour laquelle on observe la relationB= Ê_c. La force magnétique est doncFmag =evB=e^v_cE que l’on comparer àFel =eE. L’électron soumis àE ne devient pas relativiste, on a v≪c. Ainsi Fmag≪Fel . On ne conserve que la force électrique pour effectuer l’étude mécanique.

22.Dans le référentiel galiléen du laboratoire, l’électron subit son poids que l’on néglige, la force de rappel de la part du noyau, une force de frottement fluide et la force due au champ électrique de l’onde. On a donc me~rë=−e ~E−kel~re−meΓ ˙~re. On obtient l’équation différentielle : ¨~re+ Γ ˙~re+^k_mêl_e~re=−^{e ~}mÊe⁰expi(~k·~re−ωt) .

23.En testant la solution harmonique, on arrive `a ~re,0= _(k_el ⁻^{e ~}^E⁰

−meω²)+iΓmeω . Cela permet de donner l’expression du moment dipolaire en fonction du temps : d~at = _(k_el₋_m_e^e_ω²^E²^~_)+iΓm⁰ _e_ωexpi(~k·~r−ωt). On a un moment dipolaire oscillant. Il oscillera avec une plus ou moins grande amplitude en fonction de la pulsationω de l’onde excitatrice.

(5)

Probl` eme n

^o

2 – Traitement de surfaces par faisceau laser

Centrale PSI 2012

A. Conductivit´ e complexe du milieu m´ etallique

1.Dans le référentiel galiléen du laboratoire, on a m^d~_dt^v =−e ~E−e~v∧B~ −^mτc~v .

2. On sait que dans le vide, la norme du champ magnétique est reliée à la norme du champ électrique par B = Ê_c. On peut donc comparer la partie électrique de la force de Lorentz à la partie magnétique qui sont respectivementeE ete^v_cE. La force magnétique est très petite devant la force électrique lorsque v≪c ce qui correspond au cas des électrons non relativistes comme cela est proposé par l’énoncé. Dans ces conditions, la relation de la dynamique estm^d~_dt^v =−e ~E−^m_τc~v. Cette équation peut aussi s’écrire ^d~_dt^v+_τ^~^v_c =−_mêE.~

3.En régime ondulatoire de pulsationω, on a ^d~_dt^v =iω~v. Cela permet de relier la vitesse au champ électrique par la relation~v=−êτm^c

E~

1+iωτc. La densité volumique de courant est définie par~j=−ne~v. On peut donc écrire que~j=γ ~E en posantγ= _1+iωτ^γ⁰ _c avec γ0= ^ne_m²^τ^c .

4.Il faut calculer le termeωτc. On aω=^2πc_λ , par conséquent on trouve queωτc= ^2πcτ_λ ^c = 1,42. Cette valeur est de l’ordre de grandeur de la partie réelle du complexe qui vaut 1 dans 1 +iωτc, il est donc bien impossible de faire une approximation dans la conductivité complexe. En multipliant haut et bas dans la conductivité complexe par le complexe conjugué, on arrive facilement à la formeγ=γ^′−iγ^′′avec γ^′= _1+ω^γ⁰2τc² etγ^′′=_1+ω^γ⁰^ωτ2τ^cc² .

5.En exécutant l’opérateur divergence sur l’équation deMaxwell-Ampère−→rot ~B=µ0(~j+ε0∂ ~E

∂t), on obtient div~j+ε0∂divE~

∂t = 0. En utilisant l’´equation deMaxwell-Gauss, on trouve alors l’´equation de conservation de la charge div~j+^∂ρ_∂t = 0 .

6.Avec la définition de la conductivité, on aγdivE~ +^∂ρ_∂t = 0. Cette équation conduit à la forme du premier ordre suivante : ^∂ρ_∂t + _ε^γ₀ρ= 0. La solution complexe est de la forme ρ =ρ0exp−_ε^γ0t. On utilise l’expression complexe deγ pour arriver à ρ=ρ0exp−^γε0^′texpi^γ_ε^′′₀t. On revient en réels selonρ=ρ0exp−^γε0^′t cos^γ_ε^′′₀t. Cela permet d’identifier les deux grandeurs τd =_γ^ε⁰₀(1 +ω²τ_c²) etωd=^γ_ε₀⁰_1+ω^ωτ²^c_τ²

c . 7.On a τd = ^ε_γ⁰₀(1 +^4π

2c²τc²

λ² ). On trouve τd= 1,3×10⁻¹⁷s . Ce temps est très faible devant la période de l’onde ¹_f =^λ_c = 3,5×10⁻¹⁴s. En quelquesτd, la charge volumique est nulle et commeτd≪ ¹_f, on peut considérer que le conducteur est un milieu localement neutre à toute date.

8.Les ´equations deMaxwell sont donc divE~ = 0, −→rot ~E=−^{∂ ~}∂t^B, divB~ = 0 et−→rot ~B=µ0(γ ~E+ε0∂ ~E

∂t).

9.Compte tenu des valeurs mises en jeu, on peut écrire que|γ| ≃γ0. On compare donc ^γ_ε⁰₀ à 2πf =ω. Cette comparaison revient à la même chose que celle effectuée précédemment, on constate que ^γ_ε₀⁰ ≃ 10¹⁷s⁻¹ alors que 2πf ≃10¹³s⁻¹. On va donc se placer dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires en négligeant le courant de déplacement. L’équation deMaxwell-Ampèrese réduit donc à −→rot ~B=µ0γ ~E .

10.On a−→rot−→rot ~E=−−→graddivE~−∆E~ =−∆E~ à cause de la neutralité locale du conducteur démontrée avant.

D’autre part, on peut écrire que−→rot−→rot ~E=−^∂^−→^{rot ~}∂t^B =−µ0γ^{∂ ~}_∂tÊ. L’équation de propagation du champ électrique est plutôt une équation de diffusion mais la qualification d’équation de propagation est quand même acceptable

à condition de ne pas la confondre avec une équation deD’Alembert. On a ∆E~ =µ0γ^{∂ ~}_∂tÊ . 11.La relation de dispersion est k²=−iµ0γω.

12.On remplacekpar son expression complexe et on obtient facilementE~ =E0~exexpi(ωt−k^′z+ϕ0) exp−k^′′z.

Si on passe en r´eels, on obtient E~ =~exE0exp−k^′′zcos(ωt−k^′z+ϕ0) .

13.On a k² =−iµ0(γ^′−iγ^′′)ω =−µ0γ^′′ω−iµ0γ^′ω. Si l’on développe l’expression de k², on obtient aussi k²=k^′²−k^′′²−i2k^′k^′′. La comparaison des deux formes complexes donne alors 2k^′k^′′=µ0γ^′ωqui est un réel positif. Dans ces conditions, on voit quek^′ et k^′′ doivent posséder le même signe : k^′k^′′>0 ;

(6)

B. Aspect ´ energ´ etique

14. On a Π =~ E~ ∧ _µ^B^~0 = ~ezE0²

µ0ωexp−2k^′′zh

k^′cos²(ωt−k^′z+ϕ0) +^k₂^′′sin 2(ωt−k^′z+ϕ0)i

. La moyenne temporelle du vecteur dePoyntingest donc< ~Π>t=~ezk^′E0²

2µ0ωexp−2k^′′z. On identifie alors I₀^′ = ^k^′^E

2 0

2µ0ω . 15.La longueur caractéristique d’absorption en intensité apparaˆıt directement dans l’expression précédente, on aLa=_2k¹′′. On a posék=k^′−ik^′′= ^ω_cn^′−i^ω_cn^′′ d’oùk^′′= ^ω_cn^′′. On peut donc écrire que La= _2n^c′′ω .

16.Si on considère une surface S normale à la direction de propagation de l’onde, la puissance volumique dissipée dans le volumeSdz estPv(z)Sdz=SI₀^′(exp−2k^′′z−exp−2k^′′(z+ dz)). On constate donc facilement que Pv(z) =I₀^′

−^∂(exp∂z⁻^2k^′′^z)

. On trouve alors que Pv(z) = 2k”I₀^′exp−L^za ce qui permet de conclure que : Pv(z) = _L^I⁰^′_aexp−_L^za .

17.Les lois deDescartesindiquent que tous les rayons sont contenus dans le plan d’incidence que les angles repérés par rapport à la normale au dioptre vérifie l’angle de réflexion est égal à l’angle d’incidence ir = i1

sans prendre en compte l’algébrisation des angles. Pour la réfraction, on a la célèbre loi n1sini1=n2sini2 . Si n2 > n1, on ai2 < i1. Le rayon lumineux se rapproche de la normale lorsqu’il entre dans un milieu plus réfringent.

18.Si l’incidence est normale, les champs sont alors contenus dans le planOxy qui est le plan du dioptre. Les propriétés de continuité des composantes tangentielles de E~ et normales deB~ imposent que les directions des champs des ondes réfléchies et réfractées soient dans le plan Oxy .

19.Comme la surface du conducteur réfléchit une partie non négligeable. . . de l’intensité incidente, la puissance absorbée est uniquement fonction de l’intensité transmise qui estI₀^′ = (1−R)I0. La puissance volumique absorbée est donc Pv(z) = ⁽¹⁻_L^R)I_a ⁰exp−_L^za .

20.On trouveR= 0,915. On constate que seulement 8,5% de la puissance du laser va être dissipée dans le conducteur. La majorité de l’énergie est réfléchie.