A.Utilisationencapteurdeforces Problèmen 1–Matériauxpiézoélectriques DevoirsurveillédeSciencesPhysiquesn 1du23-09-2021

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Devoir surveill´ e de Sciences Physiques n

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1 du 23-09-2021

— Dur´ee : 4 heures. Solutions —

Probl` eme n

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1 – Mat´ eriaux pi´ ezo´ electriques

Centrale TSI 2020

A. Utilisation en capteur de forces

Mesure de l’intensité d’une force s’exer¸cant sur une lame piézoélectrique

1.L’amplificateur opérationnel est idéal et en régime linéaire : i+ =i₋ = 0 etε=V+−V₋ = 0. Comme le courant est nul sur l’entrée, la tension aux bornes de la résistanceR1 est nulle. On a doncV+ =Ve. On note i l’intensité qui traverse les deux résistances orientées de la sortie de l’amplificateur vers la masse. On a donc V₋ = e1+R3i. Par application de la loi des mailles, on a Vs =e1+ (R2+R3)i. On peut grâce à ces deux relations exprimer la tension V₋ = ^R²_Rê¹₂^+R_+R³₃^V^s. Comme l’amplificateur idéal est en régime linéaire, on aε = 0 comme cela a été dit avant. On peut donc en conclure que Ve=^R²_Rê¹₂^+R_+R³₃^V^s .

2.On trouve Ve= 0,95 V . 3.On a F = ^CV_K^e = 0,76 N .

Mesure de la fr´equence d’une force excitatrice sinuso¨ıdale s’exer¸cant sur une lame

4.On commence par former des impédances équivalentes à R1 et C1 en sérieZ₁ =R1+_jC¹₁_ω et à R2 et C2

en parallèleZ₂ = _1+jR^R₂²_C₂_ω. Comme V+ = 0 puisque l’entrée + est reliée à la masse, on peut voir queZ₁ est soumise à la tensionVeet queZ₂l’est à la tensionVs. On applique la loi des nœuds à l’entrée−de l’amplificateur opérationnel. La somme des courants qui arrivent à ce nœud est nulle : _Z^Vê

1+_Z^V^s₂ + 0 = 0. On peut en d´eduire la fonction de transfert entre la sortie et l’entr´ee :H(jω) = ^V_V^s

e =−^Z_Z²₁. On a H(jω) = −_(1+jR₂_C₂_ω)(R^R²₁₊ ¹

jR1C1ω). Après calcul et mise en forme comme voulue par l’énoncé, on arrive bien àH(jω) =−_1+j(ω/ωÂ1−ω2/ω)à condition de poser A= _R₁_C^R₁²_+R^C¹₂_C₂ , ω1= ^R_R¹₁^C_C¹₁^+R_R₂²_C^C₂² et ω2= _R₁_C₁_+R¹ ₂_C₂ .

5.On constate facilement que la limite deH(jω) est 0 lorsqueω→0 et aussi lorsqueω→ ∞. On a clairement affaire `a un filtre passe-bande .

6.On a|H|(ω) = q ^A

1+(_ω1^ω−^ω2_ω)². Comme la pulsation n’intervient qu’au d´enominateur, le gain sera maximal lorsque le d´enominateur sera le plus petit possible. Compte tenu de sa forme, cela se produit lorsque_ω^ω₁−^ωω² = 0.

La pulsation de r´esonance est donc : ωr=√ω1ω2 .

7.Pour vérifier expérimentalement que les deux signaux sont en opposition de phase, on utilise un oscilloscope en reliant sa masse à celle du circuit et la voie 1 à l’entrée et la voie 2 à la sortie par exemple. On peut utiliser l’oscilloscope en mode temporel, l’axe des temps est l’axe horizontal sur l’écran de l’oscilloscope ou bien en mode XY, c’est-à-dire que l’on représente une voie sur l’axe vertical et l’autre sur l’axe horizontal. On doit observer ce qui représenté à la figure 1. Si l’entrée est décrite par Ve = Vemcosωrt alors la sortie l’est par Vs=AVemcos(ωrt+π) =−AVemcosωrt. On a alorsVs=−AVece qui donne une droite décroissante dans le modeXY.

t Vi

Ve

Vs

Figure1 – Mode temporel et mode XY

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8.Pou que les deux signaux soient en opposition de phase, il faut queω=ωr car nous avons alorsH =−A avecA >0. CommeH est un réel négatif, la phase est bien deπentre la tension de sortie et la tension d’entrée.

La fr´equence est donc : f = _2π√ ¹

R1C1R2C2 = 318 Hz .

B. Utilisation d’un mat´ eriau pi´ ezo´ electrique dans un airbag

Principe d’un accéléromètre

9.La massemsubit son poidsm~g=−mg~ez perpendiculaire à l’axeOx, une composante normale de contact N~ = N~ez avec N > 0. Comme l’énoncé ne signale pas l’existence de frottements secs de Coulomb, on ne prendra pas en compte de composante tangentielle. Le ressort exerce surmla force−k(x−L0)~ex, l’amortisseur la force−α~V et la force d’inertie d’entraˆınement due au caractère non galiléen du référentiel constitué par la voiture : f~i,ent=ma~ex .

10.Le principe fondamental de la Dynamique, projeté sur l’axe Ox, permet d’écrire quem^d_dt²^x2 = −α^dx_dt − k(x−L0) +ma. En posantX =x−L0, on arrive à l’équation différentielle ^d_dt²^X2 +_m^α^dX_dt +_m^kX =a. On a donc ω₀²=_m^k et ^ω_Q⁰ = _m^α. On peut conclure en écrivant : ω0=q

k

m et Q=^√^mk_α . R´esolution

11.Commex=L0, on a X(t <0) = 0 .

12.On pose Q= ¹₂. L’équation caractéristique associée à l’équation différentielle est r²+ 2ω0r+ω₀²= 0 = (r+ω0)².r=−ω0est une racine double. On se trouve dans le cas du régime critique. La solution de l’équation homogène est de la formexh = (At+B) exp−ω0t. La solution particulière est trivialexp = _ωâ²

0. Par linéarité de l’équation différentielle, on obtient la forme suivante pour la solution : x(t) = _ωâ²

0 + (At+B) exp−ω0t.

Pour déterminer les constantes d’intégration A et B, on utilise les conditions initiales qui portent, ici, sur la position et la vitesse. Avant le freinage, on avaitX(t= 0) = 0 et ˙X(t = 0) = 0. La condition sur la position permet d’écrire que _ωâ²

0 +B = 0 d’où B =−_ωâ²₀. Commen¸cons par calculer l’expression générale de la vitesse :

dX

dt = Aexp−ω0t−(At+B)ω0exp−ω0t. À t = 0, l’expression précédente permet d’écrire que A = Bω0. On peut donc terminer la détermination de l’expression de la position de la masse relativement à sa position d’équilibre : X(t) = _ωâ²

0[1−(1 +ω0t) exp−ω0t] . Si le régime transitoire est supposé terminé, cela veut dire que X(t0) = _ωâ²

0 =^ma_k . Lorsque le freinage est terminé, l’équation différentielle est ^d_dt²^X² +_Q^ω^dX_dt +ω₀²X= 0. Lorsque t→ ∞, la solution correspond au second membre, on a donc évidemmentXt→∞= 0. Si l’on veut déterminer - ce qui n’était pas demandé - la solutionX(t) pour cette nouvelle phase, on utilise la même forme de solution que précédemment (au second membre près. . . ) et on utilise les conditions à la datet=t0pour lesquelles on a X(t0) = _ωâ2

0 et ˙x(t0) = 0. On arrive alors `a la formeX(t≥t0) = _ω^a2

0[1 +ω0(t−t0)] exp−ω0(t−t0).

Utilisation du matériau piézoélectrique Cas numéro 1 : Freinage brutal

13.La vitesse passe de 25 m·s⁻¹ à 0, l’accélération (décélération) moyenne est amoy=|^∆V∆t|= 10 m·s⁻² . Cette valeur correspond à peu près à l’accélération de la pesanteur.

Cas numéro 2 : Arrêt suite à un choc

14.On trouve dans le cas du choc a^′ = 167 m·s⁻² . Cette valeur est très élevée, c’est plus de quinze fois

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D´etecteur de tension

18.L’amplificateur linéaire intégré est monté en suiveur. En effet, puisque ε = 0, on a V₋ = V+ = Ve. La rétroaction entre l’entrée−et la sortie étant réalisée avec un simple fil supposé de résistance nulle, on retrouve la tensionVe en sortie pour alimenter le circuit composé de la diode et de la résistanceR. C’est l’alimentation

±15 V qui assure le courantiqui va traverserRet la diode. La diode devient lumineuse pouru=Ud= 1,9 V, on peut déjà constater que l’état éteint ou allumé de la diode correspond bien au fonctionnement souhaité à savoir discerner le choc brutal et le freinage. Par contre, il faut régler la valeur de la résistance R pour rester dans le domaine de fonctionnement de la diode qui ne doit pas dissiper une puissance supérieure à Pd = 100 mW.

La loi des mailles donneVe =Ri+Ud avecVe= 2,8 V etUd = 1,9 V pour le choc brutal. On en déduit que Ri= 0,9 V. Or, dans le pire des cas on doit avoirPd=Udimax. On en déduit que imax= 52 mA. Il faut donc choisir une résistanceR > ^V_iê⁻Û^d

max ce qui donne R >18 Ω . En prenantR= 100 Ω, on a une bonne marge pour ne pas griller la LED.

C. Microg´ en´ erateur pi´ ezo´ electrique

19.Le termeM^d_dt²^z² représente le produit de la masse par l’accélération du centre d’inertie de la poutre. On peut encore dire qu’il s’agit de ^d~_dt^p .

20.−kz correspond à l’ élasticité de la poutre , sa capacité à s’allonger ou se contracter dans le cadre d’une loi linéaire de type ressort.−α^dz_dt correspond à un terme dissipatif d’énergie, cela est à mettre en rapport avec l’énergie dissipée à l’intérieure de la poutre lorsqu’elle se déforme.

21.En passant en complexe, on arrive rapidement `a [(k−M ω²) +jαω]Z_m=F0. Cela nous permet d’exprimer l’amplitude complexe du mouvement vertical de la poutre : Z_m= _jαω^F⁰₀ puisque l’on se place `a la pulsation ω=ω0=q

k M.

22.Nous venons de voir queZ_m=−j_αω^F⁰₀. On a donc un d´ephasage de−π/2 et comme cos(ω0t−^π2) = sinω0t, on en d´eduit que : z(t) =_αω^F⁰₀sinω0t.

23.Nous savons quevz= ^dz_dt, on arrive ais´ement `a vz= ^F_α⁰ cosω0t .

24.La capacitéC0correspond à la capacité du quartz piézoélectrique à faire apparaˆıtre des charges opposées sur les deux faces concernées par la pression exercée.

25.β est en N· V⁻¹. Si l’on multiplie par une vitesse et une force ( N), on obtient une puissance en watt ( W). En électricité P = ui, donc en divisant une puissance par une tension, on obtient bien une intensité :

βvzest en A .

26.On ´ecrit la loi des nœuds dans le circuit propos´e :βvz=C0dV

dt +^V_R. On passe cette ´equation en complexes dans l’espace des pulsations :β^F_α⁰ = (jC0ω0+_R¹)V_m. On peut donc conclure sur : V_m= ^R

βF0 α

1+jRC0ω0 . 27. La puissance moyenne récupérée P par la résistance d’utilisation est P = ^V

2 ef f

R où Vef f est la tension efficace correspondant à la tension sinuso¨ıdale d’amplitude complexeV_m. On sait que l’on a Vef f = ^|^V^√^m₂^|. La puissance dissipée est donc : P= ^R

β2 F2

0 α2

2(1+R²C0²ω0²) .

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Probl` eme n

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2 – D´ etection optique dans un AFM

^{X MP 2020}

A. D´ etection de la fl` eche

1.On peut montrer facilement grâce à la loi deDescartessur la réflexion que si un miroir tourne d’un angle θ alors le rayon qu’il réfléchissait subit une déviation d’un angle 2θ. Pour le démontrer, le plus simple est de faire un schéma avec un rayon arrivant sous incidence normale sur le miroir. Ce rayon repart sur son chemin initial. Si l’on tourne le miroir de l’angleθ, l’angle du rayon incident avec la normale est deθ, angle qu’il fera aussi avec cette même normale (mais de l’autre côté. . . ). Par conséquent, il fait un angle 2θ par rapport à sa première direction d’émergence. Comme l’angle est petit, la déviation angulaire de 2θprovoque un déplacement de ∆ = 2θd à la distanceddu point de réflexion.

2.On peut imaginer que l’on utilise plutôt une diode laser qu’un laser même si cela ne change pas fondamen- talement le problème¹. La longueur d’onde est λ≃0,5µm = 5×10⁻⁷m. Compte tenu de la taille de 20µm donnée par l’énoncé, on peut penser que la laser est soumis à la diffraction. Le diamètre d’ouverture de la diode laser peut être situé à D = 1 mm, ce qui fait que la divergence angulaire liée à la diffraction peut être évaluée en effectuant δα= _D^λ ≃ 5×10⁻⁴rad. Cette valeur est très classique pour des lasers ou des diodes lasers. Si l’on imagine une source ponctuelleS au départ, cette source est à une distanced1 de la lame, on en déduit que b=d1δα. À la distancedde la lame, on obtient une tache laser de diamètre 2ad= (d1+d)δα=b+dδα. L’application numérique conduit à 2ad= 70µm . Cette taille si elle est bien estimée va obliger à avoir un détecteur suffisamment pixellisé pour obtenir de la sensibilité.

B. Localisation par photod´ etection de la position du point P

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3.Si l’on suppose que l’intensité du laser est uniforme dans toute sa section, on a φ1=γS1 etφ2 =γS2 où S1 et S2 sont les surfaces de la tache laser sur la photodiode 1 et sur la photodiode 2. Le contraste proposé peut donc s’écrire C = ^S_S²₂⁻_+S^S¹₁. On a S1+S2 = πa²_p. On peut donc écrire le contraste commeC = 1− ^2Sπa¹²_p. Comme la distance ∆ ≪ ap, on peut raisonner rapidement en disant que S1 est constituée par la surface d’un demi-disque ^π₂a²_p à laquelle il faut retirer un rectangle de surface 2ap∆. Ainsi 2S1 = πa²_p−4ap∆. On arrive au contraste : C= _πa^4∆_p . On peut aussi chercher à faire un calcul exact. Il existe plusieurs méthodes.

Celle proposée à l’aide de la figure 2 évalue la surface perdue par rapport au demi-disque représentée du côté supérieur. On peut jouer sur le complément entre la surface d’un secteur circulaire d’angle β et un triangle rectangle. L’angleβ vérifie la relation sinβ = _a^∆

p. La surface gris´eeSg = 2(^β₂a²_p+^∆₂q

a²_p−∆²). On en d´eduit la surfaceS1= ^π₂a²_p−(βa²_p+ ∆q

a²_p−∆²). Si l’angleβ est petit, on peut ´ecrire que sinβ ≃β et doncβ ≃_a^∆_p. En ne gardant que les termes du premier ordre en _a^∆

p, on arrive à S1= ^π₂a²_p−2∆ap. Cette expression est bien cohérente avec celle qui a été utilisée en effectuant l’approximation de la surface grisée à un rectangle.

b β

ap

∆

qa²_p−∆²

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s’intéresse au contraste, on arrive àC=C(t). On constate queC(t) est le contraste et qu’il est bien indépendant des fluctuations thermiques deφ0(t).

C. ´ Etude de la photod´ etection

6.Il y a_hν^φ photons dans la lumière laser qui arrivent sur la surface de détection par unité de temps. L’intensité du courant correspondant est donc I = e_hν^φ. La sensibilité théorique est Sth =_hνê ≃0,6 A· W⁻¹ . Avec les caractéristiques proposées dans la partie où l’intensité est constante on observe que S = ^∆I_∆φ = 0,2 A· W⁻¹. Cette valeur est tout à fait dans le même ordre de grandeur que celui évalué avec la correspondance d’un photon pour un électron. Même si cette correspondance ne se réalise pas, on peut dire que l’on a un électron pour trois photons arrivants. On pourrait parler de rendement de ¹₃.

7.On écrit la loi des maillesU =RI+V. Cela permet d’arriver àI=Û_R−^VR que l’on passe en valeur numérique avec pourIdes milliampères et pour la tensionV des volts. L’équation numérique est alors :I=−0,25−0,05V. On trace cette droite sur le graphique proposé et, pour le flux lumineux de 0,5 mW, on trouve par intersection des caractéristiquesI=−0,1 mA et V =−3 V .

8. On veut optimiser la mesure pour l’intervalle [0,1 mW]. On a U = VR+V. On veut que VR = 0 pour φ= 0 mW et doncV =U =−5 V. Pour l’autre valeur extrˆeme, on veut que VR =−5 V et doncV = 0 pour φ= 1 mW. CommeVR=−RI avecI=−0,2 mA, on doit avoir une pente R=₂_×₁₀⁵−4 = 25 kΩ .

9.La loi de mailles donne toujoursU =RI+V. Il faut écrire la loi des nœuds :I=C^dV_dt −Iph(φ). En dérivant par rapport au temps la loi des mailles, on obtient ^dV_dt =−R^dI_dt. Cela permet d’écrire l’équation différentielle vérifiée par l’intensité : RC^dI_dt+I=−Iph(φ) .

10.L’équation différentielle précédente nous donne immédiatement la fréquence de coupure : fc= _2πRC¹ . On trouvefc≃150 kHz.

11.Plus la résistance est élevée, plus la sensibilité est importante. On peut avoir l’intention de forcer surR mais la fréquence de coupure chute. Nous avons vu que les fréquences caractéristiques des vibrations de la lame sont de l’ordre de fp0 ≃100 kHz. Avec la valeur retenue de la résistance, on a finalement un bon compromis puisque la fréquence de coupurefc est supérieure àfp0.