UPMC 3M270 Algèbre 2018-2019
TD 4
1 Produits directs
Exercice 1. Soient Get H deux groupes. Montrer que l’application (G×H)×(G×H) −→ G×H
((g1, h1),(g2, h2)) 7−→ (g1g2, h1h2)
induit surG×H une structure de groupe. On dit que G×H est leproduit direct externe deGet deH. Montrer que les groupesGetH sont tous deux naturellement isomorphes à des sous-groupes disitngués deG×H.
Exercice 2. SoientGun groupe, ainsi queH etKdeux sous-groupes distingués deGd’intersection triviale tels que l’on aitHK = G. Montrer que les éléments deH commutent avec ceux deK, puis qu’il existe un isomorphisme de groupes
G ' H×K . On dit alors queGest leproduit direct interne deH et deK.
Exercice 3. SoitGun groupe fini, produit direct de deux sous-groupesH1 etH2 d’ordres premiers entre eux.
1) SoitK un sous-groupe deG. On poseKi = K∩Hi pouri∈ {1,2}. Montrer que l’on a
K ' K1×K2 .
2) Trouver un contre-exemple si les ordres deH1et H2 ne sont pas premiers entre eux.
3) Montrer un résultat similaire pour un produit directH1× · · · ×Hn.
Exercice 4. Soient Gun groupe, ainsi queH etK deux sous-groupes distingués deG.
1) Montrer queH∩K est distingué dansG, et queG/(H∩K)s’injecte dansG/H×G/K.
2) On suppose que G soit fini et que l’indice de H soit premier avec celui de K. Montrer que l’on a un isomorphisme de groupes
G/(H∩K) ' G/H×G/K . Indication : calculer l’indice de H∩K dansGde deux façon différentes.
3) Montrer un résultat similaire pournsous-groupes distingués deG.
Exercice 5. Déterminer tous les groupes d’ordre33.
Exercice 6. Quel est le plus petit entier naturelnnon premier et au moins égal à2tel qu’il existe un unique groupe d’ordren?
Exercice 7. Montrer qu’un groupe d’ordre255 est cyclique.
2 Produits semi-directs
Exercice 8. Soient H et Kdeux groupes, ainsi qu’un morphisme de groupes
ϕ : K −→ Aut(H) ,
où Aut(H)désigne le groupe des automorphismes de groupes deH. Montrer que l’application (H×K)×(H×K) −→ H×K
((h1, k1),(h2, k2)) −→ (h1ϕ(k1) (h2), k1k2)
induit une structure de groupe surH ×K. Ce groupe est notéHoϕK, et est appelé le produit semi-direct externe deH et deK.
Exercice 9. SoitG = H oϕK un produit semi-direct. Calculer l’élément neutre et l’inverse d’un élément (h, k).
Montrer queH etK sont respectivement isomorphes aux sous-groupes deGdonnés par
H = {(h, eK), h∈H}, K = {(eH, k), k∈K}. Montrer queH est distingué dansG, et que l’on aH K = G.
Exercice 10. SoientGun groupe, ainsi queH etKdeux sous-groupes deG, avecH distingué dansG, d’intersection triviale, et vérifiant HK = G.
1) Montrer que l’application suivante est un morphisme de groupes
ϕ : K −→ Aut(H) k 7−→ [h 7−→ khk−1 . 2) Montrer qu’il existe un isomorphisme de groupes
G ' HoϕK . On dit queGest leproduit semi-direct interne deH et deK.
Exercice 11. SoitG = HoϕK un produit semi-direct. En reprenant les notations de l’exercice9, montrer que G est le produit semi-directinternedeH et deK.
Exercice 12. Montrer qu’un produit semi-directHoϕKest direct si et seulement si le morphisme de groupes
ϕ : K −→ Aut(H) définissant le produit semi-direct considéré est trivial.
Exercice 13. SoientH etK deux groupes, ainsi que deux morphismes de groupes
ϕ, ψ : K −→ Aut(H) .
On veut déterminer des conditions suffisantes pour que les groupes HoϕK etHoψK soient isomorphes.
1) Montrer qu’une telle condition est qu’il existe un automorphisme de groupesαdeKtel que l’on ait
ψ = ϕ◦α .
2) Montrer qu’une autre telle condition est qu’il existe un automorphisme de groupesβ deH tel que l’on ait
ψ(k) = β−1◦ϕ(k)◦β pour tout élémentkdeK.
3) Si le groupe K est cyclique, et que les morphismes de groupes ϕ et ψ ont même image, montrer que les groupes HoϕK etHoψK sont isomorphes.
Exercice 14. Soitnun entier naturel non nul. On noteDn le groupe diédral d’ordre2n, c’est-à-dire le groupe des isométries du plan préservant un polygone régulier à ncôtés. Montrer que l’on a un isomorphisme de groupes
Z/nZ o Z/2Z ' Dn .
Exercice 15. Soitn un entier naturel au moins égal à 2. Montrer que le groupe symétrique Sn s’écrit comme un produit semi-direct dont l’un des facteurs est le groupe alternéAn.
Exercice 16. Soientnun entier naturel non nul etK un corps. Montrer que l’on a un isomorphisme de groupes
GLn(K) ' SLn(K)oK∗ .
Exercice 17. 1) Montrer que le groupe des quaternionsH8 n’est pas un produit semi-direct.
2) Montrer queZ/8Zn’est pas un produit semi-direct.
3) Montrer que les groupesH8, (Z/2Z)3,Z/2Z×Z/4Z,Z/8Z, etD4 sont deux à deux non isomorphes.
Exercice 18. SoientGun groupe non abélien d’ordre12et H un3-Sylow deG.
1) Rappeler la définition de l’action naturelle de G sur l’ensemble quotient G/H par translation. En déduire un morphisme de groupes de Gdans S(G/H). Montrer que ce morphisme est non injectif si et seulement si H est distingué dansG. En déduire que siH n’est pas distingué dans G, alorsGest isomorphe àA4.
2) On suppose que le groupe H =
1, a, a2 soit distingué dans G. Montrer que si Gcontient un élément b d’ordre4, alors on a bab−1 = a2. CaractériserGdans ce cas.
3) On suppose toujours queH soit distingué dansG, mais cette fois queGn’admette pas d’élément d’ordre4.
Compter le nombre maximal d’éléments d’ordre 2. En déduire qu’il existe un élément d’ordre 6 dansG, puis que G est isomorphe au groupe diédralD6.
4) Déterminer, à isomorphisme près, tous les groupes (abéliens ou non) d’ordre12.
Exercice 19. Soientpetqdeux nombres premiers vérifiantp < q. SoitGun groupe d’ordrepq.
1) Montrer queGest cyclique sipne divise pasq−1.
2) On suppose dans cette question quepdiviseq−1.
a) Montrer que le groupe Aut(Z/qZ)est isomorphe àZ/(q−1)Z. En déduire qu’il existepmorphismes de groupes de Z/pZdans Aut(Z/qZ).
b) Montrer queGest cyclique, ou est isomorphe à un produit semi-direct Z/qZ o Z/pZ.
c) Soientϕetψdeux morphismes de groupes non triviaux deZ/pZdans Aut(Z/qZ). Montrer qu’il existe un automorphisme de groupes αdeZ/pZ tel que l’on ait ϕ = ψ◦α. En déduire que tous les produits semi-directs non directs de la question précédente sont deux à deux isomorphes.
