PHÉNOMÈNES DE TRANSPORT - exercices
A. EXERCICES DE BASE
I. Diffusion de neutrons ; stabilité d'un réacteur
• On considère un ensemble de neutrons, dans un milieu où ils subissent de nombreux chocs qui leur communiquent une vitesse d'agitation moyenne v constante. Lorsque la densité volumique de neutrons, notée n(x, t), dépend de la position (uniquement par l'abscisse x), il existe un courant de neutrons caractérisé par un vecteur densité de courant
!
jn.
1.
• Le milieu absorbe les neutrons ; on suppose que chaque neutron parcourt une même distance λ avant d'être absorbé (en réalité c'est une moyenne). Montrer que le nombre d'absorptions par unité de vo- lume et par unité de temps est de la forme : C =
!
nv
" .
2.
• Le milieu contient en outre des sources de neutrons : le nombre de créations par unité de volume et par unité de temps est : S(x). Effectuer un bilan des différentes causes d'évolution de n, puis établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par n.3.
• On considère un milieu sans source de neutrons (S = 0). Ce milieu, correspondant au demi-espace avec x > 0, est limité en x = 0 par une source de neutrons plane délivrant N0 neutrons par unité de surface et par unité de temps. Calculer n(x) en régime stationnaire.4.
• On considère un régime stationnaire dans un milieu multiplicateur de neutrons (régime stable d'un réacteur nucléaire). En admettant, pour simplifier, que chaque absorption provoque une fission libérant K neutrons, calculer S(x). Établir l'équation vérifiée par n dans un tel milieu.5.
• On considère un réacteur nucléaire compris entre deux faces planes, perpendiculaires à Ox, aux abscisses x = ±!
a
2, telles que la densité volumique de neutrons y est nulle : n
!
±a
2
"
#$ %
&
' = 0.
a) Quelles conditions doivent être satisfaites pour que le réacteur atteigne effectivement un régime stable (régime “critique”) ?
b) Quelle est la répartition correspondante pour n(x) ?
II. Diffusion et marche au hasard ; problème à une dimension
• L'équation de diffusion, dans un milieu à une dimension, sans création ni absorption, peut s'écrire :
!
"n
"t = D
!
"2n
"x2 où n =
!
dN
dx est la densité linéique de particules et où D est le coefficient de diffusion.
1.
• Montrer qu'une solution possible de cette équation est : n(x, t) =!
N0
4"Dt exp(-
!
x2 4Dt).
2.
a) Calculer : N =!
n
( )
x,t dx"#
$
# , puis : < x > =!
x dN
"#
$
#N , puis : < x2 > =
!
x2 dN
"#
$
#N . b) En déduire une interprétation de la solution donnée à la question précédente.
☞
indication :!
e"#x2dx
0
%
$ =!
"
4# et
!
x e"#x2dx
0
%
$ =!
1 2".
3.
• On se propose d'interpréter l'expression de < x2 > à l'aide d'un modèle de “marche au hasard”. On considère ainsi N0 particules initialement placées en x = 0. Ces particules effectuent une marche au ha- sard : elles peuvent aller, avec la même probabilité, vers la droite ou vers la gauche, effectuant à chaque fois un “pas” de longueur ℓ (constante). La durée d'un “pas” est τ (constante).a) Quel est le nombre m de pas effectués à l'instant t ≫ τ ?
b) Soit p le nombre de pas à droite à l'instant t, relier l'abscisse x à ℓ, p et m.
c) Montrer qu'à l'instant t ≫ τ toutes les particules sont sur un segment [-a, a] et préciser la quanti- té a.
d) Montrer que la répartition statistique des particules sur ce segment correspond à un simple pro- blème d'analyse combinatoire.
e) Pour t ≫ τ et N0≫ 1, cette répartition peut être considérée comme continue. Préciser alors
!
dN dx
en admettant, pour m ≫ 1, l'approximation suivante :
!
1
2mCm p ≈
!
2
"m exp
!
"
m 2 "p
#
$% &
'(
2
m 2
#
$
%
%
%%
&
' ( ( (( .
f) Relier dans ce cas le coefficient de diffusion D à ℓ et τ.
III. Équilibre de l'atmosphère isotherme et diffusion
• L'atmosphère est assimilée à un gaz parfait de masse molaire M ; on suppose cette atmosphère en équilibre thermique (à la température T) et en équilibre mécanique.
1.
• D'après la condition d'équilibre mécanique pour une tranche de gaz comprise entre z et z + dz, montrer que la pression est telle que : p(z) = p0 e-z/H ; exprimer H en fonction de R, T, Met g.2.
• D'après la loi précédente, la densité volumique n des particules dépend de z. Il existe donc un phé- nomène d'auto-diffusion caractérisé par la densité de courant :!
jn = -D
!
"n où on considère (pour un gaz
parfait) : D ≈
!
1
3 < ℓ > < v > (en notant ℓ le libre parcours entre deux chocs). C'est alors le poids des molé- cules, dont l'effet s'oppose à la diffusion, qui permet d'atteindre un état d'équilibre statistique.
a) Pour analyser l'effet du poids, on considère l'action d'une force constante
!
F agissant sur chaque molécule de masse m d'un gaz parfait. Écrire l'équation du mouvement d'une molécule, puis l'intégrer entre les instants séparant deux chocs consécutifs.
b) On note
!
v0 la vitesse d'une molécule juste après un choc ; on note τ la durée moyenne entre deux chocs. Donner l'expression de la moyenne <
!
v > en fonction de
!
F, m et τ.
c) Montrer que la force
!
F provoque un mouvement d'ensemble les particules, caractérisé par une densité de courant :
!
jF = n <
!
v >.
3.
• Dans le cas de l'équilibre isotherme, la force agissant sur les molécules est leur poids!
P. En expri- mant la compensation statistique entre les effets du poids et de la diffusion, montrer que n(z) est de la forme : n(z) = n0 e-z/Hʼ.
4.
• Appliquer le principe d'équipartition de l'énergie, en considérant < v >2 ≈ < v2 > ; comparer ainsi H et Hʼ. Conclure.IV. Équation de la chaleur et séparation des variables
• L'équation décrivant la propagation de la chaleur dans un corps homogène et isotrope peut s'écrire, dans un cas unidirectionnel : µcv
!
"T
"t = K
!
"2T
"x2 où µ est lamasse volumique, cv la capacité thermique mas-
sique, K la conductivité thermique.
1.
a) Montrer que l'équation précédente admet des solutions de la forme : T(x, t) = f(t) g(x) + Tc où Tc est une constante.b) Montrer que f(t) ne peut pas physiquement être une fonction croissante. Écrire explicitement les solutions du type précédent.
2.
• On considère un solide limité par deux plans perpendiculaires à Ox, situés à x = 0 et x = ℓ, dans lequel existe initialement une répartition de température : T(x, 0) = T0 + (T1 - T0) sin
!
"x
!
#
$% &
'(.
a) À t = 0 on plonge le solide dans un bain maintenu à la température T0. Donner la loi d'évolution de la température T(x, t) dans le solide.
b) Déterminer les instants t1 et t2 tels que la température en x =
!
!
2 soit égale à T0 +
!
1
2(T1 - T0) puis T0 +
!
1
10(T1 - T0).
Données : T0 = 0 °C ; T1 = 50 °C ; K = 376 W.m-1.K-1 ; cv = 420 J.K-1.kg-1 ; ℓ = 0,10 m ; µ = 8,9.103 kg.m-3.
V. Résolution numérique de l'équation de la chaleur
• L'équation décrivant la propagation de la chaleur dans un corps homogène et isotrope peut s'écrire, dans un cas unidirectionnel : µcv
!
"T
"t = K
!
"2T
"x2 où µ est lamasse volumique, cv la capacité thermique mas-
sique, K la conductivité thermique.
• On considère un solide limité par deux plans perpendiculaires à Ox, situés à x = 0 et x = ℓ. Ce solide est caractérisé par :
!
K
µcv = 1,0.10
-4 m2.s-1.
1.
• Le solide est porté à la température T2. À l'instant t = 0 on le plonge dans un bain maintenu à la température T0.• On se propose de calculer numériquement la loi d'évolution de la température T(x, t) dans le solide.
À cet effet, on partage l'intervalle [0, ℓ] en segments égaux de longueur Δx et le temps en intervalles égaux de durée Δt. On désigne par Tn,m la température au point d'abscisse x = n Δx et au temps t = m Δt.
• Montrer qu'en choisissant : (Δx)2 = 2
!
K
µcvΔt on obtient la relation : Tn,(m + 1) =
!
1
2(T(n + 1),m + T(n - 1),m).
2.
• Utiliser cette relation pour suivre numériquement l'évolution de T(x, t) qu'on représentera, par exemple, dans un tableau à double entrée avec le temps en ordonnée.a) Analyser l'évolution dans un intervalle compris entre 0 et 10 Δt.
b) Représenter la distribution de température en fonction de x pour t = 5 s.
Données : T0 = 0 °C ; T2 = 100 °C ; Δx =
!
! 10.
VI. Chauffage d'une maison
1.
a) À partir de l'équation de Fourier, en supposant qu'il y a conservation de l'énergie thermique, établir“l'équation de la chaleur” pour un milieu homogène et ne dépendant que d'une coordonnée x.
b) Montrer que, dans le cas stationnaire, la variation de T(x) est nécessairement affine. Quelle est dans ce cas la particularité de la densité de courant
!
jQ ?
2.
• On considère une maison dont on suppose (pour simplifier) que le sol et le toit ont le même compor- tement thermique que les murs ; on suppose de même que les fenêtres, munies de doubles vitrages, ont le même comportement thermique que les murs.• Calculer le débit de chaleur dans les conditions suivantes :
◊ épaisseur des murs : e = 20 cm ;
◊ dimensions de la maison : longueur : L = 10 m ; largeur : ℓ = 5 m ; hauteur : h = 2,5 m ;
◊ conductivité thermique des parois : K = 250.10-4 W.K-1.cm-1 ;
◊ capacité thermique de la maison : C = 5.104 kJ.K-1 ;
◊ températures : intérieure : Ti = 20 °C ; extérieure : Te = 0 °C.
3.
• On arrête le chauffage de la maison et on laisse la température intérieure décroître. Quelle est la température intérieure deux heures après l'arrêt du chauffage ?VII. Chauffage par le sol
• Pour réaliser le chauffage par le sol d'un local, on dispose successivement :
◊ une couche de 10 cm de vermiculite (conductivité thermique K3 = 251.10-5 W.K-1.cm-1) ;
◊ une couche de 5 cm de mâchefer de (conductivité K2 = 753.10-5 W.K-1.cm-1)
◊ des éléments chauffants ;
◊ une couche de 3 cm de mâchefer ;
◊ une couche de 2 cm de ciment (conductivité K1 = 2510.10-5 W.K-1.cm-1) ;
◊ des dalles de marbre de 2 cm d'épaisseur (de même conductivité K1).
• La température des éléments chauffants est t1 = 100 °C et celle du sous sol (sous la vermiculite) est identique à la température de la surface du marbre t0 = 20 °C.
1.
a) Justifier que les écarts de températures entre les limites des différentes couches sont proportion- nels aux quotients!
ei
Ki entre épaisseurs et conductivités.
b) Expliquer comment cette propriété est liée à la notion de “résistance thermique”.
c) En déduire les températures atteintes par les différentes surfaces de séparation.
2.
• Quelle est la fraction d'énergie thermique perdue par le sol en dessous de la vermiculite ?3.
• On considère ensuite qu'une épaisseur de terre de 1 m participe à l'isolement (conductivité K4 == 418.10-5 W.K-1.cm-1) ; en dessous de cette épaisseur, la température est 10 °C ; quelle est dans ce cas la fraction d'énergie calorifique perdue vers le bas ?
VIII. Structure réfractaire composite
• Une couche de briques réfractaires, de conductivité thermique Kb = 6,22 kJ.h-1.m-1.K-1 et d'épais- seur b = 50 mm, est placée entre deux plaques d'acier, de conductivité thermique Ka = 186,4 kJ.h-1.m-1.K-1 et d'épaisseur a = 6,3 mm.
• Les faces des briques adjacentes aux plaques sont rugueuses ; ainsi, elles ne sont en contact avec l'acier que sur 30 % de leur surface. L'épaisseur des aspérités est en moyenne e = 0,8 mm. L'air enfermé dans ces aspérités ne peut en pratique pas se déplacer : il n'y a pas de mouvement de convection et l'air ne peut transmette la chaleur que par conduction. La conductivité thermique de l'air est K = 0,13 kJ.h-1.m-1.K-1.
1.
• Représenter schématiquement une portion du mur ainsi réalisé ; indiquer un schéma électrique équi- valent.2.
• Calculer, pour chaque couche, la résistance thermique par unité de surface du mur. Commenter.3.
• Sachant que les températures extérieures des plaques d'acier sont respectivement T0 = 93 °C et T1 = 427 °C, déterminer le flux thermique par unité de surface du mur.B. EXERCICES D'APPROFONDISSEMENT IX. Diffusion dans un tuyau poreux
• On considère l'état stationnaire de diffusion gazeuse dans un tube cylindrique de rayon R et de très grande longueur L. Les concentrations (densités volumiques) des molécules diffusantes sont maintenues constantes : n0 en x = 0 ; n1 en x = L. Le coefficient de diffusion est D.
• Le tube est de plus légèrement poreux ; ainsi des molécules diffusent vers l'extérieur à travers la paroi latérale, d'épaisseur e ≪ R, caractérisée par un coefficient de diffusion Dʼ ≪ D.
1.
• Effectuer le bilan du flux de molécules, à l'état stationnaire, dans une tranche de longueur dx. En déduire une relation entre la densité de courant jn dans le tube et la concentration n.2.
a) Écrire l'équation de la diffusion qui régit n(x) à l'état stationnaire. La résoudre pour les conditions aux limites données (pour cela, on peut poser : α =!
2D "
eRD).
b) Étudier le cas αL ≫ 1.
X. Diffusion et marche au hasard ; problème à trois dimensions
• L'équation de diffusion, dans un milieu à trois dimensions, sans création ni absorption, peut s'écrire :
!
"n
"t = D Δn avec n =
!
dN
dV la densité volumique de particules ; D le coefficient de diffusion ; Δn =
!
1 r
"2
( )
rn"r2 l'opérateur laplacien en coordonnées sphériques (dans les conditions considérées ici).
1.
• Montrer qu'une solution possible de cette équation est : n(r, t) =!
N0 4"Dt
( )
3 / 2 exp(-!
r2 4Dt).
2.
a) Calculer : N =!
ndV
"""
, puis < r2 > =!
r2dN
"""
N .
b) En déduire une interprétation de la solution donnée à la question précédente.
Données :
!
e"#x2dx
0
%
$ =!
"
4# et
!
x e"#x2dx
0
%
$ =!
1 2".
3.
• On se propose d'interpréter l'expression de < r2 > à l'aide d'un modèle de “marche au hasard”. On considère ainsi N0 particules initialement placées à l'origine O. Ces particules effectuent une marche au hasard : elles peuvent aller, avec la même probabilité, dans n'importe quelle direction, effectuant à chaque fois un “pas”!
!i de même longueur ℓ. La durée d'un “pas” est τ (ℓ et τ sont considérées comme constantes).
a) Quel est le nombre m de pas effectués à l'instant t ≫ τ ? b) Exprimer la position
!
r t
( )
d'une particule donnée, sous forme d'une somme de vecteurs.c) Calculer
!
r t
( )
2 et retrouver l'expression de la question (2) par un processus de moyenne.d) Quel est la relation entre D, ℓ et τ ?
XI. Échauffement dans un réacteur nucléaire
• On considère un réacteur nucléaire en régime stationnaire, dont les éléments de combustible sont des cylindres pleins de diamètre D = 29 mm, dans lesquels se produit un dégagement de chaleur constant et uniforme q = 700 W.cm-3 (d'origine nucléaire). On note T la température extérieure ; la conductivité ther- mique des barreaux est K = 0,27 W.K-1.cm-1.
