Théorème de Girsanov Exercices
Exercice 12.1. Supposons que l’évolution du prix d’un actif est modélisée à l’aide d’un processus stochastique satisfaisant l’équation di¤érentielle stochastique
dX t = t X t dt + X t dW t
où t = (1 + sin (t)) et W = f W t : t 0 g est un mouvement brownien construit sur l’espace probabilisé ( ; F ; P ).
a) Démontrez qu’il existe une solution unique à l’équation.
b) L’actif non risqué a un rendement instantané au temps t de r t = r (1 + sin (t)).
Déterminez l’équation di¤érentielle stochastique satisfaite par l’évolution du prix de l’actif risqué sous la mesure neutre au risque. Qu’est-ce qui vous permet d’a¢ rmer que la mesure neutre au risque existe bien ?
c) Quelle est cette mesure neutre au risque ? Exprimez-la en fonction de l’ancienne mesure P .
Exercice 12.2. Le processus f r t : t 0 g du taux d’intérêt instantané d’un actif sans risque suit l’équation di¤érentielle ordinaire
d r t = c ( r t ) dt ce qui implique que
r t = + (r 0 ) e ct :
Nous modélisons l’évolution du prix de l’actif sans risque par f S t : t 0 g où S t = exp
Z t
0
r u du :
a) Montrez que l’évolution du prix de l’actif sans risque par f S t : t 0 g satisfait l’équation di¤érentielle ordinaire
dS t = r t S t dt:
b) L’évolution du prix de l’actif risqué f S t : t 0 g , satisfait l’équation di¤érentielle sto- chastique
dS t = S t dt + S t dW t
où f W t : t 0 g est un mouvement brownien standard sur l’espace probabilisé ( ; F ; P ).
Montrez comment il est possible de changer la mesure de probabilité sur l’espace probabilisé ( ; F ) a…n d’obtenir l’évolution du prix de l’actif risqué sous la mesure neutre au risque.
Donnez l’équation di¤érentielle stochastique satisfaite par l’évolution du prix de l’actif risqué sous la mesure neutre au risque.
Exercice 12.3. Les prix de deux actifs sont modélisés à l’aide de mouvements browniens géométriques :
dS 1 (t) = 1 S 1 (t) dt + 1 S 1 (t) dW 1 (t) ;
dS 2 (t) = 2 S 2 (t) dt + 2 S 2 (t) dW 1 (t) + 2 p
1 2 S 2 (t) dW 2 (t)
où W 1 et W 2 sont des ( ; F ; fF t : t 0 g ; P ) mouvements browniens indépendants. Nous supposons le taux d’intérêt sans risque r déterministe et constant. fF t : t 0 g est la …ltration engendrée par les deux mouvements browniens.
Déterminez le modèle de marché en monde neutre au risque.
Exercice 12.4. Le taux de change donnant la valeur en dollars américains du yen est modélisé à l’aide d’un mouvement brownien géométrique :
dU (t) = U U (t) dt + U U (t) dW U (t) : De plus, la valeur en dollars canadiens du yen est modélisée selon dC (t) = C C (t) dt + C C (t) dW C (t) :
Finalement, la valeur en dollars canadiens d’un dollar américain satisfait dV (t) = V V (t) dt + V V (t) dW V (t) :
W U ; W C et W V sont des ( ; F ; fF t : t 0 g ; P ) mouvements browniens tels que pour tout t 0
Cor [W U (t) ; W C (t)] = U C , Cor [W U (t) ; W V (t)] = U V et Cor [W V (t) ; W C (t)] = V C : D’autre part,
dA (t) = r U A (t) dt; A (0) = 1
dB (t) = r C B (t) dt, B (0) = 1
dD (t) = r J D (t) dt; D (0) = 1
représentent les évolutions de comptes bancaires aux États-Unis, au Canada et au Japon respectivement, c’est-à-dire que A (t) est exprimé en dollars américains, l’unité de B (t) est le dollar canadien et D (t) est en yens.
Questions.
a) Quelles sont les conditions sur les paramètres de ce modèle de marché pour que ce dernier ne contienne pas d’opportunités d’arbitrage ?
b) Est-ce que ce modèle de marché est complet ?
c) Déterminez les équations des taux de change sous une mesure neutre au risque.
Justi…ez votre démarche. Commentez et interprétez vos résultats.
Exercice 12.5. Supposons que W , W c et W f représentent trois mouvements browniens standards indépendants construits sur l’espace probabilisé …ltré
( ; F ; fF t : 0 t T g ; P ) : Posons
B e t W t + p
1 2 W f t , 0 t T (1)
et B b t W t + p
1 2 W c t , 0 t T:
a) Montrez que le processus n
B b t : 0 t T o
est un ( fF t g ; P ) mouvement brown- ien standard.
b) Calculez la corrélation Cor P h
B b t ; B e t i
entre les deux mouvements browniens, pour tout 0 t T:
Modélisons maintenant l’évolution du prix de deux actifs risqués X et Y : dX t = X X t dt + X X t d B e t
= X X t dt + X X t dW t + X p
1 2 X t df W t (2)
et
dY t = Y Y t dt + Y Y t d B b t
= Y Y t dt + Y Y t dW t + Y
p 1 2 Y t dc W t : (3) Ainsi, nous pouvons interpréter W comme étant les chocs communs aux deux titres alors que f W modélise les variations non prévisibles du premier titre (X) et W c modélise les chocs propres au deuxième titre (Y ).
c) En supposant que le taux d’intérêt sans risque r est constant, trouvez les équa-
tions di¤érentielles stochastiques modélisant l’évolution du prix des deux actifs sous une
probabilité neutre au risque. Justi…ez votre démarche.
d) Ce modèle de marché (c’est-à-dire l’évolution de l’actif sans risque et des deux actifs risqués) est-il complet ? Justi…ez votre réponse.
e) Pouvez-vous déterminer le prix du "droit contingent" (pouvant prendre des valeurs
positives et négatives) de type européen dont le ‡ux monétaire à l’échéance est la di¤érence
entre les prix des actifs, c’est-à-dire que C = X T Y T :
Les solutions
1 Exercice 12.1
a) Si l’équation di¤érentielle stochastique satisfait les trois conditions suivantes, alors nous savons qu’il existe une unique solution.
(i) j b (x; t) b (y; t) j + j a (x; t) a (y; t) j K j x y j ; 8 t 0 (ii) j b (x; t) j 2 + j a (x; t) j 2 K 2 (1 + x 2 ) ; 8 t 0
(iii) E [X 0 2 ] < 1 : Posons K = max j j + j j ; p 2
+ 2 :
j b (x; t) b (y; t) j + j a (x; t) a (y; t) j
= j (1 + sin (t)) x (1 + sin (t)) y j + j x y j
= j j (1 + sin (t)) j x y j + j j j x y j
2 j j j x y j + j j j x y j = (2 j j + j j ) j x y j K j x y j j b (x; t) j 2 + j a (x; t) j 2
= j (1 + sin (t)) x j 2 + j x j 2
= 2 (1 + sin (t)) 2 x 2 + 2 x 2
4 2 x 2 + 2 x 2 = 4 2 + 2 x 2 K 2 x 2 K 2 1 + x 2
Si nous choisissons la condition initiale X 0 de sorte que E [X 0 2 ] < 1 alors les trois conditions sont satisfaites.
b)
dX t = t X t dt + X t dW t
= r t X t dt + ( t r t ) X t dt + X t dW t
= r t X t dt + X t d W t + Z t
0
s r s ds :
Posons
s = s r s
; s 0
et notons que la fonction s ! s est continue, ce qui entraîne que le processus f s : s 0 g est prévisible. Puisque
Z T
0 2
s ds = Z T
0
s r s 2 ds
= Z T
0
(1 + sin (s)) r (1 + sin (s)) 2 ds
= 1 2
r 2
(4 4 cos T cos T sin T + 3T ) < 1 ; alors E P h
exp 1 2 R T 0
2 t dt i
< 1 . Nous pouvons donc appliquer le théorème de Cameron- Martin-Girsanov : il existe une mesure Q sur l’espace probabilisable ( ; F ) telle que le processus f W = n
f
W t : t 2 [0; T ] o
dé…ni par f W t = W t +
Z t
0
s ds; t 0:
est un mouvement brownien sur l’espace probabilisé ( ; F ; Q ). Ainsi, sur l’espace probabilisé ( ; F ; Q ), l’évolution du prix du titre risqué satisfait
dX t = r t X t dt + X t df W t :
c) Selon le théorème de Cameron-Martin-Girsanov, la dérivée de Radon-Nikodym est d Q
d P = exp
Z T
0
t dW t
1 2
Z T
0 2 t dt
= exp
" R T
0 (1 + sin t) r dW t
1 2 1 2
r 2
(4 4 cos T cos T sin T + 3T )
#
= exp
"
r W T r R T
0 sin t dW t r 2
1 cos T 1 4 cos T sin T + 3 4 T
# :
Par conséquent,
Q (A) = E P
"
exp
"
r W T r R T
0 sin t dW t
r 2
1 cos T 1 4 cos T sin T + 3 4 T
#
A
#
:
2 Exercice 12.2
a) Posons Y t = R t
0 r u du. Le processus stochastique Y est un processus d’Itô (dY t = K t dt + H t dW t ) pour lequel K t = r t et H t = 0 puisque
Z T
0
j K s j ds = Z T
0
j r s j ds = Z T
0
+ (r 0 ) e cs ds Z T
0
+ (r 0 + ) e cs ds = T + (r 0 + ) 1 e cT c < 1 : Notons au passage que
dY t = r t dt et h Y i t = Z T
0
H s 2 ds = 0:
Posons f (t; y) = e y . Nous avons donc @f @t = 0, @f @y = @ @y
2f
2= f , f (t; Y t ) = S t et f (0; Y 0 ) = 1 = S 0 . Par le lemme d’Itô, nous obtenons
dS t = df (t; Y t )
= @f
@t (t; Y t ) dt + @f
@y (t; Y t ) dY t + 1 2
@ 2 f
@y 2 (t; Y t ) d h Y i t
= f (t; Y t ) dY t
= S t r t dt b)
dS t = S t dt + S t dW t
= r t S t dt + S t r t
dt + S t dW t
= r t S t dt + S t d W t + Z t
0
r u du
Posons t = r
tet démontrons la condition E P exp 1
2 Z T
0 2
t dt < 1
est satisfaite. Nous pourrons alors utiliser le théorème de Girsanov pour conclure.
E P exp 1 2
Z T
0 2
t dt = E P
"
exp 1 2
Z T
0
r t 2 dt
!#
= E P
"
exp 1 2
Z T
0
( + (r 0 ) e ct ) 2 dt
!#
= exp 1 2
Z T
0
(r 0 ) e ct 2 dt
!
exp Z T
0
C 1 + C 2 e ct + C 3 e 2ct dt
< 1
3 Exercice 12.4
3.1 Les grandes idées de la solution
A…n que le modèle n’admette pas d’opportunités d’arbitrage, il faut qu’il existe au moins une mesure martingale Q sous laquelle la valeur actualisée des actifs ”transigeables” sont des martingales.
Quels sont ces actifs ”transigeables” ? Plaçons-nous dans la peau d’un investisseur canadien. En utilisant le lemme d’Itô, nous montrons que la valeur A (t) = V (t) A (t) en dollars canadiens du compte bancaire américain satisfait
dA (t) = V (t) dA (t) + A (t) dV (t) + d h A; V i (t)
= (r U + V ) A (t) dt + V A (t) dW V (t) : (4) De même, la valeur D (t) = C (t) D (t) en dollars canadiens du compte bancaire japonais satisfait
dD (t) = C (t) dD (t) + D (t) dC (t) + d h D; C i (t) (5)
= (r J + C ) D (t) dt + C D (t) dW C (t) : (6) Mais la valeur en dollars canadiens du compte bancaire américain est aussi A (t) =
C(t)
U(t) A (t). En e¤et, U(t) 1 A (t) est la valeur en yens du compte bancaire américain et C (t) U(t) 1 A (t)
est la valeur en dollars canadiens de U(t) 1 A (t) qui est exprimé en yens. Ainsi, en utilisant le
lemme d’Itô, nous obtenons dA (t) = C (t)
U 2 (t) A (t) dU (t) + 1
U (t) A (t) dC (t) + C (t)
U (t) dA (t) + 1
2 2C (t)
U 3 (t) A (t) d h U i (t) 1
U 2 (t) A (t) d h C; U i (t)
= r U + C U + 2 U C U CU A (t) dt (7)
+ C A (t) dW C (t) U A (t) dW U (t) :
De même, la valeur en dollars canadiens du compte bancaire japonais est aussi D (t) = V (t) U (t) D (t). En e¤et, U (t) D (t) est la valeur en dollars américains du compte bancaire japonais et V (t) U (t) D (t) est la valeur en dollars canadiens de U (t) D (t) qui est exprimé en dollars américains. Ainsi, le lemme d’Itô nous permet d’écrire
dD (t) = (r J + U + V + U V U V ) D (t) dt (8) + U D (t) dW U (t) + V D (t) dW V (t) :
Finalement, C(t) 1 B (t) est la valeur en yens du compte bancaire canadien; U(t) C(t) B (t) est exprimé en dollars américains et B (t) = V (t)U(t) C(t) B (t) est la valeur en dollars canadiens du compte bancaire canadien après l’avoir changé en yens puis en dollars américains.
dB (t) = V (t) U (t)
C 2 (t) B (t) dC (t) + U (t)
C(t) B (t) dV (t) + V (t)
C(t) B (t) dU (t) + V (t) U (t)
C(t) dB (t) + 1
2
2V (t) U (t)
C 3 (t) B (t) d h C i (t) V (t)
C 2 (t) B (t) d h C; U i (t) U (t)
C 2 (t) B (t) d h C; V i (t) + 1
C(t) B (t) d h U; V i (t)
= C + V + U + r C + 2 C C U CU C V CV + U V U V B (t) dt
C B (t) dW C (t) + U B (t) dW U (t) + V B (t) dW V (t) : (9)
Notons que, puisque la valeur en dollars canadiens du compte bancaire américain s’exprime de deux façon, A (t) et A (t), ces deux processus doivent être égaux
dA (t) = (r U + V ) A (t) dt + V A (t) dW V (t) dA (t) = r U + C U + 2 U C U CU A (t) dt
+ C A (t) dW C (t) U A (t) dW U (t) :
Nous en déduisons que
r U + V = r U + C U + 2 U C U CU (10)
V W V (t) = C W C (t) U W U (t) : (11) De même, la valeur en dollars canadiens du compte bancaire japonais s’écrivant de deux façons
dD (t) = (r J + C ) D (t) dt + C D (t) dW C (t) dD (t) = (r J + U + V + U V U V ) D (t) dt
+ U D (t) dW U (t) + V D (t) dW V (t) ; nous avons
r J + C = r J + U + V + U V U V (12)
C W C (t) = U W U (t) + V W V (t) : (13) Ces quatres équations se réduisent à
V = C U + 2 U C U CU (14)
V = C U U V U V (15)
V W V (t) = C W C (t) U W U (t) : (16) Des deux premières équations, nous en déduisons que
U = C CU V U V : (17)
De la dernière, il vient
U V = Cor [W U (t) ; W V (t)]
= Cor W U (t) ; C W C (t) U W U (t)
V
= C
V
Cor [W U (t) ; W C (t)] U
V
Cor [W U (t) ; W U (t)]
= C CU U
V
= C CU ( C CU V U V )
= U V V
ce qui génère aucune information supplémentaire.
En résumé, nous avons les contraintes
U = C CU V U V (18)
U = C V U V U V : (19)
La deuxième étape consiste à déterminer la (les) mesure(s) neutre(s) au risque.
On peut exprimer les mouvements browniens corrélés en terme de mouvements browniens indépendants. À cause du type de correlation entre les mouvements browniens W V , W U et W C , la décomposition de Choleski nous permet d’écrire ces mouvements browniens comme des combinaisons linéaires de browniens indépendants :
W V (t) = a 11 B 1 (t) + a 12 B 2 (t) + a 13 B 3 (t) W U (t) = a 21 B 1 (t) + a 22 B 2 (t) + a 23 B 3 (t) W C (t) = a 31 B 1 (t) + a 32 B 2 (t) + a 33 B 3 (t) : Posons
e
B i (t) = B i (t) + Z t
0
i (s) ds; i = 1; 2; 3 et
f
W V (t) = a 11 B e 1 (t) + a 12 B e 2 (t) + a 13 B e 3 (t) = W V (t) + Z t
0
V (s) ds f
W U (t) = a 21 B e 1 (t) + a 22 B e 2 (t) + a 23 B e 3 (t) = W U (t) + Z t
0
U (s) ds W f C (t) = a 31 B e 1 (t) + a 32 B e 2 (t) + a 33 B e 3 (t) = W C (t) +
Z t
0
C (s) ds où
V (t) = a 11 1 (t) + a 12 2 (t) + a 13 3 (t)
U (t) = a 21 1 (t) + a 22 2 (t) + a 23 3 (t)
C (t) = a 31 1 (t) + a 32 2 (t) + a 33 3 (t) :
Alors
dA (t) = (r U + V V V ) A (t) dt + V A (t) df W V (t)
dA (t) = r U + C U + 2 U C U CU C C + U U A (t) dt + C A (t) df W C (t) U A (t) df W U (t)
dD (t) = (r J + C C C ) D (t) dt + C D (t) df W C (t)
dD (t) = (r J + U + V + U V U V U U V V ) D (t) dt + U D (t) df W U (t) + V D (t) df W V (t)
dB (t) = C + V + U + r C + 2 C C U CU C V CV + U V U V
+ C C U U V V B (t) dt
C B (t) df W C (t) + U B (t) df W U (t) + V B (t) df W V (t) :
Pour être en monde neutre au risque, il faut que chacune des constantes des coe¢ cients de dérive soit égale au taux sans risque canadien :
r U + V V V = r C r U + C U + 2 U C U CU C C + U U = r C r J + C C C = r C (r J + U + V + U V U V U U V V ) = r C
C + V + U + r C + 2 C C U CU C V CV + U V U V
+ C C U U V V = r C :
Sous forme matricielle, les trois premières équations nous donnent 2
4 V
0 0
0 U C
0 0 C
3 5
2 4 V U
C
3 5 +
2 4
r U + V r C
r U + C U + 2 U C U CU r C r J + C r C
3 5 =
2 4
0 0 0
3 5 :
La solution est 2 4 V U
C
3 5 =
2 4
1
V
(r U + V r C )
1
U
(r J r U + U 2 U + C U CU )
1
C
(r J + C r C )
3 5 :
Il faut aussi que les primes de risque liées aux W; ( V ; U ; C ) ; existent. Pour cela
V ; U et C sont strictement positifs. Comme V ; U ; C sont constantes, il en sera de
même pour ( 1 ; 2 ; 3 ) : La condition de Novikov est donc satisfaite. On peut donc ap-
pliquer le théorème de Girsanov nous permettant de construire une mesure Q sous laquelle
B e 1 ; B e 2 ; B e 3 sont des Q mouvements browniens standards. Il en résulte que W f V ; f W U ; f W C sont des Q mouvements browniens possédant la même structure de corrélation que les P mouvements browniens W V ; W U ; W C : Il est à noter que puisqu’il existe une unique solu- tion pour les primes de risques V ; U ; C , la mesure neutre au risque est unique et le marché est par conséquent complet.
Maintenant, pour obtenir les conditions pour l’absence d’arbitrage, nous allons remplacer V ; U ; C dans les quatrième et cinquième équations.
Remplaçons V ; U et C dans la quatrième équation et simpli…ons: nous obtenons
V U V + U C CU = 0: (20)
En remplaçant U ; V et C dans la cinquième équation, il vient 0 = 2 C 2 C U CU C V CV + U V U V + 2 U
= C ( C U CU V CV ) + U ( V U V + U C CU )
| {z }
=0
:
Il faut donc que
C U CU V CV = 0: (21)
Pour que la mesure neutre au risque existe, il faut que la volatilité du taux de change yen/dollar americain satisfasse
U = C CU V U V et U = C V CV
CU
:
Nous trouvons donc une contrainte sur les paramètres du modèle nous assurant l’absence d’arbitrage.
On trouve donc les EDS des taux de change sous cette mesure Q :
dU (t) = r U r J + 2 U C U CU U (t) dt + U U (t) df W U (t)
= (r U r J U V U V ) U (t) dt + U U (t) df W U (t) dC (t) = (r C r J ) C (t) dt + C C (t) df W C (t)
dV (t) = (r C r U ) V (t) dt + V V (t) df W V (t) :
Pour faire la tari…cation des droits contingents, il su¢ t de calculer l’espérance, sous la mesure neutre au risque, de la valeur actualisée des ‡ux monétaires engendrés par le droit. Ainsi, si le droit contingent paie un montant aléatoire X à la date T , alors pour tout 0 t T , la valeur du droit contingent est
M t = e r
C(T t) E Q [X] :
3.2 Le détail des calculs
Le modèle de marché n’admet pas d’opportunités d’arbitrage s’il existe au moins une mesure martingale équivalente.
La première étape consiste à trouver les actifs qui sont transigeables pour un investisseur canadien. Ainsi, la valeur A (t) en dollars canadiens du compte bancaire américain satisfait
dA (t) = dV (t) A (t)
= V (t) dA (t) + A (t) dV (t)
= V (t) r U A (t) dt + A (t) ( V V (t) dt + V V (t) dW V (t))
= (r U + V ) A (t) dt + V A (t) dW V (t) :
De même, la valeur D (t) en dollars canadiens du compte bancaire japonais satisfait
dD (t) = dC (t) D (t)
= C (t) dD (t) + D (t) dC (t)
= C (t) r J D (t) dt + D (t) ( C C (t) dt + C C (t) dW C (t))
= (r J + C ) D (t) dt + C D (t) dW C (t) :
Mais A (t) = C(t) U(t) A (t). En e¤et, U(t) 1 A (t) est la valeur en yens du compte bancaire
américain et C (t) U(t) 1 A (t) est la valeur en dollars canadiens de U(t) 1 A (t) qui est exprimée
en yen. Ainsi
dC (t) A (t) = C (t) dA (t) + A (t) dC (t)
= C (t) r U A (t) dt + A (t) ( C C (t) dt + C C (t) dW C (t))
= (r U + C ) C (t) A (t) dt + C C (t) A (t) dW C (t) d 1
U (t) = 1
U 2 (t) dU (t) + 1 2
1
U 3 (t) d h U i (t)
= 1
U 2 (t) ( U U (t) dt + U U (t) dW U (t)) + 1 U 3 (t)
2
U U 2 (t) dt
= U + 2 U 1
U (t) dt U 1
U (t) dW U (t) dA (t) = d C (t)
U (t) A (t)
= 1
U (t) dC (t) A (t) + C (t) A (t) d 1
U (t) + d CA; 1 U (t)
= 1
U (t) ((r U + C ) C (t) A (t) dt + C C (t) A (t) dW C (t)) +C (t) A (t) 1
U (t) U + 2 U dt U dW U (t)
C U C (t) A (t) 1
U (t) d h W C ; W U i (t)
= r U + C U + 2 U C U CU A (t) dt + C A (t) dW C (t) U A (t) dW U (t) :
De même D (t) = V (t) U (t) D (t). En e¤et, U (t) D (t) est la valeur en dollars américains du
compte bancaire japonais et V (t) U (t) D (t) est la valeur en dollars canadiens de U (t) D (t)
qui est exprimée en dollars américains. Ainsi
dU (t) D (t) = CU (t) dD (t) + D (t) dU (t)
= U (t) r J D (t) dt + D (t) ( U U (t) dt + U U (t) dW U (t))
= (r J + U ) U (t) D (t) dt + U U (t) D (t) dW U (t) dD (t) = dV (t) U (t) D (t)
= V (t) dU (t) D (t) + U (t) D (t) dV (t) + d h V; U D i (t)
= (r J + U ) D (t) dt + U D (t) dW U (t) +D (t) ( V dt + V dW V (t))
+ U V D (t) d h W V ; W U i (t)
= (r J + U + V + U V U V ) D (t) dt + U D (t) dW U (t) + V D (t) dW V (t) :
En résumé, nous avons
dA (t) = (r U + V ) A (t) dt + V A (t) dW V (t) dA (t) = r U + C U + 2 U C U CU A (t) dt
+ C A (t) dW C (t) U A (t) dW U (t) dD (t) = (r J + C ) D (t) dt + C D (t) dW C (t) dD (t) = (r J + U + V + U V U V ) D (t) dt
+ U D (t) dW U (t) + V D (t) dW V (t) :
La deuxième étape consiste à déterminer la (les) mesure(s) neutre(s) au risque. Nor- malement, on devrait décomposer les mouvements browniens corrélés en des combinaisons linéaires. Par contre, je sais par expérience que, dans ce cas-ci, cela revient à travailler directement avec les browniens corrélés. Le détail avec les mouvements browniens indépen- dants est donné à la suite de la solution.
Posons
W f V (t) = W V (t) + V ;
f W U (t) = W U (t) + U ;
f W C (t) = W C (t) + C :
nous avons choisi une prime de risque constante à cause du type de modèle avec lequel nous travaillons. Comme nous le verrons plus tard, même si nous avions choisi des primes de risques stochastiques, la solution de nos équations nous ramènera à des primes constantes.
Nous obtenons
dA (t) = (r U + V V V ) A (t) dt + V A (t) df W V (t)
dA (t) = r U + C U + 2 U C U CU C C + U U A (t) dt + C A (t) df W C (t) U A (t) df W U (t)
dD (t) = (r J + C C C ) D (t) dt + C D (t) df W C (t) dD (t) = (r J + U + V + U V U V U U V V ) D (t) dt
+ U D (t) df W U (t) + V D (t) df W V (t) :
Pour être en monde neutre au risque, il faut que chacun des coe¢ cients de dérive soit proportionnel au taux sans risque canadien :
r U + V V V = r C r U + C U +
2 U
2 C U CU C C + U U = r C r J + C C C = r C (r J + U + V + U V U V U U V V ) = r C : Sous forme matricielle, les trois premières équations nous donnent
2 4 V
0 0
0 U C
0 0 C
3 5
2 4 V U
C
3 5 +
2 4
r U + V r C
r U + C U + 2 U C U CU r C r J + C r C
3 5 =
2 4
0 0 0
3 5
La solution est 2
4 V U
C
3 5 =
2 4 V
0 0
0 U C
0 0 C
3 5
1 2 4
r U + V r C
r U + C U + 2 U C U CU r C r J + C r C
3 5
= 2 4
1
V
0 0
0 1
U
1
U
0 0 1
C
3 5
2 4
r U + V r C
r U + C U + 2 U C U CU r C r J + C r C
3 5
= 2 4
1
V
(r U + V r C )
1
U
(r U + C U + 2 U C U CU r C ) + 1
U
(r J + C r C )
1 (r J + C r C )
3
5
Remplacons dans la quatrième équation:
r C = r J + U + V + U V U V U
1
U
r U + C U + 2 U C U CU r C + 1
U
(r J + C r C )
V
1
V
(r U + V r C )
= U V U V + 2 U C U CU + r C
ce qui implique que
U V U V + 2 U C U CU = 0
V U V + U = C CU
On trouve ici la condition pour l’absence d’arbitrage. Pour que la mesure neutre au risque existe, il faut que la volatilité du taux de change yen/dollars US satisfasse
U = C CU V U V : (22)
Il faut aussi que les primes de risque existent 2
4 V U
C
3 5 =
2 4
1
V
(r U + V r C )
1
U
(r U + C U + 2 U C U CU r C ) + 1
U
(r J + C r C )
1
C
