= = = = ez ez ez ez = = 2 2 ez ez = = ez ez

Corrigé des exercices 5 et 6

Exercice 5 :

Pour chacun des nombres complexes ci-dessous, placer, avec précision, son image dans le plan complexe :

𝑧_"= 𝑒^%&'

Corrigé :

Pour et (cercle de rayon 1) Pour et 𝑧_"= 𝑒^%&' (cercle de rayon 1)

Pour (cercle de rayon 2) Pour et (cercle de rayon ⁽_%)

1 3 p

=eⁱ

z ₂ ³

- p

=e ⁱ

z z₃ =e^-ip

6 5

6 2

p

=

i

e

z ₅ ⁴

2 1 ^p

= eⁱ

z 2

6 7

-p

= e i

z

1 3 p

=eⁱ

z ₂ ³

-p

=e ⁱ

z z₃ =e^-ip

6 5

6 2

p

= e ⁱ

z ₅ ⁴

2 1 ^p

= eⁱ

z 2

6 7

-p

= e i

z

Exercice 6 :

Donner la forme exponentielle des nombres complexes suivants :

Corrigé :

• |𝑧_"| = *1^%+ (−1)^% = √2

2 cos 𝜗_" = ⁽

√%=^√%_% sin 𝜗_" = − ⁽

√%= −^√%

%

donc 𝜗_" = −^'_"[2𝜋]

Donc 𝑧_" = √2 <cos <−^'_"= + 𝑖 sin <−^'_"== = √2𝑒^?&@A

• |𝑧_B| = C√3^%+ 1^% = √3 + 1 = √4 = 2

2cos 𝜗_B =^√F_% sin 𝜗_B =⁽

%

donc 𝜗_B =^'_G[2𝜋]

Donc 𝑧_B = 2 <cos <^'_G= + 𝑖 sin <^'_G== = 2𝑒^&@H

• |𝑧_G| = C1^%+ (−√3)^% = √1 + 3 = √4 = 2

2 cos 𝜗_G =⁽_%

sin 𝜗_G = −^√F_% donc 𝜗_G = −^'_F[2𝜋]

Donc 𝑧_G = 2 <cos <−^'_F= + 𝑖 sin <−^'_F== = 2𝑒^?&@I

• |𝑧_J| = C√3^%+ 3^% = √3 + 9 = √12 = 2√3

2 cos 𝜗_J = _%√F^√F =⁽_%

sin 𝜗_J =_%√F^F =_%√F×√F^F×√F = ^F√F_%×F=^√F_% donc 𝜗_J =^'_F[2𝜋]

Donc 𝑧_J = 2√3 <cos <^'_F= + 𝑖 sin <^'_F== = 2√3𝑒^&@I

• 𝑧_N =^?(?&√F_% = −⁽_%−^√F_% 𝑖

|𝑧_N| = C<−⁽_%=^%+ <−^√F_%=^% = C⁽_"+^F_" = C^"_" = √1 = 1

Ocos 𝜗_N = −

P Q ( = −⁽_% sin 𝜗_N = −

√I Q

( = −^√F_%

donc 𝜗_N = −^%'_F [2𝜋]

Donc 𝑧_N = 1 <cos <−^%'_F= + 𝑖 sin <−^%'_F== = 𝑒^?%&@I i

z₄ =1- z₅ = 3+i z₆ =1-i 3 z₇ = 3+3i

2 3 1

8

z =- -i