Justier que ∀a &isin

Texte intégral

(1)Examen : Baccalauréat blanc Session : Juin 2020 Séries : C/E Épreuve : Mathématiques Durée : 4h Coef :5(C)/4(E). Ministère des Enseignements Secondaires Oce du Baccalauréat du Cameroun Academic College of Excellence. L'épreuve comporte trois exercices et un problème étalés sur deux pages numérotées de 1 à 2.. Exercice 1 [3 Points] Soit P un entier naturel premier. i i P CPi−1 −1 = iCP , puis que P divise CP .. 2. Justier que ∀a; b ∈ Z, (a + b)P ≡ aP + bP [P ]. 3. Justier que ∀a ∈ N, aP ≡ a[P ].. om. 1. Montrer que ∀i ∈ N∗ /i < P,. 4. Déduire que ∀a ∈ N∗ , si a et P sont premiers entre eux, alors aP −1 ≡ 1[P ].. xa .c. 5. Déterminer le reste de la division euclidienne de 7126 par 127.. Exercice 2 [3 Points]. 1pt] [0,5pt] [0,5pt] [0,5pt] [0,5pt] [. te.   x0 = 4 x + 3 y − 16 5 5 5 Soit f une application du plan dans lui-même dont l'expression analytique est 3 4 2  y 0 = x − y − 5 5 5 1. Déterminer l'écriture complexe de f . [. .. 0,5pt] [0,75pt] [0,25pt] [1,5pt]. je. 2. Montrer que f est une isométrie. su. 3. Déterminer l'ensemble des points invariants par f . 4. Déduire la nature exacte et les éléments caractéristiques de f. Exercice 3 [4 Points]. Le plan est muni d'un repère orthonornmé direct (0; I; J). Soient S la similitude directe plane de centre √. π 2 et d'angle − . On note (E) l'ensemble des points M (x; y) du plan tels que 4 2 2 5x + 5y − 24x − 24y + 6xy + 20 = 0 et (E 0 ) l'image de (E) par S .. A(1 − i), de rapport. 1pt] [1,5pt]. 1. Déterminer l'expression analytique de S .. [. 2. Déduire une équation de (E 0 ) et le tracer dans le repère (0; I; J).. 3. Déduire la nature et les éléments caractéristiques de (E) et le tracer sur la même gure précédente. [. 1,5pt]. Academic College of Excellence. Évaluation. 1. trimestre. 3. 1/2. [email protected]. juin. 2020.

(2) PROBLEME [10 Points] PARTIE A : [2,5 Points] On considère les équations diérentielles (E) : y 00 + 2y 0 + y = 2e−x et (E 0 ) : y 00 + 2y 0 + y = 0. 1. Résoudre (E 0 ). 0,5pt] [0,5pt]. [. 2. Vérier que la fonction g dénie par g(x) = x2 e−x est une solution particulière de (E). 3. Soit h une fonction deux fois dérivable sur R. a) Démontrer que h est solution de (E ) si et seulement si h + g est solution de (E). b) Déterminer la solution de (E) qui admet en A(0; 4) une tangente parallèle à (OI). 0. [. 0,5pt] [1pt]. PARTIE B : [3,5 Points]. om. On considère la fonction f dénie par f (x) = (x + 2)2 e−x et (Cf ) sa courbe représentative sur un repère orthogonal (O; I; J) tel que OI = 2OJ = 2cm 1. Étudier et tracer avec soin (Cf ).. xa .c. 2. En remarquant que f est une solution de (E), déterminer une primitive F de f sur R. 3. On pose pour tout entier naturel non nul n, In =. Rn 0. (x + 2)2 e−x dx.. a) Exprimer I en fonction de n. b Étudier la convergence de la suite (I ) et interpreter graphiquement le résultat. n. te. n. PARTIE C : [4 Points]. je. n k 1X On considère la suite (un ) dénie par ∀n ∈ N , un = 3 (k + 2n)2 e− n . n k=1. su. [. 0,5pt] [1pt]. ∗. n. n−1. 1X k 1X k 9 − 4e f( ) = f( ) + . n k=1 n n k=0 n ne Z k+1 n 1 k+1 1 k ∗ 2. Démontrer que ∀n ∈ N , ∀k ∈ N/k < n, f ( )≤ f (x)dx ≤ f ( ). k n n n n n R 3. Justier que ∀n ∈ N∗ , un ≤ 01 f (x)dx ≤ un + 4e−9 . ne. 1. Montrer que ∀n ∈ N∗ , un =. 1,5pt] [0,5pt]. [. 4. Déduire que ∀n ∈ N∗ , I1 + 9−4e ≤ un ≤ I1 et étudier la convergence de la suite (un ). ne. 1 pt]. [. 1pt] [1pt] [1pt] [. Examinateur : NGUEFO Amour , PLEG mathématiques. Academic College of Excellence. Évaluation. 1. trimestre. 3. 2/2. [email protected]. juin. 2020.

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Justier que ∀a &isin