Solution du Problème D172
Dans un repère Oxy, on trace deux cercles de centres O et O’ et de rayons R < R’ tangents extérieu- rement en un point T. D’un point A extérieur aux deux
cercles et du côté des xnégatifs, on mène deux droites D et D’ tangentes au cercle de centre O qui coupent le cercle de centre O’ en quatre points dont on retient les points B et C les plus éloignés de A. Démontrer que les bissectrices des angles BTC, ABC et ACB sont concourantes.
Source :Dominique ROUX (bulletin Géométrie APMEP)
Solution.Partons d’un triangle ABT et d’un point M de la bissectrice intérieure issue du sommet T.
Soit N l’intersection de la droite symétrique de AB par rapport à AM avec la tangente en T au cercle circonscrit, et soit m l’intersection de la normale en T avec la bissectrice de l’angle TNz.
Alors l’abscisse de m est une fonction rationnel- le du second degré de l’abscissede M.
[Si, dans le repère d’origine T, on pose M = (λ, kλ), la recherche du projeté de B sur AM introduit le second degré en λet le reste du calcul est homographique… car l’angle(AM, Nm) est constant.]
Si la construction analogue [N’, m’] après échange de A et B donne le même point m, ce point sera le centre d’un cercle tangent convenable ; il suffit donc de vérifier l’identité des deux fonctions rationnelles pour cinq valeurs de l’abscisse de M…
— Trois positions de M donnent aisément les mêmes points m et m’ : les centres des cercles inscrit et exinscrit à ABT (pour lesquels m = T) et le pied de la bissectrice sur AB (par le choix de construction des bissectrices Nm et Nm’).
— La position à l’infini de M sur la bissectrice amène les points met m’à l’infinisur Tx: AM et BM sont parallèles à la bissectrice, mais alors AN et BN’ sont parallèles à la tangente en T (propriété tangentielle de l’angle inscrit…).
— Enfin le point T est aussi une position pour laquelle les point m et m’sont les mêmes : les tri- angles ABT, ATN et TBN’ sont semblables, si bien que TN’ = TN et que les angles BN’T et ANT sont égaux...
[On notera que c’est d’ailleurs le seul des cinq points particuliers qui ramène effectivement le problème à la droite Txperpendiculaire à la tangente en T.]
B
A
T m M
N z
x
y’
y
B
A
T
m N
x y
N’
m’
