Problème sur les angles dièdres du tétraèdre

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

T. C LAUSEN

Problème sur les angles dièdres du tétraèdre

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 5 (1846), p. 374-375

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(2)

PROBLÈME

sur les angles dièdres du tétraèdre.

par M. T. Clausen ( Crelle, t. VIII, p. 138, 1832). (•)

Problème. Trouver une relation entre les six angles dièdres d'un tétraèdre.

Solution. Soient A , B , C , D les quatre points de contact des faces du tétraèdre avec la sphère inscrite ; joignant ces points deux à deux par les arcs de grands cercles AB, BC,

€ A , CD, A D , B D , désignés respectivement par a, a\ a", p, |S', p", on obtient quatre triangles sphériques dont les côtés sont les suppléments des angles dièdres du tétraèdre ; soient 0,0', &" les trois angles sphériques formés en D ; on a, d'après les formules connues dans les triangles formés par les côtés

COS a — COS fi'COS P"

'C O S O =

De même .

. COSa — COS^'COS^ „ COSa''— COS S COS6' c o s 0 a s

riy

^d

p '

^coss

O Le même problème a élé résolu par plusieurs. Voir Gergonne, t. VI, p. 2&3 ; la solution de M. Clausen renferme une simplification finale.

(3)

— 375 — or o - f e'-|-e"=2!t.

Donc 1—cosaô—cosa6'—cesflô"-f- 2cos ô cos 6fcos ô"= o.

Et de l à , en mettant pour k s cosinus, leurs valeurs : sin'p sina|3'sinap"— sin'P [cos a — cos p'cos pr]a~

—-sina£'[cosa'—cosp cosp"]'— sinap" [cos*"— cosp cosp'J'-f

-t-2[COSa—COSp'cOSp''] [cOSa'—COSpCOS?' ] [COSa"—-COSpCOSp'jsrO.

o u , d'après une facile réduction :

1 —- COS*a — COSV—C0S³a"4-2C0SaC0Sa'C0Sa"—SÎn'aCOS'P —

—sinVcosap'--sinVW p"+2cos ^'cosp'f (cos a —- cos a'cos J')+

+ 2COS p"C0S p (COS a — COS a"COS a) +

4 - 2C0SPC0Sp'(C0Sa"—COSaCOSa') = 0 . (1) Désignons par X, V, \n les angles opposés aux côtés a, a', a" dans le triangle formé par ces côtés, il vient :

cos a — cosa'cos<z"= cosX sina'sin a", COSa'— COSa COSaf'= COsVsilla"sina ,

cos*"— cosa cosa' = cosV'sinasin a!.

Faisons ji = s î n - ( « + «' + a " ) ; & = s i n a c o s p ; p.' = sin- (—a+a'+a") ; U= SÎn afCOSP' ;

jiw= sin - (a — «r+ a") ; b"= s\n*"cos p" ;

|x'"=sinW^ + a'-a").

A

La formule (t) devient, d'après des relations connues : 69+6'a+6"î—26'6''cosX—266"cosV—266'cosVf— 4 y . y . y y " = 0 -f

relation cherchée.

On a d'ailleurs .

,