GEOMETRIE DANS L’ESPACE
I. RAPPELS SUR LE PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN
a) Différentes expressions du produit scalaire
Soient u et
v deux vecteurs du plan.
Si l’un des vecteurs est nul alors le produit scalaire est nul.
Si ces deux vecteurs sont non nuls, le produit scalaire de uρ et vρ
est le réel :
u
.
v = AB
.
AC = AB × AC × cos( AB;AC)
AB et
AC étant deux représentants respectifs de
u et
v.
Remarque : Ce produit scalaire est indépendant des représentants. On peut donc choisir des représentants de même origine.
Propriétés :
° Si H est le projeté orthogonal de C sur (AB) et K le projeté orthogonal de B sur (AC), on a :
AB .
AC = AB × AH = AC × AK
° u et vr r
sont orthogonaux si, et seulement si,
u
.
v = 0Exercice n°1 :
Soit ABCD un rectangle tel que AB = 4 et AD = 3.
Soient A’ et C’ les projetés orthogonaux respectifs de A et C sur (BD).
1. Calculer
BA .
BD
2. En déduire cos(ABD) puis une valeur approchée de ABD 3. Calculer.
AC .
BD et en déduire A’C’.
Exercice n°2 :
Soit ABC un triangle rectangle et isocèle en A.
I et J sont les points tels que AI = 1
3
AB et
AJ = 1 3
AC et K le milieu de [IC].
Démontrer que les droites (AK) et (JB) sont perpendiculaires.
Avec des coordonnées : Dans un repère orthonormé, si
u et
v ont respectivement pour coordonnées (x ; y) et (x’ ; y’), alors
u .
v = xx’ + yy’
| |
u| |
= x2 + y2Si A et B sont deux points du plan de coordonnées respectives A (xA ; yA ) et B (xB ; yB ) alors
(
B A)
2(
B A)
2AB= x −x + y −y
b) Équations de droites et cercles dans un plan
Définition : Un vecteur normal d’une droite est un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur directeur de cette droite.
Propriétés : Si
n (a ; b) est un vecteur normal de la droite d, alors une équation de d s’écrit sous la forme ax + by + c = 0 Réciproquement, si a et b sont deux réels non nuls, l’équation ax + by + c = 0 est l’équation d’une droite dont le vecteur de coordonnées (a ; b) est un vecteur normal.
Le cercle de centre I (a ; b) et de rayon R est l’ensemble des points M(x ; y) tels que : IM² = R² Une équation de ce cercle est (x − a)2+ (y − b)2= R2
Le cercle de diamètre [AB] est l’ensemble des points M du plan tels que : MA .
MB = 0
Exercice n°3 :
Dans un repère orthonormé, on donne les points : A( 1 ; 3 ) B( 2 ; 5 ) C( –1 ; 4) 1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle en A.
2. Déterminer une équation du cercle circonscrit au triangle ABC.
3. Déterminer une équation de la médiatrice de [BC].
c) Distance d’un point à une droite dans le plan
Définition : Soit d une droite du plan et M un point quelconque du plan.
On appelle distance du point M à la droite d la distance MH où H est le projeté orthogonal de M sur d.
Propriété : Soient d une droite d’équation ax + by + c = 0 avec a et b deux réels non nuls et A(xA ; yA) un point du plan. La distance du point A à la droite d est égale à axA + byA + c
a2 + b2
Exercice n°4 :
Dans un repère orthonormé, on donne la droite d d’équation 3x − 4y + 7 = 0 et le point A( –2 ; 1) 1. Déterminer la distance de A à la droite d.
2. Vérifier que les points B( –1 ; 1) et C( 1 ; 2,5) appartiennent à la droite d.
3. Déterminer l’aire du triangle ABC et en déduire la distance h de B à la droite (AC).
II. PRODUIT SCALAIRE DE L’ESPACE
a) Expressions du produit scalaire
b) Orthogonalité dans l’espace
Deux vecteurs
u et
v sont orthogonaux si et seulement si
u .
v = 0 Deux droites (D) et (D’) de vecteurs directeurs respectifs
u et
v sont orthogonales si et seulement si
u .
v = 0 Une droite (D) de vecteur directeur u et un plan (P) de base (
v ;,
w) sont perpendiculaires si et seulement si
u .
v = 0 et u .
w = 0
Exercicen°5 :
Soit ABCDEFGH un cube. Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (CFH).
c) Vecteur normal
Par définition, un vecteur directeur d’une droite perpendiculaire au plan (P) est appelé vecteur normal à (P).
Soit A un point de l’espace et
n un vecteur non nul.
L’ensemble des points M de l’espace tel que AM .
n =0 est le plan passant par A et de vecteur normal n.
Exercice n°6 :
Soient O un point de l’espace,
n un vecteur unitaire et (P) le plan passant par O et orthogonal à n.
On désigne par H le projeté orthogonal d’un point M sur le plan (P).
Exprimer
OH à l’aide des vecteurs OM et
n
Normes et angles Projection orthogonale
Si u et
v sont non nuls
u .
v = u ×
v × cos( BAC)
Si
u est non nul
u .
v = AB × AH
où H est le projeté orthogonal de C sur (AB)
A
B C
C H
B
(P) u
v
u A
v
A
III. GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS L’ESPACE
Une base ( i ;
j ;
k) de l’espace est une base orthonormée si les vecteurs sont unitaires et orthogonaux deux à deux.
Avec
u (x ;y ; z), alors
u = x2 + y2 + z2
Avec A (xA ; yA ; zA) et B (xB ; yB ; zB) : AB=
(
xB−xA) (
2 + yB−yA) (
2+ zB−zA)
2 .Exercice n°7 :
Dans le repère orthonormé on considère les points : A(3 ; 1 ; 5) , B(3 ; 5 ; 1) et C(–1 ; 5 ; 5).
Démontrer que le triangle ABC est équilatéral.
a) Équation cartésienne d’un plan
Propriété :
Dans un repère orthonormé, tout plan admet une équation de la forme ax + by + cz + d = 0 où a, b, c et d sont des réels tels que a, b et c ne sont pas tous nuls.
Le vecteur
n(a ; b ; c)est un vecteur normal à ce plan.
Réciproquement, soient a, b, c et d quatre réels tels que a, b et c ne sont pas tous nuls.
Dans un repère orthonormé, l’ensemble (E) des points M(x ; y ; z) de l’espace vérifiant ax + by + cz + d = 0 est un plan de vecteur normal
n(a ; b ; c)
Exercice n°8 :
L’espace est muni d’un repère orthonormé (O ; i ;
j ; k).
Donner une équation cartésienne du plan (P) passant par le point A(–2 ; 1 ; 3) et orthogonal à (BC) avec B(1 ; –2 ; 2) et C(4 ; 1 ; –1)
b) Distance d’un point à un plan
Soient (P) le plan d’équation ax + by + cz + d = 0 et M0 (x0 ; y0 ; z0) un point de l’espace.
La distance de M0 à (P) est donnée par d(M0 ; P) =
ax0 + by0 + cz0 + d a2 + b2 + c2 Exercice n°9 :
Calculer la distance du point A(5 ; 2 ; –3) au plan (P) d’équation : x + 4y + 8z + 2 = 0
IV. Caractérisations barycentriques
a) Rappels
Propriété – Définition : Soit A , B et C trois points de l’espace, a , b et c trois réels tels que a + b + c ≠ 0 . Il existe un unique point G vérifiant : a GA + b → GB + c → GC = → →0
Ce point G est appelé barycentre de ( A , a ) , ( B , b ) , ( C , c )
Homogénéité : Le barycentre ne change pas lorsqu’on multiplie les coefficients par un même nombre non nul Iso barycentre : Si a = b = c ( ≠ 0 ) , G est encore appelé isobarycentre de A , B et C
Propriété fondamentale : pour tout point M du plan : a MA + b→ MB + c → MC = (a + b + c ) → MG →
Coordonnées : Dans un repère ( O; →i , →j ) , on déduit facilement de la formule ci-dessus les coordonnées de G xG = 1
a + b + c ( ax A + bx B + cxc ) et yG = 1
a + b + c ( ay A + by B + cyc )
Barycentre : Si on remplace deux points pondérés ( A , a ) et ( B , b ) ( avec a + b ≠ 0 ) par leur barycentre H affecté du coefficient a + b , alors le barycentre de ( A , a ) , ( B , b ) , ( C , c ) est aussi le barycentre de ( C , c ) , ( H , a + b ) .
b) Droites, plans et barycentre
La droite (AB) est l’ensemble des barycentres des points A et B.
Le segment [AB] est l’ensemble des barycentres des points A et B affectés de coefficients de même signe.
Le plan (ABC) est l’ensemble des barycentres des points A, B et C.
L’intérieur du triangle, côtés compris, est l’ensemble des barycentres des points A, B et C affectés de coefficients de même signe.
V. REPRESENTATION PARAMETRIQUE D’UNE DROITE
Définition : La droite (D) passant par A(x0 ; y0 ; z0) et de vecteur directeur
u (α ; β ; γ) est l’ensemble des points M(x ; y ; z) tels que :
( )
000
x t x
S y t y t .
z t z
= α +
= β + ∈
= γ +
¡
Le système (S) est appelé une représentation paramétrique de la droite (D) dans le repère (O ; i ;
j ; k) et on dit que t est le paramètre.
Exercice n°10 :
Donner une représentation paramétrique de la droite passant par les point A( –1 ; 2 ; –3) et B(1 ; –1 ; 1) Exercice n°11 :
Considérons les droites : (d)
x t 1 y 2t 3 t z t 2
= +
= − ∈
= − +
¡ et (d’)
x 3t 2 y t 1 t z t 1
= +
= − − ∈
= +
¡ . Étudier l’intersection des deux droites (d) et (d’), si elle existe.
(P)
VI. Intersections de droites et de plans
a) Intersection de deux plans
Le point de vue géométrique :
2 plans sont parallèles ssi leurs vecteurs normaux sont parallèles.
(P1) et (P2) confondus (P1) et (P2) strictement parallèles (P1) et (P2) sécants
Le point de vue algébrique :
Lorsque (a ; b ; c) et (a’ ; b’ ; c’) ne sont pas proportionnels, l’ensemble des points M(x ; y ; z) de l’espace tels que :
( )
S ax by cz d 0a'x b'y c'z d' 0
+ + + =
+ + + =
est une droite que l’on dit « définie par le système (S) des deux équations »
Exercice n°12 :
Considérons les plans d’équations : (P) : 2x + y − z − 2 = 0 et (P’) : x + 3y + 7z − 11 = 0 1. Démontrer que les deux plans sont sécants.
2. Donner une représentation paramétrique de la droite (d), intersection de ces deux plans.
Exercice n°13 :
Dans un repère orthonormé (O ; i :
j ;
k) ; les plans (P), (Q) et (R) ont respectivement pour équations cartésiennes x + y + z + 3 = 0 ; 2x + 2y + 2z + 7 = 0 ; 3x − y + 2 = 0
1. Déterminer un vecteur normal à chaque plan.
2. Étudier l’intersection des plans (P) et (Q).
3. Étudier l’intersection des plans (P) et (R).
b) Intersection d’un plan (P) et d’une droite ( ∆∆∆∆ )
(∆) est contenue dans (P) (∆) est strictement parallèle à (P) (∆) et (P) sont sécants
(∆)
(P) (∆)
x A (P1)
(P2)
(P) (∆)
(P1) = (P2) (P1)
(P2) (d)
Exercice n°14 :
Dans un repère orthonormé (O ; i :
j ;
k) , le plan (P) a pour équation : 5x + y − z + 3 = 0 et la droite (d) pour représentation paramétrique :
x t
y 1 6t t z 3 t
=
= − ∈
= −
¡ . 1. Étudier l’intersection de la droite (d) et du plan (P).
2. Étudier l’intersection de la droite (d) passant par A(2 ; 1 ; –4) de vecteur directeur
u(2 ; –2 ; 4) et du plan (P) d’équation : x + 2y − z + 2 = 0
c) Intersection de trois plans
Le point de vue géométrique :(P), (Q) et (R) sont trois plans de l’espace.
Ils ont un seul point commun
Leur intersection est une droite Leur intersection est un plan
Le point de vue algébrique : Dans un repère orthonormé (O ;
i : j ;
k) , les plans (P), (Q) et (R) ont respectivement pour équations cartésiennes :
ax + by + cz + d = 0 ; a’x + b’y + c’z + d’ = 0 et a’’x + b’’y + c’’z + d’’ = 0, où a, b, c puis a’, b’, c’ puis a’’, b’’, c’’ ne sont pas tous les trois nuls.
Pour étudier l’intersection des trois plans, on peut résoudre le système :
ax by cz d 0 a'x b'y c'z d' 0 a "x b" y c"z d" 0
+ + + =
+ + + =
+ + + =
. Ce système, d’après le point de vue géométrique, a soit aucun triplet solution, soit un triplet solution, soit une infinité de triplets solutions.
Ils n’ont pas de point commun
(R) (Q)
(d) (P) (P)
(Q)
(d) (R) A
(P) (Q)
(R)
(R)
(R) (P)
(Q)
(d) (d’) (R)
(P)
(Q)
(d) (d’)
Exercice n°15 :
1. Dans un repère orthonormé (O ; i :
j ;
k) , le plan (P) a pour équation : 2x − y + z − 7 = 0, le plan (Q) a pour équation : x + 2y − z − 6 = 0, le plan (R) a pour équation : −x + y + 2z − 11 = 0.
Étudier l’intersection de ces trois plans.
2. Dans un repère orthonormé (O ; i :
j ;
k) ,le plan (P) a pour équation : 2x + 3y − 2z − 2 = 0, le plan (Q) a pour équation : 4x − 3y + z − 4 = 0, le plan (R) a pour équation : 2x + 12y − 7z − 2 = 0.
Étudier l’intersection de ces trois plans.
