1-S fonctions associées 1/ 4
Fonctions associées
Problématique : Une fonction 𝑢 étant connue (une des fonctions de référence par exemple), comment déduire du graphe de 𝑢 celui de fonctions, dites associées, telles que𝑥7→𝑢(𝑥) + 3ou 𝑥7→𝑢(𝑥+ 5) ou ...
Théorème : Soit 𝑢 une fonction donnée.
∙ Si𝑘 est un réel alors la fonction 𝑓 définie par𝑓(𝑥) =𝑢(𝑥) +𝑘 est telle que le graphe de 𝑓 se déduit de celui de𝑢 par la translation de vecteur 𝑘−→𝚥.
∙ Si𝛼 est un réel alors la fonction 𝑔 définie par 𝑔(𝑥) =𝑢(𝑥−𝛼)est telle que le graphe de 𝑔 se déduit de celui de𝑢 par la translation de vecteur 𝛼−→𝚤 .
∙ Si 𝛼 et 𝑘 sont deux réels alors la fonction ℎ définie par ℎ(𝑥) = 𝑢(𝑥−𝛼) +𝑘 est telle que le graphe de ℎ se déduit de celui de 𝑢 par la translation de vecteur𝛼−→𝚤 +𝑘−→𝚥 .
Exemple : En noir le graphe de la fonction 𝑢 : ℝ→ℝ définie par 𝑢(𝑥) =𝑥2 En bleu le graphe de la fonction𝑓 : ℝ→ℝ définie par 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 3 En vert le graphe de la fonction𝑔 : ℝ→ℝ définie par𝑔(𝑥) = (𝑥+ 2)2 En rougele graphe de la fonction ℎ : ℝ→ℝdéfinie par ℎ(𝑥) = (𝑥−3)2+ 1
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
1-S fonctions associées 2/ 4
Exemple : En noir le graphe de la fonction 𝑢 : ℝ→ℝ définie par 𝑢(𝑥) = 1 𝑥 En bleu le graphe de la fonction𝑓 : ℝ→ℝ définie par 𝑓(𝑥) = 1
𝑥+ 3 En vert le graphe de la fonction𝑔 : ℝ→ℝ définie par𝑔(𝑥) = 1
𝑥−4 En rougele graphe de la fonction ℎ : ℝ→ℝdéfinie par ℎ(𝑥) = 1
𝑥+ 2 −3 En turquoisele graphe de la fonction 𝑘 : ℝ→ℝ définie par 𝑘(𝑥) =
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1-S fonctions associées 3/ 4
Exemple : En noir le graphe de la fonction 𝑢 : ℝ→ℝ définie par 𝑢(𝑥) =√ 𝑥 En bleu le graphe de la fonction𝑓 : ℝ→ℝ définie par 𝑓(𝑥) = √
𝑥−2 En vert le graphe de la fonction𝑔 : ℝ→ℝ définie par𝑔(𝑥) = √
𝑥+ 3 En rougele graphe de la fonction ℎ : ℝ→ℝdéfinie par ℎ(𝑥) = √
𝑥+ 2−3 En turquoisele graphe de la fonction 𝑘 : ℝ→ℝ définie par 𝑘(𝑥) =
1 2 3 4 5
−1
−2
1 2 3 4
−1
−2
−3
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4
−1
−2
−3
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5
−1
−2
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
1-S fonctions associées 4/ 4
Théorème : Soit 𝑢 une fonction donnée.
∙ La fonction𝑓 définie par𝑓(𝑥) = −𝑢(𝑥) est telle que le graphe de 𝑓 se déduit du graphe de𝑢 par la symétrie par rapport à l’axe des abscisses.
∙ Si𝑘 est un réel positif alors la fonction 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) =𝑘𝑢(𝑥) est telle que le graphe de 𝑓 a la « même forme » que celui de 𝑢.
∙ Si𝑘 est un réel négatif alors la fonction 𝑓 définie par𝑓(𝑥) =𝑘𝑢(𝑥)est telle que le graphe de 𝑓 a la « même forme » que celui de −𝑢.
Définition : composée de deux fonctions.
Si 𝑓 et 𝑔 sont deux fonctions définies sur ℝ alors on appelle composée de 𝑓 par 𝑔 la fonction 𝑔∘𝑓 définie par
𝑔∘𝑓(𝑥) =𝑔(𝑓(𝑥) ) Exemple :
Si 𝑓(𝑥) =𝑥+ 3 et𝑔(𝑥) =𝑥2 alors 𝑔∘𝑓(𝑥) = (𝑥+ 3)2 Si 𝑓(𝑥) =𝑥+ 3 et𝑔(𝑥) =𝑥2 alors 𝑓 ∘𝑔(𝑥) =𝑥2+ 3
Remarque : de façon générale, pour que𝑔∘𝑓(𝑥)doit bien défini, il faut que𝑥∈ 𝒟𝑓 et𝑓(𝑥)∈ 𝒟𝑔.
Exemple 1 : Si 𝑓(𝑥) = 1
𝑥 et𝑔(𝑥) = 𝑥+ 3 alors
𝑔∘𝑓(𝑥) = ; et son ensemble de définition est 𝑓 ∘𝑔(𝑥) = ; et son ensemble de définition est Exemple 2 :
Si 𝑓(𝑥) = 1
𝑥 et𝑔(𝑥) = 𝑥2 alors
𝑔∘𝑓(𝑥) = ; et son ensemble de définition est 𝑓 ∘𝑔(𝑥) = ; et son ensemble de définition est Exemple 3 :
Si 𝑓(𝑥) =−2𝑥 et𝑔(𝑥) = √
𝑥alors
𝑔∘𝑓(𝑥) = ; et son ensemble de définition est 𝑓 ∘𝑔(𝑥) = ; et son ensemble de définition est Exemple 4 :
Si 𝑓(𝑥) =𝑥2 et 𝑔(𝑥) =√
𝑥 alors
𝑔∘𝑓(𝑥) = ; et son ensemble de définition est 𝑓 ∘𝑔(𝑥) = ; et son ensemble de définition est
