IV − ´Equivalence entre fonctions 1) D´efinition et premi`eres propri´et´es de l’´equivalence entre fonctions

IV − Equivalence entre fonctions ´

1) D´ efinition et premi` eres propri´ et´ es de l’´ equivalence entre fonctions

D´efinition 13 (Fonctions ´equivalentes, notation ∼)

SoientI un intervalle non vide deR,aun point deI ou une extr´emit´e deI,f:I→Retg:I→Rdeux fonctions ne s’annulant pas sur I\ {a}.

On dit que f est ´equivalente `a g au voisinage de a, et on note f(x)_x→a∼ g(x), s’il existe une fonction α:I→Rtelle que :

(1) α(x)_x→a→ 1; (2) f =αg.

Th´eor`eme 27 (Caract´erisation d’un ´equivalent via un quotient)

SoientI un intervalle non vide deR,aun point deI ou une extr´emit´e deI,f:I→Retg:I→Rdeux fonctions ne s’annulant pas sur I\ {a}.

L’assertion f(x)_x→a∼ g(x)est ´equivalente `a :

(A) f(x) g(x) _x→a→ 1;

(B) f(a) =g(a), sia∈I.

Preuve du th´eor`eme 27 : Analogue `a celle du th´eor`eme 22.

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Exemple 26 Montrer que :

3x+x²+ 2x³_x→+∞∼ 2x³ et 3x+x²+ 2x³_x→0∼ 3x.

Th´eor`eme 28 (Fonctions polynomiales et ´equivalents)

Soit (p, n)∈N² tels que p≤n. Soient a_p, a_p+1, a_p+2, . . . , a_n−1, a_n des nombres r´eels tels que a_p &= 0 et a_n &= 0.Alors on a :

1. apx^p+ap+1x^p+1+. . .+anxⁿ_x→+∞∼ anxⁿ 2. a_px^p+ap+1x^p+1+. . .+a_nxⁿ_x→−∞∼ a_nxⁿ 3. apx^p+ap+1x^p+1+. . .+anxⁿ_x→0∼ apx^p.

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Preuve du th´eor`eme 28

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Exemple 27

1. Donner un ´equivalent ^!simple^" de la fonction :

x'→13x²−4x³+ 4x⁷+ 22x¹⁵−9x¹¹ au voisinage de+∞, puis au voisinage de0.

2. Donner un ´equivalent ^!simple^" de la fonction : x'→(1 +x)⁸−1

au voisinage de0, puis proposer une g´en´eralisation de ce r´esultat.

Th´eor`eme 29 (Propri´et´es de la relation ∼

x→a)

SoientI un intervalle non vide de R,a un point deI ou une extr´emit´e de I.

1. La relation_x→a∼ est r´eflexive

Sif:I→Rest une fonction ne s’annulant pas surI\ {a}, alors : f(x)_x→a∼ f(x).

2. La relation_x→a∼ est sym´etrique

Sif:I→Retg:I→R sont deux fonctions ne s’annulant pas surI\ {a}, alors : f(x)_x→a∼ g(x) ⇒ g(x)_x→a∼ f(x).

3. La relation_x→a∼ est transitive

Sif:I→R,g:I→Reth:I→Rsont trois fonctions ne s’annulant pas surI\ {a}, alors : f(x)_x→a∼ g(x) etg(x)_x→a∼ h(x) ⇒ f(x)_x→a∼ h(x).

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Preuve du th´eor`eme 29

2) Fonctions ´ equivalentes et propri´ et´ es locales

Th´eor`eme 30 (´Equivalents et limites)

SoientI un intervalle non vide deR,aun point deI ou une extr´emit´e deI,f:I→Retg:I→Rdeux fonctions ne s’annulant pas sur I\ {a}.

Soit l∈R. Sif(x)_x→a∼ g(x), alors :

f(x)_x→a→ l ⇔ g(x)_x→a→ l.

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Preuve du th´eor`eme 30

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Remarque 7 (Admettre la mˆeme limite n’implique pas ˆetre ´equivalentes)

Si f etg sont deux fonctions d´efinies au voisinage dea∈R, admettant une limite identique ena, alors f etg ne sont pas n´ecessairement ´equivalentes en a. On peut consid´erer les fonctions

x'→x² et x'→x³ au voisinage de +∞, pour avoir un contre-exemple.

Th´eor`eme 31 (´Equivalents et signes)

SoientI un intervalle non vide deR,aun point deI ou une extr´emit´e deI,f:I→Retg:I→Rdeux fonctions ne s’annulant pas sur I\ {a}.

Soit l∈R. Sif(x)_x→a∼ g(x), alors :

f etg ont le mˆeme signe, localement en a.

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Preuve du th´eor`eme 31

3) Quelques outils pour calculer des ´ equivalents

Th´eor`eme 32 (Op´erations sur les ´equivalents)

SoientI un intervalle non vide de Retaun point de I ou une extr´emit´e deI.

1. Multiplication par une fonction

Soientf:I→R,g:I→Reth:I→R trois fonctions ne s’annulant pas surI\ {a}. Alors :

f(x)_x→a∼ g(x) ⇒ f(x)h(x)_x→a∼ g(x)h(x).

2. Produit

Soientf1:I→R,f2: I→R,g1: I→Retg2:I→Rquatre fonctions ne s’annulant pas surI\{a}. f1(x)_x→a∼ g1(x)et f2(x)_x→a∼ g2(x) ⇒ f1(x)f2(x)_x→a∼ g1(x)g2(x).

3. Inverse

Soientf:I→Retg:I→Rdeux fonctions ne s’annulant pas surI\ {a}. Alors :

1

f(x) _x→a∼ 1 g(x). 4. Quotient

Soientf1:I→R,f2: I→R,g1: I→Retg2:I→Rquatre fonctions ne s’annulant pas surI\{a}. f1(x)_x→a∼ g1(x) etf2(x)_x→a∼ g2(x) ⇒ f1(x)

f2(x)_x→a∼ g1(x) g2(x).

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Preuve du th´eor`eme 32

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Exemple 28

Donner un ´equivalent ^!simple^" de la fonction :

x'→ x²+ 3x⁴−5x⁷ 3x+ 4x⁵−10x⁹ au voisinage de +∞, puis au voisinage de0.

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Exemple 29 (Ne pas sommer d’´equivalents) On a :

x+ ln(x)_x→+∞∼ x et −x+ 1_x→+∞∼ −x+ 1 mais ln(x) + 1n’est pas ´equivalent `ax−x+ 1 = 1au voisinage de +∞.

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Exemple 30 (Ne pas appliquer une fonction `a des ´equivalents) On a :

x+ 1_x→+∞∼ x mais e^x+1 n’est pas ´equivalent `ae^x au voisinage de +∞.

Th´eor`eme 33 (´Equivalents usuels pour les fonctions)

Soient I un intervalle non vide de R,aun point de I ou une extr´emit´e deI,ε:I→R une fonction ne s’annulant pas surI\ {a}.

On suppose que :

ε(x)_x→a→ 0.

1. ln(1 +ε(x))_x→a∼ ε(x) 2. e^ε(x)−1_x→a∼ ε(x)

3. sin(ε(x))_x→a∼ ε(x)

4. cos(ε(x))−1_x→a∼ −ε(x)² 2

5. Siα∈R,(1 +ε(x))^α−1_x→a∼ α ε(x).

Ce th´eor`eme est admis pour le moment.

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Exemple 31

1. Donner un ´equivalent ^!simple^" de la fonction :

x'→ln Å

1− 2 x ã

au voisinage de+∞et en d´eduire la limite ´eventuelle de : Å

1− 2 x

ãx

quandxtend vers +∞.

2. Donner un ´equivalent ^!simple^" de la fonction :

»1 +xln(x) au voisinage de0⁺.

3. Donner un ´equivalent ^!simple^" de la fonction :

x'→»

1 +xln(x)−1 au voisinage de0⁺ et en d´eduire la limite ´eventuelle de :

!1 +xln(x)−1

√x quandxtend vers 0⁺.

4. ´Etudier le comportement asymptotique de la fonction :

x'→ cos(ln(x))−1 x−1 quandxtend vers 1.

4) Un lien entre ´ equivalence et n´ egligeabilit´ e

Th´eor`eme 34 (Un lien entre ´equivalence et n´egligeabilit´e)

SoientI un intervalle non vide deR,aun point deI ou une extr´emit´e deI,f:I→Retϕ:I→Rdeux fonctions ne s’annulant pas sur I\ {a},h: I→Rune fonction.

Alors on a :

f =ϕ+h h =

x→ao(ϕ)







⇒ f _x→a∼ ϕ.

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Preuve du th´eor`eme 34

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Exemple 32

1. Donner un ´equivalent ^!simple^" de la fonction :

x'→x+ sin(x) au voisinage de+∞.

2. Donner un ´equivalent^!simple^" de la fonction : Donner un ´equivalent^!simple^" de la fonction :

x'→ln(x) +x+ 1 au voisinage de0⁺.

3. Donner un ´equivalent ^!simple^"de la fonction :

x'→√ xsin

Å1 x

ã +x au voisinage de+∞.