Devoir maison n°3

Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015

D. Blottière Mathématiques

Devoir maison n°3

Pour le lundi 5 janvier.

Le barème prendra significativement en compte :

• la présentation ;

• la clarté des explications ;

• le soin porté à l’argumentation des réponses ;

• la justesse du vocabulaire et des symboles employés.

Exercice 1 Soit l’équation

(E) : ch(x)=3 d’inconnuex∈R.

1. En considérant la courbe représentative de la fonction ch, déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation (E).

2. Résoudre l’équation (E).

Exercice 2 1. Démontrer

∀x∈R^∗, th(x)= 2

th(2x)− 1 th(x). 2. En déduire la valeur de

Sn(x) :=

n−1

X

k=0

2^kth³ 2^kx´ oùx∈R^∗etn∈N^∗.

Exercice 3 Soit la fonction

f:x7→Arcsin³ 2xp

1−x²´ . 1. Déterminer le domaine de définitionD_f def.

2. Étudier la parité def.

3. Démontrer quef est dérivable surD_f\n

−1,−

p2 2,^p₂²,1o

. 4. Calculerf^′(x), pour toutx∈D_f\n

−1,−

p2 2 ,^p₂²,1o

.

5. En déduire une expression def(x) en fonction de Arcsin(x), pour toutx∈D_f. On distinguera plusieurs cas.

6. En remarquant que tout réelxappartenant à [−1,1] peut s’écrire sous la forme x=sin(t)

pour un (unique) réelt∈ h

− π 2,π

2

i, proposer une autre démonstration du résultat obtenu à la question 5.