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2 Matrices de format n × p

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Texte intégral

(1)

Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015

D. Blottière Mathématiques

Chapitre 9 Matrices

Table des matières

1 Notations 2

2 Matrices de formatn×p 2

3 Structure deK-espace vectoriel surMn,p(K) 3

3.1 Addition dansMn,p(K) . . . 3

3.2 Multiplication d’une matrice deMn,p(K) par un scalaire . . . 4

3.3 Combinaisons linéaires de matrices de formatn×p . . . 5

4 Produit matriciel 6 5 Matrices carrées 9 5.1 LaK-algèbre (Mn(K),+,·,×) . . . 9

5.2 Matrice identité . . . 9

5.3 Puissances d’une matrice carrée . . . 10

5.4 Formule du binôme de Newton pour deux matrices qui commutent . . . 10

6 Matrices diagonales 10 7 Matrices triangulaires (supérieures) 12 8 Matrices élémentaires 13 8.1 Matrices de permutation . . . 13

8.2 Matrices de dilatation . . . 14

8.3 Matrices de transvection . . . 15

8.4 Traduction matricielle de l’algorithme de Gauß-Jordan . . . 16

9 Matrices carrées inversibles 17 10 Deux méthodes pour calculer l’inverse d’une matrice inversible 20 10.1 Calcul de l’inverse par la résolution d’un système linéaire à paramètre . . . 20

10.2 Calcul de l’inverse par la méthode du pivot de Gauß . . . 21

11 Transposition 22

(2)

1 Notations

• La lettreKdésigneRouC.

• Les lettresn,p,q,rdésignent des entiers naturels non nuls.

2 Matrices de format n × p

Définition 1(Matrice de formatn×p).

1. Une matrice de formatn×pà coefficients dansKest un tableau rectangulaire d’éléments deKpossé- dantnlignes etpcolonnes.

2. Une matrice de formatn×pà coefficients dansKpeut donc s’écrire





a11 a12 ... a1p

a21 a22 ... a2p

... ... ... an1 an2 ... anp





ai j désigne l’élément deKsitué sur lai-ème ligne et la j-ème colonne de la matrice, pour tout (i,j)∈ ‚1,nƒ × ‚1,pƒ.

3. La matrice représentée au 2. sera parfois simplement notée

¡ai j¢ si son format est précisé par ailleurs.

Définition 2(Adresse).

1. SoitAune matrice de formatn×pà coefficients dansK. Soit (i,j)∈ ‚1,nƒ × ‚1,pƒ. L’élément deKsitué sur lai-ème ligne et laj-ème colonne deAest appelé coefficient deAd’adresse (i,j) et est noté

[A]i j. 2. SiA

ai j

¢est une matrice de formatn×pà coefficients dansK, alors par définition [A]i j=ai j

pour tout (i,j)∈ ‚1,nƒ × ‚1,pƒ.

Exercice d’application 1.

La matrice

A=

µ 1 2 3 4 5 6

est une matrice de format 2×3 à coefficient dansK, dont le coefficient d’adresse (2,1) est [A]2,1=4.

Définition 3(Vecteur ligne, vecteur colonne).

1. On appelle vecteur ligne de tailleptoute matrice de format 1×p.

2. On appelle vecteur colonne de taillentoute matrice de formatn×1.

Définition 4(EnsembleMn,p(K)).

L’ensemble de toutes les matrices de formatn×pà coefficients dansKest notéMn,p(K).

Exercice d’application 2.

1. La matrice

A=

1 7

−2 0 4 −3

 appartient àM3,2(K).

2. L’ensembleM2,1(K) est l’ensemble des vecteurs colonnes de taille 2 à composantes/coefficients dans K.

(3)

3 Structure de K -espace vectoriel sur M

n,p

( K )

3.1 Addition dans M

n,p

( K )

Définition 5(Addition de deux matrices de formatn×p).

SoientAai j

¢∈Mn,p(K) etBbi j

¢∈Mn,p(K).

1. La matriceA+Best la matrice de formatn×pà coefficients dansK, dont le coefficient d’adresse (i,j) est

ai j+bi j

pour tout (i,j)∈ ‚1,nƒ × ‚1,pƒ.

2. Cette définition de la matriceA+B, élément deMn,p(K), peut se formuler de deux autres manières.

(a) ¡ ai j¢

bi j¢

ai j+bi j¢

(b) ∀(i,j)∈ ‚1,nƒ × ‚1,pƒ, [A+B]i j=[A]i j+[B]i j. Exercice d’application 3.

Calculer

µ 1 −2 0

2 4 1

¶ +

µ −3 7 1

5 2 −3

=

µ ... ... ...

... ... ...

¶ . Théorème 1(Propriétés de l’addition dansMn,p(K)).

1. Associativité de+

∀(A1,A2,A3)∈Mn,p(K)3, (A1+A2)+A3=A1+(A2+A3).

Les parenthèses n’influant pas sur le résultat, nous notons plus simplement A1+A2+A3la matrice (A1+A2)+A3=A1+(A2+A3).

2. Existence d’un élément neutre pour+ Si l’on note

0n,p:=





0 0 ... 0 0 0 ... 0 ... ... ... 0 0 ... 0





 la matrice de formatn×pdont tous les coefficients sont nuls alors

A∈Mn,p(K), A+0n,p=0n,p+A=A.

3. Existence d’un opposé pour+

SoitA=(ai j)∈Mn,p(K). Il existe une unique matriceB∈Mn,p(K) telle que A+B=B+A=0n,p.

Cette matriceBest appelée opposée deAet est notée−A. La matriceAest donnée par

−A=(−ai j).

Nous avons donc

[−A]i,j = −[A]i,j

pour tout (i,j)∈ ‚1,nƒ × ‚1,pƒ. 4. Commutativité de+

∀(A1,A2)∈Mn,p(K)2, A1+A2=A2+A1.

Démonstration. Ces propriétés découlent essentiellement des propriétés de l’addition dansK. Cf. prise de notes pour une preuve détaillée de la propriété 3 (existence d’un opposé pour+).

Remarque 1. L’ensembleMn,p(K) muni de l’addition+définie à la définition 4, qui possède les propriétés du théorème 1, est un un groupe commutatif (ou abélien).

Exercice d’application 4.

Résoudre l’équation

X+

µ 1 −3

3 4

=

µ −4 1 6 −1

d’inconnueX∈M2,2(R).

(4)

3.2 Multiplication d’une matrice de M

n,p

( K ) par un scalaire

Définition 6(Multiplication d’une matrice de formatn×ppar un scalaire).

SoitA=(ai j)∈Mn,p(K). Soitλ∈K.

1. La matriceλ.Aest la matrice de formatn×pà coefficients dansK, dont le coefficient d’adresse (i,j) est λai j

pour tout (i,j)∈ ‚1,nƒ × ‚1,pƒ.

2. Cette définition de la matriceλ.A, élément deMn,p(K), peut se formuler de deux autres manières.

(a) λ.¡ ai j

¢=¡ λai j

¢

(b) ∀(i,j)∈ ‚1,nƒ × ‚1,pƒ, [λ.A]i j=λ[A]i j. Exercice d’application 5.

Calculer

3.

µ 2 −4 1

5 −7 3

=

µ ... ... ...

... ... ...

¶ . Exercice d’application 6.

SoitA∈Mn,p(K). Calculer les matrices 1.A, 0.Aet (−1).A.

Théorème 2(Structure deK-espace vectoriel surMn,p(K)).

L’ensembleMn,p(K) munit des opérations

¯¯

¯¯

+ : Mn,p(K)×Mn,p(K) → Mn,p(K)

(A,B) 7→ A+B et

¯¯

¯¯

. : K×Mn,p(K) → Mn,p(K)

(λ,A) 7→ λ.A

est unK-espace vectoriel, i.e. ces deux opérations possèdent les propriétés suivantes.

1. Mn,p(K)muni de l’addition+est un groupe abélien(cf. théorème 1).

2. Associativité mixte

∀(λ,µ)∈K2, ∀A∈Mn,p(K), ¡ λ µ¢

.A=λ.¡ µ.A¢

. 3. 1est neutre pour l’opération.

A∈Mn,p(K), 1.A=A.

4. Distributivité à gauche

∀(λ,µ)∈K2, ∀A∈Mn,p(K), (λ+µ).A=λ.A+µ.A.

5. Distributivité à droite

λ∈K, ∀(A,B)∈Mn,p(K)2, λ.(A+B)=λ.A+λ.B.

Démonstration. La propriété 3. a été établie dans l’exemple 6. Les autres propriétés découlent essentiellement des propriétés de l’addition et de la multiplication dansK. Cf. prise de notes pour une preuve détaillée de la propriété 5 (distributivité à droite).

Remarque 2.

D’après les théorèmes 1 et 2, l’addition et la multiplication par un scalaire surMn,p(K) possèdent les mêmes propriétés que les opérations correspondantes sur les vecteurs du plan (ou de l’espace), d’où la terminologie.

Exercice d’application 7.

Résoudre l’équation

12.X+

µ 3 −4 6 −15

=

µ 6 15

9 4

d’inconnueX∈M2,2(R).

(5)

3.3 Combinaisons linéaires de matrices de format n × p

Définition 7(Combinaison linéaire de matrices de formatn×p).

SoientM1,M2,... ,Mr des matrices deMn,p(K).

1. Une matriceAdeMn,p(K) est appelée combinaison linéaire des matricesM1,M2,... ,Mr s’il existe des scalairesλ1,... ,λrappartenant àKtels que

A=λ1.M1+λ2.M2+...+λr.Mr. 2. L’ensemble des combinaisons linéaires des matricesM1,M2,... ,Mr est noté

Vect(M1,M2,... ,Mr).

3. Par définition, nous avons la description paramétrique de Vect(M1,M2,... ,Mr) suivante.

Vect(M1,M2,... ,Mr)=©

λ1.M1+λ2.M2+...+λr.Mr : (λ12,... ,λr)∈Krª . Exercice d’application 8.

Pour tout (i,j)∈ ‚1,2ƒ2, nous définissons la matriceEi j∈M2,2(K) comme étant la matrice ayant tous ses coef- ficients nul, sauf celui d’adresse (i,j) qui vaut 1.

E11= µ 1 0

0 0

E12= µ 0 1

0 0

E21= µ 0 0

1 0

E22= µ 0 0

0 1

1. Démontrer que A=

µ 1 2

−3 4

est combinaison linéaire des matricesE11,E12,E21,E22, mais n’est pas combinaison linéaire des matricesE11,E12,E21.

2. Démontrer que Vect(E11,E12,E21,E22)=M2,2(K).

Remarque 3.

Nous considérons les matrices M1=

µ 1 0 0 1

M2= µ 0 1

1 0

M3= µ 1 1

1 1

¶ .

La matriceA= µ 2 1

1 2

appartient à Vect(M1,M2,M3) car

A=1.M1+0.M2+1.M3.

Mais cette écriture deAcomme combinaison linéaire des matricesM1,M2,M3n’est pas unique. Par exemple, nous observons également l’identité

A=0.M1+(−1).M2+2.M3.

(6)

4 Produit matriciel

Définition 8(Produit matriciel).

SoientAai j

¢∈Mn,p(K) etBbi j

¢∈Mq,r(K).

1. Le produit matriciel deAparBest défini si

le nombre de colonnes deAest égal au nombre de lignes deB i.e. si

p=q.

2. Si le produit matriciel deAparBest défini (donc sip=q), alors

le produit matriciel deAparB, notéAB, est une matrice de formatn×r.

3. Si le produit matriciel deAparBest défini (donc sip=q), alors le coefficient d’adresse (i,j) deABest Xp

k=1

aikbk j=ai1b1i+ai2b2j+ai3b3j+...+ai pbp j. pour tout (i,j)∈ ‚1,nƒ × ‚1,rƒ. Autrement dit, nous avons les identités suivantes.

(a) AB= Ã p

X

k=1

aikbk j

!

(b) ∀(i,j)∈ ‚1,nƒ × ‚1,rƒ, [AB]i j= Xp k=1

[A]ik×[B]k j

Disposition pratique d’un produit matriciel

B

z }| {





b11 b12 ... b1j ... b1r

b21 b22 ... b2j ... b2r

... ... ... ...

bp1 bp2 ... bp j ... bpr















a11 a12 ... a1p

a21 a22 ... a2p

... ... ... ai1 ai2 ... ai p

... ... ... an1 an2 ... anp











| {z }

A











[AB]11 [AB]12 ... [AB]1j ... [AB]1r

[AB]21 [AB]22 ... [AB]2j ... [AB]2r

... ... ... ...

[AB]i1 [AB]i2 ... [AB]i j ... [AB]i r

... ... ... ...

[AB]n1 [AB]n2 ... [AB]n j ... [AB]nr











| {z }

AB

Exercice d’application 9.

Nous considérons les matrices

A=

1 −2

−1 3

4 0

B=

µ 1 2

C=

µ 1 1 1 1 0 1 −2 0

¶ .

1. Le produit matricielABest-il défini ? Si oui, préciser le format de la matriceAB, puis la calculer.

2. Le produit matricielB Aest-il défini ? Si oui, préciser le format de la matriceB A, puis la calculer.

3. Le produit matricielACest-il défini ? Si oui, préciser le format de la matriceAC, puis la calculer.

4. Le produit matricielC Aest-il défini ? Si oui, préciser le format de la matriceC A, puis la calculer.

5. Le produit matricielBCest-il défini ? Si oui, préciser le format de la matriceBC, puis la calculer.

6. Le produit matricielC Best-il défini ? Si oui, préciser le format de la matriceC B, puis la calculer.

(7)

Théorème 3(Produit d’une matrice par un vecteur colonne).

SoientA=(ai j)∈Mn,p(K). On note

C1=

 a11

... an1

 C2=

 a12

... an2

 ... Cp=

 a1p

... anp



les colonnes de la matrice A. Soit X =

 x1

... xp

∈Mp,1(K). Alors AX ∈Mn,1(K) est combinaison linéaire des colonnesC1,C2,... ,CpdeA, i.e.

AX∈Vect¡

C1,C2,... ,Cp

¢. Démonstration. Cf. prise de notes.

Théorème 4(Vecteurs lignes (resp. colonnes) d’un produit matriciel).

SoientA=(ai j)∈Mn,p(K) etB=(bi j)∈Mp,q(K).

1. La j-ième colonne de la matriceABest le produit deApar laj-ième colonne deB, pour toutj∈ ‚1,qƒ.

2. Lai-ième ligne deABest le produit de lai-ème ligne deApar la matriceB, pour touti∈ ‚1,nƒ.

Démonstration. Cf. prise de notes.

Théorème 5(Écriture matricielle d’un système linéaire).

Soit un système linéaire

(S) :









a11x1 + a12x2 + ... + a1pxp = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2pxp = b2

... ... ... ... ...

an1x1 + an2x2 + ... + anpxp = bn

d’inconnuex1,x2,... ,xpdansK, où (ai j)1≤i≤n,1≤j≤pest une famille d’éléments deKet où (b1,b2,... ,bn) est un élément fixé deKn.

On note A=(ai j)∈Mn,p(K) la matrice des coefficients de (S) etB=

 b1

... bn

∈Mn,1(K) le vecteur colonne

second membre deB. Si l’on poseX:=

 x1

... xp

∈Mp,1(K) alors

(S) ⇐⇒ AX=B.

L’écritureAX=Best appelée écriture matricielle du système linéaire (S).

Démonstration. Cf. prise de notes.

Exercice d’application 10.

Donner l’écriture matricielle du système linéaire (S) :

½ 2x1 + 4x2 − 7x3 = 2 x1 − 13x2 + 5x3 = 1 d’inconnuesx1,x2,x3dansR.

(8)

Théorème 6(Propriétés du produit matriciel).

1. Associativité

∀(A,B,C)∈Mn,p(K)×Mp,q(K)×Mq,r(K), (AB)C=A(BC).

Les parenthèses n’influant pas sur le résultat, on note plus simplementABCla matrice (AB)C=A(BC).

2. Distributivité à gauche

∀(A,B)∈Mn,p(K)2, ∀C∈Mp,q(K), (A+B)C=AC+BC.

3. Distributivité à droite

A∈Mn,p(K), ∀(B,C)∈Mp,q(K)2, A(B+C)=AB+AC.

4. Commutativité de la multiplication et de la mutliplication par un scalaire

A∈Mn,p(K), ∀B∈Mp,q(K), ∀λ∈K, (λ.A)B=A(λ.B)=λ.(AB).

Démonstration. Toutes les propriétés découlent essentiellement des propriétés usuelles des opérations+et× dansK, ainsi que de manipulations sur le symbole sommatoireΣ. Cf. prise de notes pour une preuve détaillée de la propriété 1.

Remarque 4.

Nous donnerons une preuve quelque peu plus conceptuelle de la propriété d’associativité du produit matri- ciel (cf. propriété 1). Elle reposera sur un lien entre matrices et applications (linéaires) et sur l’associativité du produit de composition (cf.◦) pour les applications.

Remarque 5(Deux « bizarreries »du produit matriciel).

1. Le produit de deux matrices peut être égal à la matrice nulle sans qu’aucune des deux matrices ne soient nulles, e.g.

µ 1 −1 1 −1

1 −1 1 −1



 1 1 1 1 1 1 1 1



=02,2.

Il n’y a donc pas de propriété d’intégrité dans le monde des matrices.

2. Nous considérons les matricesA= µ 1 1

1 1

¶ etB=

µ 1 −1

1 1

. Les produits matricielsABetB Asont définis. Nous les calculons.

B

z }| { µ 1 −1

1 1

µ 1 1 1 1

| {z }

A

µ ... ...

... ...

| {z }

AB

A

z }| { µ 1 1

1 1

µ 1 −1

1 1

| {z }

B

µ ... ...

... ...

| {z }

B A

Nous observonsAB6=B A.

Il n’y a donc pas de propriété de commutativité pour le produit matriciel.

(9)

5 Matrices carrées

5.1 La K -algèbre ( M

n

( K ), + , · , × )

Définition 9(L’ensembleMn(K)).

On noteMn(K) l’ensemble des matrices carrées de formatn×nà coefficients dansK. On a donc Mn(K) :=Mn,n(K).

Remarque 6(Synthèse des opérations définies surMn(K)).

On dispose de trois opérations surMn(K).

1. L’addition. ¯

¯¯

¯

+ : Mn(K)×Mn(K) → Mn(K)

(A,B) 7→ A+B

2. La multiplication par un scalaire.

¯¯

¯¯

. : K×Mn(K) → Mn(K) (λ,A) 7→ λ.A 3. La multiplication d’une matrice par une autre matrice.

¯¯

¯¯

× : Mn(K)×Mn(K) → Mn(K)

(A,B) 7→ AB

Mn(K) muni de ces opérations, qui vérifient les propriétés listées dans les théorèmes 1, 2 et 6, est appelée K-algèbre. Nous soulignons que

la multiplication d’une matrice deMn(K) par une matrice deMn(K) est à manipuler avec précaution en raison du défaut d’intégrité et du défaut de commutativité.

Exercice d’application 11.

Soient les matrices

A= µ 1 0

1 1

B= µ 1 2

0 1

¶ . CalculerA2+2.AB+B2et (A+B)2, puis commenter.

5.2 Matrice identité

Définition 10(Matrice identité).

On noteInla matrice deMn(K), appelée matrice identité, dont tous les coefficients sont nuls, sauf ses coeffi- cients diagonaux, tous égaux à 1. En d’autres termes

[In]i j=

¯¯

¯¯

1 sii=j 0 sii6=j

pour tout (i,j)∈ ‚1,nƒ2. Nous pouvons donc représenter la matriceIncomme suit.

In=







1 0 ... 0

0 1 ... ...

... ... ... 0

0 ... 0 1







Théorème 7(Caractère neutre pour le produit×de la matrice identité).

A∈Mn,p(K), AIp=A et InA=A.

Démonstration. Cf. prise de notes.

(10)

5.3 Puissances d’une matrice carrée

Définition 11(Puissance d’une matrice carrée).

SoitA∈Mn(K). Sis∈N, alors on définitAspar

As=

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

In sis=0 A×A×A×...×A

| {z }

sfois

sis≥1.

Exercice d’application 12.

1. Que valent les puissances deIn?

2. Calculer les puissances de la matriceA:=

1 0 1 0 1 0 1 0 1

.

5.4 Formule du binôme de Newton pour deux matrices qui commutent

Théorème 8(Formule du binôme de Newton pour deux matrices qui commutent).

SoientAetBdeux matrices deMn(K) qui commutent, i.e. telles que AB=B A.

Alors pour touts∈N, on a

(A+B)s= Xs k=0

Ãs k

!

AkBs−k= Xs k=0

Ãs k

!

As−kBk.

Démonstration. Nous démontrons ce théorème par récurrence. Cf. prise de notes.

Exercice d’application 13.

Calculer les puissances deN:= µ 0 2

0 0

, puis celles deA:= µ 1 2

0 1

¶ .

6 Matrices diagonales

Définition 12(Matrice diagonale).

SoitA∈Mn(K). La matriceAest dite diagonale si tous ses coefficients hors de la diagonale sont nuls, i.e. si

∀(i,j)∈ ‚1,nƒ2, i6=j =⇒ [A]i j=0.

Une matrice diagonale est donc de la forme







? 0 ... 0

0 ? ... ...

... ... ... 0

0 ... 0 ?







où ? représente des scalaires non nécessairement égaux.

Exercice d’application 14.

Lesquelles des matrices

A:=

1 0 0 0 1 0

−1 0 3

B:=

1 0 0

0 −2 0

0 0 7

C:=

0 0 4 0 5 0 8 0 0

sont diagonales ?

(11)

Définition 13(L’ensembleDn(K)).

L’ensemble des matrices diagonales de formatn×nà coefficients dansKest notéDn(K).

Théorème 9(Propriétés de stabilité deDn(K)).

1. Dn(K)est stable par addition

∀(A,B)∈Dn(K)2, A+B∈Dn(K) Plus précisément, pour tout (a11,... ,ann)∈Kn, pour tout (b11,... ,bnn)∈Kn







a11 0 ... 0 0 a22 ... ... ... ... ... 0

0 ... 0 ann





 +







b11 0 ... 0 0 b22 ... ... ... ... ... 0 0 ... 0 bnn







=







a11+b11 0 ... 0 0 a22+b22 ... ...

... ... ... 0

0 ... 0 ann+bnn





 .

2. Dn(K)est stable par multiplication par un scalaire

λ∈K, ∀A∈Dn(K), λ.A∈Dn(K) Plus précisément, pour toutλ∈K, pour tout (a11,... ,ann)∈Kn

λ.







a11 0 ... 0 0 a22 . .. ... ... . .. ... 0 0 ... 0 ann







=







λa11 0 ... 0 0 λa22 ... ... ... . .. ... 0

0 ... 0 λann





 .

3. Dn(K)est stable par multiplication

A∈Dn(K), ∀B∈Dn(K), AB∈Dn(K) Plus précisément, pour tout (a11,... ,ann)∈Kn, pour tout (b11,... ,bnn)∈Kn







a11 0 ... 0 0 a22 ... ... ... ... ... 0

0 ... 0 ann













b11 0 ... 0 0 b22 . .. ... ... . .. ... 0 0 ... 0 bnn







=







a11b11 0 ... 0 0 a22b22 ... ...

... . .. ... 0

0 ... 0 annbnn





 .

Démonstration. Les propriétés 1 et 2 sont claires, compte tenu de la définition de l’addition de deux matrices et de la définition de la multiplication d’une matrice par un scalaire. Cf. prise de notes pour la propriété 3.

Remarque 7.

Calculer les puissances d’une matrice carrée Aesta prioridélicat. Toutefois, dans le cas où la matriceAest diagonale, le calcul est aisé. En effet pour (a11,... ,ann)∈Kn, pour touts∈N







a11 0 ... 0 0 a22 . .. ... ... . .. ... 0

0 ... 0 ann







s

=







as11 0 ... 0 0 as22 . .. ... ... . .. ... 0 0 ... 0 anns





 .

On déduit cette propriété de la propriété 3 du théorème 9, à l’aide d’un raisonnement par récurrence.

Exercice d’application 15.

SoitAla matrice deDn(C) définie par

k∈ ‚1,nƒ, [A]kk=ei2(k−1)πn . CalculerAn.

(12)

7 Matrices triangulaires (supérieures)

Définition 14(Matrice triangulaire (supérieure)).

SoitA∈Mn(K). La matriceAest dite triangulaire supérieure (ou simplement triangulaire) si tous ses coeffi- cients situés sous sa diagonale sont nuls, i.e. si

∀(i,j)∈ ‚1,nƒ2, i>j =⇒ [A]i j=0.

Une matrice triangulaire (supérieure) est donc de la forme







? ? ... ?

0 ? . .. ...

... ... ... ?

0 ... 0 ?







où ? représente des scalaires non nécessairement égaux.

Exercice d’application 16.

Lesquelles des matrices

A:=

1 1 2 0 1 5 0 0 3

B:=

1 0 0

−1 −2 0

−1 0 7

C:=

1 0 0 0 5 0 0 0 8

sont triangulaires (supérieures) ? Définition 15(L’ensembleTn(K)).

L’ensemble des matrices triangulaires (supérieures) de formatn×nà coefficients dansKest notéTn(K).

Remarque 8.

Toute matrice diagonale (de formatn×nà coefficients dansK) est triangulaire (de formatn×nà coefficients dansK). Nous en déduisons l’inclusion

Dn(K)⊂Tn(K).

Théorème 10(Propriétés de stabilité deTn(K)).

1. Tn(K)est stable par addition

∀(A,B)∈Tn(K)2, A+B∈Tn(K) 2. Tn(K)est stable par multiplication par un scalaire

λ∈K, ∀A∈Tn(K), λ.A∈Tn(K) 3. Tn(K)est stable par multiplication

∀(A,B)∈Tn(K)2, AB∈Tn(K)

Démonstration. Les propriétés 1 et 2 sont claires, compte tenu de la définition de l’addition de deux matrices et de la définition de la multiplication d’une matrice par un scalaire. Cf. prise de notes pour la propriété 3.

Exercice d’application 17.

Calculer les puissances de la matriceT:=



0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0



.

(13)

8 Matrices élémentaires

8.1 Matrices de permutation

Exercice d’application 18.

Soit la matrice

P2,3:=

1 0 0 0 0 1 0 1 0

.

1. Expliquer comment la matriceP2,3se déduit de la matriceI3à l’aide d’une opération élémentaire sur ses lignes.

2. SoitA∈M3(K). Calculer le produitP2,3A.

Définition 16(La matricePi1,i2deMn(K), où (i1,i2)∈ ‚1,nƒ2).

Soit (i1,i2)∈ ‚1,nƒ2. La matricePi1,i2est la matrice obtenue échangeant les lignes d’indicesi1eti2de la matrice In, i.e. en appliquant l’opération élémentaire

Li1Li2

à la matriceIn. Donc

∀i∈ ‚1,nƒ\ {i1,i2}, ∀j∈ ‚1,nƒ, £ Pi1,i2

¤

i j=

¯¯

¯¯

1 sij=i 0 sij6=i

j∈ ‚1,nƒ, £ Pi1,i2

¤

i j=

¯¯

¯¯

1 sij=i2

0 sij6=i2

j∈ ‚1,nƒ, £ Pi1,i2

¤

i j=

¯¯

¯¯

1 sij=i1

0 sij6=i1.

Théorème 11(Multiplication par une matrice de permutation par la gauche).

SoitA∈Mn,p(K). Soit (i1,i2)∈ ‚1,nƒ2. La matricePi1,i2Aest la matrice obtenue en échangeant les lignes d’in- dicesi1eti2de la matriceA, i.e. en appliquant l’opération élémentaire

Li1Li2

à la matriceA.

Démonstration.

• Analyse des lignes dePi1,i2Ad’indicesitels quei6=i1eti6=i2

i-ème ligne dePi1,i2A = ¡

i-ème ligne dePi1,i2

¢×A £

Propriété 2 du théorème 4¤

= ¡

i-ème ligne deIn¢

×A £

Définition dePi1,i2

¤

= i-ème ligne deInA £

Propriété 2 du théorème 4¤

= i-ème ligne deA

• Analyse de la ligne dePi1,i2Ad’indicei1

i1-ème ligne dePi1,i2A = ¡

i1-ème ligne dePi1,i2

¢×A £

Propriété 2 du théorème 4¤

= ¡

i2-ème ligne deIn

¢×A £

Définition dePi1,i2

¤

= i2-ème ligne deInA £

Propriété 2 du théorème 4¤

= i2-ème ligne deA

• Analyse de la ligne dePi1,i2Ad’indicei2

i2-ème ligne dePi1,i2A = ¡

i2-ème ligne dePi1,i2

¢×A £

Propriété 2 du théorème 4¤

= ¡

i1-ème ligne deIn

¢×A £

Définition dePi1,i2

¤

= i1-ème ligne deInA £

Propriété 2 du théorème 4¤

= i1-ème ligne deA

(14)

Remarque 9.

Mutliplier une matriceApar une matrice de permutation à gauche correspond à une opération élémentaire de type I sur les lignes deA.

Exercice d’application 19.

Soit (i1,i2)∈ ‚1,nƒ2. Calculer (Pi1,i2)2.

8.2 Matrices de dilatation

Exercice d’application 20.

Soitλ∈K. Soit la matrice

3(λ) :=

1 0 0

0 1 0

0 0 λ

.

1. Expliquer comment la matrice∆3(λ) se déduit de la matriceI3à l’aide d’une opération élémentaire sur ses lignes.

2. SoitA∈M3(K). Calculer le produit∆3(λ)A.

Définition 17(La matrice∆i0(λ) deMn(K), oùi0∈ ‚1,nƒetλ∈K).

Soiti0∈ ‚1,nƒet soitλ∈K. La matrice∆i0(λ) est la matrice obtenue en remplaçant le coefficient d’adresse (i0,i0) deIn(qui vaut 1) parλ, i.e. en appliquant l’opération élémentaire

Li0λLi0

à la matriceIn. Donc

i∈ ‚1,nƒ, ∀j∈ ‚1,nƒ, i6=j =⇒ £

i0(λ)¤

i j=0

i∈ ‚1,nƒ\ {i0}, £

i0(λ)¤

ii=1

£∆i0(λ)¤

i0i0=λ.

Théorème 12(Multiplication par une matrice de dilatation par la gauche).

SoitA∈Mn,p(K). Soienti0∈ ‚1,nƒetλ∈K. La matrice∆i0(λ)Aest la matrice obtenue en multipliant la ligne d’indicei0deAparλ, i.e. en appliquant l’opération élémentaire

Li0λLi0

à la matriceA.

Démonstration.

• Analyse des lignes de∆i0(λ)Ad’indicesi tels quei6=i0 i-ème ligne de∆i0(λ)A = ¡

i-ème ligne de∆i0(λ)¢

×A £

Propriété 2 du théorème 4¤

= ¡

i-ème ligne deIn

¢×A £

Définition de∆i0(λ)¤

= i-ème ligne deInA £

Propriété 2 du théorème 4¤

= i-ème ligne deA

• Analyse de la ligne de∆i0(λ)Ad’indicei0

Soitj∈ ‚1,pƒ.

£∆i0(λ)A¤

i0j = Xn k=1

£∆i0(λ)¤

i0k[A]k j

= £

i0(λ)¤

i0i0

| {z }

λ

[A]i0j+ X

1k≤n k6=i0

£∆i0(λ)¤

i0k

| {z }

0

[A]k j

£Définition de∆i0(λ)¤

= λ[A]i0j

Remarque 10.

Mutliplier une matriceApar une matrice de dilatation à gauche correspond à une opération élémentaire de type II sur les lignes deA.

Exercice d’application 21.

Soienti0∈ ‚1,nƒetλ∈K. Déterminer une matriceB∈Mn(K) telle que∆i0(λ)B=B∆i0(λ)=In.

(15)

8.3 Matrices de transvection

Exercice d’application 22.

Soitλ∈K. Soit la matrice

T1,3(λ) :=

1 0 λ

0 1 0

0 0 1

.

1. Expliquer comment la matriceT1,3(λ) se déduit de la matriceI3à l’aide d’une opération élémentaire sur ses lignes.

2. SoitA∈M3(K). Calculer le produitT1,3(λ)A.

Définition 18(La matriceTi1,i2(λ) deMn(K), où (i1,i2)∈ ‚1,nƒ2aveci16=i2etλ∈K).

Soient (i1,i2)∈ ‚1,2tel quei16=i2etλ∈K. La matriceTi1,i2(λ) est la matrice obtenue en ajoutantλLi2 à la ligneLi1deIn, i.e. en appliquant l’opération élémentaire

Li1Li1+λLi2

à la matriceIn. Donc

∀i∈ ‚1,nƒ\ {i1}, ∀j∈ ‚1,nƒ, £

Ti1,i2(λ)¤

i j=

¯¯

¯¯

1 sii=j 0 sii6=j

j∈ ‚1,nƒ, £

Ti1,i2(λ)¤

i1j=

¯¯

¯¯

¯¯

1 sij=i1

λ sij=i2

0 sinon.

Théorème 13(Multiplication par une matrice de transvection par la gauche).

SoitA∈Mn,p(K). Soient (i1,i2)∈ ‚1,nƒ2tel quei16=i2etλ∈K. La matriceTi1,i2(λ)Aest la matrice obtenue en en ajoutantλLi2à la ligneLi1deA, i.e. en appliquant la transformation élémentaire

Li1Li1+λLi2

à la matriceA.

Démonstration.

• Analyse des lignes deTi1,i2(λ)Ad’indicesitels quei6=i1

i-ème ligne deTi1,i2(λ)A = ¡

i-ème ligne deTi1,i2(λ)¢

×A £

Propriété 2 du théorème 4¤

= ¡

i-ème ligne deIn¢

×A £

Définition deTi1,i2(λ)¤

= i-ème ligne deInA £

Propriété 2 du théorème 4¤

= i-ème ligne deA

• Analyse de la ligne deTi1,i2(λ)Ad’indicei1

Soitj∈ ‚1,pƒ.

£Ti1,i2(λ)A¤

i1j = Xn k=1

£Ti1,i2(λ)¤

i1k[A]k j

= £

Ti1,i2(λ)¤

i1i1

| {z }

1

[A]i1j

Ti1,i2(λ)¤

i1i2

| {z }

λ

[A]i2j+ Xn 1≤kn k6=i1,k6=i2

£Ti1,i2(λ)¤

i1k

| {z }

0

[A]k j

= [A]i1j+λ[A]i2j

Remarque 11.

Mutliplier une matriceApar une matrice de transvection à gauche correspond à une opération élémentaire de type III sur les lignes deA.

Exercice d’application 23.

Soient (i1,i2)∈ ‚1,nƒ2tel quei16=i2etλ∈K. etλ∈K. CalculerTi1,i2(λ)Ti1,i2(−λ) etTi1,i2(−λ)Ti1,i2(λ).

(16)

8.4 Traduction matricielle de l’algorithme de Gauß-Jordan

Définition 19(Matrice élémentaire).

On appelle matrice élémentaire toute matrice qui est

une matrice de permutation ou

une matrice de dilatation ou

une matrice de transvection.

Théorème 14(Traduction matricielle de la relation∼

Lentre matrices de même format).

Soit (A,B)∈Mn,p(K)2. La matriceAest équivalente par lignes àB, ce que l’on noteA

LB, si et seulement s’il existe une matriceE∈Mn(K), qui est un produit d’un nombre fini de matrices élémentaires de formatn×n, telle queB=E A.

Démonstration. Cela résulte de la définition (n°12) de deux matrices équivalentes par lignes énoncée dans le chapitre 8 et des remarques 9, 10 et 11. Cf. prise de notes pour les détails.

Théorème 15(Traduction matricielle de l’algorithme de Gauß-Jordan).

SoientA∈Mn,p(K). Alors

• il existe une matriceE∈Mn(K), qui est produit d’un nombre fini de matrices élémentaires de format n×n;

• il existe une unique matrice échelonnée réduiteR∈Mn,p(K) telles queA=E R.

Démonstration. Il s’agit d’une conséquence directe du théorème de Gauß-Jordan (n°6) énoncé dans le chapitre 8 et du théorème 14 de ce chapitre.

Exercice d’application 24.

Déterminer une matriceE∈M2(K), produit d’un nombre fini de matrices élémentaires, et une matriceR∈ M2,3(K) telles que

µ 1 1 1 2 1 3

=E R.

(17)

9 Matrices carrées inversibles

Définition 20(Matrice carrée inversible).

SoitA∈Mn(K). La matriceAest dite inversible s’il existeB∈Mn(K) tel que AB=In=B A.

Théorème-Définition 1(Inverse d’une matrice carrée inversible).

Si A∈Mn(K) est inversible, alors la matrice B∈Mn(K) vérifiant AB=In =B Aest unique. On la nomme matrice inverse deAet on la noteA−1.

Démonstration. Il nous faut établir l’unicité d’une matriceB∈Mn(K) vérifiantAB=In=B A. SoientB1etB2

des matrices deMn(K) qui conviennent, i.e. telles que

AB1=In=B1A et AB2=In=B2A.

Nous calculons le produitB1AB2de deux manières pour établir l’identitéB1=B2. B1AB2 = B1(AB2) = B1In = B1

||

B1AB2 = (B1A)B2 = InB2 = B2

Remarque 12.

SiA∈Mn(K) est inversible alors il découle de la définition de la matrice inverseA−1deA A A−1=In=A−1A.

Exercice d’application 25.

1. Calculer le carré de la matriceA:=

µ 0 1 0 0

et en déduire queAn’est pas inversible.

2. Montrer que la matriceB:= µ 1 0

0 4

est inversible, puis expliciterB−1. Définition 21(L’ensembleGLn(K)).

L’ensemble des matrices inversibles de formatn×nà coefficients dansKest notéGLn(K). Donc GLn(K) :={M∈Mn(K) :Mest inversible}.

Remarque 13.

La matrice identitéInappartient àGLn(K) etIn−1=In.

Théorème 16(Stabilité deGLn(K) par passage à l’inverse et formule pour l’inverse d’un inverse).

Pour toutAGLn(K)

A−1GLn(K) et ¡ A−1¢−1

=A.

Démonstration. Cf. prise de notes.

Théorème 17(Stabilité deGLn(K) par multiplication et formule pour l’inverse d’un produit d’inversibles).

Pour tout (A,B)GLn(K)2

ABGLn(K) et (AB)−1=B−1A−1. Démonstration. Cf. prise de notes.

Théorème 18(Inversibilité et inverse d’une matrice de permutation).

Soit (i1,i2)∈ ‚1,nƒ2. La matrice de permutationPi1,i2 est inversible, autrement ditPi1,i2GLn(K), et

¡Pi1,i2

¢−1

=Pi1,i2.

Démonstration. Il s’agit d’une conséquence du résultat de l’exercice d’application 19.

(18)

Théorème 19(Inversibilité et inverse d’une matrice de dilatation).

Soiti0∈ ‚1,nƒ. Soitλ∈K. La matrice de dilatation∆i0(λ) est inversible, autrement dit∆i0(λ)∈GLn(K), et

¡∆i0(λ)¢−1

=∆i0

µ1 λ

¶ .

Démonstration. Il s’agit d’une conséquence du résultat de l’exercice d’application 21.

Théorème 20(Inversibilité et inverse d’une matrice de transvection).

Soit (i1,i2)∈ ‚1,nƒ2tel quei16=i2. Soitλ∈K. La matrice de transvectionTi1,i2(λ) est inversible, autrement dit Ti1,i2(λ)∈GLn(K), et

¡Ti1,i2(λ)¢−1

=Ti1,i2(−λ).

Démonstration. Il s’agit d’une conséquence du résultat de l’exercice d’application 23.

Théorème 21(Inversibilité des matrices élémentaires).

Toute matrice élémentaire est inversible.

Démonstration. Ce résultat se déduit directement des théorèmes 18, 19 et 20.

Lemme 1.

SoitR∈Mn(K) une matrice échelonnée réduite telle queR6=In. 1. Rang(R)<n

2. Il existeX∈Mn,1(K) tel que

X6=0Mn,1(K) et R Xn=0Mn,1(K). Démonstration.

1. Nous savons que Rang(R)≤n(cf. bornes pour le rang). De plus, nous observons que la seule matrice de formatn×n, échelonnée réduite, possédantnpivots (i.e. de rangn) est la matriceIn. CommeR6=In, nous avons Rang(R)6=net par suite Rang(R)<n.

2. Nous considérons système linéaire homogène

(S) : R X=0Mn,1(K)

d’inconnueX=





x1 x2 ... xn





∈Mn,1(K).

. (S) possède au moins une solution : 0Mn,1(K), puisqu’il est homogène.

. (S) possèdeninconnues et est de rang strictement inférieur àn(cf. 1.). Par suite, au moins une des inconnuesx1,x2,... ,xndu système linéaire (S) est un paramètre.

. Des deux points précédents, nous déduisons que l’ensemble solution de (S) est infini. En particulier, (S) possède une solution distincte de 0Mn,1(K).

Théorème 22(Affaiblissement de la condition d’inversibilité).

SoitA∈Mn(K).

1. S’il existeB∈Mn(K) telle queAB=In, alorsAest inversible etA−1=B.

2. S’il existeB∈Mn(K) telle queB A=In, alorsAest inversible etA−1=B.

Démonstration. Cf. prise de notes.

(19)

Théorème 23(Caractérisation des matrices inversibles).

SoitA∈Mn(K). Les propriétés suivantes sont équivalentes.

1. Aest inversible.

2. A

LIn

3. Rang(A)=n

4. Le systèmeAX=0Mn,1(K)d’inconnueX∈Mn,1(K) admet une unique solution : 0Mn,1(K). 5. Pour toutY ∈Mn,1(K), le systèmeAX=Y d’inconnueX∈Mn,1(K) admet une unique solution.

6. Pour toutY ∈Mn,1(K), le systèmeAX=Y d’inconnueX∈Mn,1(K) admet au moins une solution.

Démonstration. Cf. prise de notes.

Exercice d’application 26.

1. Étudier l’inversibilité de la matriceA:=

0 1 1 1 0 1 1 1 0

en appliquant à la matrice augmentée (A|I3) une suite d’opérations élémentaires sur les lignes, de manière à la transformer en (R|B) oùRest la matrice échelonnée réduite qui est équivalente àA.

2. En déduire queAest inversible et queB=A−1. Exercice d’application 27.

Étudier l’inversibilité et déterminer l’inverse éventuelle de la matrice A:=

1 2 3 4 5 6 7 8 9

en suivant la même démarche que dans l’exercice d’application 26.

Théorème 24(Système générateur deGLn(R)).

GLn(R) est l’ensemble des matrices deMn(R) qui peuvent s’écrire comme un produit fini de matrices élémen- taires.

Démonstration. Cf. prise de notes.

Théorème 25(Inversibilité des matrices diagonales).

SoitD=(ai j)∈Dn(K).

1. La matriceDest inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls.

2. SiDest inversible alors

D−1=







1

a11 0 ... 0

0 a122 . .. ... ... . .. ... 0

0 ... 0 a1

nn





 .

Démonstration. Cf. prise de notes.

Exercice d’application 28.

Montrer que la matriceD:=

2 0 0

0 −1 0

0 0 7

est inversible et calculer son inverse.

Théorème 26(Inversibilité des matrices triangulaires supérieures).

SoitT∈Tn(K). La matriceT est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls.

Démonstration. Cf. prise de notes.

Exercice d’application 29.

1. Justifier sans calcul l’inversibilité de la matriceT:=

1 2 3 0 1 4 0 0 1

.

2. Calculer l’inverse deTen suivant la même démarche que dans l’exercice d’application 26.

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