Définition 19(Matrice élémentaire).
On appelle matrice élémentaire toute matrice qui est
une matrice de permutation ou
une matrice de dilatation ou
une matrice de transvection.
Théorème 14(Traduction matricielle de la relation∼
Lentre matrices de même format).
Soit (A,B)∈Mn,p(K)2. La matriceAest équivalente par lignes àB, ce que l’on noteA∼
LB, si et seulement s’il existe une matriceE∈Mn(K), qui est un produit d’un nombre fini de matrices élémentaires de formatn×n, telle queB=E A.
Démonstration. Cela résulte de la définition (n°12) de deux matrices équivalentes par lignes énoncée dans le chapitre 8 et des remarques 9, 10 et 11. Cf. prise de notes pour les détails.
Théorème 15(Traduction matricielle de l’algorithme de Gauß-Jordan).
SoientA∈Mn,p(K). Alors
• il existe une matriceE∈Mn(K), qui est produit d’un nombre fini de matrices élémentaires de format n×n;
• il existe une unique matrice échelonnée réduiteR∈Mn,p(K) telles queA=E R.
Démonstration. Il s’agit d’une conséquence directe du théorème de Gauß-Jordan (n°6) énoncé dans le chapitre 8 et du théorème 14 de ce chapitre.
Exercice d’application 24.
Déterminer une matriceE∈M2(K), produit d’un nombre fini de matrices élémentaires, et une matriceR∈ M2,3(K) telles que
µ 1 1 1 2 1 3
¶
=E R.
9 Matrices carrées inversibles
Définition 20(Matrice carrée inversible).
SoitA∈Mn(K). La matriceAest dite inversible s’il existeB∈Mn(K) tel que AB=In=B A.
Théorème-Définition 1(Inverse d’une matrice carrée inversible).
Si A∈Mn(K) est inversible, alors la matrice B∈Mn(K) vérifiant AB=In =B Aest unique. On la nomme matrice inverse deAet on la noteA−1.
Démonstration. Il nous faut établir l’unicité d’une matriceB∈Mn(K) vérifiantAB=In=B A. SoientB1etB2
des matrices deMn(K) qui conviennent, i.e. telles que
AB1=In=B1A et AB2=In=B2A.
Nous calculons le produitB1AB2de deux manières pour établir l’identitéB1=B2. B1AB2 = B1(AB2) = B1In = B1
||
B1AB2 = (B1A)B2 = InB2 = B2
Remarque 12.
SiA∈Mn(K) est inversible alors il découle de la définition de la matrice inverseA−1deA A A−1=In=A−1A.
Exercice d’application 25.
1. Calculer le carré de la matriceA:=
µ 0 1 0 0
¶
et en déduire queAn’est pas inversible.
2. Montrer que la matriceB:= µ 1 0
0 4
¶
est inversible, puis expliciterB−1. Définition 21(L’ensembleGLn(K)).
L’ensemble des matrices inversibles de formatn×nà coefficients dansKest notéGLn(K). Donc GLn(K) :={M∈Mn(K) :Mest inversible}.
Remarque 13.
La matrice identitéInappartient àGLn(K) etIn−1=In.
Théorème 16(Stabilité deGLn(K) par passage à l’inverse et formule pour l’inverse d’un inverse).
Pour toutA∈GLn(K)
A−1∈GLn(K) et ¡ A−1¢−1
=A.
Démonstration. Cf. prise de notes.
Théorème 17(Stabilité deGLn(K) par multiplication et formule pour l’inverse d’un produit d’inversibles).
Pour tout (A,B)∈GLn(K)2
AB∈GLn(K) et (AB)−1=B−1A−1. Démonstration. Cf. prise de notes.
Théorème 18(Inversibilité et inverse d’une matrice de permutation).
Soit (i1,i2)∈ 1,n2. La matrice de permutationPi1,i2 est inversible, autrement ditPi1,i2∈GLn(K), et
¡Pi1,i2
¢−1
=Pi1,i2.
Démonstration. Il s’agit d’une conséquence du résultat de l’exercice d’application 19.
Théorème 19(Inversibilité et inverse d’une matrice de dilatation).
Soiti0∈ 1,n. Soitλ∈K∗. La matrice de dilatation∆i0(λ) est inversible, autrement dit∆i0(λ)∈GLn(K), et
¡∆i0(λ)¢−1
=∆i0
µ1 λ
¶ .
Démonstration. Il s’agit d’une conséquence du résultat de l’exercice d’application 21.
Théorème 20(Inversibilité et inverse d’une matrice de transvection).
Soit (i1,i2)∈ 1,n2tel quei16=i2. Soitλ∈K. La matrice de transvectionTi1,i2(λ) est inversible, autrement dit Ti1,i2(λ)∈GLn(K), et
¡Ti1,i2(λ)¢−1
=Ti1,i2(−λ).
Démonstration. Il s’agit d’une conséquence du résultat de l’exercice d’application 23.
Théorème 21(Inversibilité des matrices élémentaires).
Toute matrice élémentaire est inversible.
Démonstration. Ce résultat se déduit directement des théorèmes 18, 19 et 20.
Lemme 1.
SoitR∈Mn(K) une matrice échelonnée réduite telle queR6=In. 1. Rang(R)<n
2. Il existeX∈Mn,1(K) tel que
X6=0Mn,1(K) et R Xn=0Mn,1(K). Démonstration.
1. Nous savons que Rang(R)≤n(cf. bornes pour le rang). De plus, nous observons que la seule matrice de formatn×n, échelonnée réduite, possédantnpivots (i.e. de rangn) est la matriceIn. CommeR6=In, nous avons Rang(R)6=net par suite Rang(R)<n.
2. Nous considérons système linéaire homogène
(S) : R X=0Mn,1(K)
d’inconnueX=
x1 x2 ... xn
∈Mn,1(K).
. (S) possède au moins une solution : 0Mn,1(K), puisqu’il est homogène.
. (S) possèdeninconnues et est de rang strictement inférieur àn(cf. 1.). Par suite, au moins une des inconnuesx1,x2,... ,xndu système linéaire (S) est un paramètre.
. Des deux points précédents, nous déduisons que l’ensemble solution de (S) est infini. En particulier, (S) possède une solution distincte de 0Mn,1(K).
Théorème 22(Affaiblissement de la condition d’inversibilité).
SoitA∈Mn(K).
1. S’il existeB∈Mn(K) telle queAB=In, alorsAest inversible etA−1=B.
2. S’il existeB∈Mn(K) telle queB A=In, alorsAest inversible etA−1=B.
Démonstration. Cf. prise de notes.
Théorème 23(Caractérisation des matrices inversibles).
SoitA∈Mn(K). Les propriétés suivantes sont équivalentes.
1. Aest inversible.
2. A∼
LIn
3. Rang(A)=n
4. Le systèmeAX=0Mn,1(K)d’inconnueX∈Mn,1(K) admet une unique solution : 0Mn,1(K). 5. Pour toutY ∈Mn,1(K), le systèmeAX=Y d’inconnueX∈Mn,1(K) admet une unique solution.
6. Pour toutY ∈Mn,1(K), le systèmeAX=Y d’inconnueX∈Mn,1(K) admet au moins une solution.
Démonstration. Cf. prise de notes.
Exercice d’application 26.
1. Étudier l’inversibilité de la matriceA:=
0 1 1 1 0 1 1 1 0
en appliquant à la matrice augmentée (A|I3) une suite d’opérations élémentaires sur les lignes, de manière à la transformer en (R|B) oùRest la matrice échelonnée réduite qui est équivalente àA.
2. En déduire queAest inversible et queB=A−1. Exercice d’application 27.
Étudier l’inversibilité et déterminer l’inverse éventuelle de la matrice A:=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
en suivant la même démarche que dans l’exercice d’application 26.
Théorème 24(Système générateur deGLn(R)).
GLn(R) est l’ensemble des matrices deMn(R) qui peuvent s’écrire comme un produit fini de matrices élémen-taires.
Démonstration. Cf. prise de notes.
Théorème 25(Inversibilité des matrices diagonales).
SoitD=(ai j)∈Dn(K).
1. La matriceDest inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls.
2. SiDest inversible alors
D−1=
1
a11 0 ... 0
0 a122 . .. ... ... . .. ... 0
0 ... 0 a1
nn
.
Démonstration. Cf. prise de notes.
Exercice d’application 28.
Montrer que la matriceD:=
2 0 0
0 −1 0
0 0 7
est inversible et calculer son inverse.
Théorème 26(Inversibilité des matrices triangulaires supérieures).
SoitT∈Tn(K). La matriceT est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls.
Démonstration. Cf. prise de notes.
Exercice d’application 29.
1. Justifier sans calcul l’inversibilité de la matriceT:=
1 2 3 0 1 4 0 0 1
.
2. Calculer l’inverse deTen suivant la même démarche que dans l’exercice d’application 26.
10 Deux méthodes pour calculer l’inverse d’une matrice inversible
10.1 Calcul de l’inverse par la résolution d’un système linéaire à paramètre
Lemme 2(Critère d’égalité de deux matrices).
1. Soiti∈ 1,n. Nous définissonsXi ∈Mn,1(K) comme étant le vecteur colonne dont toutes les compo-santes sont nulles, sauf lai-ème qui vaut 1. En d’autre termesXi :=i-ème colonne de la matriceIn. Si A∈Mn(K), alors
AXi=i-ème colonne de la matriceA.
2. SoientA1∈Mn(K) etA2∈Mn(K). Si
∀X∈Mn,1(K), A1X=A2X alors les matricesA1etA2sont égales.
Démonstration. Cf. prise de notes.
Théorème 27(Première méthode pour calculer l’inverse d’une matrice inversible).
SoitA∈Mn(K). On fixe un vecteur paramètreY∈Mn,1(K) et on considère le système linéaireAX=Y d’incon-nueX∈Mn,1(K). On résout celui-ci en utilisant l’algorithme de Gauß-Jordan.
1. La matriceAest inversible si et seulement si pour toutY∈Mn,1(K) le système linéaireAX=Y d’incon-nueX∈Mn,1(K) possède une unique solution.
2. Si la matriceAest inversible alors pour toutY ∈Mn(K) l’unique solution du système linéaire AX=Y d’inconnueX∈Mn,1(K) peut s’exprimer sous forme matricielle par
X=BY
oùB∈Mn(K) est une matrice indépendante deY. Cette matriceBcoïncide avecA−1. Démonstration.
1. Cette assertion n’est autre que l’équivalence (1)⇐⇒(5) du théorème 23, déjà démontré.
2. Nous supposons qu’il existe une matriceB∈Mn(K) telle que
∀X∈Mn,1(K), ∀Y ∈Mn,1(K), AX=Y ⇐⇒X=BY et nous démontronsB=A−1.
ConsidéronsX∈Mn,1(K) et posonsY :=AX∈Mn,1(K). CommeAX=Y (Y est ainsi construite), nous avonsX=BY (cf. propriété deB) et doncX=B AX. Ainsi
∀X∈Mn,1(K), X=B AX. Nous pouvons réécrire ce résultat comme suit.
∀X∈Mn,1(K), InX=B AX.
Par le lemme 2, nous obtenons alorsIn=B A. Enfin, d’après le théorème 22, nous en déduisonsB=A−1.
Exercice d’application 30.
Démontrer que la matrice
A=
1 1 2 1 2 1 2 1 1
est inversible et calculerA−1par la méthode exposée dans le théorème 27.