Programme de colle série 10
ECS 1
Semaines du 22 et 29 mars
1 Séries - Cours et exercices
Série, somme partielle, convergence d'une série, somme. Reste d'une série convergente.
Série géométrique.
Condition nécessaire de convergence d'une série : un→0 (hors-programme).
Opérations sur les séries convergentes.
Séries géométriques dérivées une et deux fois, séries télescopiques, séries exponentielles.
Critères de convergence des séries à termes positifs : par comparaison, par équivalences, par négligeabilité.
Convergence de la série de Riemann.
Convergence absolue : dénition, implique la convergence mais réciproque fausse.
Démonstrations à connaître :
Convergence et somme de la série géométrique dérivée une fois.
Convergence de séries positives par comparaison.
Convergence de la série de Riemann (en admettant que la série harmonique diverge).
2 Espaces probabilisés - Cours et exercices
Tribu ou σ-algèbre. Stabilité par intersection.
Système complet d'événements. Tribu engendrée par un ensemble.
Application σ-additive. Probabilité.
Propriétés d'une probabilité : opérations sur les événements, croissance, lien avec les s.c.e..
Événement presque sûr, négligeable. Propriété presque sûre.
Théorème de limite monotone : cas croissant, cas décroissant. Conséquences.
Probabilité conditionnelle. Formule des probabilités totales.
Famille d'événements mutuellement indépendants.
Variable aléatoire sur un espace quelconque. Fonction de répartition et ses quatre propriétés.
Démonstrations à connaître :
Une tribu contient ∅et est stable par intersection dénombrable.
Lien entre probabilité et système complet d'événements.
limx→−∞FX(x) = 0 etlimx→+∞FX(x) = 1.
