GRANDES DÉVIATIONS ET CONCENTRATION CONVEXE EN TEMPS CONTINU ET DISCRET

TH` ESE DE DOCTORAT de l’UNIVERSIT´ E DE LA ROCHELLE

Discipline : Math´ematiques Sp´ecialit´e : Probabilit´es

Pr´esent´ee par Yutao MA

pour obtenir le grade de DOCTEUR de l’UNIVERSIT´E DE LA ROCHELLE.

Titre de la th`ese :

GRANDES D´ EVIATIONS ET

CONCENTRATION CONVEXE EN TEMPS CONTINU ET DISCRET

soutenue publiquement le 25 Janvier 2007 devant le jury compos´e de :

M. Patrick CATTIAUX (Universit´e de Paris X) - Pr´esident M. Quan-sheng LIU (Universit´e de Bretagne-Sud) -Examinateur M. Nicolas PRIVAULT (Universit´e de Poitiers) - Directeur de th`ese M. Alain ROUAULT (Universit´e de Versailles) - Rapporteur

M. Feng-yu WANG (Universit´e normale de Beijing, Chine) - Rapporteur M. Li-ming WU (Universit´e de Clermont-Ferrand II) - Directeur de th`ese

R´ esum´ e

Cette th`ese consiste en trois parties: principes de grandes d´eviations, in´egalit´es de con- centration convexe et in´egalit´es fonctionnelles. Dans la premi`ere partie nous obtenons un principe de grandes d´eviations par rapport `a la topologie τ pour les suites ´echangeables, et un principe de d´eviations mod´er´ees pour les fonctionnelles additives lipschitziennes des processus de Markov. Dans la deuxi`eme partie nous g´en´eralisons la formule d’Itˆo aux martingales progressives/r´etrogrades. Par cons´equent, nous obtenons des in´egalit´es de concentration convexe pour des int´egrales dirig´ees par des mesures al´eatoires de Poisson et des mouvements browniens, des martingales normales, des processus sym´etriques sta- bles ainsi que dans le mod`ele du gaz continu. Dans la troisi`eme partie nous obtenons une in´egalit´e FKG sur l’espace de Wiener. Nous obtenons aussi une in´egalit´e de trou spectral et une in´egalit´e de concentration convexe pour les processus de naissance et de mort.

Mots-cl´es: principe de grandes d´eviations, in´egalit´e de concentration convexe, formule d’Itˆo aux martingales progressives/r´etrogrades, formule de Clark-Ocone, mod`ele du gaz continu, in´egalit´e FKG, trou spectral, processus de naissance et de mort.

Abstract

This thesis consists of three parts, on the large deviation principle, on convex concen- tration inequalities and on functional inequalities. In the first part we obtain a large deviation principle for exchangeable sequence with respect toτ-topology and a moderate deviation principe for additive Lipschitzian functionals of Markov process. In the second part we generalize the Ito’s formula to forward/backward martingales, and we obtain some convex concentration inequalities for the integrals with respect to Poisson random measure, Brownian motion, normal martingales, symmetric stable process, and also for the continuous gas model. In the third part we get a FKG inequality on classical Wiener space. We also prove spectral gap and convex concentration inequalities for birth-death process.

Keywords: Large deviation principle, convex concentration inequality, Itˆo’s formula for forward/backward martingale, Clark-Ocone formula, continuous gas, FKG inequality, spectral gap, birth-death process.

Remerciements

Je tiens tout d’abord `a remercier

Liming Wu

pour l’encadrement de mes ´etudes de Master en chine et de cette th`ese de doctorat. Durant ces six ann´ees, il a ´et´e porteur d’id´ees et de soutiens permanents sur les math´ematiques et il m’a aussi donn´e de nom- breux de conseils et aides b´en´efiques pour la vie courante. Je suis ´egalement redevable

`a

Nicolas Privault

pour sa direction de th`ese. Durant ces trois ann´ees, j’ai largement b´en´efici´e de son encouragement dans mes choix, ainsi que de son aide pendant mes s´ejours en france. Nos discussions informelles m’ont permis une plus grande r´eflexion sur le monde de la recherche et des publications.

Je remercie tr`es chaleureusement

Alain Rouault

et

Feng-yu Wang

les rappor- teurs pour leurs suggestions constructives, ainsi que

Patrick Cattiaux, Quan-sheng Liu

qui me font l’honneur de composer le jury.

Mes remerciements s’adressent aussi `a l’Ambassade de France en Chine pour m’avoir accord´e cette bourse en ces trois p´eriodes. Merci `a

Magali Moreau

, la re- sponsable du service international `a Poitiers, m’a aid´ee `a g´erer toutes mes d´emarches administratives.

Ald´eric Joulin, Anthony Reveillac, Delphine David, Thomas Forget

et

Thomas Batard

, m’ont guid´ee attentivement dans mes loisirs et dans l’apprentissage de la langue fran¸caise qui est si particuli`ere. Je leur t´emoigne toute mon amiti´e.

Je n’oublie pas non plus tous les membres du laboratoire de Math´ematiques et Applications et de l’Ecole Doctorale de l’Universit´e de La Rochelle, auxquels je t´emoigne ma profonde sympathie.

Mille mercis `a mes copines

Liangzhen Lei, Xiaoqun Zhang

et

Jing Deng

.

Table des mati` eres

0 Introduction et r´esultats principaux 11

0.1 Chapitre 1: PGD pour des suites ´echangeables . . . 13

0.2 Chapitre 2: PDM pour des fonctionnelles lipschitziennes . . . 16

0.3 Chapitre 3: In´egalit´es de concentration convexe . . . 21

0.4 Chapitre 4: Domination convexe pour des int´egrales stables . . . 34

0.5 Chapitre 5: Mod`ele du gaz continu . . . 35

0.6 Chapitre 6: In´egalit´e FKG sur l’espace de Wiener . . . 39

0.7 Chapitre 7: Processus de naissance et de mort . . . 43

I Principes de grandes d´ eviations 51

1 LDP for exchangeable sequences 53 1.1 Introduction and Main result . . . 53

1.2 Preliminaries . . . 56

1.2.1 Several elementary lemmas . . . 56

1.2.2 General lower bound of large deviation . . . 62

1.3 Proof of the main result . . . 64

2 MDP for Lipschitzian functionals 67 2.1 Introduction . . . 67

2.2 Motivation: to beat the irreducibility assumption . . . 68

2.3 Main result . . . 69

2.4 Proof of the main results . . . 70

2.4.1 Some preparations . . . 70

2.4.2 Proof of the results . . . 75

2.5 Applications: Two typical models . . . 79

2.5.1 Linear States Space Model(LSSM) . . . 79

2.5.2 Scalar Nonlinear state Space Model(SNSSM) . . . 80

II In´ egalit´ es de concentration convexe 83

3 Convex concentration inequalities 85

7

3.1 Introduction . . . 85

3.2 Notation . . . 88

3.3 Convex concentration inequalities for martingales . . . 89

3.4 Application to point processes . . . 96

3.5 Application to Poisson random measures . . . 99

3.6 Clark formula . . . 102

3.7 Normal martingales . . . 105

3.8 Appendix . . . 108

4 A convex domination principle 113 4.1 Introduction . . . 113

4.2 Main result . . . 114

4.3 Proof of Theorem 4.2.1 . . . 115

4.3.1 Forward-backward stochastic calculus . . . 115

4.3.2 Integrability of convex functions . . . 116

4.3.3 Proof of Theorem 4.2.1 . . . 117

5 The model of continuous gas 121 5.1 Introduction . . . 121

5.2 Main Results . . . 122

5.3 Proof of the theorems . . . 124

5.4 Stochastic domination . . . 127

III In´ egalit´ es fonctionnelles 131

6 FKG inequality on the Wiener space 133 6.1 Introduction . . . 133

6.2 Analysis on the Wiener space . . . 134

6.3 FKG inequality on the Wiener space . . . 138

6.4 The discrete case . . . 143

7 Spectral gap of birth-death process 145 7.1 Introduction . . . 145

7.2 Representation of ||(−L)⁻¹||_Lip(ρ) . . . 147

7.3 Application to spectral gap . . . 151

7.4 convex concentration inequality . . . 153

7.4.1 Two classic examples . . . 157

Bibliographie 161

Chapitre 0

Introduction et r´ esultats principaux

Cette th`ese de Doctorat d’Universit´e a ´et´e ´elabor´ee sous la direction des professeurs Nicolas Privault et Liming Wu au sein du laboratoire de Math´ematiques et Applications de l’Universit´e de La Rochelle. Elle a b´en´efici´e d’une bourse de l’Ambassade de France en Chine sur une dur´ee de trois ans. Elle est consacr´ee `a l’´etude des principes de grandes d´eviations, de la concentration convexe, et des in´egalit´es fonctionnelles. Nous pr´esentons ici les ´el´ements qui ont motiv´e cette ´etude ainsi qu’un r´esum´e des principaux r´esultats obtenus.

Introduction

La th´eorie du principe de grandes d´eviations (PGD en abr´eg´e) trouve son origine dans les travaux de Donsker et Varadhan [31], I-IV(1975). Ainsi, depuis une vingtaine d’ann´ees l’obtention de principes de grandes d´eviations et le d´eveloppement d’outils th´eoriques ont b´en´efici´e d’un engouement soutenu jusqu’`a devenir une branche des probabilit´es, et ce grˆace `a la multitude de leurs applications possibles, que ce soit dans le domaine des math´ematiques ou de la physique.

Les in´egalit´es fonctionnelles comprennent beaucoup de types d’in´egalit´es, par exemple les in´egalit´e de Poincar´e, in´egalit´e de Sobolev logarithmiques, in´egalit´e FKG etc.. Elles permettent des estimations effectives de queues de distributions. Ainsi elles apparaissent fr´equemment en statistiques et en estimation a priori.

Les in´egalit´es de concentration convexe ont ´et´e premi`erement introduites par Hoeffding dans [42] (1963). Puis elles ont ´et´e appliqu´ees pour obtenir des estimations de queues de distribution et des in´egalit´es fonctionnelles. Prenons deux exemples. Shao [84] (2000) a d´emontr´e comment obtenir des in´egalit´es classiques par les in´egalit´es de concentration convexe, par exemple, l’in´egalit´e maximale de Rosenthal et l’in´egalit´e de Kolmogorov.

Par ailleur, Bentkus [7] (2004) a obtenu des estimations de queues de distributions pour 11

martingales discr`etes born´ees.

Dans la suite de cette partie introductive, nous pr´esentons les r´esultats obtenus au cours de la pr´eparation de cette th`ese. Ils sont g´en´eralement pr´esent´es sous forme de projets d’articles soumis `a des revues internationales. Que le lecteur veuille bien excuser alors l’utilisation de la langue anglaise. Ce chapitre comprend en outre un r´esum´e en fran¸cais de chacun de ces articles, en explicitant leur contenu et esquissant les d´emonstrations.

Cette th`ese comprend trois parties principales: principes de grandes d´eviations, in´egalit´es de concentration convexe et in´egalit´es fonctionnelles.

La premi`ere partie traite du PGD dans les Chapitres 1 et 2.

Dans un premier temps, au cours d’un travail ´elabor´e en collaboration avec Qiongxia Song et Liming Wu, nous avons ´etabli un PGD pour les suites ´echangeables. Nous donnons des conditions suffisantes et n´ecessaires pour le PGD par rapport `a la topologie τ,qui est telle que pour toute fonctionf mesurable born´ee et toute mesureµ, µ7→µ(f) est continue.

Le deuxi`eme chapitre est consacr´e `a l’´etude du principe de d´eviations mod´er´ees pour les processus de Markov, trait´e en collaboration avec Qiongxia Song. Notre m´ethode re- pose sur celle de Wu dans [92]. Nous utilisons le th´eor`eme de perturbation analytique d’op´erateurs de Kato pour v´erifier la condition C²−r´egularit´e, qui donne le principe de d´eviations mod´er´ees pour les fonctionnelles additives lipschitziennes. Note que, dans notre travail, le processus de Markov n’est pas n´ecessairement irr´eductible et nous rempla¸cons cette condition par la contractibilit´e du semigroupe.

La deuxi`eme partie, quant `a elle, est une ´etude des in´egalit´es de concentration convexe dans les Chapitres 3, 4, 5.

Le troisi`eme chapitre, ´elabor´e en collaboration avec Thierry Klein et Nicolas Privault, con- cerne des in´egalit´es de concentration convexe. Tout d’abord nous g´en´eralisons la formule d’Itˆo aux martingales progressives/r´etrogrades. Consid´erant la somme d’une martingale progressive et d’une martingale r´etrograde, nous obtenons des in´egalit´es de concentration convexe pour cette somme. Par cons´equent, nous obtenons des in´egalit´es de concentration convexe pour les int´egrales dirig´ees par un mouvement brownien et une mesure al´eatoire de Poisson non n´ecessairement ind´ependants ainsi que pour les int´egrales par rapport `a des martingales normales. Puis nous appliquons la formule de Clark-Ocone pour obtenir des in´egalit´es de concentration convexe pour les variables al´eatoires de carr´e int´egrable sur certains espaces probabilis´es.

Puis avec Ald´eric Joulin, dans le Chapitre 4, nous consid´erons des processus α−stables sym´etriques. Nous poursuivons les id´ees du Chapitre 3 pour obtenir des in´egalit´es de concentration convexe pour les int´egrales stochastiques browniennes et stables corr´el´ees.

C’est le cas pour les sauts non-born´es et de variance infinie.

0.1. CHAPITRE 1: PGD POUR DES SUITES ´ECHANGEABLES 13

Le cinqui`eme chapitre est consacr´e au mod`ele du gaz continu. En appliquant de nou- veau des id´ees du Chapitre 3, nous obtenons les in´egalit´es de concentration convexe en esp´erance, pour la covariance et de type brownien pour la mesure de Gibbs du gaz con- tinu. De plus, nous prouvons que la mesure de Gibbs est stochastiquement domin´ee par la mesure correspondante de Poisson.

L’objectif de la trois`eme partie est d’´etudier des in´egalit´es fonctionnelles dans les Chapitres 6, 7.

Dans le Chapitre 6, avec Nicolas Privault, nous prouvons une in´egalit´e FKG sur l’espace de Wiener classique. A l’aide de la formule de Clark-Ocone et du calcul de Malliavin, nous donnons une nouvelle approche permettant d’obtenir l’in´egalit´e FKG sur l’espace de Wiener classique muni d’une certaine relation ordre.

Le dernier chapitre, en collaboration avec Wei Liu, est relative aux in´egalit´es de trou spectral et de concentration convexe des processus de naissance et de mort. Nous con- sid´erons des processus de naissance et de mort de g´en´erateurLet de mesure invarianteµ.

Etant donn´ee une fonction ρ strictement croissante, d´efinissons une norme lipschitzienne

|| · ||Lip(ρ) par rapport `a ρ.D’abord, nous obtenons une repr´esentation de ||(−L)⁻¹||Lip(ρ). Puis comme application, nous avons le trou spectral de L dans L²(µ). De plus, nous obtenons une in´egalit´e de concentration convexe pour des martingales de saut pur et en- suite pour des fonctionnelles des processus de naissance et de mort.

0.1 Principe de grandes d´ eviations pour des suites

´

echangeables par rapport ` a la topologie τ : con- ditions suffisantes et n´ ecessaires

Dans cette partie nous pr´esentons les r´esultats que nous avons obtenus, en collaboration avec Qiongxia Song et Liming Wu, concernant un principe de grandes d´eviations pour des suites ´echangeables par rapport `a la topologie τ. Ce travail est publi´e dans la revue Statistics and Probability Letters, 77(3), 239-246, 2007.

Soient (X_k)_k≥0 une suite ´echangeable de variables al´eatoires `a valeurs dans un espace polonais E, c’est-`a-dire que (X₀, X₁,· · · , X_n) a la mˆeme loi que (X_σ(0), X_σ(1),· · · , X_σ(n)) quelle que soit la permutation {σ₍₁₎,· · · , σ_(n)} de{1,· · · , n}, ∀n≥1.

Consid´erons les mesures empiriques (ou d’occupation) L_n := 1

n Xn−1

k=0

δ_Xk ( o`u δ_· d´esigne la mesure de Dirac en ·), n≥1,

qui sont des ´el´ements al´eatoires deM₁(E) l’espace des mesures de probabilit´e surE muni de la σ-alg`ebre B(M<sub>1</sub>(E)) = σ(ν 7→ ν(f)|f ∈ bB), o`u bB est l’espace des fonctionnelles B-mesurables born´ees. Les mesures empiriques du processus sont

R_n := 1 n

Xn−1

k=0

δ_{(Xk,Xk+1,···)}, n≥1,

et appartient `a M<sub>1</sub>(E<sup>N</sup>) l’espace des mesures de probabilit´e sur E<sup>N</sup> muni de la σ-alg`ebre B(M1(E^N)) = σ(Q7→Q(F)|F ∈bF₀^N, N ≥0), o`u F₀^N =σ(Xk; 0≤k ≤N).

Par le th´eor`eme de de Finetti, la loi P de (X<sub>k</sub>)<sub>k≥0</sub> est un m´elange des mesures produit homog`enes, i.e., il existe une mesure de probabilit´em surM₁(E) telle que

P= Z

M1(E)

ρ^Ndm(ρ). (0.1.1)

Ainsi le PGD pour les suites ´echangeables se r´eduit certainement au cas ind´ependant et identiquement distribu´e comme le lecteur peut l’imaginer. Toutefois cette r´eduction pr´esente des difficult´es, comme d´emontr´e dans [24], [26], [85], [91], [97].

Les suites ´echangeables sont appliqu´ees aux statistiques de Bayes et aux statistiques de

’bootstrap’, voir les travaux r´ecents de Chen ([14]), Trashorras ([86]) et Chaganty ([13]).

Le lecteur peut se r´ef´erer `a Aldous [1] (1985) pour d’autres applications.

Maintenant nous pr´esentons les r´esultats qui ont motiv´e ce travail. De Acosta [26] (1995) a prouv´e une bonne borne sup´erieure du PGD pour _n¹P_n

k=1X_k avec une fonction convexe de taux qui, en g´en´eral, n’est pas exacte. Quand E est fini, le troisi`eme auteur Wu [91]

(1991) a obtenu le premier PGD complet pour Rn et a trouv´e que sa fonction de taux n’´etait pas convexe (donc on ne pouvait pas utiliser le th´eor`eme de Ellis-Gart¨ener). Puis, ce sujet a ´et´e ´etudi´e avec succ`es par Dinwoodie et Zabell [32] (1992) et Daras [24] (1997) et Trashorras [85] (2002). Par exemple, Daras [25] (2002) a obtenu le PGD de Rn par rapport `a la topologie de la convergence faible quand E est compact. La motivation di- recte de ce travail est l’article r´ecent de Wu [98] (2004), o`u les PGDs pourL_n sur M₁(E) et pour Rn sur M1(E^N) par rapport `a la topologie de la convergence faible ont ´et´e bien caract´eris´es par la compacit´e du support dem sous la topologie de la convergence faible.

Dans cet article, nous allons caract´eriser le PGD correspondant par rapport `a la topologie τ.

La topologie τ sur M₁(E) est la topologie la plus faible sur M₁(E) telle que quelle que soit la fonctionf ∈bB, ν 7→ν(f) est continue, o`u ν(f) := R

Ef dν.La limite projective de

0.1. CHAPITRE 1: PGD POUR DES SUITES ´ECHANGEABLES 15 la topologie τ sur M₁(E^N), not´e par τ_p, est d´efinie comme la topologie la plus faible telle que pour toute F ∈bF₀^N, Q7→Q(F) est continue sur M₁(E^N).

Le r´esultat principal de cette partie est le th´eor`eme suivant et exprim´e dans le langage de [30]:

Th´eor`eme 0.1.1. SoitS<sub>τ</sub> le support topologique de la mesuremapparaissant dans (0.1.1) par rapport `a la topologie τ. Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes:

(a) Quand n tend vers l’infini, la loi de L_n satisfait au PGD sur M₁(E) par rapport `a la topologie τ, avec certaine fonction de taux I :M₁(E)→[0,+∞].

(Convention: le PGD implique n´ecessairement que la fonction de taux est bonne ou τ-inf-compacte, i.e., [I ≤L] est τ-compact, ∀L∈R⁺.)

(b) La loi de R_n satisfait au PGD sur M₁(E^N) par rapport `a la topologie τ_p avec la fonction de taux donn´ee par

J(Q) := inf

ρ∈Sτ

h_sp(Q|ρ^N), ∀Q∈M₁(E^N), (0.1.2) o`u h<sub>sp</sub>(Q|ρ<sup>N</sup>) est l’entropie relative sp´ecifique de Q par rapport `aρ^N, i.e.,

hsp(Q|ρ^N) :=









lim_n→∞ ¹_nh(Q_[0,n−1]|ρⁿ) si Q∈M₁^s(E^N)

+∞ sinon,

(0.1.3)

o`u M<sub>1</sub><sup>s</sup>(E<sup>N</sup>) est l’espace des Q ∈ M<sub>1</sub>(E<sup>N</sup>) qui sont stationnaires, Q<sub>[0,n−1]</sub> est la loi des n premi`eres coordonn´es (X_k)_{0≤k≤n−1} de E^N sousQ, h(Q_[0,n−1]|ρⁿ)est l’entropie relative de Q_[0,n−1] par rapport `a ρⁿ (voir (0.1.5) pour la d´efinition).

(c) Le support S_τ =supp_τ(m) est τ-compact dans M₁(E).

Dans ce cas, la fonction de taux dans le PGD de partie (a) est donn´ee par

I(ν) =infρ∈Sτh(ν|ρ), ∀ν∈M1(E). (0.1.4)

o`u h(ν|ρ) est l’entropie relative de Kullback de ν par rapport `a ρ, i.e.,

h(ν|ρ) :=







 R

E dν

dρlog^dν_dρdρ, si ν << ρ

+∞ sinon

(0.1.5)

Remarque 0.1.2. Puisque S_τ est compact par rapport `a la topologie de la convergence faible quand il est τ-compact, nos PGDs dans parties (a) et (b) du Th´eor`eme 0.1.1 sont plus forts que ceux de [93]. Cette am´elioration est utile car en pratique les observations sont discr`etes

Compar´e avec [93], la nouvelle difficult´e principale r´eside dans le fait que la topologieτ sur M₁(E) n’est pas m´etrisable et donc beaucoup d’ingr´edients techniques dans [93], n’´etant pas du tout valides, doivent ˆetre refaits ou adapt´es. Heureusement, par le th´eor´eme dans [81], (S_τ, τ) est m´etrisable quand S_τ est τ−compact et en fait par (0.1.1) les informa- tions sur S_τ sont suffisantes. Donc par des arguments classiques, nous avons ´etabli un principe de grandes d´eviations. D’autre part, le Lemme 1.2.3, qui permet de caract´eriser la compacit´e relative de S_τ dans (M₁(E), τ),joue un role cl´e pour la n´ecessit´e.

0.2 Principe de D´ eviations mod´ er´ ees pour des fonc- tionnelles additives lipschitziennes des processus de Markov

Ce travail, en collaboration avec Qiongxia Song, concernant un principe de d´eviations mod´er´ees pour des fonctionnelles lipschitziennes des processus de Markov, est publi´e dans la revue Acta Math. Sin. (s´erie chinoise), 2007 50(1): 33-42.

Les estimations de d´eviations mod´er´ees, comme les estimations de grandes d´eviations, trouvent leur origine en Statistiques. Elles offrent des estimations plus pr´ecises que le th´eor`eme de la limite centrale. Soit (X_k)_k≥0 un processus de Markov sur (Ω,F,P). Posons Ln:= ¹_nP_n

k=1δXk, o`uδx d´esigne la mesure de Dirac en x,et consid´erons la limite de P<sub>ν</sub>(L<sub>n</sub>(f)−m(f)∈A<sub>n</sub>), (0.2.1) o`u m est la mesure invariante du processus de Markov (X_n)_n≥0, ν est la distribution initiale de X0, f est une fonctionnelle lipschitzienne, An est un ensemble borelien de R.

0.2. CHAPITRE 2: PDM POUR DES FONCTIONNELLES LIPSCHITZIENNES 17 QuandA_n=Apour toutn, (0.2.1) est l’estimation de grandes d´eviations, quand quelque soit n, An= ^√1_nA,(0.2.1) est le th´eor`eme de la limite centrale. Si An = <sup>λ(n)√</sup><sub>n</sub>A, o`u

0< λ(n), λ(n)→ ∞,λ(n)

√n →0,

(0.2.1) devient l’estimation de d´eviations mod´er´ees. Dans ce cas, (0.2.1) peut ˆetre ´ecrit comme

P_ν µ √

n

λ(n)(L_n(f)−m(f))∈A

¶ .

Ainsi, elle est une estimation entre le th´eor`eme de la limite centrale et l’estimation de grandes d´eviations.

Dans les ann´ees r´ecentes, il y a eu beaucoup de r´esultats du principe de d´eviations mod´er´ees. Pour le cas ind´ependant et identiquement distribu´e, il existe des r´esultats optimaux (voir [22], (1991) et [55], (1992)). Pour une ´etude syst´ematique du principe de d´eviations mod´er´ees pour les martingales, voir, cf. Puhaliski, 1993 et Djellout, 2001.

R´ecemment, plus en plus de travaux sont r´ealis´es pour le cas d´ependant. Dans Gao [37] (1993), le principe de d´eviations mod´er´ees pour les processus Doeblin r´ecurrent de Markov a ´et´e bien discut´e. Ensuite en 1996 dans [38], il a ´etabli un principe de d´eviations mod´er´ees pour les martingales et les processus al´eatoires m´elangeants. Wu, dans son article [91] (1995), a donn´e un principe de d´eviations mod´er´ees pour les fonctionnelles additives lipschitziennes du processus de Markov avec un trou spectral. Il a consid´er´e des fonctionnelles dans les espacesbB, C_b(E) etL²(E).Il a introduit laC²-r´egularit´e et prouv´e que cette condition a ´et´e suffisante et n´ecessaire pour le principe de d´eviations mod´er´ees par le th´eor`eme de perturbation analytique d’op´erateurs de Kato. De Acosta, dans son travail [27] (1997), a obtenu la borne inf´erieure du principe de d´eviations mod´er´ees pour les mesures empiriques de la chaˆıne de Markov. Wu, dans son article [92] (2001) a obtenu le principe complet de d´eviations mod´er´ees sous l’hypoth`ese de r´ecurrence exponentielle et puis Djellout et Guillin (2002) ont relax´e cette condition.

Tous les r´esultats pr´ec´edents sont sous l’hypoth`ese fondamentale que le processus de Markov est irr´eductible (`a part pour quelques r´esultats de [92]). Mais, comme on voit, beaucoup de processus de Markov ne sont pas irr´eductibles. Nous allons pr´esenter deux exemples typiques comme application. En fait, le but le plus direct de ce travail est de remplacer la condition d’irr´eductibilit´e par la contractibilit´e du semigroupe.

Soit (E, d) un espace polonais connexe par arc, i.e., il satisfait:

d(x, y) = inf

γ lim

δ→0 sup

τ:|τ|≤δ

Xn

i=0

d(γ(t_i), γ(t_i+1)),

o`u γ est une courbe continue connectant x et y (i.e., γ(0) = x, γ(1) = y) et τ est une partition, τ = {0 = t0 < t1 <· · · < tn = 1}, |τ| := max1≤i≤n|γ(ti)−γ(ti−1)|. E est la

σ-alg`ebre de Borel de (E, d). Nous d´esignons par M₁(E) l’espace des mesures de proba- bilit´e sur (E,E) et par bE l’espace des fonctionnelles mesurables born´ees surE. Pour une fonctionnelle mesurable f et une mesure µ, nous ´ecrivons µ(f) = hf, µi=R

Ef dµ.

Une fonctionf :E 7→R est dite une fonctionnelle lipschitzienne si

||f||_Lip := lim sup

d(x,y)>0

|f(x)−f(y)|

d(x, y) <+∞.

Nous d´efinissons un op´erateur gradient sur E comme:

|∇f(x)|:= lim sup

y→x

|f(x)−f(y)|

d(x, y) .

Soit (Ω,F,(F_k)_k≥0,(X_k),(P_x)_x∈E) une chaˆıne de Markov de probabilit´e de transitionP et P_ν =R

EP_xν(dx) pour une mesure initiale ν ∈ M₁(E). Nous travaillons sous l’hypoth`ese essentielle suivante:

(H₁) ||P||_Lip <+∞;∃N >0 et r∈[0,1) tels que

||P^Nf||_Lip ≤r||f||_Lip, quelle que soit la fonctionnelle lipschitziennef.

Il est facile de prouver que sous (H₁), P poss`ede une mesure de probabilit´e unique invari- antem telle que L<sub>0</sub> :=m(d(x, x<sub>0</sub>))<∞. Consid´erons (C<sub>Lip</sub>,||| · |||), l’espace des fonction- nelles lipschitziennes sur (E, d) o`u la norme|||·|||est d´efinie comme|||·|||=||·||_Lip+|m(·)|.

Nous ´etudions la d´eviation mod´er´ee de L_n(f) sachant le processsus de Markov (X_n)_n≥0, o`uLn(f) a la repr´esentation suivante:

L_n(f) = 1 n

Xn−1

k=0

f(X_k). (0.2.2)

Le r´esultat principal de cette partie est le suivant:

Th´eor`eme 0.2.1. Supposons que le noyau de transitionP satisfait (H₁). Soit (λ(n))_n≥0 une suite positive satisfaisant:

0< λ(n), λ(n)→ ∞,λ(n)

√n →0.

Si f :E 7→R v´erifie la condition:

(C) f est lipschitzienne, f ∈bE et |∇f(x)(1 +d(x0, x))| ≤c pour certain c >0,

0.2. CHAPITRE 2: PDM POUR DES FONCTIONNELLES LIPSCHITZIENNES 19 alors

(i)P_ν(√

n[L_n(f)−m(f)]∈ ·) converge faiblement vers N(0, σ²(f))uniform´ement en ν ∈ B_L quelque soit L ≥ L₀ quand n tend vers l’infini, o`u N(0, σ²(f)) est la loi normale, B_L:={ν ∈M₁(E)/ν(d(x₀,·))≤L} et σ²(f) est donn´ee par

σ²(f) =m(f −m(f))²+ 2 X∞

k=1

m(P_kf(f −m(f))). (0.2.3)

(ii)

³

P_ν(_λ(n)^√n[L_n(f)−m(f)]∈ ·)

´

satisfait au PGD uniform´ement enν ∈B_L pour tout L≥L₀, de vitesse λ⁻²(n) et de fonction de taux I_f(r) = _2σ^r2²(f). Autrement dit, pour tout ensemble borelien A⊂R, nous avons

lim sup

n→∞ λ⁻²(n) log sup

ν∈BL

µ P_ν(

√n

λ(n)[L_n(f)−m(f)]∈A)

¶

≤ −inf

z∈AI_f(z);

et

lim inf

n→∞ λ⁻²(n) log sup

ν∈BL

µ Pν(

√n

λ(n)[Ln(f)−m(f)]∈A)

¶

≥ − inf

z∈A^oIf(z).

Nous suivons la m´ethode de Wu ([92]). D’abord nous rappelons la d´efinition deC²−r´egularit´e, qui est suffisante et n´ecessaire d’avoir le principe de d´eviations mod´er´ees et le th´eor`eme de la limite centrale.

Posons

Λ^t_² =²log Z

R

exp(tx/²)dµⁱ_².

D´efinition 0.2.2. Nous disons que (µⁱ_², i ∈ A)²→0 sont C²-r´eguli`eres `a droite (resp. `a gauche) uniform´ement en A, si [Λⁱ_²]⁰⁰(t) → Λ⁰⁰(t) uniform´ement pour i ∈ A et t ∈ [0, δ]

(resp. t ∈ [−δ,0]), o`u Λ<sup>00</sup>(0) est interpr´et´ee comme la d´eriv´ee seconde `a droite Λ⁰⁰₊(0) :=

lim_t→0⁺(Λ⁰(t)−Λ⁰₊(0))/t [resp. Λ⁰⁰₋(0)]. Si elles sontC²−r´eguli`eres uniform´ement en A`a droite et `a gauche en mˆeme temps , nous disons qu’elles sont C<sup>2</sup>-r´eguli`eres uniform´ement en A.

Puis d´efinissons l’op´erateur de perturbation de P par P^f(x, dy) =e^fP(x, dy).

Nous avons alors, par la formule de Feynman-Kac, (P^f)ⁿg(x) =E^xg(X_n) exp

(_n−1 X

k=0

f(X_k) )

.

Donc soit µ^ν_² la loi de Ln(f) sous Pν avec ² = _n¹, la fonction Λ^ν_² d´efinie au-dessus est

´equivalente `a <sup>1</sup><sub>n</sub>log < ν,(P<sup>f</sup>)<sup>n</sup>1(x)> . Par cons´equent, la C<sup>2</sup>−r´egularit´e devient une pro- pri´et´e de l’op´erateur de perturbation P<sup>f</sup>. Nous v´erifions que z 7→ P<sup>zf</sup>g est holomorphe born´ee pour toute fonction lipschitzienne g.Puis appliquant le th´eor`eme de perturbation analytique d’op´erateurs de Kato `aP^f, nous finissons la preuve.

La section suivante concerne deux exemples classiques comme application.

Mod` ele d’espace des ´ etats lin´ eaires (MEEL)

Le mod`ele (voir [63], Chap.1) est donn´e comme suivant:

X = (X_k)_k≥0 est un processus stochastique sur R^d qui satisfait X_k+1 =F X_k+GW_k+1, k ≥0.

X0 est arbitraire, F est une matrice d×d, et G est une matrice d× p. (Wk)k≥0 sont variables al´eatoires ind´ependantes et identiquement distribu´ees sur R^p et ind´ependantes deX₀.

Corollaire 0.2.3. Soitr_sp(F) := max{|λ|/λ∈ C est une valeur propre de F}.Supposons que r_sp(F)<1, alors nous obtenuons le principe de d´eviations mod´er´ees pour toute fonc- tionnelle f satisfaisant la condition (C).

Remarque 0.2.4. La mesure invariante m est la loi de X_∞.

Mod` ele d’espace des ´ etats scalaires nonlin´ eaires (MEESN)

Etudions le mod`ele non lin´eaire suivant dans´ R^d(d≥1):

X₀(x) = x∈R^d, X_n+1(x) =F(X_n(x), W_n+1), n≥0,

o`u (W<sub>n</sub>)<sub>n≥0</sub> est une suite de variables al´eatoires `a valeurs dans R^k(k ≥1) ind´ependantes et identiquement distribu´ees, avec F :R^d×R^k 7→R^d une fonction.

0.3. CHAPITRE 3: IN ´EGALIT ´ES DE CONCENTRATION CONVEXE 21 Corollaire 0.2.5. Si ||F(x, w)− F(y, w)|| ≤ r||x −y||,0 ≤ r < 1,|| · || d´esigne une norme arbitraire dans R^d.Alors le principe de d´eviations mod´er´ees est satisfait pour toute fonctionnelle f satisfaisant la condition (C).

Remarque 0.2.6. La th´eorie classique demande toujours que la loi de (W_n)_n≥0 soit int´egrable et absolument continue par rapport `a la mesure de Lebesgue. En fait, la con- tinuit´e absolue est n´ecessaire pour l’irr´eductibilit´e. Mais ici, nous posons seulement cer- taines hypoth`eses sur F dans les mod`eles MEEL et MEESN.

D`es maintenant, nous nous tournons `a la deuxi`eme partie concernant les in´egalit´es de concentration convexe.

0.3 In´ egalit´ es de concentration convexe et calcul stochas- tique pour les martingales progressives/r´ etrogrades

Ce travail est ´elabor´e avec Thierry Klein et Nicolas Privault, et publi´e dans Electronic Journal of Probab.,Vol 11, 2006.

En 1963, Hoeffding [42] a premi`erement introduit l’in´egalit´e de concentration convexe pour les variables al´eatoires de Bernoulli, i.e., pour toute fonction convexe φ, on a

E[φ(S_n)]≤E[φ(S_n^∗)], o`u S_n = P_n

k=1X_k est la somme de variables al´eatoires (X_k)_1≤k≤n ind´ependantes de Bernoulli de param`etre (pk)1≤i≤n et S<sub>n</sub><sup>∗</sup> est une variable al´eatoire binomiale B(n,p) o`u¯

¯

p est le moyen arithm´etique de (p_k)_1≤k≤n. Cette type d’in´egalit´e est tr`es utile pour obtenir des estimations de queues de distributions comme d´emontr´e dans [42] (1963), et Bretagnolle [9] (1981) a donn´e une version fonctionnelle de ce r´esultat. Pinelis dans [73] (1994) et [74] (1998) a ´etudi´e un cas plus g´en´eral o`u φ a ´et´e dans une famille plus grande. Shao [84] (2000) a trait´e les variables n´egativement associ´ees, et a montr´e com- ment obtenir quelques in´egalit´es classiques, par exemple l’in´egalit´e maximale de Rosen- thal et l’ in´ın´egalit´e de Kolmogorov, par l’in´egalit´e de concentration convexe. Bentkus [7] (2004) a utilis´e les in´egalit´es de concentration convexe pour obtenir des estimations de queues de distributions pour les martingales discr`etes born´ees. Klein dans sa th`ese [53] (2003) s’est concentr´e sur les in´egalit´es de concentration convexe. Il a prouv´e des in´egalit´es de concentration convexe pour les processus ponctuels `a sauts positifs par le calcul stochastique. Dans cette section, nous g´en´eralisons les r´esultats de [53] `a un cadre

plus g´en´eral. Tout d’abord, nous g´en´eralisons la formule d’Itˆo aux martingales progres- sives/r´etrogrades, qui sera utilis´ee tr`es souvent dans cette th`ese. Puis appliquant cette formule, nous obtenons des in´egalit´es de concentration convexe pour les int´egrales stochas- tiques dirig´ees par une mesure al´eatoire de Poisson et par un mouvement brownien non n´ecessairement ind´ependants, et aussi pour les int´egrales par rapport `a des martingales normales. A l’aide de la formule de Clark-Ocone, nous obtenons des in´egalit´es de concen- tration convexe pour des fonctionnelles g´en´erales.

Deux variables al´eatoires F etG satisfont `a une in´egalit´e de concentration convexe si E[φ(F)]≤E[φ(G)] (0.3.1) pour toute fonction convexe φ : R → R. Par un argument classique, l’application de (0.3.1) `a φ(x) = exp(λx),λ >0, implique la borne de d´eviation

P(F ≥x)≤ inf

λ>0E[e^λ(F−x)1_{F≥x}]≤ inf

λ>0E[e^λ(F−x)]≤ inf

λ>0E[e^λ(G−x)], (0.3.2) x > 0, ainsi la probabilit´e de d´eviation pour F peut ˆetre estim´ee via la transform´ee de Laplace de G, voir [7] (1981) et [74] (1998) pour plus de r´esultats sur ce sujet.

Soit (Ω,F, P) un espace probabilis´e muni d’une filtration croissante (F_t)_t∈R+ et une filtra- tion d´ecroissante (F_t^∗)_t∈R+. Consid´erons (M_t)_t∈R+ une martingale progressive par rapport

`a F<sub>t</sub> et (M<sub>t</sub><sup>∗</sup>)<sub>t∈R+</sub> une martingale r´etrograde par rapport `a F_t^∗. Nous supposons toujours que (M_t)_t∈R+ est c`adl`ag, et que (M_t^∗)_t∈R+ est c`agl`ad. D´esignons par (M_t^c)_t∈R+ (resp.

(M_t^∗c)_t∈R+) la partie continue de (M_t)_t∈R+ (resp. de (M_t^∗)_t∈R+). Le processus (M_t)_t∈R+ (resp. (M_t^∗)_t∈R+) a la mesure de saut

µ(dt, dx) =X

s>0

1_{∆Ms6=0}δ_(s,∆Ms)(dt, dx), ( resp. µ^∗(dt, dx) = X

s>0

1_{∆^∗_Ms^∗_6=0}δ_(s,∆^∗_Ms^∗₎(dt, dx)),

o`uδ_(s,x) d´esigne la mesure de Dirac en (s, x)∈R₊×R.Soit ν(dt, dx) (resp. ν^∗(dt, dx)) la projection duale (F_t)_t∈R+-pr´evisible ((F_t^∗)_t∈R+-pr´evisible) deµ(dt, dx) (resp. deµ^∗(dt, dx)), i.e.Z _t

0

Z _∞

−∞

f(s, x)(µ(ds, dx)−ν(ds, dx)) (resp.

Z _∞

t

Z _∞

−∞

g(s, x)(µ^∗(ds, dx)−ν^∗(ds, dx))) est une martingale locale F_t-progressive (F_t^∗-r´etrograde) pour tout processus f (resp. g) F_t-pr´evisible (resp. F_t^∗-pr´evisible) et suffisamment int´egrable. Ils ont les formes suivantes:

ν(du, dx) =ν_u(dx)du et ν^∗(du, dx) = ν_u^∗(dx)du, (0.3.3) et

dhM^c, M^ci_t=|H_t|²dt, et dhM^∗c, M^∗ci_t =|H_t^∗|²dt, (0.3.4) o`u (Ht)t∈R+, (H<sub>t</sub><sup>∗</sup>)t∈R+, sont respectivement pr´evisibles par rapport `a (Ft)t∈R+ et `a (F_t^∗)t∈R+.

0.3. CHAPITRE 3: IN ´EGALIT ´ES DE CONCENTRATION CONVEXE 23

Formule g´ en´ eralis´ ee d’Itˆ o

Nous g´en´eralisons la formule d’Itˆo aux martingales progressives/r´etrogrades.

Th´eor`eme 0.3.1. Soient (M_t)_t∈R+ et (M_t^∗)_t∈R+ les processus au-dessus. Supposons que M_t(resp. M_t^∗) est F_t^∗-adapt´e (resp. F_t-adapt´e). Alors quelle que soit la fonction f ∈ C²(R²,R), nous avons

f(Mt, M_t^∗)−f(M0, M₀^∗)

= Z _t

0⁺

∂f

∂x₁(M_u⁻, M_u^∗)dM_u+ 1 2

Z _t

0

∂²f

∂x²₁(M_u, M_u^∗)dhM^c, M^ci_u

+ X

0<u≤t

µ

f(M_u, M_u^∗)−f(M_u⁻, M_u^∗)−∆M_u ∂f

∂x₁(M_u⁻, M_u^∗)

¶

− Z _t⁻

0

∂f

∂x₂(M_u, M_u^∗+)d^∗M_u^∗− 1 2

Z _t

0

∂²f

∂x²₂(M_u, M_u^∗)dhM^∗c, M^∗ci_u

− X

0≤u<t

µ

f(M_u, M_u^∗)−f(M_u, M_u^∗+)−∆M_u^∗ ∂f

∂x₂(M_u, M_u^∗+)

¶ , o`u d^∗ d´esigne la diff´erentielle r´etrograde d’Itˆo.

La section suivante est une application de la formule g´en´eralis´ee d’Itˆo.

In´ egalit´ e de concentration convexe pour des martingales

Appliquant la formule `af(x, y) =φ(x+y), nous prouvons que la fonctionE[φ(M_t+M_t^∗)]

est d´ecroissante. Voici les th´eor`emes:

Th´eor`eme 0.3.2. Soient

¯

ν_u(dx) = xν_u(dx), ν¯_u^∗(dx) =xν_u^∗(dx), u∈R₊, et supposons que :

i) Les supports de ν, ν^∗ sont dans R₊,

ii) ν¯_u([x,∞))≤ν¯_u^∗([x,∞))<∞, x, u∈R, et iii) |Hu| ≤ |H_u^∗|, dP du−p.s.

Donc nous avons:

E[φ(M_t+M_t^∗)]≤E[φ(M_s+M_s^∗)], 0≤s≤t, (0.3.5) pour toute fonctionnelle convexe φ sur R.

Le th´eor`eme suivant est une version diff´erente du mˆeme r´esultat sous des hypoth`esesL²−.

Th´eor`eme 0.3.3. Soient

˜

ν_u(dx) =|x|²ν_u(dx) +|H_u|²δ₀(dx), ν˜_u^∗(dx) = |x|²ν_u^∗(dx) +|H_u^∗|²δ₀(dx), u∈R₊, et supposons que:

˜

νu([x,∞))≤ν˜_u^∗([x,∞))<∞, x∈R, u∈R+. Alors nous avons:

E[φ(M_t+M_t^∗)]≤E[φ(M_s+M_s^∗)], 0≤s≤t, (0.3.6) quelle que soit la fonctionnelle φ sur R telle que φ⁰ est convexe.

Remarque 0.3.4. Dans le cas |H_t| = |H_t^∗| et ν_t = ν_t^∗, dP dt-p.s., nous pouvons avoir l’identit´e

E[φ(M_t+M_t^∗)] =E[φ(M_s+M_s^∗)], 0≤s≤t, (0.3.7) pour toute fonction suffisamment int´egrable φ:R→R.

En particulier, la relation (0.3.7) s’´etend naturellement aux cas des accroissements ind´ependants:

´etant donn´ees (Z_s)_s∈[0,t], ( ˜Z_s)_s∈[0,t]deux copies ind´ependantes d’un processus de L´evy sans d´erive, d´efinissons une martingale r´etrograde (Z_s^∗)_s∈[0,t] commeZ_s^∗ = ˜Z_t−s, s∈[0, t], donc par la convolution, E[φ(Z_s+Z_s^∗)] = E[φ(Z_t)] qui ne d´epend pas de s∈[0, t].

Remarque 0.3.5. Si φ est croissante, le Th´eor`eme 0.3.2, le Th´eor`eme 0.3.3, le Corol- laire 0.3.8 et le Corollaire 0.3.7 s’´etendent aux semi-martingales ( ˆMt)t∈R+, ( ˆM_t^∗)t∈R+

repr´esent´ees par

Mˆt =Mt+ Z _t

0

αsds et Mˆ_t^∗ =M_t^∗+ Z _+∞

t

βsds, (0.3.8) avec (αt)t∈R+, (βt)t∈R+ respectivementFt et F_t^∗-adapt´es et αt≤βt, dP dt-p.s.

0.3. CHAPITRE 3: IN ´EGALIT ´ES DE CONCENTRATION CONVEXE 25 Soit maintenant (F_t^M)_t∈R+ (resp. (F_t^M∗)_t∈R+) la filtration engendr´ee par (M_t)_t∈R+ (resp.

(M_t^∗)_t∈R+).

Corollaire 0.3.6. Sous les hypoth`eses du Th´eor`eme 0.3.2, si de plus E[M_t^∗|F_t^M] = 0, t∈R₊. Alors

E[φ(M_t)]≤E[φ(M_s+M_s^∗)], 0≤s≤t. (0.3.9) En particulier, si M₀ = E[M_t] est d´eterministe (ou F₀^M est la σ-alg`ebre triviale), le Corollaire 0.3.6 dit que M_t−E[M_t] est plus concentr´e que M₀^∗:

E[φ(M_t−E[M_t])]≤E[φ(M₀^∗)], t≥0.

Le cas `a sauts born´es

Ayant ces th´eor`emes, maintenant nous ´etudions des cas concrets, premi`erement le cas `a sauts born´es. Supposons que ν^∗(dt, dx) a la forme

ν^∗(dt, dx) = λ^∗_tδkdt, (0.3.10) o`uk est une certaine constante positive et (λ^∗_t)_t∈R+ est un processus positif F_t^∗-pr´evisible.

Posons

λ_1,t= Z _+∞

−∞

xν_t(dx), (resp. λ²_2,t = Z _+∞

−∞

|x|²ν_t(dx)), t∈R₊

le compensateur (resp. la variation quadratique) de la partie de saut de (Mt)t∈R+, sous l’hypoth`ese

Z _+∞

−∞

|x|ν_t(dx)<∞, (resp.

Z _+∞

−∞

|x|²ν_t(dx)<∞), (0.3.11) t∈R₊, P-p.s..

Corollaire 0.3.7. Supposons que le saut de (Mt)t∈R+ (resp. de (M_t^∗)t∈R+) satisfait (0.3.11)(resp. (0.3.10)), que(Mt)t∈R+ (resp. (M_t^∗)t∈R+) estF_t^∗-adapt´e (Ft-adapt´e). Donc nous avons :

E[φ(Mt+M_t^∗)]≤E[φ(Ms+M_s^∗)], 0≤s≤t, (0.3.12) pour toute fonction convexe φ:R→R sous l’une des trois conditions suivantes:

i) 0≤∆M_t≤k, dP dt−p.s., et

|H_t| ≤ |H_t^∗|, λ_1,t ≤kλ^∗_t, dP dt−p.s.,

ii) ∆Mt≤k, dP dt−p.s.,et

|Ht| ≤ |H_t^∗|, λ²_2,t ≤k²λ^∗_t, dP dt−p.s.,

iii) ∆M_t≤0, dP dt−p.s., et

|H_t|²+λ²_2,t ≤ |H_t^∗|²+k²λ^∗_t, dP dt−p.s., de plus φ⁰ convexe dans les cas ii) et iii).

Le cas des processus ponctuels

Ensuite, nous traitons des cas des processus ponctuels. En particulier, (M_t)_t∈R+ et (M_t^∗)_t∈R+ peuvent ˆetre

M_t=M₀+ Z _t

0

H_sdW_s+ Z _t

0

J_s(dZ_s−λ_sds), t∈R₊, (0.3.13) et

M_t^∗ = Z _+∞

t

H_s^∗d^∗W_s^∗+ Z _+∞

t

J_s^∗(d^∗Z_s^∗−λ^∗_sds), t∈R₊, (0.3.14) o`u (W_t)_t∈R+ est un mouvement brownien standard, (Z_t)_t∈R+ est un processus ponctuel d’intensit´e (λt)t∈R+, (W_t^∗)t∈R+ est un mouvement brownien r´etrograde standard, et (Z_t^∗)t∈R+

est un processus ponctuel r´etrograde d’intensit´e (λ^∗_t)_t∈R+, et (H_t)_t∈R+, (J_t)_t∈R+ (resp.

(H_t^∗)_t∈R+, (J_t^∗)_t∈R+) sont pr´evisibles par rapport `a (F_t)_t∈R+ (resp. (F_t^∗)_t∈R+).

Dans ce cas, nous avons

ν(dt, dx) = λ_tδ_Jt(dx)dt et ν^∗(dt, dx) =λ^∗_tδ_Jt^∗(dx)dt. (0.3.15) Corollaire 0.3.8. Supposons que (M_t)_t∈R+, (M_t^∗)_t∈R+ ont les sauts d´efinis dans (0.3.15) et que (M_t)_t∈R+ est F_t^∗-adapt´e, que (M_t^∗)_t∈R+ est F_t-adapt´e. Alors nous avons:

E[φ(Mt+M_t^∗)]≤E[φ(Ms+M_s^∗)], 0≤s≤t, (0.3.16) pour toute fonctionnelle convexe φ sous l’une des trois conditions suivantes :