Processus ponctuels spatiaux pour l'analyse du positionnement optimal et de la concentration

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positionnement optimal et de la concentration

Florent Bonneu

To cite this version:

Florent Bonneu. Processus ponctuels spatiaux pour l’analyse du positionnement optimal et de la concentration. Mathématiques [math]. Université de Toulouse, 2009. Français. �tel-00465270�

présentée en vue de l'obtention du

DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ DE TOULOUSE

délivré par l'Université Toulouse I - Sienes Soiales

Disipline : Mathématiques

Spéialité : Statistique

par

Florent Bonneu

intitulée

Proessus pontuels spatiaux pour

l'analyse du positionnement optimal et de

la onentration.

Direteurs de thèse :

Abdelaati DAOUIA et Christine THOMAS-AGNAN

Soutenue le19juin2009devantlejury omposé de Mesdames etMessieurs:

Avner Bar-Hen (Pr, Université ParisV), Rapporteur.

LilianeBel (Mf, AgroParisTeh), Examinateur.

NoelCressie (Pr, The Ohio State University), Rapporteur.

Abdelaati Daouia (Mf, UniversitéToulouseI), Direteur.

Mihel Goulard (CR, INRAToulouse), Examinateur.

Marie Lebreton(Mf, Université Bordeaux IV), Examinateur.

Et mes enfants :

Baptiste et Clémene.

Remeriements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

Abstrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

0 Introdution 1 0.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.2 Proessus pontuels spatiaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

0.3 Problèmes de loalisation-alloation . . . . . . . . . . . . . . . 11

0.4 Proessus empiriqueset M-estimation . . . . . . . . . . . . . . 17

0.5 Indies de onentration etproessus pontuels marqués . . . 24

I Positionnement optimal par modélisation de pro- essus pontuels marqués 27 1 Analyse exploratoireet modélisation de sinistrespar proes- sus pontuels spatiaux marqués 29 1.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.2 Bakground onsummary statistis . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.3 Timevariationand spatial variation . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.4 Analysisof the workload mark . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.5 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.6 Conlusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2 Modèlesde proessuspontuelsspatiauxpourdesproblèmes de loalisation-alloation 53 2.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2 Literature onloation-alloationproblems . . . . . . . . . . . 55

2.3 The ase of the re stations loation problem. . . . . . . . . . 56

2.4 SPP loation-alloation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.5 Conlusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

II Propriétés asymptotiques de positions optimales

empiriques 75

3 Consistane de positions empiriques onditionnelles 77

3.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2 Optimal poliyspeiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.3 Consisteny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.4 A numerialillustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.5 Appendix : Proofs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4 Estimation de positions optimales ave ontraintes 89 4.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2 Main result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.3 Appendix : Lemmasand proof. . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

III Indies de onentration et aratéristiques du seond-ordre d'un proessus pontuel spatial marqué 99 5 Indies de onentration et aratéristiques du seond-ordre d'un proessus pontuel spatial marqué 101 5.1 Indies de onentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.2 Caratéristiques duseond-ordre pourdesproessuspontuels marqués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.3 Indies de onentration basés sur lesdistanes . . . . . . . . 108

5.4 Comportementasymptotique de notre indie de onentration 111 5.5 Conlusion et perspetives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6 Conlusion 117

Bibliographie 118

Remeriements

Je souhaite remerier en premier lieu Christine Thomas-Agnan et Abde-

laatiDaouia pour m'avoirenadré durantmathèse.Jeleur suis très reon-

naissant pour leur aide et leurs onseils lors de la diretion de e travail de

reherhe. Sans vouloir réduireleurs qualités à quelques mots, j'aibeauoup

appréiéhezChristinesaonaneetnosrendez-vous sientiquesainsique

ladéterminationetlarigueurd'Abdelaatiquim'ontinité àpersévérerdans

mes reherhes.

Jetiens ensuiteàremerier Avner Bar-HenetNoelCressied'avoira-

epté, malgrétoutesleurs oupations,d'être lesrapporteursde ette thèse.

Je les remerie de l'intérêt qu'ils ont porté à mes travaux ainsi que leurs

suggestions quime permettentde ibler dansmes perspetives de reherhe,

lesplus intéressantes.

Je tiens à exprimer ma reonnaissane à Mihel Goulard pour sa pré-

senedansmonjury.Jeonsidèresapréseneommeunlind'oeil sahant

qu'ave Christine,ilsm'ontfaitdéouvrirlagéostatistique pendantqu'Anne

Ruiz-Gazen m'initiaitàl'éonométriespatiale lorsque j'étaisétudiant.

Jesouhaiteégalementremerier LilianeBeletMarie Lebretond'avoir

aepté de faire partie de mon jury. J'ai eu l'oasion de les toyer plus

réemment lors de ongrèset les remerie pour l'intérêt qu'elles ont porté à

mon mémoiremalgré leur emploidu temps hargé.

Je tiens à présent àremerier plus généralement les membres du LSP et

du GREMAQ que j'ai eu l'opportunité de toyer au ours de ma thèse et

auparavant.

Au sein de l'université Paul Sabatier, je pense tout d'abord à Philippe

BesseetAlainBainipourlaqualitédeleursenseignementsetleuréoute,

àFabrieGamboaquim'apermisdedéouvrirlemondedelareherhelors

d'un stage de maîtrise à l'INSERM, à Mihel Ledoux et Frank Barthe

pour avoirpris le temps de répondre à mes questions mathématiques,à Sé-

bastien Déjean pour des questions un peu plus informatiques, ainsi qu'à

Jérémie Bigot pour sa bonne humeur. Je n'oublie pas Marie-Laure Aus-

set,FrançoiseMiheletAgnès Requis quionttoujoursété disponibleset

eaespourlesdiversesquestionsadministrativesainsiqueJaquelinedont

nosdisussionsmyologiquesmepermettaientdem'évaderde mesproblèmes

Entant quemoniteur àl'université des sienes soiales, j'aieu le plaisir

de partager mes enseignements ave Sandrine Casanova et Anne Ruiz-

Gazen et les remerie de leur enadrement et de leur gentillesse. J'ai eu

beauoup de plaisir à disuter ave mes aniens amarades de DESS, pré-

sents maintenant dans les bureaux de la Manufature : Thibault Laurent

etValérie Orozo.Enn,en quelquesmots, jepeuxdirequej'aiappréié

l'ambianehaleureuse au GREMAQ.

Cesannéesde thèsem'ontpermisderenontrer de nombreux dotorants,

arrivéspar vaguessuessives. Tout d'abord, eux qui m'ont aueilliaudé-

but de ma thèse : Agnès, Christophe, Delphine, Lionel et Renaud. Je me

souviendrai longtemps des quizz à la afétéria ou des quelques parties de

footsurlesterrainsde l'université,oùRenaud,LioneletChristophesavaient

animer es moments de détente à leur façon. Ensuite, eux que j'ai eu le

plaisird'aueillir lorsde leur arrivée en thèse :Jean-Paul, Mathieu,Mihel,

Maxime F. ave qui j'essaie de partager de temps en temps quelques bons

momentsautourd'une table.Je pense aussià laomposantesud-amériaine

de mon bureau atuel: Mary-Ana, Luiz etAngelia que je féliitepour leur

intégration etque je remerie pour leur simpliitéetleur gentillesse.

Pour nir,lesderniers queje iteraimais non lesmoindres sonteux qui

m'ont aompagné depuis le DEA. J'ai eu beauoup de plaisir à passer es

annéesdethèseenompagniedeestroismousquetaires:Amélie,Laurentet

Maxime. Jeremerie Amélie pour lesdisussions que nous avons eu, notam-

ment autour de nos passions ommunes (plongée, jeux de soiété), et pour

sa tehnique de reherhe des meilleurs parours SNCF. Je tiens aussi à re-

merierMaximepourson sens de l'humouretnos disussions sportivesainsi

quesonaidepourlesquestionsd'informatiqueenréseau.Enn,jeterminerai

mon tour d'eetif par Laurent, quia toujours partagé lemême bureau que

moi,même s'ilm'a quitté es derniers mois. Jetiens à luidireombien j'ap-

préiesasimpliitéetson extrêmegentillesseet, pour répondreàes propres

remeriementsdethèse,je suispersuadé quel'ontrouvera letemps pourune

ollaboration sientique.

Mesremeriementss'adressent aussiàmesamisquisesonttenusauou-

rantde l'avanéede mathèseet quim'ontéouté. Meri àMarlène etJean,

Séb etBéa, Laurie etNio, Virginie etMamour, Marie etGuillaume.

Enn,jeveuxdireàmesparentsetàmonfrèreombienilsmesonthers

que mes parents sont ers de me voirsoutenir mathèse, et que mon grand-

pèrel'auraitétéaussi,ettoutei,'estaussigrâeàeux.Pournir,jedisun

énorme MERCI à mon épouse Fabienne, queje sais soulagéeaujourd'hui et

quim'a beauoup soutenu.Sans lesavoir,mes enfants Baptiste etClémene

ont ontribué à me rendre lesannées de thèse beauoup moins dures (en un

ertain sens), 'est pourquoi je leur dédie mon mémoirede thèse ainsi qu'à

Fabienne pour tout e qu'ils m'orent haque jour.

Résumé

Lesproessus pontuels spatiauxforment une branhe de la statistiquespa-

tialeutiliséedansdesdomainesd'appliationvariés(foresterie,géo-marketing,

sismologie, épidémiologie,...) et développée par de réents travaux théo-

riques. Nous nous intéressons prinipalement dans ette thèse à l'apport

de la théorie des proessus pontuels spatiaux pour des problèmes de po-

sitionnement optimal, ainsi que pour la dénition de nouveaux indies de

onentrationbasés sur lesdistanes en éonométrie.

Le problème de positionnement optimal s'érit souvent omme un pro-

blème d'optimisation prenant en ompte des données geo-référenées aux-

quelles peuvent être assoiées des aratéristiques. Pour prendre en ompte

l'aléa, nous onsidérons es données issues d'un proessus pontuel spa-

tial pour résoudre un problème de positionnement stohastique plus réa-

liste qu'un modèle déterministe. A travers l'étude du positionnement opti-

mal d'une nouvelle aserne de pompiers dans la région toulousaine, nous

développons une méthode de résolution stohastique permettant de juger

de la variabilité de la solution optimale et de traiter des bases de données

volumineuses. L'approhe implémentée est validée par des premiers résul-

tats théoriques sur le omportement asymptotique des solutions optimales

empiriques. La onvergene presque sure des solutionsoptimalesempiriques

de l'étude de as préédente est obtenue dans un adre i.i.d. en utilisant la

théoriede Vapnik-Cervonenkis. Nousobtenons aussi laonvergene presque

sure des solutions optimales empiriques, dans un adre plus général, pour

un problème de positionnement dérivédu problème de transport de Monge-

Kantorovih.

Nous nous intéressons ensuite à des indies de onentration basés sur

des distanes en éonométrie. Ces indies de onentration peuvent s'érire

omme des estimateurs de aratéristiques du seond ordre de proessus

pontuelsmarqués.Nousdénissonsensuiteunestimateurnon-paramétrique

d'unenouvellearatéristiqued'unproessuspontuelspatialmarquédénis-

sant ainsi un nouvel indie de onentration améliorant eux déjà existants.

Dans un adre asymptotique ave fenêtre d'observation bornée, notre esti-

mateurest asymptotiquementsans biais.

Motslés:Proessuspontuelsspatiauxmarqués,problèmedeloalisation-

alloation,aratéristiques du seondordre, non etsemi-paramétrique, pro-

blème de transport, M-estimation, Vapnik-Cervonenkis, indies de onen-

Abstrat

Spatial point proesses form a branh of spatial statisti used in various

appliationareas (forestry,geo-marketing, seismology,epidemiology,...)and

developed by reent theoretial results. We are interested primarily in this

thesistotheuse ofspatialpointproessestheory forsolvingoptimalpositio-

ningproblems and fordening new onentrationindiesbasedondistanes

ineonometris.

The optimalpositioningproblemisoftenwrittenasanoptimizationpro-

blemtakingintoaountgeo-refereneddatawithassoiatedharateristis.

We onsider that the inputs of the problem are a realization of a spatial

point proess and solve a stohasti positioningproblemmore realisti than

the deterministimodel. Through the study of optimal positioningof a new

re station in the Toulouse area, we introdue a new stohasti approah

that givesanindiation ofthe spatial variabilityofthe optimalsolution and

allows to solve larger problems. The implemented approah is validated by

preliminary theoretial results on the asymptoti behavior of empirial so-

lutions. The almost sure onvergene of empirial optimal solutions of the

ase study is obtained in an i.i.d. framework using the Vapnik-Cervonenkis

theory. We alsoobtain the almost sure onvergene of empirialoptimalso-

lutions,inamoregeneralframework,forapositioningproblemderived from

the Monge-Kantorovih transport problem.

Then we turn attention to onentration indies based on distanes in

eonometris. These onentration indies an be written as estimators of

seond order harateristis of marked point proesses. We then dene a

nonparametri estimator of a new harateristi of a spatial marked point

proess dening a new onentration index improving existing ones. In an

inllasymptotiframework,our estimatorisasymptotiallyunbiased.

Key words : Marked spatial point proesses, loation-alloationproblem,

seond-order harateristis, non and semi-parametri, transport problem,

M-estimation,Vapnik-Cervonenkis,onentrationindies,Inllasymptotis.

Introdution

0.1 Motivations

Pendant mathèse, je me suis tout d'abord intéressé à l'apport de la théorie

des proessus pontuels spatiaux pour l'étude de la solution optimale d'un

problème de positionnement. La détermination d'une loalisation optimale

est un problème fréquent dans de nombreux domaines, malheureusement

etteproblématiqueest souventtraitéed'un pointde vuedéterministe,alors

que lanature des données est en général aléatoire.

LapartieIdeemémoireonerneuneétudedeasrelativeaupositionne-

mentoptimald'unenouvelleaserne depompiersdanslarégiontoulousaine.

L'originalitéde l'étude est de onsidérer les données du problème d'optimi-

sation omme aléatoires et issues d'un proessus pontuel spatial. L'étape

préliminaire d'analyse exploratoire de la base de données des sinistres et la

modélisationpar un proessus pontuelmarqué est réaliséedans le hapitre

1 (Bonneu, 2007). La méthode SPP loation-alloation introduite et im-

plémentée dans le hapitre 2 (Bonneu et Thomas-Agnan,2008) fournit une

représentation de la variabilitéde la position optimale.

La partie II de e mémoire étudie le omportement asymptotique des

solutions de problèmes de loalisation-alloationempiriques vers la solution

du problème de positionnement théorique. Ces résultatsthéoriques sontim-

portants ar ils permettent de justier en pratique l'approximation d'une

solution théorique inonnue par la solution d'un problème d'optimisation

empirique. Dans un problème de loalisation-alloationdérivé du problème

de transport de Monge-Kantorovih,lehapitre 3(Bonneu etDaouia, 2008)

établit la onvergene forte de l'estimateur de la position optimale dans un

adre général où les données peuvent être orrélées ou indépendantes. La

tehnique de preuve est basée sur les propriétés des distanes de probabili-

tés dans les problèmes de transport optimal. Dans le adre du problème de

loalisationd'unenouvelleaserne de pompiers,des résultatsasymptotiques

sontobtenuspour lessolutionsde problèmesd'optimisationempiriquesdans

le hapitre 4. Pour des données indépendantes et identiquement distribuées

(i.i.d.),laonvergenefortedessolutionsoptimalesempiriquesestdémontrée

en s'appuyant sur lathéorie de Vapnik-Chervonenkis.

Enn, la partieIII de e mémoire présente des propriétés asymptotiques

de aratéristiques du seond ordre pour des proessus pontuels spatiaux

marqués.Cesaratéristiquesdu seondordresontdiretementliéesàladé-

nitiond'un nouvelindiede onentrationbasésur lesdistanesaméliorant

eux déjàexistantsen éonométrie.Ces indiesde onentration permettent

par exemple d'analyser les déterminants de la loalisation des entreprises.

La reherhe des fateurs inuant sur la onentration des entreprises peut

aboutir à la dénition des orientations d'une politique générale d'aménage-

ment du territoire. Même si e n'est pas le as aujourd'hui, leur utilisation

pourrait ainsi s'étendre auxproblèmes de positionnement optimal.

Cetteintrodutionrappellede façon onisequelques notionsessentielles

à la leture des hapitres de e mémoire et présente les ontributions de la

thèse dans lesdomaines onsidérés.

0.2 Proessus pontuels spatiaux

0.2.1 Présentation

Les proessus pontuels spatiaux représentent une branhe de la statistique

spatialeoùl'onétudiedesolletionsd'évènementsloalisésparleuroordon-

nées géographiques, appelées semis de points. Grâe aux moyens tehnolo-

giquesatuels,esjeuxde donnéesapparaissentdans denombreuxdomaines

d'appliation(foresterie,géo-marketing,sismologie,épidémiologie,...)etsont

de plus en plus volumineux. On peut ainsi être amené à étudier la disposi-

tion des arbres dans une forêt, la loalisationd'entreprises, lesépientres de

seousses sismiques, des adresses de patients atteints d'une maladie,...Des

variablesdediérentstypes(réelles,entières,booléennes,...)peuventêtreas-

soiées àhaque évènementet seront appeléesmarques.A titre d'exemple,

la position d'une entreprise est souvent plus intéressante lorsque l'on a des

d'aaire,...Une marque un peu partiulière est la marque temporelle dont

la onnaissane permet d'ajouter une omposante dynamique à l'étude du

semis de points. Les ouvrages de référenes traitant de proessus pontuels

spatiaux sont les monographies de Moller et Waagepetersen (2004), Cressie

(1993), Stoyanet Stoyan (1994)ou Diggle(2003).

Unsemisdepointestlaréalisationd'unproessuspontuelsur unespae

polonais (A, d)^{etse dénitommeune olletionnon ordonnée de points} xi

de A^{,pour tout}i= 1, . . . , n^;notée{x_i;i= 1, . . . , n}^{.Un proessuspontuel}

spatialreprésente donuneongurationaléatoiredepositionsdans A^notée {ξ_i;i = 1, . . . , N} ^{où le nombre total} d'évènements N ^{est aussi aléatoire.}

Bien qu'envisageable, la répétition de points ξi = ξj ^pour i 6= j ^{est exlue}

dansdiversesdénitionsoupropriétésdesproessuspontuelsspatiaux.Sans

répétitionde points leproessus est dit simple.De plus, toute onguration

d'un proessus pontuelspatial doitêtre loalementnie, 'està direqu'elle

ne doit pas avoirde pointsd'aumulation.

0.2.2 Caratéristiques du 1er et 2nd ordre

Les proessus pontuels spatiaux possédent des aratéristiques dénies à

partir des moments de leur mesure de omptage aléatoireΦ ^{(Cressie, 1993).}

Ces aratéristiques jouent le même rle que les moments dénis pour une

variablealéatoire.Ainsi,laonnaissanede quelques unesde es statistiques

élémentaires ne permet pas d'identier omplètementun proessus pontuel

spatial. Cependant, l'utilisation d'estimateurs de es statistiques est abon-

dante en analyse exploratoire ou en modélisation lors de l'ajustement et la

validationd'un modèle. De manièregénérale, nous rappelons les mesures de

moments d'ordre p ∈ N^∗ et présentons plus préisément les aratéristiques du seond ordre pour des proessus pontuels inhomogènes.

Caratéristiques théoriques

Nousommençonsparrappelerladénition de laaratéristiquedu premier

ordre.

Définition 0.1. La mesure d'intensité µ ^{se dénit pour tout borélien} D

de A ^par

µ(D) = EX

ξ∈X

1I[ξ∈D].