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Chapitre 12 : Décrire un mouvement
1) Decrire un mouvement
•
On se limitera cette année à l’étude de systèmes de faibles dimensions par rapport à leurs déplacements : Il s’agit du modèle du point matériel , centre d’inertie G ( par opposition au solide).
•
Les différentes études ne porteront que sur les mouvements PLANS dans un espace à 3 dimensions.
1.1. Le vecteur position
La position du centre d’inertie G est définie dans un repère orthonormé ( O, 𝑖⃗ , 𝑗⃗ , 𝑘⃗⃗ )
Rem :
→
On se limitera cette année à l’étude de mouvements dans un plan ( O, 𝑖⃗ , 𝑗⃗ ) par exemple.
→
L’ensemble des points occupés successivement par le mobile M au cours du temps est appelé trajectoire.
→
Lorsqu’un solide se déplace sur sa trajectoire, la position de son centre d’inertie change au cours du temps : A chaque position OG est donc associée une date t : on la notera : OG (t)
) (
) (
) ( ) (
t z
t y
t x t
OG
Avec x(t), y(t) et z(t) des fonctions qui dépendent du temps t.
→
On définit son vecteur position : OG
:
=
−
−
−
G G G
G G G
z y x OG z
z y y
x x OG
0 0 0
k z j y i x
OM =
G+
G+
Gy
x G (xG, yG, zG)
O
OG
Trajectoire
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→ x(t), y(t) et z(t) sont des équations HORAIRES alors que y= f (x) est l’équation de la TRAJECTOIRE .
1.2. Le vecteur vitesse
Le vecteur vitesse caractérise la variation du vecteur position en fonction du temps
•
La vitesse MOYENNE entre 2 points est le rapport de la distance parcourue par le temps nécéssaire.
•
La vitesse INSTANTANEE correspond à une vitesse moyenne entre 2 instants infiniment proches, on l’appellera aussi vitesse du point G
•
Graphiquement, sur un relevé de position, le vecteur vitesse en un point est une moyenne de la vitesse entre le point précédent et le point suivant. Ce vecteur est porté par la tangente à la trajectoire et est orienté dans le sens du mouvement.
t OM temps
iation position iation
v
=
= var var
2
4 2 2
4 2 4 2
4
2 4
3
M M t
t
O M OM t
t
OM
v OM =
−
= +
−
= −
•
Rem : La durée constante entre deux positions successives du mobile sur un relevé est notée ici
.
•
Méthode de tracé du vecteur vitesse v
3: 1) Mesurer les segments M
2M
3et M
3M
42) Calculer la norme du vecteur :
2
4 3 3 2 3 3
M M M v M
v +
=
=
3) Tracer ce vecteur sur le relevé en tenant compte de l’échelle.
x
y v3
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Exercice 1:La position d’un mobile M au cours du temps est donnée par le vecteur :
= + +
−
=
−
= 0 ) (
2 10 5 ) (
1 2 ) ( )
(
2t z
t t t y
t t x t
OM
a) Représenter sa trajectoire dans un repère entre 0 et 3 secondes.
b) Pourquoi peut-on parler d’un mouvement plan ?
c) Déterminer l’expression du vecteur vitesse du mobile en fonction du temps.
d) Déterminer la valeur de la vitesse du mobile à la date t = 2,0 s.
Exercice 2: Exercice 3:
1.3. Le vecteur accélération
Le vecteur accélération caractérise la variation du vecteur vitesse en fonction du temps.
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•
Graphiquement, sur un relevé de position, pour tracer le vecteur accélération en un point, il faut au préalable tracer le vecteur « variation de vitesse » noté v .
t v temps iation
vitesse iation
a
=
= var var
2
3 5 3 5 4 4
v v t
v v t
a v = −
= −
=
•
Méthode de tracé du vecteur accélération a
4: 1. Tracer le vecteur vitesse en M
3et celui en M
5. 2. Construite en partant de M
4le vecteur : v = v
5− v
33. Calculer la norme de l’accélération grâce à la formule :
2
4 4
a v
=
4. Tracer ce vecteur accélération dans le même sens et la même direction que v
4en tenant compte de l’échelle.
Exercice 4:
La position d’un mobile M au cours du temps est donnée par le vecteur :
= + +
−
=
−
= 0 ) (
2 10 5 ) (
1 2 ) ( )
(
2t z
t t t
y
t t x t
OM
a) Déterminer l’expression du vecteur accélération a(t) en fonction du temps.
b) Calculer la valeur de l’accélération subie par le mobile à la date t = 2,7 s.
1.4. Le vecteur quantité de mouvement
•
Le vecteur « quantité de mouvement » p d’un point matériel est égale au produit de sa masse m par son vecteur vitesse v :
•
Rem : Le vecteur quantité de mouvement et le vecteur vitesse ont toujours même sens et même direction.
1.5. Un repère particulier : la base de Frenet
Lorsque l’on étudie une trajectoire quelconque ( curviligne ou circulaire ) on peut utiliser un repère plus « pratique » pour décrire le mouvement : le repère de Frenet ( ou Serret-Frenet) :
→
il est centré sur le point dont on étudie le mouvement
→
il est constitué de 2 vecteurs unitaires orthogonaux : N ( vecteur normal) et T ( vecteur tangent)
x yv
4a
4m en kg
v en ms – 1
p en kgms – 1
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2) Reconnaitre un mouvement
2.1. Mouvement RECTILIGNE uniforme
•
Dans un référentiel donné, un mouvement est rectiligne uniforme , si son vecteur vitesse reste CONSTANT au cours du temps ( Son accélération est donc NULLE).
•
Exemple d’un mouvement rectiligne et uniforme sur un axe Ox orienté :
•
2.2. Mouvement RECTILIGNE uniformément varié
•
Dans un référentiel donné, un mouvement rectiligne est uniformément varié si son vecteur accélération est CONSTANT au cours du temps.
•
Exemple d’un mouvement rectiligne uniformément varié sur un axe (Ox) orienté :
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2.3. Mouvement et base de Frenet
→
Le mouvement rectiligne uniforme est caractérisé par une accélération nulle (a
N= a
T= 0) car le vecteur vitesse du mobile est constant.
N T
N a T a a a
a =
T+
N=
T +
N = 0 + 0
→
Le mouvement rectiligne varié ou accéléré est caractérisé par :
• une accélération normale nulle (a
N= 0)
• une accélération tangentielle non nulle (a
T0) N
T a a a
a =
T+
N=
T + 0 a = a
TD’une manière générale, le mouvement rectiligne implique une accélération normale nulle.
→
Le mouvement curviligne uniforme est caractérisé par :
• une accélération normale non nulle (a
N 0)
• une accélération tangentielle nulle (a
T= 0) N
a T a
a
a =
T+
N= 0 +
N a = a
ND’une manière générale, le mouvement uniforme implique une accélération tangentielle nulle.
→
Le mouvement curviligne varié est caractérisé par une accélération normale et une accélération tangentielle non nulles.
(a
T 0 et a
N 0) N a T a a a
a =
T+
N=
T +
N
A noter :
Une trajectoire curviligne peut être circulaire, elliptique, parabolique ou autre.
Par exemple, le mouvement de la Terre dans le référentiel héliocentrique est circulaire uniforme.
La trajectoire et le mouvement d’un mobile dépendent du référentiel choisi.
N
a
TT
N
a
Figure 9T
a
N T N
Base de Frenet
Dans un référentiel donné , un mouvement circulaire est uniformément accéléré, si la trajectoire est une portion de cercle de rayon R, et si la valeur de son accélération N’EST PAS CONSTANTE.
Le vecteur accélération s’écrit :
a = 𝐚𝐍 + 𝐚𝐓 avec :
𝐚
𝐍=
𝐕𝟐𝐑
accélération NORMALE et
𝐚
𝐓=
𝐝𝐕𝐝𝐭
accélération TANGENTIELLE
7/ 7 Conclusions :
→ aT
= 0 mouvement rectiligne ou curviligne UNIFORME
→ aN
= 0 mouvement RECTILIGNE uniforme ou varié
Exercice 5:
Exercice 6:
