Chapitre 2
Résolution de systèmes non linéaires
2.1 Recherche des zéros d'une fonction
principe de la méthode de dichotomie : Soit I un intervalle contenant un unique zéro de la fonctionf,on le divise par son milieu en deux intervalles et on détermine lequel des deux contient le zéro. On itére ce processus sur le nouvel intervalle.
On déni les trois suitespakqkPN,pbkqkPN et pxkqkPN par
‚ a0“a, b0“bet x0“ a`b2 ,
‚ @kPN,
$
’&
’%
ak`1“bk`1“xk sifpxkq “0, ak`1“xk, bk`1“bk sifpbkqfpxkq ă0,
ak`1“ak, bk`1“xk sinon (i.e. fpakqfpxkq ă0.) et
xk`1“ pak`1`bk`1q{2.
Exercice 2.1.1
On suppose que la fonctionf est continue surra, bs,vérie fpaqfpbq ă0 et qu'il existe un unique ξPsa, brtel que fpxq “0.
Q. 1 1. Montrer que les suites pakqetpbkqconvergent versα.
2. En déduire que la suitepxkq converge versα.
Q. 2 1. Montrer que pour tout kPN, |xk´α| ď 2b´ak`1. 2. Soitą0.En déduire que si kě logp
b´a q
logp2q ´1alors |xk´α| ď.
Proposition 2.1: Méthode de dichotomie/bissection
Soitf :ra, bs ĂRÝÑRune fonction continue vériantfpaqfpbq ă0et admettantαPsa, brcomme unique solution defpxq “0.Alors la suitepxkqkPN dénie par la méthode de dichotomie converge versαet
|xk´α| ď b´a
2k`1, @kPN.
2 CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES NON LINÉAIRES On a alors @ą0,@kělogp
b´a q logp2q ´1
|xk´α| ď.
2.2 Points xes d'une fonction (dimension 1)
Denition 2.2
On dit qu'une suitepxkqkPNobtenue par une méthode numérique, converge versαavec un ordre pě1si
Dk0PN, DCą0 tels que |xk`1´α| ďC|xk´α|p, @kěk0. (2.1) oùCă1sip“1.
Théorème 2.3: Théorème du point xe dans R
Soient ra, bs un intervalle non vide de R et Φ une application continue de ra, bs dans lui-même.
Alors, il existe au moins un pointαP ra, bsvériantΦpαq “α.Le pointαest appelé point xe de la fonctionΦ.
De plus, siΦest contractante (lipschitzienne de rapportLP r0,1r), c'est à dire
DLă1 t.q.|Φpxq ´Φpyq| ďL|x´y| @px, yq P ra, bs2, (2.2) alorsΦadmet un unique point xeαP ra, bs.
Pour toutxp0qP ra, bs, la suite
xk`1“Φpxkq, @kPN (2.3)
est bien dénie et elle converge versαavec un ordre1 au moins.
On a les deux estimations suivantes :
|xk´α| ď Lk|x0´α|, @kě0, (2.4)
|xk´α| ď L
1´L|xk´xk´1|, @kě0, (2.5)
Théorème 2.4: Convergence globale de la méthode du point xe SoitΦPC1pra, bsqvériantΦpra, bsq Ă ra, bset
DLă1tel que @xP ra, bs, |Φ1pxq| ďL, (2.6) Soitx0P ra, bsetpxkqkPN la suite dénie parxk`1“Φpxkq.On a alors
1. la fonctionΦadmet un unique point xeαP ra, bs, 2. @kPN, xk P ra, bs,
3. la suitepxkqconverge versαavec un ordre 1au moins.
4. Six0‰α,alors
lim
kÑ`8
xk`1´α
xk´α “Φ1pαq. (2.7)
Théorème 2.5: Convergence locale de la méthode du point xe Soitαun point xe d'une fonctionΦde classeC1au voisinage deα.
Si|Φ1pαq| ă1,alors il existeδą0pour lequelxk converge versαpour toutx0tel que|x0´α| ďδ.
De plus, six0‰α,on a
lim
kÑ`8
xk`1´α
xk´α “Φ1pαq. (2.8)
Exercice 2.2.1
Soitαun point xe d'une fonctionΦde classeC1 au voisinage deαet vériantΦ1pαq “0.
Q. 1 Montrer qu'il existeδą0tel que@x0Psα´δ, α`δrla suite dénie parxk`1“Φpxkqconverge versα.
On suppose de plus queΦ1 est dérivable sursα´δ, α`δret qu'il existeM PR`tel que
@xP rα´δ, α`δs|Φ2pxq| ďM
Q. 2 1. Montrer que
@x0P rα´δ, α`δs, |xk´α| ď 2 M
ˆ1
2M|x0´α|
˙2k
2. Quel est l'ordre de convergence dans ce cas.
Q. 3 A quelle condition a-t'on
|xk´α| ď 2 M10´2k.
Proposition 2.6
SoitpPN˚,etΦPCp`1pVqpour un certain voisinageV deαpoint xe deΦ.SiΦpiqpαq “0,pour 1 ďiďpet si Φpp`1qpαq ‰0, alors la méthode de point xe associée à la fonction Φ est d'ordre p`1et
lim
kÑ`8
xk`1´α
pxk´αqp`1 “ Φpp`1qpαq
pp`1q! . (2.9)
Proposition 2.7: convergence, méthode de la corde
Soitf PC1pra, bsqtel quefpbq ‰fpaqetλ“fpbq´fpaqb´a .On notepxkqkPNla suite dénie parx0P ra, bs et pour toutkě0
xk`1“xk´fpxkq
λ . (2.10)
On suppose de plus que@xP ra, bs
minpλpx´aq, λpx´bqq ďfpxq ďmaxpλpx´aq, λpx´bqq (2.11) minp0,2λq ăf1pxq ămaxp0,2λq (2.12) alors la suitepxkqconverge vers l'unique racineαP ra, bsdef.
Exercice 2.2.2
Soitf une fonction de classe C1 surra, bs vériantfpaqfpbq ă0. et λ“ fpbq´fpaqb´a .Soit x0 P ra, bs
4 CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES NON LINÉAIRES donné. La suite obtenue par la méthode de la corde est donnée par
xk`1“xk´fpxkq
λ , @kPN. On note Φpxq “x´fpxqλ .
Q. 1 Montrer que si pour tout xP ra, bson a
minpλpx´aq, λpx´bqq ďfpxq ďmaxpλpx´aq, λpx´bqq (2.13) alors Φpra, bsq Ă ra, bs.
Q. 2 Montrer que si pour tout xP ra, bson a
minp0,2λq ăf1pxq ămaxp0,2λq (2.14) alors |Φ1pxq| ă1.
Q. 3 En déduire que sous les deux conditions précédentes la méthode de la corde converge vers l'unique solution αP ra, bs defpxq “0.
Proposition: ordre de convergence de la méthode de la corde
Soitf PC1pra, bsqtel quefpbq ‰fpaq.Si la suitepxkqdénie par la méthode de la corde en (2.10) converge versαPsa, bralors la convergence est au moins d'ordre1.
De plus, si f est de classe C2 sur un certain voisinage V de α et si f1pαq “ fpbq´fpaqb´a alors la convergence est au moins d'ordre2.
Proposition 2.8: convergence de la méthode de Newton
Soitf une fonction de classeC2sur un certain voisinage d'une racine simple αdef.Soitx0 donné dans ce voisinage, la suitepxkqkPN dénie par la méthode de Newton
xk`1“xk´ fpxkq
f1pxkq, @kPN. (2.15)
est localement convergente d'ordre2.
Exercice 2.2.3
En ´1700av. J.-C., les babyloniens ne connais- saient que les nombres rationnels (fractions) et ils utilisaient le système sexagésimal (base60). Pour approcher la valeur?
2, ils utilisaient comme ap- proximation (voir tablette YBC 7289)
α“1`24 60` 51
602` 10
603 “30547 21600 L'erreur commise est|α´
?2| «5.994e´7.
Q. 1 Comment feriez-vous pour trouver à la main une méthode permettant de trouver des nombres rationnels approchant ?
2.
Q. 2 Généraliser la méthode pour trouver une approximation rationnelle de ?
a où a est un réel
positif.
Q. 3 Généraliser la méthode pour trouver une approximation rationnelle de ?n
a où a est un réel positif etnPN˚.
Proposition 2.9: Convergence méthode de la sécante (Admis)
Soitf une fonction de classeC2 sur un certain voisinage d'une racine simpleαdef.Soient x´1 et x0donnés dans ce voisinage tels quefpx´1q ‰fpx0q, la suitepxkqkPNdénie par la méthode de la sécante
xk`1“xk´ xk´xk´1
fpxkq ´fpxk´1qfpxkq, @kPN. (2.16) est localement convergente d'ordre 1`2?5«1.618.
2.3 Résolution de systèmes non linéaires
TrouverαααPU ĂRN tel que
Φ Φ
Φpαααq “ααα ðñ
$
’’
’&
’’
’% Φ Φ
Φ1pααα1, . . . , αααNq “ ααα1 Φ
Φ
Φ2pααα1, . . . , αααNq “ ααα2 ...
Φ Φ
ΦNpααα1, . . . , αααNq “ αααN
Théorème 2.10
SoitB un espace de Banach et U ĂB un sous-ensemble fermé. On suppose queΦΦΦ :U ÝÑ U est une application strictement contractante, i.e.
DLPs0,1r, }ΦΦΦpxxxq ´ΦΦΦpyyyq} ďL}xxx´yyy}, @pxxx, yyyq PUˆU. (2.17) Alors
1. ΦΦΦadmet un unique point xeαααPU (i.e. unique solution dexxx“ΦΦΦpxxxq).
2. La suite des itérésxxxxxxxxxrk`1s“ΦΦΦpxxxxxxxxxrksqconverge versαααpour toute valeur initialexxxxxxxxxr0sPU.
3. Pour toutkPN,
›
›
›ααα´xxxxxxxxxrks
›
›
›ď Lk´l 1´L
›
›
›xxxxxxxxxrl`1s´xxxxxxxxxrls
›
›
›, 0ďlďk (2.18)
On déni la matrice Jacobienne de fff ,notéeJfff, par
Jfff “
¨
˚
˚
˚
˚
˝
Bf1 Bx1
Bf1
Bx2 . . . BxBf1
Bf2 N
Bx1
Bf2
Bx2 . . . BxBf2 ... ... ...N
BfN Bx1
BfN
Bx2 . . . BxBfN
N
˛
‹
‹
‹
‹
‚
Théorème 2.11
Soitfff PC3pRN;RNq. On suppose que la matrice Jacobienne appliquée enxxx,Jfffpxxxqest inversible dans un voisinage deααα,avecfffpαααq “0.Alors pour toutxxxr0s susament proche deαααla suite dénie
6 CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES NON LINÉAIRES par
xxxrk`1s“xxxrks´
´
pJfffpxxxrksq
¯´1
fffpxxxrksq converge versαααet la convergence est d'ordre2.