Résolutiondesystèmesnonlinéaires Chapitre2

Chapitre 2

Résolution de systèmes non linéaires

2.1 Recherche des zéros d’une fonction

principe de la méthode de dichotomie : SoitI un intervalle contenant un unique zéro de la fonctionf,on le divise par son milieu en deux intervalles et on détermine lequel des deux contient le zéro. On itére ce processus sur le nouvel intervalle.

On défini les trois suitespa_kqkPN,pb_kqkPN et px_kqkPN par

‚ a0“a, b0“bet x0“ ^a`b₂ ,

‚ @kPN,

$

’&

’%

a_{k`1</sub>“b<sub>k`1}“x_k sifpx_kq “0, ak`1“xk, bk`1“bk sifpbkqfpxkq ă0,

a_{k`1</sub>“a<sub>k</sub>, b<sub>k`1}“x_k sinon (i.e. fpa_kqfpx_kq ă0.) et

xk`1“ pak`1`bk`1q{2.

Exercice 2.1.1

On suppose que la fonctionf est continue surra, bs,vérifie fpaqfpbq ă0 et qu’il existe un unique αPsa, brtel quefpαq “0.

Q. 1 1. Montrer que les suites pakqetpbkqconvergent versα.

2. En déduire que la suitepxkq converge versα.

Q. 2 1. Montrer que pour tout kPN, |xk´α| ď ₂^b´ak`1. 2. Soitą0.En déduire que si kě ^logp

b´a q

logp2q ´1alors|x_k´α| ď.

Proposition 2.1: Méthode de dichotomie/bissection

Soitf :ra, bs ĂRÝÑRune fonction continue vérifiantfpaqfpbq ă0et admettantαPsa, brcomme uniquesolution defpxq “0.Alors la suitepxkq_kPN définie par la méthode de dichotomie converge versαet

|xk´α| ď b´a

2^k`1, @kPN.

2 CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES NON LINÉAIRES On a alors @ą0,@kě^logp

b´a q logp2q ´1

|xk´α| ď.

2.2 Points fixes d’une fonction (dimension 1)

Definition 2.2

On dit qu’une suitepx_kq_kPNobtenue par une méthode numérique,converge versαavec un ordre pě1si

Dk₀PN, DCą0 tels que |x_k`1´α| ďC|x_k´α|^p, @kěk₀. (2.1) oùCă1sip“1.

Théorème 2.3: Théorème du point fixe dans R

Soient ra, bs un intervalle non vide de R et Φ une application continue de ra, bs dans lui-même.

Alors, il existe au moinsun pointαP ra, bsvérifiantΦpαq “α.Le pointαest appelépoint fixe de la fonctionΦ.

De plus, siΦest contractante (lipschitzienne de rapportLP r0,1r), c’est à dire

DLă1 t.q.|Φpxq ´Φpyq| ďL|x´y| @px, yq P ra, bs², (2.2) alorsΦadmet ununique point fixeαP ra, bs.

Pour toutx₀P ra, bs, la suite

x_k`1“Φpx_kq, @kPN (2.3)

est bien définie et elle converge versαavec un ordre1 au moins.

On a les deux estimations suivantes :

|xk´α| ď L^k|x0´α|, @kě0, (2.4)

|xk´α| ď L

1´L|xk´xk´1|, @kě0, (2.5)

Théorème 2.4: Convergence globale de la méthode du point fixe

SoitΦPC¹pra, bsqvérifiantΦpra, bsq Ă ra, bset

DLă1tel que @xP ra, bs, |Φ¹pxq| ďL, (2.6) Soitx₀P ra, bsetpx_kqkPN la suite définie parx_k`1“Φpx_kq.On a alors

1. la fonctionΦadmet un unique point fixeαP ra, bs, 2. @kPN, xk P ra, bs,

3. la suitepxkqconverge versαavec un ordre 1au moins.

4. Six0‰α,alors

lim

kÑ`8

xk`1´α

x_k´α “Φ¹pαq. (2.7)

Théorème 2.5: Convergence locale de la méthode du point fixe Soitαun point fixe d’une fonctionΦde classeC¹au voisinage deα.

Si|Φ¹pαq| ă1,alors il existeδą0pour lequelxk converge versαpour toutx0tel que|x0´α| ďδ.

De plus, six0‰α,on a

lim

kÑ`8

xk`1´α

x_k´α “Φ¹pαq. (2.8)

Exercice 2.2.1

Soitαun point fixe d’une fonctionΦde classeC¹ au voisinage deαet vérifiantΦ¹pαq “0.

Q. 1 Montrer qu’il existeδą0tel que@x0Psα´δ, α`δrla suite définie parxk`1“Φpxkqconverge versα.

On suppose de plus queΦ¹ est dérivable sursα´δ, α`δret qu’il existeM PR<sup>`</sup>tel que

@xP rα´δ, α`δs|Φ²pxq| ďM

Q. 2 1. Montrer que

@x0P rα´δ, α`δs, |xk´α| ď 2 M

ˆ1

2M|x0´α|

˙2^k

2. Quel est l’ordre de convergence dans ce cas.

Q. 3 A quelle condition a-t’on

|x_k´α| ď 2 M10^´2k.

Proposition 2.6

SoitpPN^˚,etΦPC^{p`1</sup>pVqpour un certain voisinageV deαpoint fixe deΦ.SiΦ<sup>piq</sup>pαq “0,pour 1 ďiďpet si Φ<sup>pp`1q}pαq ‰0, alors la méthode de point fixe associée à la fonction Φ est d’ordre p`1et

lim

kÑ`8

xk`1´α

pxk´αq^{p`1</sup> “ Φ<sup>pp`1q}pαq

pp`1q! . (2.9)

Proposition 2.7: convergence, méthode de la corde

Soitf PC¹pra, bsqtel quefpbq ‰fpaqetλ“^fpbq´fpaq_b´a .On notepxkq_kPNla suite définie parx0P ra, bs et pour toutkě0

xk`1“xk´fpxkq

λ . (2.10)

On suppose de plus que@xP ra, bs

minpλpx´aq, λpx´bqq ďfpxq ďmaxpλpx´aq, λpx´bqq (2.11) minp0,2λq ăf¹pxq ămaxp0,2λq (2.12) alors la suitepxkqconverge vers l’unique racineαP ra, bsdef.

Exercice 2.2.2

Soitf une fonction de classe C¹ surra, bs vérifiantfpaqfpbq ă0. et λ“ ^fpbq´fpaq_b´a .Soit x0 P ra, bs

4 CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES NON LINÉAIRES donné. La suite obtenue par la méthode de la corde est donnée par

xk`1“xk´fpxkq

λ , @kPN. On note Φpxq “x´^fpxq_λ .

Q. 1 Montrer que si pour tout xP ra, bson a

minpλpx´aq, λpx´bqq ďfpxq ďmaxpλpx´aq, λpx´bqq (2.13) alorsΦpra, bsq Ă ra, bs.

Q. 2 Montrer que si pour tout xP ra, bson a

minp0,2λq ăf¹pxq ămaxp0,2λq (2.14) alors|Φ¹pxq| ă1.

Q. 3 En déduire que sous les deux conditions précédentes la méthode de la corde converge vers l’unique solution αP ra, bs defpxq “0.

Proposition: ordre de convergence de la méthode de la corde

Soitf PC¹pra, bsqtel quefpbq ‰fpaq.Si la suitepxkqdéfinie par la méthode de la corde en (2.10) converge versαPsa, bralors la convergence est au moins d’ordre1.

De plus, si f est de classe C² sur un certain voisinage V de α et si f¹pαq “ ^fpbq´fpaq_b´a alors la convergence est au moins d’ordre2.

Proposition 2.8: convergence de la méthode de Newton

Soitf une fonction de classeC²sur un certain voisinage d’une racine simple αdef.Soitx0 donné dans ce voisinage, la suitepxkq_kPN définie par la méthode de Newton

xk`1“xk´ fpxkq

f¹pxkq, @kPN. (2.15)

est localement convergente d’ordre2.

Exercice 2.2.3

En ´1700av. J.-C., les babyloniens ne connais- saient que les nombres rationnels (fractions) et ils utilisaient le système sexagésimal (base60). Pour approcher la valeur?

2, ils utilisaient comme ap- proximation (voir tablette YBC 7289)

α“1`24 60` 51

60²` 10

60³ “30547 21600 L’erreur commise est|α´

?2| «5.994e´7.

Q. 1 Comment feriez-vous pour trouverà la mainune méthode permettant de trouver des nombres rationnels approchant ?

2.

Q. 2 Généraliser la méthode pour trouver une approximation rationnelle de ?

a où a est un réel

positif.

Q. 3 Généraliser la méthode pour trouver une approximation rationnelle de ?ⁿ

a où a est un réel positif etnPN^˚.

Proposition 2.9: Convergence méthode de la sécante (Admis)

Soitf une fonction de classeC² sur un certain voisinage d’une racine simpleαdef.Soient x´1 et x0donnés dans ce voisinage tels quefpx´1q ‰fpx0q, la suitepxkq_kPNdéfinie par la méthode de la sécante

x_k`1“x_k´ xk´xk´1

fpx_kq ´fpx_k´1qfpx_kq, @kPN. (2.16) est localement convergente d’ordre ^1`

?5

2 «1.618.

2.3 Résolution de systèmes non linéaires

TrouverαααPU ĂR^N tel que

Φ Φ

Φpαααq “ααα ðñ

$

’’

’&

’’

’% Φ Φ

Φ₁pααα₁, . . . , ααα_Nq “ ααα₁ Φ

Φ

Φ₂pααα₁, . . . , ααα_Nq “ ααα₂ ...

Φ Φ

Φ_Npααα₁, . . . , ααα_Nq “ ααα_N

Théorème 2.10

SoitB un espace de Banach et U ĂB un sous-ensemble fermé. On suppose queΦΦΦ :U ÝÑ U est une application strictement contractante, i.e.

DLPs0,1r, }ΦΦΦpxxxq ´ΦΦΦpyyyq} ďL}xxx´yyy}, @pxxx, yyyq PUˆU. (2.17) Alors

1. ΦΦΦadmet un unique point fixeαααPU (i.e. unique solution dexxx“ΦΦΦpxxxq).

2. La suite des itérésxxxxxxxxx^rk`1s“ΦΦΦpxxxxxxxxx^rksqconverge versαααpour toute valeur initialexxxxxxxxx^r0sPU.

3. Pour toutkPN,

›

›

›ααα´xxxxxxxxx^rks

›

›

›ď L^k´l 1´L

›

›

›xxxxxxxxx^rl`1s´xxxxxxxxx^rls

›

›

›, 0ďlďk (2.18)

On défini la matrice Jacobienne de fff ,notéeJfff, par

Jfff “

¨

˚

˚

˚

˚

˝

Bf₁ Bx₁

Bf₁

Bx₂ . . . _Bx^Bf1

Bf₂ N

Bx1

Bf₂

Bx2 . . . _Bx^Bf2 .. N

. ... ...

Bf_N Bx₁

Bf_N

Bx₂ . . . _Bx^BfN

N

˛

‹

‹

‹

‹

‚

Théorème 2.11

Soitfff PC³pR^N;R^Nq. On suppose que la matrice Jacobienne appliquée enxxx,J_fffpxxxqest inversible dans un voisinage deααα,avecfffpαααq “0.Alors pour toutxxx^r0s suffisament proche deαααla suite définie

6 CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES NON LINÉAIRES par

xxx^rk`1s“xxx^rks´

´

pJfffpxxx^rksq

¯´1

fffpxxx^rksq

converge versαααet la convergence est d’ordre2.