Analyse Numérique I Sup'Galilée, Ingénieurs MACS, 1ère année & L3-MIM

Analyse Numérique I

Sup'Galilée, Ingénieurs MACS, 1ère année & L3-MIM

Cours: François Cuvelier - TD: Caroline Japhet

Laboratoire d'Analyse Géométrie et Applications Institut Galilée

Université Paris XIII.

2018/10/01

Plan

Chap. 1 Erreurs : arrondis, bug and Co.

Chap. 2 Langage algorithmique.

Chap. 3 Résolution de systèmes non-linéaires.

Chap. 4 Résolution de systèmes linéaires.

Chap. 5 Interpolation.

Chap. 6 Integration numérique.

Chapitre III

Résolution de systèmes non-linéaires

Plan

1 Recherche des zéros d'une fonction

Méthode de dichotomie ou de bissection

Points xes d'une fonction (dimension 1)

Points xes attractifs et répulsifs

Algorithme générique du point xe

Points xes pour la recherche de racines

Méthode de la corde La méthode de Newton Méthode de la sécante

2 Résolution de systèmes non linéaires

Point xe

Méthode de Newton

Exemples

Racines/zéros d'un polynôme

‚ degré 2 : Babylonniens en 1600 avant J.-C.

‚ degré 3 : Scipio del Ferro (1465-1526, mathématicien italien) et Niccolo Fontana (1499-1557, mathématicien italien)

‚ degré 4 : Ludovico Ferrari (1522-1565, mathématicien italien)

‚ degré 5 : Paolo Runi (1765-1822, mathématicien italien) en 1799, Niels Henrick Abel (1802-1829, mathématicien norvégien) en 1824, montrent qu'il n'existe pas de solution analytique.

(a) Niccolo Fontana 1499-1557,

mathématicien italien

(b) Paolo Runi 1765-1822,

mathématicien italien

(c) Niels Henrick Abel 1802-1829,

mathématicien norvégien

Plan

1 Recherche des zéros d'une fonction

Méthode de dichotomie ou de bissection

Points xes d'une fonction (dimension 1)

2 Résolution de systèmes non

linéaires

Soit f : D Ă R ÝÑ R une fonction continue.

α P D tels que f pαq “ 0 .

Soit I “sa, br, I ¯ Ă D on suppose D!α P I tel que f pαq “ 0 .

Plan

1 Recherche des zéros d'une fonction

Méthode de dichotomie ou de bissection

Points xes d'une fonction (dimension 1)

Points xes attractifs et répulsifs

Algorithme générique du point xe

Points xes pour la recherche de racines

Méthode de la corde La méthode de Newton Méthode de la sécante

2 Résolution de systèmes non linéaires

Point xe

Méthode de Newton

Exemples

principe de la méthode de dichotomie : Soit I un intervalle contenant un unique zéro de la fonction f , on le divise par son milieu en deux intervalles et on détermine lequel des deux contient le zéro. On itére ce processus sur le nouvel intervalle.

0.5 1 1.5 2 2.5 x

5 10 15 20 25 30 35

y

y=f(x)

a0 b0

a1 b1

a2 b2

a3 b3

a4 b4

a5 b5 a6 b6 a7 b7 a8b8 a9b9

Figure: Méthode de dichotomie: f pxq “ px ` 2qpx ` 1qpx ´ 1q

principe de la méthode de dichotomie : Soit I un intervalle contenant un unique zéro de la fonction f , on le divise par son milieu en deux intervalles et on détermine lequel des deux contient le zéro. On itére ce processus sur le nouvel intervalle.

‚ a ₀ “ a, b ₀ “ b et x ₀ “ ^a`b ₂ ,

‚ @k P N

$

’ &

’ %

a _{k` 1</sub> “ b <sub>k` 1} “ x _k si f px _k q “ 0 , a _{k`1</sub> “ x k , b <sub>k`1} “ b k si f pb k qf px k q ă 0 ,

a _{k` 1</sub> “ a <sub>k</sub> , b <sub>k` 1} “ x _k sinon (i.e. f pa _k qf px _k q ă 0.) et

x _{k` 1</sub> “ pa <sub>k` 1} ` b <sub>k` 1</sub> q{2 .

Exercice 1.1

On suppose que la fonction f est continue sur ra, bs, vérie f paqf pbq ă 0 et qu'il existe un unique ξ Psa, br tel que f pxq “ 0 .

Q. 1

1

Montrer que les suites pa _k q et pb _k q convergent vers α.

2

En déduire que la suite px _k q converge vers α.

Q. 2

1

Montrer que pour tout k P N , |x _k ´ α| ď ₂ ^b´a

.

2

Soit ą 0. En déduire que si k ě ^logp

b´a

q

logp2q ´ 1 alors |x k ´ α| ď .

Proposition 1.1

Soit f : ra, bs Ă R ÝÑ R une fonction continue vériant f paqf pbq ă 0 et admettant α Psa, br comme unique solution de f pxq “ 0. Alors la suite px _k q _kPN dénie par la méthode de dichotomie converge vers α et

|x _k ´ α| ď b ´ a

2 ^{k` 1} , @k P N . On a alors @ ą 0, @k ě ^logp

b´a

q logp2q ´ 1

|x k ´ α| ď .

Algorithme

‚ Que cherche-t'on?

Résultat :

α : un réel tel que |α ´ α| ď .

‚ Quelles sont les données du problèmes?

Données : a, b : deux réels a ă b ,

f : f : ra, bs Ă R ÝÑ R vériant les hypothèses de la proposition ,

: un réel strictement positif.

Algorithme

‚ Que cherche-t'on?

Résultat :

α : un réel tel que |α ´ α| ď .

‚ Quelles sont les données du problèmes?

Données : a, b : deux réels a ă b ,

f : f : ra, bs Ă R ÝÑ R vériant les hypothèses de la proposition ,

: un réel strictement positif.

Algorithme

‚ Que cherche-t'on?

Résultat :

α : un réel tel que |α ´ α| ď .

‚ Quelles sont les données du problèmes?

Données : a, b : deux réels a ă b ,

f : f : ra, bs Ă R ÝÑ R vériant les hypothèses de la proposition ,

: un réel strictement positif.

Algorithme

Algorithme1

R

0

1:

k

min

Ð

p

b´a ǫ q logp²q

q

2: Caluldelasuite

p x

q

3:

α

Ð x

min

Algorithme1

R

1

1:

k

min

Ð

p

b´a ǫ q logp²q

q

2: Initialisationde

x

0

3: Pour

k Ð

k

min

´

4: Caluldelasuite

p x

1

q

5: FinPour

6:

α

Ð x

min

Algorithme

Algorithme1

R

1

1:

k

min

Ð

p

b´a ǫ q logp²q

q

2: Initialisationde

x

0

3:Pour

k Ð

k

min

´

4: Caluldelasuite

p x

1

q

5:FinPour

6:

α

Ð x

min

Algorithme1

R

2

1:

k

min

Ð

p

b´a ǫ q logp²q

q

2:

a

0

Ð a , b

0

Ð b

3:

x

0

Ð

k Ð

k

min

´

5: Si

f p x

q ““

6:

a

1

Ð x

, b

1

Ð x

7: Sinon Si

f p x

q f p b

q ă

q

alors

8:

a

1

Ð x

, b

1

Ð b

9: Sinon

10:

a

1

Ð a

, b

1

Ð x

11: FinSi

12:

x

1

Ð

2

13: FinPour

14:

α

Ð x

min

Algorithme 1 Méthode de dichotomie : version 1 Données : a, b : deux réels a ă b ,

f : f : r a, b s Ă R ÝÑ R vériant les hypothèses de la proposition 1.1, eps : un réel strictement positif.

Résultat : x : un réel tel que |x ´ α| ď eps .

Fonction x Ð

( f , a, b, eps )

kmin Ð

p log pp b ´ a q{epsq{ log p2qq

3:

A A A, B B B, X X X P R

Ź A A A p k ` 1q contiendra a

, ...

4:

A A Ap1q Ð a, B B Bp1q Ð b, X X Xp1q Ð pa ` bq{2

Pour k Ð 1 à kmin faire

6:

Si f pX X Xpkqq ““ 0 alors

7:

A A A p k ` 1q Ð X X X p k q , B B B p k ` 1q Ð X X X p k q

Sinon Si f pB B Bpkqqf pX X Xpkqq ă 0 alors

A A Apk ` 1q Ð X X X pkq, B B Bpk ` 1q Ð B B Bpkq

Sinon

11:

A A A p k ` 1q Ð A A A p k q , B B B p k ` 1q Ð X X X p k q

Fin Si

13:

X X X pk ` 1q Ð pA A Apk ` 1q ` B B Bpk ` 1qq{2

Fin Pour

15:

x Ð X X X pkmin ` 1q

Algorithme : versions 2, 3 et + si anités

‚ A “ a, B “ b et x ₀ “ ^A`B ₂ ,

‚ @k P v0 , k _min ´ 1w,

$

’ &

’ %

A “ B “ x _k si f px _k q “ 0 ,

A “ x _k , B inchangé si f pBqf px _k q ă 0 ,

B “ x _k , A inchangé sinon (i.e. f pAqf px _k q ă 0.) et

x <sub>k`1</sub> “ A ` B

2

Algorithme 2 Méthode de dichotomie : version 2 Données : a, b : deux réels a ă b ,

f : f : r a, b s Ă R ÝÑ R vériant les hypothèses de la proposition 1.1, eps : un réel strictement positif.

Résultat : x : un réel tel que |x ´ α| ď eps .

Fonction x Ð

( f , a, b, eps )

kmin Ð

p log pp b ´ a q{epsq{ log p2qq

3:

X X X P R

Ź X X X p k ` 1q contiendra x

, ...

4:

A Ð a, B Ð b, X X Xp1q Ð pA ` Bq{2

Pour k Ð 1 à kmin faire

Si f pX X Xpkqq ““ 0 alors

A Ð X X X p k q , B Ð X X X p k q

Sinon Si f pBqf pX X Xpkqq ă 0 alors

9:

A Ð X X Xpkq Ź B inchangé

10:

Sinon

11:

B Ð X X X p k q Ź A inchangé

12:

Fin Si

13:

X X X pk ` 1q Ð pA ` Bq{2

Fin Pour

15:

x Ð X X X pkmin ` 1q

Algorithme 3 Méthode de dichotomie : version 3 Données : a, b : deux réels a ă b ,

f : f : ra, bs Ă R ÝÑ R vériant les hypothèses de la proposition 1.1, eps : un réel strictement positif.

Résultat : x : un réel tel que |x ´ α| ď eps .

Fonction x Ð

( f , a, b, eps )

kmin Ð

plogppb ´ aq{epsq{ logp2qq

A, B P R

4:

A Ð a, B Ð b, x Ð p a ` b q{2

Pour k Ð 1 à kmin faire

Si f pxq ““ 0 alors

7:

A Ð x , B Ð x

8:

Sinon Si f p B q f p x q ă 0 alors

9:

A Ð x Ź B inchangé

10:

Sinon

11:

B Ð x Ź A inchangé

12:

Fin Si

x Ð p A ` B q{2

Fin Pour

Fin Fonction

Algorithme 4 Méthode de dichotomie : version 4 Données : a, b : deux réels a ă b ,

f : f P C

pr a, b s ; Rq et f p a q f p b q ă 0 eps : un réel strictement positif.

Résultat : x : un réel tel que |x ´ α| ď eps .

Fonction x Ð

( f , a, b, eps )

A, B P R

3:

A Ð a, B Ð b, x Ð p a ` b q{2

Tantque |x ´ A| ą eps faire

Si f pxq ““ 0 alors

6:

A Ð x , B Ð x

7:

Sinon Si f p B q f p x q ă 0 alors

8:

A Ð x Ź B inchangé

9:

Sinon

10:

B Ð x Ź A inchangé

11:

Fin Si

x Ð p A ` B q{2

Fin Tantque

Fin Fonction

Que pensez vous de cet algorithme?

Algorithme 5 Méthode de dichotomie : version 5 Données : a, b : deux réels a ă b ,

f : f P C

pra, bs; Rq et f paqf pbq ă 0 . Résultat : x : un réel tel que f pxq “ 0 .

1:

Fonction x Ð

( f , a, b )

A, B P R

3:

A Ð a, B Ð b, x Ð p a ` b q{2 , xp Ð a

Tantque x „“ xp faire

5:

Si f pBqf pxq ă 0 alors

6:

A Ð x Ź B inchangé

7:

Sinon

8:

B Ð x Ź A inchangé

9:

Fin Si

10:

xp Ð x

11:

x Ð pA ` Bq{2

Fin Tantque

Fin Fonction

Plan

1 Recherche des zéros d'une fonction

Méthode de dichotomie ou de bissection

Points xes d'une fonction (dimension 1)

Points xes attractifs et répulsifs

Algorithme générique du point xe

Points xes pour la recherche de racines

Méthode de la corde La méthode de Newton Méthode de la sécante

2 Résolution de systèmes non linéaires

Point xe

Méthode de Newton

Exemples

Points xes

Soit Φ : ra, bs Ă R ÝÑ R une fonction donnée. Rechercher un point xe de Φ revient à

Trouver α P ra, bs tel que

α “ Φpαq.

L'algorithme de la méthode du point xe consiste en la construction, si elle existe, de la suite

x ^{pk` 1 q} “ Φpx ^pkq q, @k P N (1)

avec x ^{p 0 q} P ra, bs donné.

Denition 1.2

Soient pE , d q un espace métrique et pu u u ^{rk s} q _kPN une suite d'éléments de E convergeant vers α α α P E . On dit que cette suite converge vers α α α avec un ordre p ě 1 si

Dk ₀ P N , DC ą 0 tels que d pu u u ^{rk` 1 s} , α α αq ď C d pu u u ^rks , α α αq ^p , @k ě k ₀ . où C ă 1 si p “ 1 . (2)

Exemples de distances:

‚ d px, yq “ |x ´ y| dans R , C , Z ou Q

‚ d pxxx, yyy q “ }xxx ´ yyy } dans R ⁿ , où }.} est l'une quelconque des normes

habituelles.

Théorème 2: Théorème du point xe dans R

Soient ra, bs un intervalle non vide de R et Φ une application continue de ra, bs dans lui-même.

Alors, il existe au moins un point α P ra, bs vériant Φpαq “ α. Le point α est appelé point xe de la fonction Φ.

De plus, si Φ est contractante (lipschitzienne de rapport L P r0, 1r), c'est à dire

DL ă 1 t.q. |Φpxq ´ Φpyq| ď L|x ´ y| @px, yq P ra, bs

, (3) alors Φ admet un unique point xe α P ra, bs.

Pour tout x

P ra, bs, la suite

x

“ Φpx

q, @k P N (4)

est bien dénie et elle converge vers α avec un ordre 1 au moins.

On a les deux estimations suivantes :

|x

´ α| ď L

|x

´ α|, @k ě 0 , (5)

|x

´ α| ď L

1 ´ L |x

´ x

|, @k ě 0 , (6)

Théorème 3: Convergence globale, méthode du point xe Soit Φ P C ¹ pra, bsq vériant Φpra, bsq Ă ra, bs et

DL ă 1 tel que @x P ra, bs, |Φ

px q| ď L, (7) Soit x ₀ P ra, bs et px

q

la suite dénie par x

1 “ Φpx

q. On a alors

1

la fonction Φ admet un unique point xe α P ra, bs,

2

@k P N , x

P ra, bs,

3

la suite px

q converge vers α avec un ordre 1 au moins.

4

Si x ₀ ‰ α, alors

lim

kÑ`8

x

´ α

x

´ α “ Φ

pαq. (8)

Théorème 4: Convergence locale du point xe

Soit α un point xe d'une fonction Φ de classe C ¹ au voisinage de α.

Si |Φ ¹ pαq| ă 1 , alors il existe δ ą 0 pour lequel x _k converge vers α pour tout x ₀ tel que |x ₀ ´ α| ď δ. De plus, si x ₀ ‰ α, on a

kÑ`8 lim

x _{k` 1} ´ α

x _k ´ α “ Φ ¹ pαq. (9)

Exercice 4.1:

Soit α un point xe d'une fonction Φ de classe C

au voisinage de α et vériant Φ

p α q “ 0 . Q. 1

Montrer qu'il existe δ ą 0 tel que @x

Psα ´ δ, α ` δr la suite dénie par x

“ Φpx

q converge vers α.

On suppose de plus que Φ

est dérivable sur s α ´ δ, α ` δ r et qu'il existe M P R

tel que

@x P rα ´ δ, α ` δs|Φ

px q| ď M

Q. 2

1

Montrer que

@x

P rα ´ δ, α ` δs, |x

´ α| ď 2 M

ˆ 1 2 M|x

´ α|

˙

2

Quel est l'ordre de convergence dans ce cas.

Q. 3

A quelle condition a-t'on

|x ´ α| ď 2 10

.

Proposition 4.1:

Soit p P N ^˚ , et Φ P C ^{p` 1</sup> pVq pour un certain voisinage V de α point xe de Φ. Si Φ <sup>piq</sup> pαq “ 0 , pour 1 ď i ď p et si Φ <sup>pp` 1 q} pαq ‰ 0 , alors la méthode de point xe associée à la fonction Φ est d'ordre p ` 1 et

kÑ`8 lim

x _{k` 1} ´ α

px _k ´ αq ^{p` 1</sup> “ Φ <sup>pp` 1 q} pαq

pp ` 1q! . (10)

Plan

1 Recherche des zéros d'une fonction

Méthode de dichotomie ou de bissection

Points xes d'une fonction (dimension 1)

Points xes attractifs et répulsifs

Algorithme générique du point xe

Points xes pour la recherche de racines

Méthode de la corde La méthode de Newton Méthode de la sécante

2 Résolution de systèmes non linéaires

Point xe

Méthode de Newton

Exemples

Points xes attractifs et répulsifs

Soit Φ : ra, bs ÝÑ ra, bs une application de classe C ¹ admettant un point xe α P ra, bs.

‚ Si |Φ ¹ pαq| ă 1 alors α est un point xe attractif,

‚ Si |Φ ¹ pαq| ą 1 alors α est un point xe répulsif.

On s'interesse ici au point xe α “ 1 de la fonction Φ : x ÞÑ x ² .

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 x

-0.5 0.5 1 1.5 2

y

y = x

α

y = Φ( x )

y = Φ

( x ) =

x

y = x

α = Φ( α )

Φ ¹ pαq “ 2 : point xe répulsif

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

x

0.5 1 1.5 2

y

x0x1x2 x3 Φ(x0)

Φ(x1) Φ(x2)

y

x

x

y

x

(a) x ₀ “ 1 . 05

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

x

0.5 1 1.5

y

x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8 Φ(x0) Φ(x1) Φ(x2)

Φ(x3)

Φ(x4) Φ(x5) Φ(x6) Φ(x7)

y= Φ(x) =x² y=x

(b) x ₀ “ 0 . 950

Figure: α “ 1 , point xe répulsif de x ÞÑ x ²

pΦ ^{´ 1} q ¹ p1q “ 1{2 ă 1 , : point xe attractif

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

x

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

y

x0 x1 x2 x3 Φ(x0)

Φ(x1) Φ(x2)

y=^px y=x

(a) x ₀ “ 1 . 40

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

x

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

y

x0 x1 x2 x3 x4x5 Φ(x0)

Φ(x1) Φ(x2) Φ(x3) Φ(x4)

y=^px y=x

(b) x ₀ “ 0 . 200 Figure: α “ 1 , point xe attractif de Φ

: x ÞÑ ?

x

fonction Φ : x ÞÑ x ² ´ x ` 1 : point xe α “ 1, Φ ¹ pαq “ 1 .

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

x

0.5 1 1.5

y

xxx01x2x3x45x6x7x8 x9

Φ(x0) Φ(x1) Φ(x2) Φ(x3) Φ(x4) Φ(x5) Φ(x6) Φ(x7) Φ(x8)

y

x

x

x

y

x

(a) x ₀ “ 1 . 1 , α point répulsif

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

x

0.5 1 1.5

y

x0 x1x2x3xx4x5xx6x789 Φ(x0)

Φ(x1) Φ(x2) Φ(x3) Φ(x4) Φ(x₅) Φ(x6) Φ(x7) Φ(x8)

y

x

x

x

y

x

(b) x ₀ “ 0 . 50 , α point attractif

0.5 1 1.5 2x

0.5 1 1.5 2

y

x0

x1 x2

x3 x4

x5 x6

x7 x8

x9 Φ(x0) Φ(x1)

Φ(x2) Φ(x3)

Φ(x4) Φ(x5)

Φ(x6) Φ(x7)

Φ(x8)

y= Φ(x) =₋x+ 2 y=x

(a) x ₀ “ 1 . 50

0.5 1 1.5 2x

0.5 1 1.5 2

y

x0 x1 x3x5x7x9xx86x4 x2 Φ(x0)

Φ(x1)

Φ(x2) Φ(x3)

Φ(x4) Φ(x5) Φ(x6) Φ(x7) Φ(x8)

y= Φ(x) =₋³₄x+⁷₄ y=x

(b) x ₀ “ 1 . 50

0.5 1 1.5 2x

0.5 1 1.5 2

y

x0

x1 x2

x3 x4

x5 x6

x7 x8

Φ(x0) Φ(x1)

Φ(x2) Φ(x3)

Φ(x4) Φ(x5)

Φ(x6)

Φ(x7) y= Φ(x) =−⁴3x+⁷3

y=x

(c) x ₀ “ 1 . 10

Figure: α “ 1 , point xe de fonctions anes particulières

Plan

1 Recherche des zéros d'une fonction

Méthode de dichotomie ou de bissection

Points xes d'une fonction (dimension 1)

Points xes attractifs et répulsifs

Algorithme générique du point xe

Points xes pour la recherche de racines

Méthode de la corde La méthode de Newton Méthode de la sécante

2 Résolution de systèmes non linéaires

Point xe

Méthode de Newton

Exemples

Algorithme générique du point xe

x ^pk`1q “ Φpx ^pkq q, @k P N , avec x ^p0q P ra, bs donné.

Algorithme 6 Méthode de point xe : version Tantque formel

1: k Ð 0

2: Tantque non convergence faire

3: x _k`1 Ð Φ p x _k q

4: k Ð k ` 1

5: Fin Tantque

6: α Ð x _k Ź le dernier calculé.

Algorithme 7 Méthode de point xe : version Répéter formel

1: k Ð 0

2: Répéter

3: k Ð k ` 1

4: x _k Ð Φpx _k´1 q

5: jusqu'à convergence

6: α Ð x _k Ź le dernier calculé.

Critères d'arrêt?

On n'est pas sûr de converger kmax nb maximum d'itérations

Algorithme générique du point xe

Algorithme 8 Méthode de point xe : version Tantque formel avec critères d'arrêt

1:kÐ0

2:errÐ |Φpx₀q ´x₀| Źou^|Φpx_|x0⁰_|`1^q´x0| 3:Tantque errąetkďkmax faire

4: kÐk`1

5: xkÐΦpx_k´1q

6: errÐ |Φpxkq ´xk| Źou^|Φpx_|x^kq´xk|

k|`1 7:Fin Tantque

8:Si errďtol alors ŹConvergence

9: α_tolÐxk Ź |Φpα_tolq ´α_tol| ďtol 10:Fin Si

Algorithme 9 Méthode de point xe : version Répéter formel avec critères d'arrêt

1:kÐ0 2:Répéter

3: errÐ |Φpxkq ´xk| Źou^|Φpx_|xk^k_{|`1</sub><sup>q´xk|</sup> 4: x<sub>k`1}ÐΦpxkq

5: kÐk`1

6:jusqu'à errďtol oukąkmax

7:Si errďtol alors ŹConvergence

8: α_tolÐxk Ź |Φpα_tolq ´α_tol| ďtol 9:Fin Si

Algorithme générique du point xe

Algorithme 10 Méthode de point xe : version Tantque avec critères d'arrêt

Données :

Φ : Φ :RÝÑR, x₀ : donnée initiale,x₀PR, tol : la tolérence, tolPR^`,

kmax : nombre maximum d'itérations, kmaxPN^˚ Résultat :

α_tol : un réel tel que|Φpα_tolq ´α_tol| ďtol (ou^|Φpα_|α^tol_tol^q´α_|`1^tol|ďtol)

1:Fonctionα_tolÐPtFixe(Φ,x₀,tol,kmax ) 2: kÐ0, αtolÐ H

3: xÐx₀,fxÐΦpx₀q,

4: errÐ |fx´x| Źou^|fx´x|_|x|`1 5: Tantque errątol etkďkmax faire

6: kÐk`1

7: xÐfx

8: fxÐΦpxq

9: errÐ |fx´x| Źou^|fx´x|_|x|`1 10: Fin Tantque

11: Si errďtol alors ŹConvergence

12: α_tolÐx

Algorithme 11 Méthode de point xe : version Répéter avec critères d'arrêt

Données :

Φ : Φ :RÝÑR, x₀ : donnée initiale,x_PR, tol : la tolérence, tolPR^`,

kmax : nombre maximum d'itérations, kmaxPN^˚ Résultat :

α_tol : un réel tel que|Φpα_tolq ´α_tol| ďtol (ou^|Φpα_|α^tol_tol^q´α_|`1^tol|ďtol)

1:Fonctionα_tolÐPtFixe(Φ,x₀,tol,kmax ) 2: kÐ0, α_tolÐ H

3: xÐx₀ 4: Répéter

5: xpÐx

6: xÐΦpxpq

7: errÐ |x´xp| Źou^|x´xp|_|xp|`1

8: kÐk`1

9: jusqu'à errďtol oukąkmax

10: Si errďtol alors ŹConvergence

11: α_tolÐx

12: Fin Si

Plan

1 Recherche des zéros d'une fonction

Méthode de dichotomie ou de bissection

Points xes d'une fonction (dimension 1)

Points xes attractifs et répulsifs

Algorithme générique du point xe

Points xes pour la recherche de racines

Méthode de la corde La méthode de Newton Méthode de la sécante

2 Résolution de systèmes non linéaires

Point xe

Méthode de Newton

Exemples

Applications à la recherche de racines

f pxq “ 0 ðñ Φpxq

“ x ` f px q “ x.

si F P C ⁰ tel que F p0q “ 0 alors

f pxq “ 0 ðñ Φpxq

“ x ` Fpf pxqq “ x.

Objectif : Construire une suite x _{k ` 1</sub> tel que |x <sub>k` 1} ´ α| ď |x _k ´ α|.

formule de taylor :

f pαq “ 0 “ f px _k q ` hf ¹ pξq avec h “ α ´ x _k . Soit q _k « f ¹ pξq et h ˜ solution de

f px _k q ` hq ˜ _k “ 0

Si q k ‰ 0 , on obtient la suite itérative x k `1 “ x k ` h ˜ i.e.

f px q

Applications à la recherche de racines

x _k`1 “ x k ´ f px k q

q _k , @k P N

x _{k` 1} : intersection droite de pente q _k passant par ppx _k q, f px _k qq avec pOxq

‚ Méthode de la corde :

q _k “ q “ f pbq ´ f paq b ´ a

‚ Méthode de la sécante :

q k “ f px k q ´ f px k´ 1 q x _k ´ x _{k´ 1} où x _{´ 1} et x ₀ sont données,

‚ Méthode de Newton : en supposant f ¹ connu, on prend

q k “ f ¹ px k q.

Plan

1 Recherche des zéros d'une fonction

Méthode de dichotomie ou de bissection

Points xes d'une fonction (dimension 1)

Points xes attractifs et répulsifs

Algorithme générique du point xe

Points xes pour la recherche de racines

Méthode de la corde La méthode de Newton Méthode de la sécante

2 Résolution de systèmes non linéaires

Point xe

Méthode de Newton

Exemples

Méthode de la corde

x _{k` 1} “ x _k ´ b ´ a

f pbq ´ f paq f px _k q, @k P N . On pose Φpxq “ x ´ _{f pbq´f} ^b´a _paq f pxq, alors x _{k` 1} “ Φpx _k q.

Proposition 4.2: convergence, méthode de la corde

Soit

tel que

et

On note

la suite dénie par

et pour tout

0

x_k`1“xk´fpxkq

λ .

(12)

On suppose de plus que

minpλpx´aq, λpx´bqq ďfpxq ďmaxpλpx´aq, λpx´bqq

(13)

2

2

(14)

alors la suite

converge vers l'unique racine

de

Méthode de la corde

Exercice 4.2:

Soitfune fonction de classeC¹surra,bsvériantfpaqfpbq ă0.etλ“^fpbq´f_b´a^paq.Soitx₀P ra,bsdonné. La suite obtenue par la méthode de la corde est donnée par

x_k`1“xk´fpxkq

λ ,@kPN.

On noteΦpxq “x´^fpxq_λ . Q. 1

Montrer que si pour toutxP ra,bson a

minpλpx´aq, λpx´bqq ďfpxq ďmaxpλpx´aq, λpx´bqq (15) alorsΦpra,bsq Ă ra,bs.

Q. 2

Montrer que si pour toutxP ra,bson a

minp0,2λq ăf¹pxq ămaxp0,2λq (16)

alors|Φ¹pxq| ă1.

Q. 3

En déduire que sous les deux conditions précédentes la méthode de la corde converge vers l'unique solutionαP ra,bsdefpxq “0.

Méthode de la corde

Proposition 4.3: ordre de convergence de la méthode de la corde

Soit f P C ¹ pra, bsq tel que f pbq ‰ f paq. Si la suite px _k q dénie par la méthode de la corde en (12) converge vers α Psa, br alors la convergence est au moins d'ordre 1 .

De plus, si f est de classe C ² sur un certain voisinage V de α et si

f ¹ pαq “ ^{f pbq´f} _b´a ^paq alors la convergence est au moins d'ordre 2.

Méthode de point xe : version Tantque avec critères d'arrêt Données :

Φ : Φ :RÝÑR, x₀ : donnée initiale,x₀PR, tol : la tolérence, tolPR^`,

kmax : nombre maximum d'itérations, kmaxPN^˚ Résultat :

α_tol : un réel tel que|Φpα_tolq ´α_tol| ďtol (ou^|Φpα|α^tol_tol^q´α|`1^tol|ďtol)

1:Fonctionα_tolÐPtFixe(Φ,x₀,tol,kmax ) 2: kÐ0, α_tolÐ H

3: xÐx₀, 4: errÐtol`1

5: Tantque errątol etkďkmax faire

6: kÐk`1

7: xpÐx

8: xÐΦpxpq

9: errÐ |x´xp| Źou^|xp´x|_|x|`1

10: Fin Tantque

11: Si errďtol alors ŹConvergence

12: α_tolÐx

13: Fin Si 14:Fin Fonction

Méthode de la corde :

Φpxq “x´ b´a fpbq ´fpaqfpxq

Plus simple, plus court ... ???

Méthode de point xe : version Tantque avec critères d'arrêt Données :

Φ : Φ :RÝÑR, x₀ : donnée initiale,x₀PR, tol : la tolérence, tolPR^`,

kmax : nombre maximum d'itérations, kmaxPN^˚ Résultat :

α_tol : un réel tel que|Φpα_tolq ´α_tol| ďtol (ou^|Φpα_|α^tol_tol^q´α_|`1^tol|ďtol)

1:Fonctionα_tolÐPtFixe(Φ,x₀,tol,kmax ) 2: kÐ0, αtolÐ H

3: xÐx₀, 4: errÐtol`1

5: Tantque errątol etkďkmax faire

6: kÐk`1

7: xpÐx

8: xÐΦpxpq

9: errÐ |x´xp| Źou^|xp´x|_|x|`1

10: Fin Tantque

11: Si errďtol alors ŹConvergence

12: α_tolÐx

13: Fin Si 14:Fin Fonction

Algorithme 12 Méthode de la corde Données :

f : f:RÝÑR,

a,b : deux réels tels quefpaq ‰fpbq, x₀ : donnée initiale,x₀PR, tol : la tolérence, tolPR^`,

kmax : nombre maximum d'itérations, kmaxPN^˚ Résultat :

α_tol : un réel tel que|fpα_tolq| ďtol 1:Fonctionα_tolÐCorde(f,a,b,x₀,tol,kmax ) 2: kÐ0, α_tolÐ H

3: qÐ_fpbq´f^b´a_paq 4: xÐx₀, 5: errÐtol`1

6: Tantque errątol etkďkmax faire

7: kÐk`1

8: xpÐx

9: xÐxp´q˚fpxpq

10: errÐ |x´xp|

11: Fin Tantque

12: Si errďtol alors ŹConvergence

13: α_tolÐx

14: Fin Si 15:Fin Fonction

Plus simple, plus court ... ???

Méthode de point xe : version Tantque avec critères d'arrêt Données :

Φ : Φ :RÝÑR, x₀ : donnée initiale,x₀PR, tol : la tolérence, tolPR^`,

kmax : nombre maximum d'itérations, kmaxPN^˚ Résultat :

α_tol : un réel tel que|Φpα_tolq ´α_tol| ďtol (ou^|Φpα_|α^tol_tol^q´α_|`1^tol|ďtol)

1:Fonctionα_tolÐPtFixe(Φ,x₀,tol,kmax ) 2: kÐ0, αtolÐ H

3: xÐx₀, 4: errÐtol`1

5: Tantque errątol etkďkmax faire

6: kÐk`1

7: xpÐx

8: xÐΦpxpq

9: errÐ |x´xp| Źou^|xp´x|_|x|`1

10: Fin Tantque

11: Si errďtol alors ŹConvergence

12: α_tolÐx

13: Fin Si 14:Fin Fonction

Algorithme 13 Méthode de la corde utilisant la fonction PtFixe

Données :

f : f:RÝÑR,

a,b : deux réels tels quefpaq ‰fpbq, x₀ : donnée initiale,x₀PR, tol : la tolérence, tolPR^`,

kmax : nombre maximum d'itérations, kmaxPN^˚ Résultat :

α_tol : un réel tel que|fpα_tolq| ďtol 1:Fonctionα_tolÐCorde(f,a,b,x₀,tol,kmax ) 2: qÐ_fpbq´fpaq^b´a

3: ΦÐ`

xÞÑx´q˚fpxq˘

Źdénition de fonction 4: α_tolÐPtFixepΦ,x₀,tol,kmaxq

5:Fin Fonction

α “ 1 , racine de f : x ÞÑ x ² ´ 1

‚ exemple 1 : a “ 0 . 000 , b “ 2 . 000 , x ₀ “ 1 . 800 ,

‚ exemple 2 : a “ 0 . 5000 , b “ 1 . 900 , x ₀ “ 1 . 800 . exemple 1 exemple 2

k |x k ´ α| |x k ´ α|

0 8.0000e-01 8.0000e-01 1 3.2000e-01 1.3333e-01 2 5.1200e-02 2.9630e-02 3 1.3107e-03 5.3041e-03 4 8.5899e-07 8.9573e-04 5 3.6893e-13 1.4962e-04 6 0.0000e+00 2.4947e-05

... ... ...

15 0.0000e+00 2.4756e-12

L'exemple 1 converge beaucoup plus rapidement

0.5 1 1.5 2

-1 1 2 3

x0

f(x0)

x1

f(x1)

x2

f(x2) x3

f(x3) x4

f(x4) x5

f(x5)

y

f

a

q

x

a

y

f

x

(a) représentation usuelle

0.5 1 1.5 2

x

0.5 1 1.5 2

y

x0

x1 x2x3

Φ(x0) Φ(x1) Φ(x2)

y= Φ(x) y=x

(b) Représentation point xe

0.5 1 1.5 2

-1 1 2 3

x0

f(x0)

x1

f(x1)

x2

f(x2) x3

f(x3) x4

f(x4) x5

f(x5) x6

f(x6)

y

f

a

q

x

a

y

f

x

(a) représentation usuelle

0.5 1 1.5 2

x

0.5 1 1.5 2

y

x0

x1 x2x3

Φ(x0) Φ(x1) Φ(x2)

y= Φ(x) y=x

(b) Représentation point xe

Figure: Exemple 2, méthode de la corde, α “ 1 , racine de f : x ÞÑ x ² ´ 1 avec

0 5 10 15 k 10^-13

10^-12 10-11 10^-10 10^-9 10^-8 10^-7 10-6 10^-5 10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 ek

exemple 1 exemple 2

(a) Erreurs en fonctions des itérations

10^-11 10^-10 10^-9 10^-8 10^-7 10^-6 10^-5 10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 ek 10^-12

10^-11 10^-10 10^-9 10-8 10-7 10^-6 10^-5 10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 ek+ 1

exemple 1 : pente=2.000 exemple 2 : pente=1.000

(b) Représentation en échelle

logarithmique de e

en fonction de e

. Les pentes sont calculées numériquement Figure: Exemples 1 et 2, méthode de la corde, α “ 1 , racine de f : x ÞÑ x ² ´ 1

Exemple 1 : ^{f pbq´f} _b´a ^paq “ 2 et f ¹ pαq “ 2 ñ convergence ordre 2 .

Plan

1 Recherche des zéros d'une fonction

Méthode de dichotomie ou de bissection

Points xes d'une fonction (dimension 1)

Points xes attractifs et répulsifs

Algorithme générique du point xe

Points xes pour la recherche de racines

Méthode de la corde La méthode de Newton Méthode de la sécante

2 Résolution de systèmes non linéaires

Point xe

Méthode de Newton

Exemples

Méthode de Newton

Proposition 4.4: convergence de la méthode de Newton Soit f une fonction de classe C ² sur un certain voisinage d'une racine simple α de f . Soit x ₀ donné dans ce voisinage, la suite px k q k PN dénie par la méthode de Newton

x _{k` 1} “ x _k ´ f px _k q

f ¹ px _k q , @k P N . (17)

est localement convergente d'ordre 2.

Exercice 4.3:

En´1700 av. J.-C., les babyloniens ne connaissaient que les nombres rationnels (fractions) et ils utilisaient le système sex- agésimal (base 60). Pour approcher la valeur?

2,ils utilisaient comme approximation (voir tablette YBC 7289)

α“1`24 60` 51

60²` 10 60³“30547

21600 L'erreur commise est|α´?

2| «5.994e´7.

Q. 1

Comment feriez-vous pour trouver à la main une méthode permettant de trouver des nombres rationnels approchant? 2.

Q. 2

Généraliser la méthode pour trouver une approximation rationnelle de?

aoùaest un réel positif.

Q. 3

Généraliser la méthode pour trouver une approximation rationnelle de?ⁿ

aoùaest un réel positif etnPN^˚.

Méthode de point xe : version Tantque avec critères d'arrêt Données :

Φ : Φ :RÝÑR, x₀ : donnée initiale,x₀PR, tol : la tolérence, tolPR^`,

kmax : nombre maximum d'itérations, kmaxPN^˚ Résultat :

α_tol : un réel tel que|Φpα_tolq ´α_tol| ďtol (ou^|Φpα|α^tol_tol^q´α|`1^tol|ďtol)

1:Fonctionα_tolÐPtFixe(Φ,x₀,tol,kmax ) 2: kÐ0, α_tolÐ H

3: xÐx₀, 4: errÐtol`1

5: Tantque errątol etkďkmax faire

6: kÐk`1

7: xpÐx

8: xÐΦpxpq

9: errÐ |x´xp| Źou^|xp´x|_|x|`1

10: Fin Tantque

11: Si errďtol alors ŹConvergence

12: α_tolÐx

13: Fin Si 14:Fin Fonction

Méthode de Newton :

Φpxq “x´fpxq f¹pxq

Plus simple, plus court ... ???

Méthode de point xe : version Tantque avec critères d'arrêt Données :

Φ : Φ :RÝÑR, x₀ : donnée initiale,x₀PR, tol : la tolérence, tolPR^`,

kmax : nombre maximum d'itérations, kmaxPN^˚ Résultat :

α_tol : un réel tel que|Φpα_tolq ´α_tol| ďtol (ou^|Φpα_|α^tol_tol^q´α_|`1^tol|ďtol)

1:Fonctionα_tolÐPtFixe(Φ,x₀,tol,kmax ) 2: kÐ0, αtolÐ H

3: xÐx₀, 4: errÐtol`1

5: Tantque errątol etkďkmax faire

6: kÐk`1

7: xpÐx

8: xÐΦpxpq

9: errÐ |x´xp| Źou^|xp´x|_|x|`1

10: Fin Tantque

11: Si errďtol alors ŹConvergence

12: α_tolÐx

13: Fin Si 14:Fin Fonction

Algorithme 14 Méthode de Newton Données :

f

:

,

df : la dérivée de

,

: donnée initiale,

tol : la tolérence, tol

,

kmax : nombre maximum d'itérations, kmax

Résultat :

αtol

: un réel tel que

1:

Fonction

(

df

tol

kmax )

2: kÐ

0, α

x

err

tol

1

5:

Tantque err

tol et

kmax faire

1

7:

xp

x

8:

x

xp

dfpxpq ‰ 0

err

xp|

10:

Fin Tantque

11:

Si err

tol alors

Convergence

x

13:

Fin Si

Fin Fonction

Méthode de point xe : version Tantque avec critères d'arrêt Données :

Φ : Φ :RÝÑR, x₀ : donnée initiale,x₀PR, tol : la tolérence, tolPR^`,

kmax : nombre maximum d'itérations, kmaxPN^˚ Résultat :

α_tol : un réel tel que|Φpα_tolq ´α_tol| ďtol (ou^|Φpα_|α^tol_tol^q´α_|`1^tol|ďtol)

1:Fonctionα_tolÐPtFixe(Φ,x₀,tol,kmax ) 2: kÐ0, αtolÐ H

3: xÐx₀, 4: errÐtol`1

5: Tantque errątol etkďkmax faire

6: kÐk`1

7: xpÐx

8: xÐΦpxpq

9: errÐ |x´xp| Źou^|xp´x|_|x|`1

10: Fin Tantque

11: Si errďtol alors ŹConvergence

12: α_tolÐx

13: Fin Si 14:Fin Fonction

Algorithme 15 Méthode de Newton scalaire Données :

f

:

,

df : la dérivée de

,

: donnée initiale,

tol : la tolérence, tol

,

kmax : nombre maximum d'itérations, kmax

Résultat :

α_tol

: un réel tel que

1:

Fonction

(

df,

tol, kmax )

2: ΦÐxÞÑx´fpxq{dfpxq 3: α_tolÐPtFixepΦ,x₀,

tol, kmaxq

Fin Fonction

0.5 1 1.5 2

-2 -1 1 2

y=α x0

f(x0)

x1 f(x1)

x2

f(x2) x3

f(x3) f:x x2cos(x) D0 : ^y=f0(x0)(x₋x₀) +f(x₀) D1 : y=f0(x1)(x−x1) +f(x1) D2 : y=f0(x2)(x₋x2) +f(x2) D3 : y=f⁰(x3)(x−x3) +f(x3)

(a) représentation usuelle

0.5 1 1.5 2x

0.5 1 1.5 2

y

x0 x1 x2 x3 Φ(x0)

Φ(x1) Φ(x2)

y= Φ(x) y=x

(b) Représentation point xe,

Φ : x ÞÑ

2

` x

Figure: Exemple 2, méthode de Newton, α “ ¹ ₂ π, racine de f : x ÞÑ x ² cos pxq

avec x ₀ “ 0 . 40 ,

0.5 1 1.5 2

-2 -1 1 2

y=α

x0

f(x0)

x1

f(x1)

x2

f(x2) x3

f(x3) f:x x²cos(x⁾

D0 : y=f⁰(x0)(x−x0) +f(x0) D1 : y=f⁰(x1)(x−x1) +f(x1) D2 : y=f⁰(x2)(x−x2) +f(x2) D3 : y=f⁰(x3)(x−x3) +f(x3)

(a) représentation usuelle

0.5 1 1.5 2

x

0.5 1 1.5 2

y

x0

x1

x2

x3 Φ(x0)

Φ(x1) Φ(x2)

y= Φ(x) y=x

(b) Représentation point xe,

Φ : x ÞÑ

2

` x

Figure: Exemple 2, méthode de Newton, ¹ racine de ²

0 1 2 3 4 5 6 k 10^-14

10^-13 10-12 10^-11 10^-10 10-9 10^-8 10-7 10-6 10^-5 10-4 10-3 10^-2 10-1

ek

exemple : f(x) =x²−1 exemple : f(x) =x²cos(x)

(a) Représentation de la

convergence, e

en fonction de k

10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 ek

10^-14 10-13 10^-12 10-11 10^-10 10^-9 10^-8 10^-7 10-6 10^-5 10-4 10^-3 10^-2 10^-1 ek+ 1

exemple : f(x) =x²−1, pente=2.074 exemple : f(x) =x²cos(x), pente=1.953

(b) Représentation de l'ordre de convergence en échelle

logarithmique, e

1 en fonction de e

. Ordre théorique 2

Figure: Méthode de Newton, convergence et ordre

Plan

1 Recherche des zéros d'une fonction

Méthode de dichotomie ou de bissection

Points xes d'une fonction (dimension 1)

Points xes attractifs et répulsifs

Algorithme générique du point xe

Points xes pour la recherche de racines

Méthode de la corde La méthode de Newton Méthode de la sécante

2 Résolution de systèmes non linéaires

Point xe

Méthode de Newton

Exemples

Alternative à la méthode de Newton lorsque l'on ne connait pas la dérivée de la fonction f :

f ¹ px _k q « f px k q ´ f px _k´1 q x _k ´ x _{k´ 1} .

Proposition 4.5: Convergence méthode de la sécante (Admis) Soit f une fonction de classe C ² sur un certain voisinage d'une racine simple α de f . Soient x _{´ 1} et x ₀ donnés dans ce voisinage tels que f px ´ 1 q ‰ f px ₀ q , la suite px _k q _kPN dénie par la méthode de la sécante

x _{k ` 1} “ x _k ´ x _k ´ x _{k´ 1}

f px k q ´ f px k´ 1 q f px _k q, @k P N . (18)

est localement convergente d'ordre ^{1 `} ₂ ^{? 5} « 1 . 618 .