Ing. MACS 1/L3 MIM Analyse Numérique I

Ing. MACS 1/L3 MIM Analyse Numérique I

Sup’Galilée Année 2018-2019

Partiel du 16 janvier 2019

durée : 2h00.

Sans documents et sans appareils électroniques

Le barême est donné à titre indicatif

Exercice 1 ^{(8 points)}

Soit A P M n p C q une matrice régulière et bbb P C ⁿ . On suppose que la matrice A se décompose sous la forme A “ M ´ N avec M régulière et on pose

B “ M ^-1 N et ccc “ M ^-1 bbb.

Q. 1 Démontrer que la suite définie par [1.5 pts]

x x

x ^r0s P C ⁿ et x x x <sup>rk`1s</sup> “ B x x x <sup>rks</sup> ` ccc

converge vers x x x “ A ^-1 bbb quelque soit x x x ^r0s si et seulement si ρ p B q ă 1. ˝ On suppose que tous les éléments diagonaux de A sont non nuls et on note D “ diagpAq (i.e. D i,j “ δ i,j A i,j ) et E , F , les matrices à diagonales nulles respectivement triangulaire inférieure et supérieure telles que A “ D ´ E ´ F .

Pour résoudre le système A x x x “ bbb on va utiliser la méthode itérative S.O.R. donnée par la formule suivante avec w P R

x ^rk`1s _i “ w a ⁱⁱ

˜ b _i ´

i´1

ÿ

j“1

a ij x ^rk`1s _j ´

n

ÿ

j“i`1

a ij x ^rks _j

¸

` p1 ´ wqx ^rks _i (1)

où x x x ^r0s P C ⁿ est donné.

Q. 2 a. Montrer que (1) peut s’écrire sous la forme matricielle _{[1.5 pts]}

x

x x <sup>rk`1s</sup> “ H x x x <sup>rks</sup> ` d d d (2)

en explicitant la matrice d’itération H et le vecteur d d d en fonction de D , E , F , bbb et w.

b. Déduire de Q.1 que la méthode itérative (2) converge vers x x x “ A ^-1 bbb si et seulement si ρ p H q ă 1. ˝ [0.5 pts]

Q. 3 a. En posant L “ D ^-1 E et U “ D ^-1 F , montrer que [1 pts]

H “ p I ´ w L q ^-1 pp1 ´ wq I ` w U q . (3)

b. En déduire que _{[1 pts]}

ρ p H q ě | detp H q| ^1{n “ |1 ´ w|. (4)

c. Que peut-on en conclure? _{[0.25 pts]}

d. Donner (sans démonstration) une caractérisation de la matrice A permettant d’assurer la conver- _{[0.25 pts]}

gence de la méthode itérative S.O.R. ˝

Q. 4 (algorithmique) a. Ecrire la fonction SOR permettant de calculer (si possible) une approximation [1.5 pts]

de x x x “ A ^-1 bbb par la méthode itérative S.O.R.

b. Expliquer le(s) critère(s) d’arrêt choisi(s) et préciser les entrées/sorties de cette fonction. ˝ _{[0.5 pts]}

Exercice 2 ^{(8 points)}

Soient n P N ^˚ et n ` 1 couples de R ² , px i , y i q iPv0,nw , tels que les x i sont distincts deux à deux.

Q. 1 a. Soit i P v0, nw. Montrer qu’il existe un unique polynôme L i de degré n vérifiant _{[0.75 pts]}

L i px j q “ δ ij , @j P v0, nw. (1)

b. Montrer que les pL i q _iPv0,nw forment une base de R n rX s (espace vectoriel des polynômes à coefficients [0.75 pts]

réels de degré inférieur ou égal à n). ˝

On défini le polynôme P n par

P _n pxq “

n

ÿ

i“0

y _i L _i pxq. (2)

Q. 2 Montrer que le polynôme P _n est l’unique polynôme de degré au plus n vérifiant P _n px _i q “ y _i , [0.5 pts]

@i P v0, nw. ˝

Q. 3 Soit g P C ^p pra, bsq. On suppose qu’il existe pp ` 1q points distincts pc _i q iPv0,pw appartenant à ra, bs tels [1.5 pts]

que gpc i q “ 0. On définit

c min “ min

iPv0,pw

c i et c max “ max

iPv0,pw

c i .

Montrer qu’il existe ξ Psc min , c max r tel que

g ^ppq pξq “ 0.

˝ Soit π _n le polynôme de degré n ` 1 défini par

π _n pxq “

n

ź

i“0

px ´ x _i q. (3)

Q. 4 Soit f P C ^n`1 pra; bs; R q. On suppose que @i P v0, nw, x i P ra; bs et y i “ f px i q. Montrer que, @x P ra; bs, [1.5 pts]

il existe ξ x appartenant au plus petit intervalle ouvert contenant x, x 0 , . . . , x n tel que

f pxq ´ P n pxq “ π n pxq

pn ` 1q! f <sup>pn`1q</sup> pξ x q. (4)

Indication : Etudier les zéros de la fonction Fptq “ f ptq ´ P _n ptq ´ f pxq ´ P _n pxq

π n pxq π _n ptq. ˝

Q. 5 (algo) Ecrire la fonction algorithmique Lagrange retournant la valeur de P _n pxq. ˝ [1.0 pts]

On suppose maintenant que les points px i q _iPv0,nw sont équidistants : x i “ a ` ih, i P v0, nw, avec h “ <sup>b´a</sup> <sub>n</sub> . Pour i P v0, n ´ 1w fixé, on pose I i “ rx i , x i`1 s et on note P 1,i le polynôme d’interpolation de Lagrange aux nœuds px i , y i q, px i`1 , y i`1 q. On définit ensuite le polynôme d’interpolation par morceaux P ^h ₁ par:

pour tout i P v0, n ´ 1w,

P ^h ₁ pxq “ P _1,i pxq, @x P I _i .

Q. 6 a. Donner l’expression de P ^h ₁ sur chaque intervalle I i , pour i P v0, n ´ 1w, à l’aide de la formule _{[0.5 pts]}

de Newton.

b. Soit g une fonction de classe C ² sur ra, bs. On suppose que y i “ gpx i q pour tout i P v0, nw. Montrer _{[1.5 pts]}

que l’on a l’erreur d’interpolation suivante

|gpxq ´ P ^h ₁ pxq| ď h ² 8 sup

xPra,bs

|g ² pxq|. (5)

Indication : Montrer que

sup

xPI

|px ´ x i qpx ´ x i`1 q| “ h ²

4 . (6)

˝

Exercice 3 (6.5 points)

Soient a, b P R (a ă b), et f : ra, bs Ñ R une fonction continue. On pose Ipf q “

ż b

a

f pxqdx.

On rappelle que si c “ ^a`b ₂ , et si P ₂ est le polynôme d’interpolation de Lagrange aux nœuds pa, fpaqq, pc, f pcqq et pb, f pbqq, alors la formule d’intégration numérique de Simpson permettant d’approcher Ipf q est donnée par :

I 2 pf q “ pb ´ aq 6

` f paq ` 4f pcq ` f pbq ˘ .

On admet que si f P C ⁴ pra, bsq alors il existe η Psa, br tel que Ipf q ´ I ₂ pfq “ ´ pb ´ aq ⁵

2880 f ^p4q pηq. (1)

Dans la suite on découpe l’intervalle ra, bs en n sous intervalles rx i , x i`1 s iPv0,n´1w de même longueur : x <sub>i</sub> “ a ` ih avec h “ b ´ a

n , @i P v0, nw.

Q. 1 Montrer que l’approximation de Ipf q par la méthode de Simpson composite s’écrit sous la forme : [1.0 pts]

I ₂ ^h pf q “ h 6

n´1

ÿ

i“0

` f px i q ` 4f px i ` h

2 q ` f px i ` hq ˘ .

˝

Q. 2 (algo) Ecrire la fonction quadsim retournant l’approximation de ş b [1.5 pts]

a f pxqdx calculée par la méthode composite de Simpson en minimisant le nombre d’appels à la fonction f. ˝

Q. 3 Montrer que si f P C ⁴ pra, bsq, alors on a l’estimation suivante : [1.5 pts]

|I ₂ ^h pf q ´ Ipf q| ď h ⁴ pb ´ aq 2880 sup

xPra,bs

|f ^p4q pxq|.

˝

Q. 4 On considère l’intégrale

J “ ż 2

0

1 1 ` x dx.

a. Calculer J . [0.5 pts]

b. Approcher numériquement cette intégrale par la méthode de Simpson composite avec n “ 3. _{[1.0 pts]}

c. Soit p P N ^˚ . En approchant J par la méthode de Simpson composite avec n sous-intervalles, donner _{[1.0 pts]}

une borne inférieure pour n de sorte que l’erreur soit inférieure à 10 ^´p .

˝