Ing. MACS 1/L3 MIM Analyse Numérique I

(1)

Ing. MACS 1/L3 MIM Analyse Numérique I

Sup'Galilée Année 2016-2017

Partiel du 6 juin 2017

durée : 3h00.

Sans documents et sans appareils électroniques

Le barême est donné à titre indicatif

Exercice 1 ^{(7 points)}

Q. 1 1. Soit py k q kPN une suite de réels. Donner précisement la dénition de la convergence vers y P R avec un ordre p ě 1 de la suite py k q kPN .

2. Ecrire précisement le théorème du point xe dans R (hypothèse sur Φ mais pas sur sa dérivée). ˝ Soit Φ : ra, bs ÝÑ ra, bs une application de classe C ¹ . On déni la suite px _k q kPN par

x k`1 “ Φpx k q, @k P N (1)

avec x 0 P ra, bs donné. On suppose qu'il existe 0 ď L ă 1 tel que @x P ra, bs, |Φ ¹ pxq| ď L.

Q. 2 1. Montrer que la fonction admet un unique point xe α P ra, bs.

2. Montrer que la suite px _k q kPN est bien déni.

3. Montrer que la suite px k q kPN converge vers α avec un order 1 au moins.

4. Montrer que si pour tout k P N, x k ‰ α alors lim

kÑ`8

x k`1 ´ α

x _k ´ α “ Φ ¹ pαq

˝ On suppose ensuite que Φ ¹ pαq “ 0 et Dδ ą 0, DM P R ^`˚ tel que pour tout x P rα ´ δ, α ` δs on ai |Φ ² pxq| ď M.

Q. 3 1. Montrer que

@x 0 P rα ´ δ, α ` δs, |x k ´ α| ď 2 M

ˆ 1

2 M |x 0 ´ α|

˙ 2

^k

2. Quel est l'ordre de convergence dans ce cas.

3. A quelle condition a-t'on

|x _k ´ α| ď 2 M 10 ^´2

^k

.

˝

Q. 4 (algo) Ecrire la fonction algorithmique PtFixe retournant une approximation du point xe α de Φ (s'il

existe) en utilisant la suite px k q. ˝

Exercice 2 (7 points)

Q. 1 Donner précisement les dénitions de:

1. matrice triangulaire supérieure, 2. matrice unitaire,

3. élément propre d'une matrice,

4. base orthonormée de C ⁿ . ˝

(2)

Soit A P M n,n pCq une matrice et pλ, u u uq un élément propre de A avec }u u u} ₂ “ 1.

Q. 2 1. En s'aidant de la base canonique teee ₁ , . . . , eee _n u , construire une base orthonormée tx x x ₁ , . . . , x x x _n u telle que x x x ₁ “ u u u.

2. Ecrire la fonction algorithmique BaseOrtho permettant de construire la base orthonormée tx x x ₁ , . . . , x x x _n u à partir d'un vecteur u u u donné. Les vecteurs x x x _k seront stockés dans une matrice de M _n,n pCq, le vecteur x x x _k étant en colonne k de la matrice. On pourra pour celà utiliser les fonctions prédénies s Ð dot pu u u, v v vq qui retourne le produit scalaire de deux vecteurs, s Ð abs pxq qui retourne le module d'un nombre complexe,

... ˝

Notons par P la matrice de M n,n pCq dénie par

P “

¨

˝ x x x 1 . . . x x x n

˛

‚

et par B la matrice dénie par B “ P ^˚ AP.

Q. 3 1. Calculer la matrice P ^˚ P. Que peut-on en conclure?

2. Exprimer les coecients de la matrice B en fonction de la matrice A et des vecteurs x x x i , i P v1, nw.

B “ P ^˚ AP.

3. En déduire que la première colonne de B est pλ, 0, . . . , 0q ^t . ˝

Q. 4 Montrer par récurrence sur l'ordre de la matrice que la matrice A s'écrit A “ UTU ^˚

où U est une matrice unitaire et T une matrice triangulaire supérieure. ˝ Q. 5 On dispose des fonctions x x x Ð ResTriSup pU, bbbq et x x x Ð ResTriInf pL, bbbq permettant de résoudre respec- tivement le système triangulaire supérieur Ux x x “ bbb et le système triangulaire inférieur Lx x x “ bbb. En supposant A inversible et la décomposition A “ UTU ^˚ connue, expliquez comment résoudre "simplement" le système linéaire

Ax x x “ bbb. ˝

Exercice 3 (7 points)

Soient n P N ^˚ et n ` 1 couples de R ² , px _i , y _i q iPv0,nw , tels que les x _i sont distincts deux à deux. On note Q. 1 1. Soit i P v0, nw. Montrer qu'il existe un unique polynôme L i de degré n vériant

L _i px _j q “ δ _ij , @j P v0, nw. (1)

2. Montrer que les pL i q iPv0,nw forment une base de R n rX s (espace vectoriel des polynômes à coecients réels

de degré inférieur ou égal à n ). ˝

On déni le polynôme P _n par

P n pxq “

n

ÿ

i“0

y i L i pxq. (2)

Q. 2 Montrer que polynôme P _n est l'unique polynôme de degré au plus n vériant P _n px _i q “ y _i , @i P v1, nw. ˝ Soit π n le polynôme de degré n ` 1 déni par

π n pxq “

n

ź

i“0

px ´ x i q. (3)

Q. 3 Soit f P C ^n`1 pra; bs; Rq. On suppose que @i P v0, nw, x i P ra; bs et y i “ f px i q. Montrer que, @x P ra; bs, il existe ξ x appartenant au plus petit intervalle fermé contenant x, x 0 , . . . , x n tel que

f pxq ´ P _n pxq “ π _n pxq

pn ` 1q! f ^pn`1q pξ _x q. (4)

Indication : Etudier les zéros de la fonction F ptq “ f ptq ´ P n ptq ´ f pxq ´ P n pxq

π n pxq π n ptq. ˝

Q. 4 (algo) Ecrire la fonction algorithmique Lagrange retournant la valeur de P _n pxq. ˝

Ing. MACS 1/L3 MIM Analyse Numérique I

Ing. MACS 1/L3 MIM Analyse Numérique I

Sup'Galilée Année 2016-2017

Partiel du 6 juin 2017

durée : 3h00.

Sans documents et sans appareils électroniques

Le barême est donné à titre indicatif

Exercice 1 (7 points)

Q. 1 1. Soit py k q kPN une suite de réels. Donner précisement la dénition de la convergence vers y P R avec un ordre p ě 1 de la suite py k q kPN .

2. Ecrire précisement le théorème du point xe dans R (hypothèse sur Φ mais pas sur sa dérivée). ˝ Soit Φ : ra, bs ÝÑ ra, bs une application de classe C 1 . On déni la suite px k q kPN par

x k`1 “ Φpx k q, @k P N (1)

avec x 0 P ra, bs donné. On suppose qu'il existe 0 ď L ă 1 tel que @x P ra, bs, |Φ 1 pxq| ď L.

Q. 2 1. Montrer que la fonction admet un unique point xe α P ra, bs.

2. Montrer que la suite px k q kPN est bien déni.

3. Montrer que la suite px k q kPN converge vers α avec un order 1 au moins.

4. Montrer que si pour tout k P N, x k ‰ α alors lim

kÑ`8

x k`1 ´ α

x k ´ α “ Φ 1 pαq

˝ On suppose ensuite que Φ 1 pαq “ 0 et Dδ ą 0, DM P R `˚ tel que pour tout x P rα ´ δ, α ` δs on ai |Φ 2 pxq| ď M.

Q. 3 1. Montrer que

@x 0 P rα ´ δ, α ` δs, |x k ´ α| ď 2 M

ˆ 1

2 M |x 0 ´ α|

˙ 2

2. Quel est l'ordre de convergence dans ce cas.

3. A quelle condition a-t'on

|x k ´ α| ď 2 M 10 ´2

.

˝

Q. 4 (algo) Ecrire la fonction algorithmique PtFixe retournant une approximation du point xe α de Φ (s'il

existe) en utilisant la suite px k q. ˝

Exercice 2 (7 points)

Q. 1 Donner précisement les dénitions de:

1. matrice triangulaire supérieure, 2. matrice unitaire,

3. élément propre d'une matrice,

4. base orthonormée de C n . ˝

Soit A P M n,n pCq une matrice et pλ, u u uq un élément propre de A avec }u u u} 2 “ 1.

Q. 2 1. En s'aidant de la base canonique teee 1 , . . . , eee n u , construire une base orthonormée tx x x 1 , . . . , x x x n u telle que x x x 1 “ u u u.

... ˝

Notons par P la matrice de M n,n pCq dénie par

P “

¨

˝ x x x 1 . . . x x x n

˛

‚

et par B la matrice dénie par B “ P ˚ AP.

Q. 3 1. Calculer la matrice P ˚ P. Que peut-on en conclure?

2. Exprimer les coecients de la matrice B en fonction de la matrice A et des vecteurs x x x i , i P v1, nw.

B “ P ˚ AP.

3. En déduire que la première colonne de B est pλ, 0, . . . , 0q t . ˝

Q. 4 Montrer par récurrence sur l'ordre de la matrice que la matrice A s'écrit A “ UTU ˚

Ax x x “ bbb. ˝

Exercice 3 (7 points)

Soient n P N ˚ et n ` 1 couples de R 2 , px i , y i q iPv0,nw , tels que les x i sont distincts deux à deux. On note Q. 1 1. Soit i P v0, nw. Montrer qu'il existe un unique polynôme L i de degré n vériant

L i px j q “ δ ij , @j P v0, nw. (1)

2. Montrer que les pL i q iPv0,nw forment une base de R n rX s (espace vectoriel des polynômes à coecients réels

de degré inférieur ou égal à n ). ˝

On déni le polynôme P n par

P n pxq “

n

ÿ

i“0

y i L i pxq. (2)

Q. 2 Montrer que polynôme P n est l'unique polynôme de degré au plus n vériant P n px i q “ y i , @i P v1, nw. ˝ Soit π n le polynôme de degré n ` 1 déni par

π n pxq “

n

ź

i“0

px ´ x i q. (3)

Q. 3 Soit f P C n`1 pra; bs; Rq. On suppose que @i P v0, nw, x i P ra; bs et y i “ f px i q. Montrer que, @x P ra; bs, il existe ξ x appartenant au plus petit intervalle fermé contenant x, x 0 , . . . , x n tel que

f pxq ´ P n pxq “ π n pxq

pn ` 1q! f pn`1q pξ x q. (4)

Indication : Etudier les zéros de la fonction F ptq “ f ptq ´ P n ptq ´ f pxq ´ P n pxq

π n pxq π n ptq. ˝

Q. 4 (algo) Ecrire la fonction algorithmique Lagrange retournant la valeur de P n pxq. ˝

Exercice 1 ^{(7 points)}

2. Ecrire précisement le théorème du point xe dans R (hypothèse sur Φ mais pas sur sa dérivée). ˝ Soit Φ : ra, bs ÝÑ ra, bs une application de classe C ¹ . On déni la suite px _k q kPN par

avec x 0 P ra, bs donné. On suppose qu'il existe 0 ď L ă 1 tel que @x P ra, bs, |Φ ¹ pxq| ď L.

2. Montrer que la suite px _k q kPN est bien déni.

x _k ´ α “ Φ ¹ pαq

˝ On suppose ensuite que Φ ¹ pαq “ 0 et Dδ ą 0, DM P R ^`˚ tel que pour tout x P rα ´ δ, α ` δs on ai |Φ ² pxq| ď M.

|x _k ´ α| ď 2 M 10 ^´2

4. base orthonormée de C ⁿ . ˝

Soit A P M n,n pCq une matrice et pλ, u u uq un élément propre de A avec }u u u} ₂ “ 1.

Q. 2 1. En s'aidant de la base canonique teee ₁ , . . . , eee _n u , construire une base orthonormée tx x x ₁ , . . . , x x x _n u telle que x x x ₁ “ u u u.

et par B la matrice dénie par B “ P ^˚ AP.

Q. 3 1. Calculer la matrice P ^˚ P. Que peut-on en conclure?

B “ P ^˚ AP.

3. En déduire que la première colonne de B est pλ, 0, . . . , 0q ^t . ˝

Q. 4 Montrer par récurrence sur l'ordre de la matrice que la matrice A s'écrit A “ UTU ^˚

Soient n P N ^˚ et n ` 1 couples de R ² , px _i , y _i q iPv0,nw , tels que les x _i sont distincts deux à deux. On note Q. 1 1. Soit i P v0, nw. Montrer qu'il existe un unique polynôme L i de degré n vériant

L _i px _j q “ δ _ij , @j P v0, nw. (1)

On déni le polynôme P _n par

Q. 2 Montrer que polynôme P _n est l'unique polynôme de degré au plus n vériant P _n px _i q “ y _i , @i P v1, nw. ˝ Soit π n le polynôme de degré n ` 1 déni par

Q. 3 Soit f P C ^n`1 pra; bs; Rq. On suppose que @i P v0, nw, x i P ra; bs et y i “ f px i q. Montrer que, @x P ra; bs, il existe ξ x appartenant au plus petit intervalle fermé contenant x, x 0 , . . . , x n tel que

f pxq ´ P _n pxq “ π _n pxq

pn ` 1q! f ^pn`1q pξ _x q. (4)

Q. 4 (algo) Ecrire la fonction algorithmique Lagrange retournant la valeur de P _n pxq. ˝