Analyse Numérique I Sup’Galilée, Ingénieurs MACS 1ère année & L3 MIM François Cuvelier

(1)

Analyse Numérique I

Sup’Galilée, Ingénieurs MACS 1ère année & L3 MIM

François Cuvelier

Laboratoire d’Analyse Géométrie et Applications Institut Galilée

Université Paris XIII.

2020/10/08

(2)

Chapitre IV

Résolution de systèmes non-linéaires

(3)

Plan

1

Recherche des zéros d’une fonction

Méthode de dichotomie ou de bissection

Points fixes d’une fonction (dimension 1)

Points fixes attractifs et répulsifs

Algorithme générique du point fixe

Points fixes pour la recherche de racines

Méthode de la corde La méthode de Newton Méthode de la sécante

2

Résolution de systèmes non linéaires

Point fixe

Méthode de Newton

Exemples

(4)

Racines/zéros d’un polynôme

‚ degré 2

: Babylonniens en 1600 avant J.-C.

‚ degré 3

:

Scipio del Ferro

(1465-1526, mathématicien italien) et

Niccolo Fontana

(1499-1557, mathématicien italien)

‚ degré 4

:

Ludovico Ferrari

(1522-1565, mathématicien italien)

‚ degré 5

:

Paolo Ruffini

(1765-1822, mathématicien italien) en 1799,

Niels Henrick Abel

(1802-1829, mathématicien norvégien) en 1824, montrent qu’il n’existe

pas de solution analytique.

(a)Niccolo Fontana

1499-1557, mathématicien

(b)Paolo Ruffini

1765-1822, mathématicien

(c)Niels Henrick Abel

1802-1829, mathématicien

(5)

Plan

1

Recherche des zéros d’une fonction

Méthode de dichotomie ou de bissection

Points fixes d’une fonction (dimension 1)

2

Résolution de systèmes non

linéaires

(6)

Soit f : D Ă R ÝÑ R une fonction continue.

α P D tels que f pαq “ 0.

Soit I “sa, br, I ¯ Ă D on suppose D!α P I tel que f pαq “ 0.

(7)

Plan

1

Recherche des zéros d’une fonction

Méthode de dichotomie ou de bissection

Points fixes d’une fonction (dimension 1)

Points fixes attractifs et répulsifs

Algorithme générique du point fixe

Points fixes pour la recherche de racines

Méthode de la corde La méthode de Newton Méthode de la sécante

2

Résolution de systèmes non linéaires

Point fixe

Méthode de Newton

Exemples

(8)

principe de la méthode de dichotomie :

Soit

I

un intervalle contenant un

unique zéro

de la fonction

f,

on le divise par son milieu en deux intervalles et on détermine lequel des deux contient le zéro. On itére ce processus sur le nouvel intervalle.

0.5 1 1.5 2 2.5 x

5 10 15 20 25 30 35

y

y=f(x)

a0 b0

a1 b1

a2 b2

a3 b3

a4 b4 a5 b5

a6b6 a7b7 a8b8 a9b9

Figure: Méthode de dichotomie: f pxq “ px ` 2qpx ` 1qpx ´ 1q

(9)

principe de la méthode de dichotomie :

Soit

I

un intervalle contenant un

unique zéro

de la fonction

f,

on le divise par son milieu en deux intervalles et on détermine lequel des deux contient le zéro. On itére ce processus sur le nouvel intervalle.

‚ a

0

“ a, b

0

“ b et x

0

“

^a`b₂

,

‚ @k P N

$

’ &

’ %

a

k`1

“ b

k`1

“ x

k

si f px

k

q “ 0, a

_k`1

“ x

_k

, b

_k`1

“ b

_k

si f pb

_k

qf px

_k

q ă 0,

a

_k`1

“ a

_k

, b

_k`1

“ x

_k

sinon (i.e. f pa

_k

qf px

_k

q ă 0.) et

x

_k`1

“ pa

_k`1

` b

_k`1

q{2.

(10)

Exercice 1.1

On suppose que la fonction f est continue sur ra, bs, vérifie f paqf pbq ă 0 et qu’il existe un unique α Psa, br tel que f pαq “ 0.

Q.1

1

Montrer que les suites pa

_k

q et pb

_k

q convergent vers α.

2

En déduire que la suite px

_k

q converge vers α.

Q.2

1

Montrer que pour tout k P N , |x

_k

´ α| ď

₂^b´ak`1

.

2

Soit ą 0. En déduire que si k ě

^logp

b´a q

logp2q

´ 1 alors |x

_k

´ α| ď .

(11)

Proposition 1.1

Soit f : ra, bs Ă R ÝÑ R une fonction continue vérifiant f paqf pbq ă 0 et admettant α Psa, br comme unique solution de f pxq “ 0. Alors la suite px

_k

q

_kPN

définie par la méthode de dichotomie converge vers α et

|x

_k

´ α| ď b ´ a

2

^k`1

, @k P N . On a alors @ ą 0, @k ě

^logp

b´a q logp2q

´ 1

|x

k

´ α| ď .

(12)

Algorithme

‚ Que cherche-t’on?

Résultat :

α : un réel tel que |α ´ α| ď .

‚ Quelles sont les données du problèmes?

Données : a, b : deux réels a ă b,

f : f : ra, bs Ă R ÝÑ R vérifiant les hypothèses de la proposition ,

: un réel strictement positif.

(13)

Algorithme

‚ Que cherche-t’on?

Résultat :

α : un réel tel que |α ´ α| ď .

‚ Quelles sont les données du problèmes?

Données : a, b : deux réels a ă b,

f : f : ra, bs Ă R ÝÑ R vérifiant les hypothèses de la proposition ,

: un réel strictement positif.

(14)

Algorithme

‚ Que cherche-t’on?

Résultat :

α : un réel tel que |α ´ α| ď .

‚ Quelles sont les données du problèmes?

Données : a, b : deux réels a ă b,

f : f : ra, bs Ă R ÝÑ R vérifiant les hypothèses de la proposition ,

: un réel strictement positif.

(15)

Algorithme

Algorithme 1 R₀ 1: k_minÐEp^logp

b´a ǫ q logp2q q

2: Calcul de la suitepx_kq^kk^min“0 3: αǫÐx_k

min

Algorithme 1 R₁ 1: k_minÐEp^logp

b´a ǫ q logp2q q

2: Initialisation dex₀

3: PourkÐ0àk_min´1faire 4: Calcul de la suitepx_k_`₁q 5: Fin Pour

6: αǫÐx_k

min

(16)

Algorithme

Algorithme 1 R₁ 1:k_minÐEp^logp

b´a ǫ q logp2q q 2: Initialisation dex₀ 3:PourkÐ0àk

min´1faire 4: Calcul de la suitepx_k`1q 5:Fin Pour

6:αǫÐx_k

min

Algorithme 1 R₂ 1:k_minÐEp^logp

b´a ǫ q logp2q q

2:a₀Ða, b₀Ðb 3:x₀Ð^a⁰^`b2 ⁰

4:PourkÐ0àk_min´1faire

5: Sifpx_kq ““0alors 6: a_k`1Ðx_k, b_k`1Ðx_k 7: Sinon Si fpx_kqfpb_kq ă 0q

alors

8: a_k_`₁Ðx_k, b_k_`₁Ðb_k 9: Sinon

10: a_k`1Ða_k, b_k`1Ðx_k 11: Fin Si

12: x_k_`₁Ð^a^k`1^`2^b^k`1 13: Fin Pour

14: α Ðx_k

(17)

Algorithme 1Méthode de dichotomie : version 1 Données : a, b : deux réelsaăb,

f : f:ra,bs ĂRÝÑRvérifiant les hypothèses de la proposition 1.1, eps : un réel strictement positif.

Résultat : x : un réel tel que|x´α| ďeps.

1: FonctionxÐDichotomie1(f,a,b,eps) 2: kminÐEplogppb´aq{epsq{logp2qq

3: AAA,BBB, XXXPR^kmin`1 ŹAAApk`1qcontiendraak,...

4: AAAp1q Ða,BBBp1q Ðb,XXXp1q Ð pa`bq{2 5: PourkÐ1àkminfaire

6: SifpXXXpkqq ““0alors

7: AAApk`1q ÐXXXpkq,BBBpk`1q ÐXXXpkq 8: Sinon SifpBBBpkqqfpXXXpkqq ă0alors 9: AAApk`1q ÐXXXpkq,BBBpk`1q ÐBBBpkq 10: Sinon

11: AAApk`1q ÐAAApkq, BBBpk`1q ÐXXXpkq 12: Fin Si

13: XXXpk`1q Ð pAAApk`1q `BBBpk`1qq{2 14: Fin Pour

15: xÐXXXpkmin`1q

(18)

Algorithme : versions 2, 3 et + si affinités

‚ A “ a, B “ b et x

0

“

^A`B₂

,

‚ @k P v 0, k

min

´ 1 w,

$

’ &

’ %

A “ B “ x

_k

si f px

_k

q “ 0,

A “ x

_k

, B inchangé si f pBqf px

_k

q ă 0,

B “ x

k

, A inchangé sinon (i.e. f pAqf px

k

q ă 0.) et

x

_k`1

“ A ` B

2

(19)

3: XXXPR^kmin`1 ŹXXXpk`1qcontiendraxk,...

4: AÐa, BÐb,XXXp1q Ð pA`Bq{2 5: PourkÐ1àkminfaire 6: SifpXXXpkqq ““0alors 7: AÐXXXpkq, BÐXXXpkq 8: Sinon SifpBqfpXXXpkqq ă0alors

9: AÐXXXpkq ŹBinchangé

10: Sinon

11: BÐXXXpkq ŹAinchangé

12: Fin Si

13: XXXpk`1q Ð pA`Bq{2 14: Fin Pour

15: xÐXXXpkmin`1q

(20)

3: A, BPR

4: AÐa, BÐb, xÐ pa`bq{2 5: PourkÐ1àkminfaire 6: Sifpxq ““0alors

7: AÐx,BÐx

8: Sinon SifpBqfpxq ă0alors

9: AÐx ŹBinchangé

10: Sinon

11: BÐx ŹAinchangé

12: Fin Si

13: xÐ pA`Bq{2

14: Fin Pour 15: Fin Fonction

(21)

f : fPC⁰pra,bs;Rqetfpaqfpbq ă0 eps : un réel strictement positif.

1: FonctionxÐDichotomie4(f,a,b,eps)

2: A, BPR

3: AÐa, BÐb, xÐ pa`bq{2 4: Tantque|x´A| ąepsfaire 5: Sifpxq ““0alors

6: AÐx,BÐx

7: Sinon SifpBqfpxq ă0alors

9: Sinon

11: Fin Si

12: xÐ pA`Bq{2

13: Fin Tantque 14: Fin Fonction

(22)

Que pensez vous de cet algorithme?

f : fPC⁰pra,bs;Rqetfpaqfpbq ă0.

Résultat : x : un réel tel quefpxq “0.

1: FonctionxÐDichotomie5(f,a,b)

2: A, BPR

3: AÐa, BÐb, xÐ pa`bq{2, xpÐa 4: Tantque x„“xp faire

5: SifpBqfpxq ă0alors

7: Sinon

9: Fin Si

10: xpÐx

11: xÐ pA`Bq{2 12: Fin Tantque 13: Fin Fonction

(23)

Plan

1

Recherche des zéros d’une fonction

Méthode de dichotomie ou de bissection

Points fixes d’une fonction (dimension 1)

Points fixes attractifs et répulsifs

Algorithme générique du point fixe

Points fixes pour la recherche de racines

Méthode de la corde La méthode de Newton Méthode de la sécante

2

Résolution de systèmes non linéaires

Point fixe

Méthode de Newton

Exemples

(24)

Points fixes

Soit Φ : ra, bs Ă R ÝÑ R une fonction donnée. Rechercher un point fixe de Φ revient à

Trouver α P ra, bs tel que

α “ Φpαq.

L’algorithme de la méthode du point fixe consiste en la construction, si elle existe, de la suite

x

^pk`1q

“ Φpx

^pkq

q, @k P N (1)

avec x

^p0q

P ra, bs donné.

(25)

Definition 1.2

Soient pE , dq un espace métrique et pu u u

^rk^s

q

_kPN

une suite d’éléments de E convergeant vers α α α P E . On dit que cette suite converge vers α α α avec un ordre p ě 1 si

Dk

0

P N , DC ą 0 tels que dpu u u

^rk`1s

, α α αq ď C dpu u u

^rks

, α α αq

^p

, @k ě k

0

. (2) où C ă 1 si p “ 1.

Exemples de distances:

‚ dpx, yq “ |x ´ y| dans R , C , Z ou Q

‚ dpxxx, yyy q “ }xxx ´ yyy } dans R

ⁿ

, où }.} est l’une quelconque des normes

habituelles.

(26)

Théorème 2: Théorème du point fixe dansR

Soientra,bsun intervalle non vide deRetΦune application continue dera,bsdans lui-même.

Alors, il existeau moinsun pointαP ra,bsvérifiantΦpαq “α.Le pointαest appelépoint fixe de la fonctionΦ.

De plus, siΦest contractante (lipschitzienne de rapportLP r0,1r), c’est à dire

DLă1 t.q.|Φpxq ´Φpyq| ďL|x´y| @px,yq P ra,bs², (3) alorsΦadmet ununiquepoint fixeαP ra,bs.

Pour toutx0P ra,bs, la suite

xk`1“Φpxkq, @kPN (4)

est bien définie et elle converge versαavec un ordre 1 au moins.

On a les deux estimations suivantes :

|xk´α| ď L^k|x0´α|, @kě0, (5)

|xk´α| ď L

1´L|xk´xk´1|, @kě0, (6)

(27)

Théorème 3: Convergence globale, méthode du point fixe

Soit Φ P C

¹

pra, bsq vérifiant Φpra, bsq Ă ra, bs et

DL ă 1 tel que @x P ra, bs, |Φ

¹

px q| ď L, (7) Soit x

₀

P ra, bs et px

k

q

_kPN

la suite définie par x

_k`1

“ Φpx

k

q. On a alors

1

la fonction Φ admet un unique point fixe α P ra, bs,

2

@k P N , x

k

P ra, bs,

3

la suite px

k

q converge vers α avec un ordre 1 au moins.

4

Si x

₀

‰ α, alors

lim

kÑ`8

x

k`1

´ α

x

_k

´ α “ Φ

¹

pαq. (8)

(28)

Théorème 4: Convergence locale du point fixe

Soit α un point fixe d’une fonction Φ de classe C

¹

au voisinage de α.

Si |Φ

¹

pαq| ă 1, alors il existe δ ą 0 pour lequel x

_k

converge vers α pour tout x

₀

tel que |x

₀

´ α| ď δ. De plus, si x

₀

‰ α, on a

kÑ`8

lim

x

_k`1

´ α

x

_k

´ α “ Φ

¹

pαq. (9)

(29)

Exercice 4.1:

Soitαun point fixe d’une fonctionΦde classeC¹au voisinage deαet vérifiantΦ¹pαq “0.

Q.1 Montrer qu’il existeδą0tel que@x0Psα´δ, α`δrla suite définie parx_k`1“Φpxkqconverge versα. On suppose de plus queΦ¹est dérivable sursα´δ, α`δret qu’il existeMPR^`tel que

@xP rα´δ, α`δs|Φ²pxq| ďM

Q.2

1 Montrer que

@x₀P rα´δ, α`δs, |x_k´α| ď 2 M

ˆ1 2M|x₀´α|

˙2^k

2 Quel est l’ordre de convergence dans ce cas.

Q.3 A quelle condition a-t’on

|xk´α| ď 2 M10^´2^k.

(30)

Proposition 4.1:

Soit p P N

^˚

, et Φ P C

^p`1

pVq pour un certain voisinage V de α point fixe de Φ. Si Φ

^piq

pαq “ 0, pour 1 ď i ď p et si Φ

^pp`1q

pαq ‰ 0, alors la méthode de point fixe associée à la fonction Φ est d’ordre p ` 1 et

kÑ`8

lim

x

_k`1

´ α

px

_k

´ αq

^p`1

“ Φ

^pp`1q

pαq

pp ` 1q! . (10)

(31)

Plan

1

Recherche des zéros d’une fonction

Méthode de dichotomie ou de bissection

Points fixes d’une fonction (dimension 1)

Points fixes attractifs et répulsifs

Algorithme générique du point fixe

Points fixes pour la recherche de racines

Méthode de la corde La méthode de Newton Méthode de la sécante

2

Résolution de systèmes non linéaires

Point fixe

Méthode de Newton

Exemples

(32)

Points fixes attractifs et répulsifs

Soit Φ : ra, bs ÝÑ ra, bs une application de classe C

¹

admettant un point fixe α P ra, bs.

‚ Si |Φ

¹

pαq| ă 1 alors α est un point fixe attractif,

‚ Si |Φ

¹

pαq| ą 1 alors α est un point fixe répulsif.

(33)

On s’interesse ici au point fixe α “ 1 de la fonction Φ : x ÞÑ x

²

.

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

x

-0.5 0.5 1 1.5 2

y

y = x

y= Φ(x)

α

y= Φ⁻¹(x) =^px y=x α= Φ(α)

Figure: fonction x

²

et son fonction inverse ?

x sur r0, `8r

(34)

Φ

¹

pαq “ 2 : point fixe répulsif

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 x

0.5 1 1.5 2

y

x0x1x2 x3 Φ(x0)

Φ(x1) Φ(x2)

y= Φ(x) =x² y=x

(a)x0“

1.05

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

x

-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

y

x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

Φ(x0) Φ(x1) Φ(x2) Φ(x3) Φ(x4) Φ(x5) Φ(x6) Φ(x7)

y= Φ(x) =x² y=x

(b)x0“

0.950 Figure: α “ 1, point fixe répulsif de x ÞÑ x

²

(35)

pΦ

^´1

q

¹

p1q “ 1{2 ă 1, : point fixe attractif

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 x

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

y

x0 x1 x2 x3 Φ(x0)

Φ(x1) Φ(x2)

y=^px y=x

(a)x0“

1.40

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

x

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

y

x0 x1 x2 x3 x4x5

Φ(x0) Φ(x1) Φ(x2) Φ(x3) Φ(x4)

y=^px y=x

(b)x0“

0.200 Figure: α “ 1, point fixe attractif de Φ

^´1

: x ÞÑ ?

x

(36)

fonction Φ : x ÞÑ x

²

´ x ` 1 : point fixe α “ 1, Φ

¹

pαq “ 1.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

x

0.5 1 1.5

y

xxx0x12x3x45x6x7x8x9 Φ(x0)

Φ(x1) Φ(x2) Φ(x3) Φ(x4) Φ(x5) Φ(x6) Φ(x7) Φ(x8)

y= Φ(x) =x²−x+ 1 y=x

(a)x0“

1.1, α point répulsif

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

x

0.5 1 1.5

y

x0 x1x2xx3xx4x5xx6789

Φ(x0) Φ(x1) Φ(x2) Φ(x3) Φ(x4) Φ(x5) Φ(x6) Φ(x7) Φ(x8)

y= Φ(x) =x²−x+ 1 y=x

(b)x0“

0.50, α point attractif

(37)

0.5 1 1.5 2x

0.5 1 1.5 2

y

x0

x1 x2

x3 x4

x5 x6

x7 x8

x9 Φ(x0) Φ(x1)

Φ(x2) Φ(x3)

Φ(x4) Φ(x5)

Φ(x6) Φ(x7)

Φ(x8)

y= Φ(x) =−x+ 2 y=x

(a)x0“

1.50

0.5 1 1.5 2x

0.5 1 1.5 2

y

x0 x1x3x5xx79xx86x4x2 Φ(x0)

Φ(x1)

Φ(x2) Φ(x3) Φ(x4) Φ(x5) Φ(x6) Φ(x7) Φ(x8)

y= Φ(x) =−3 4x+⁷₄ y=x

(b)x0“

1.50

0.5 1 1.5 2x

0.5 1 1.5 2

y

x₀ x₁ x₂

x₃ x₄

x₅ x₆

x₇ x₈

Φ(x0) Φ(x1)

Φ(x₂) Φ(x3)

Φ(x4) Φ(x5)

Φ(x6)

Φ(x7) y= Φ(x) =−⁴3x+⁷₃ y=x

(c)x0“

1.10 Figure: α “ 1, point fixe de fonctions affines particulières

(38)

Plan

1

Recherche des zéros d’une fonction

Méthode de dichotomie ou de bissection

Points fixes d’une fonction (dimension 1)

Points fixes attractifs et répulsifs

Algorithme générique du point fixe

Points fixes pour la recherche de racines

Méthode de la corde La méthode de Newton Méthode de la sécante

2

Résolution de systèmes non linéaires

Point fixe

Méthode de Newton

Exemples

(39)

Algorithme générique du point fixe

x

^pk`1q

“ Φpx

^pkq

q, @k P N , avec x

^p0q

P ra, bs donné.

Algorithme 6 Méthode de point fixe : version Tantque formel

1:

k Ð 0

2:

Tantque non convergence faire

3:

x

_k`1

Ð Φ p x

_k

q

4:

k Ð k ` 1

5:

Fin Tantque

6:

α

Ð x

_k

Ź le dernier calculé.

Algorithme 7 Méthode de point fixe : version Répéter formel

1:

k Ð 0

2:

Répéter

3:

k Ð k ` 1

4:

x

_k

Ð Φpx

_k´1

q

5:

jusqu’à convergence

6:

α

Ð x

_k

Ź le dernier calculé.

Critères d’arrêt?

‚ On n’est pas sûr de converger ùñ kmax nb maximum d’itérations

(40)

Algorithme générique du point fixe

Algorithme 8Méthode de point fixe : version Tantque formelavec critères d’arrêt

1:kÐ0

2:errÐ |Φpx0q ´x0| Źou^|Φpx_|x₀⁰_|`1^q´x⁰^| 3:Tantque errąetkďkmaxfaire

4: kÐk`1

5: xkÐΦpxk´1q

k|`1 7:Fin Tantque

8:Sierrďtolalors ŹConvergence 9: αtolÐxk Ź |Φpαtolq ´αtol| ďtol 10:Fin Si

Algorithme 9 Méthode de point fixe : versionRépéter formelavec critères d’arrêt

1:kÐ0 2:Répéter

k|`1 4: xk`1ÐΦpxkq

5: kÐk`1

6:jusqu’àerrďtoloukąkmax

7:Sierrďtolalors ŹConvergence 8: αtolÐxk Ź |Φpαtolq ´αtol| ďtol 9:Fin Si

(41)

Algorithme générique du point fixe

Algorithme 10Méthode de point fixe : versionTantque avec critères d’arrêt

Données :

Φ : Φ :RÝÑR, x0 : donnée initiale,x0PR, tol : la tolérence,tolPR^`,

kmax : nombre maximum d’itérations,kmaxPN^˚ Résultat :

tol|`1 ďtol)

1:FonctionαtolÐPtFixe(Φ,x0,tol,kmax) 2: kÐ0, αtolÐ H

3: xÐx₀,fxÐΦpx₀q,

4: errÐ |fx´x| Źou^|fx´x|_|x|`1 5: Tantque errątoletkďkmaxfaire

6: kÐk`1

7: xÐfx

8: fxÐΦpxq

9: errÐ |fx´x| Źou^|fx´x|_|x|`1 10: Fin Tantque

11: Sierrďtolalors ŹConvergence

12: α_tolÐx

Algorithme 11Méthode de point fixe : versionRépéter avec critères d’arrêt

Données :

Φ : Φ :RÝÑR, x0 : donnée initiale,x_PR, tol : la tolérence,tolPR^`,

tol|`1 ďtol)

1:Fonctionα_tolÐPtFixe(Φ,x0,tol,kmax) 2: kÐ0, αtolÐ H

3: xÐx0 4: Répéter

5: xpÐx

6: xÐΦpxpq

7: errÐ |x´xp| Źou^|x´xp|_|xp|`1

8: kÐk`1

9: jusqu’àerrďtoloukąkmax

11: αtolÐx

12: Fin Si

(42)

Plan

1

Recherche des zéros d’une fonction

Méthode de dichotomie ou de bissection

Points fixes d’une fonction (dimension 1)

Points fixes attractifs et répulsifs

Algorithme générique du point fixe

Points fixes pour la recherche de racines

Méthode de la corde La méthode de Newton Méthode de la sécante

2

Résolution de systèmes non linéaires

Point fixe

Méthode de Newton

Exemples

(43)

Applications à la recherche de racines

f pxq “ 0 ðñ Φpxq

^def

“ x ` f px q “ x.

si F P C

⁰

tel que F p0q “ 0 alors

f pxq “ 0 ðñ Φpxq

^def

“ x ` Fpf pxqq “ x.

Objectif : Construire une suite x

_k_`1

tel que |x

_k`1

´ α| ď |x

_k

´ α|.

formule de taylor :

f pαq “ 0 “ f px

_k

q ` hf

¹

pξq avec h “ α ´ x

_k

. Soit q

_k

« f

¹

pξq et h ˜ solution de

f px

_k

q ` hq ˜

_k

“ 0

Si q

k

‰ 0, on obtient la suite itérative x

k`1

“ x

k

` h ˜ i.e.

f px

_k

q

(44)

Applications à la recherche de racines

x

k`1

“ x

k

´ f px

k

q

_k

, @k P N

x

_k`1

: intersection droite de pente q

_k

passant par ppx

_k

q, f px

_k

qq avec pOxq

‚ Méthode de la corde :

q

_k

“ q “ f pbq ´ f paq b ´ a

‚ Méthode de la sécante :

q

k

“ f px

k

q ´ f px

k´1

q x

_k

´ x

k´1

où x

_´1

et x

₀

sont données,

‚ Méthode de Newton : en supposant f

¹

connu, on prend

1

(45)

Plan

1

Recherche des zéros d’une fonction

Méthode de dichotomie ou de bissection

Points fixes d’une fonction (dimension 1)

Points fixes attractifs et répulsifs

Algorithme générique du point fixe

Points fixes pour la recherche de racines

Méthode de la corde La méthode de Newton Méthode de la sécante

2

Résolution de systèmes non linéaires

Point fixe

Méthode de Newton

Exemples

(46)

Méthode de la corde

Exercice 4.2:

Soitfune fonction de classeC¹surra,bsvérifiantfpaqfpbq ă0.etλ“^f^pbq´f_b´a^paq.Soitx0P ra,bsdonné. La suite obtenue par la méthode de la corde est donnée par

xk`1“xk´fpxkq

λ ,@kPN.

On noteΦpxq “x´^fpxq_λ .

Q.1 Montrer que si pour toutxP ra,bson a

minpλpx´aq, λpx´bqq ďfpxq ďmaxpλpx´aq, λpx´bqq (12)

alorsΦpra,bsq Ă ra,bs.

Q.2 Montrer que si pour toutxP ra,bson a

minp0,2λq ăf¹pxq ămaxp0,2λq (13)

alors|Φ¹pxq| ă1.

Q.3 En déduire que sous les deux conditions précédentes la méthode de la corde converge vers l’unique solutionαP ra,bsde fpxq “0.

(47)

Méthode de la corde

x

_k`1

“ x

_k

´ b ´ a

f pbq ´ f paq f px

_k

q, @k P N . On pose Φpxq “ x ´

_f_pbq´f^b´a_paq

f pxq, alors x

_k`1

“ Φpx

_k

q.

Proposition 4.2: convergence, méthode de la corde

Soitf PC¹pra,bsqtel quefpbq ‰fpaqetλ“^f^pbq´fpaq_b´a .On notepxkq_kPNla suite définie parx0P ra,bset pour toutkě0

xk`1“xk´fpxkq

λ . (14)

On suppose de plus que@xP ra,bs

minpλpx´aq, λpx´bqq ďfpxq ďmaxpλpx´aq, λpx´bqq (15) minp0,2λq ăf¹pxq ămaxp0,2λq (16) alors la suitepxkqconverge vers l’unique racineαP ra,bsdef.

(48)

Méthode de la corde

Proposition 4.3: ordre de convergence de la méthode de la corde

Soit f P C

¹

pra, bsq tel que f pbq ‰ f paq. Si la suite px

_k

q définie par la méthode de la corde en (14) converge vers α Psa, br alors la convergence est au moins d’ordre 1.

De plus, si f est de classe C

²

sur un certain voisinage V de α et si

f

¹

pαq “

^f^pbq´f_b´a^paq

alors la convergence est au moins d’ordre 2.

(49)

Méthode de point fixe : versionTantqueavec critères d’arrêt Données :

tol|`1 ďtol)

1:Fonctionα_tolÐPtFixe(Φ,x₀,tol,kmax) 2: kÐ0, αtolÐ H

3: xÐx0, 4: errÐtol`1

5: Tantque errątoletkďkmaxfaire

6: kÐk`1

7: xpÐx

8: xÐΦpxpq

9: errÐ |x´xp| Źou^|xp´x|_|x|`1

10: Fin Tantque

12: αtolÐx

13: Fin Si 14:Fin Fonction

Méthode de la corde :

Φpxq “x´ b´a fpbq ´fpaqfpxq

Plus simple, plus court ... ???

(50)

tol|`1 ďtol)

6: kÐk`1

7: xpÐx

8: xÐΦpxpq

10: Fin Tantque

12: αtolÐx

Algorithme 12Méthode de la corde Données :

f : f:RÝÑR,

a,b : deux réels tels quefpaq ‰fpbq, x0 : donnée initiale,x0PR, tol : la tolérence,tolPR^`,

α_tol : un réel tel que|fpα_tolq| ďtol

1:FonctionαtolÐCorde(f,a,b,x0,tol,kmax) 2: kÐ0, αtolÐ H

3: qÐ_f_pbq´f^b´a_paq 4: xÐx0, 5: errÐtol`1

7: kÐk`1

8: xpÐx

9: xÐxp´q˚fpxpq

10: errÐ |x´xp|

11: Fin Tantque

13: α_tolÐx

(51)

tol|`1 ďtol)

6: kÐk`1

7: xpÐx

8: xÐΦpxpq

10: Fin Tantque

12: αtolÐx

Algorithme 13Méthode de la corde utilisant la fonction PtFixe

Données :

f : f:RÝÑR,

a,b : deux réels tels quefpaq ‰fpbq, x0 : donnée initiale,x0PR, tol : la tolérence,tolPR^`,

αtol : un réel tel que|fpαtolq| ďtol

1:FonctionαtolÐCorde(f,a,b,x0,tol,kmax) 2: qÐ_f_pbq´fpaq^b´a

3: ΦÐ`

xÞÑx´q˚fpxq˘

Źdéfinition de fonction 4: αtolÐPtFixepΦ,x0,tol,kmaxq

5:Fin Fonction

(52)

α “ 1, racine de f : x ÞÑ x

²

´ 1

‚ exemple 1 : a “ 0.000, b “ 2.000, x

₀

“ 1.800,

‚ exemple 2 : a “ 0.5000, b “ 1.900, x

₀

“ 1.800.

exemple 1 exemple 2

k |x

k

´ α| |x

k

´ α|

0 8.0000e-01 8.0000e-01 1 3.2000e-01 1.3333e-01 2 5.1200e-02 2.9630e-02 3 1.3107e-03 5.3041e-03 4 8.5899e-07 8.9573e-04 5 3.6893e-13 1.4962e-04 6 0.0000e+00 2.4947e-05

.. . .. . .. .

15 0.0000e+00 2.4756e-12

L’exemple 1 converge beaucoup plus rapidement

(53)

0.5 1 1.5 2

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x0

f(x0)

x1

f(x1) x2

f(x2) x3

f(x3) x4

f(x4) x5

f(x5)

y=f(a) +q(x−a) y=f(x)

(a)

représentation usuelle

0.5 1 1.5 2

x

0.5 1 1.5 2

y

x0

x1 x2x3

Φ(x0) Φ(x1) Φ(x2)

y= Φ(x) y=x

(b)

Représentation point fixe

Figure: Exemple 1, méthode de la corde, α “ 1, racine de f : x ÞÑ x

²

´ 1 avec

a “ 0.00, b “ 2.00, x

0

“ 1.80,

(54)

0.5 1 1.5 2

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x0

f(x0)

x1

f(x1) x2

f(x2) x3

f(x3) x4

f(x4) x5

f(x5) x6

f(x6)

y=f(a) +q(x−a) y=f(x)

(a)

représentation usuelle

0.5 1 1.5 2

x

0.5 1 1.5 2

y

x0

x1xx23

Φ(x0) Φ(x1) Φ(x2)

y= Φ(x) y=x

(b)

Représentation point fixe

Figure: Exemple 2, méthode de la corde, α “ 1, racine de f : x ÞÑ x

²

´ 1 avec

a “ 0.50, b “ 1.90, x

0

“ 1.80,

(55)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 k

10^-12 10^-10 10^-8 10^-6 10^-4 10^-2

ek

exemple 1 exemple 2

(a)

Erreurs en fonctions des itérations

10^-10 10^-8 10^-6 10^-4 10^-2 ek

10^-11 10^-9 10^-7 10^-5 10^-3 10^-1

ek+ 1

exemple 1 : pente=2.000 exemple 2 : pente=1.000

(b)

Représentation en échelle logarithmique de

ek`1

en fonction de

ek.

Les pentes sont calculées numériquement

Figure: Exemples 1 et 2, méthode de la corde, α “ 1, racine de f : x ÞÑ x

²

´ 1

Exemple 1 :

^f^pbq´f_b´a^paq

“ 2 et f

¹

pαq “ 2 ñ convergence ordre 2.

fpbq´fpaq 1

(56)

Plan

1

Recherche des zéros d’une fonction

Méthode de dichotomie ou de bissection

Points fixes d’une fonction (dimension 1)

Points fixes attractifs et répulsifs

Algorithme générique du point fixe

Points fixes pour la recherche de racines

Méthode de la corde La méthode de Newton Méthode de la sécante

2

Résolution de systèmes non linéaires

Point fixe

Méthode de Newton

Exemples

(57)

Méthode de Newton

Proposition 4.4: convergence de la méthode de Newton

Soit f une fonction de classe C

²

sur un certain voisinage d’une racine simple α de f . Soit x

0

donné dans ce voisinage, la suite px

k

q

kPN

définie par la méthode de Newton

x

_k`1

“ x

_k

´ f px

_k

q

f

¹

px

_k