I- Modèle microscopique du phénomène de diusion

Diusion de particules

Les points du cours à connaître

I- Modèle microscopique du phénomène de diusion

1. Marche au hasard

Brown a étudié le mouvement de pollens dans l'eau, soumis aux chocs aléatoires des mo- lécules d'eau.

Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.

Mouvement brownien vidéo

La gure 1 représente une particule assimilée à une boule se déplace de ` avant d'entrer en collision avec une autre particule.

Libre parcours moyen schéma

Figure 1 Libre parcours moyen

En moyenne, une particule de masse m se déplace de façon rectiligne uniforme sur une longueur ` (le libre parcours moyen) entre deux chocs éloignés dans le temps de ∆t (le temps de vol).

Sa vitesse quadratique moyenne v _q = _∆t ^` est telle que l'énergie cinétique moyenne de la particule est E _c = ¹ ₂ m v _q ² .

Vitesse quadratique moyenne, temps de vol et libre parcours moyen ^dénition

La particule part en t = 0 de x = 0 .

Tous les ∆t , elle subit une collision. Lors d'une collision, la particule a une probabilité

• 1/2 de se déplacer de ∆x vers la droite

• 1/2 de se déplacer de ∆x vers la gauche

2. Diusion d'une particule

La gure 2 représente les diérents chemins possibles le long d'un axe x en fonction du temps t pour une marche au hasard qui se fait en se déplaçant de ∆x vers la gauche ou vers la droite tous les ∆t .

Vous pouvez retrouver le schéma animé sur le site alain.lerille.free.fr.

Marche au hasard à une dimension animation

Figure 2 Marche au hasard à une dimension

La gure 3 représente l'évolution de la probabilité d'être en x en fonction du temps t (après n pas, donc n∆t ) dans le cas de la marche au hasard qui se fait en se déplaçant de ∆x vers la gauche ou vers la droite tous les ∆t .

Vous pouvez retrouver le schéma animé sur le site alain.lerille.free.fr.

Probabilité d'une position dans le cas de la marche au hasard à une dimension

animation

Figure 3 Probabilité d'une position dans le cas de la marche au hasard à une dimension

La probabilité p(x _n , t _n ) pour la particule d'être à l'abscisse x _n à la date t _n , où x _n = n ∆x et t _n = n ∆t est

p(x _n , t _n ) = 1

2 p(x n−1 , t n−1 ) + 1

2 p(x _n+1 , t n−1 ) En passant à une probabilité continue







p(x _n , t _n ) ≈ p(x _n , t n−1 ) + ^∂p _∂t ∆t

p(x _n−1 , t _n−1 ) ≈ p(x _n , t _n−1 ) − _∂x ^∂p ∆x + ¹ ₂ ^∂ _∂x

²

^p

2

∆x ² p(x n+1 , t n−1 ) ≈ p(x n , t n−1 ) + _∂x ^∂p ∆x + ¹ ₂ ^∂ _∂x

²

^p

2

∆x ² On trouve donc ^∂p _∂t ∆t ≈ ¹ ₂ ^∂ _∂x

²

^p

2

∆x ² soit ... ⇒

La probabilité de trouver la particule dans le modèle de la marche au hasard est

∂p

∂t = D ∂ ² p

∂x ² avec

D ≈ ∆x ²

∆t = v _q ∆x où ` est le libre parcours moyen,

∆t le temps de vol.

1 Passage d'un probabilité discrète à une densité de probabilité théorème

Le nombre N ₀ de particules du système (ouvert) déni par le volume V , délimité par la surface fermée Σ est :

N ₀ = y

n ₀ d ³ τ

où n ₀ est la densité volumique de ces particules (en m ⁻³ ) .

On peut admettre que la densité volumique de particules n ₀ est proportionnelle à la densité de probabilité p de trouver une particule. Aussi

∂n ₀

∂t = D ∂ ² n ₀

∂x ²

Eet de la diusion sur la densité volumique de particules s'y retrouver

II- Flux de particules

1. Cas de la convection

On s'intéresse à des particules qui se déplacent à la vitesse ~ v du fait d'un déplacement macroscopique du uide.

Convection s'y retrouver

La gure 4 représente Les particules de vitesse ~ v qui passent à travers la surface d ² S sont celles présentes dans le cylindre de longueur v dt .

Bilan de particules qui passent à travers une surface schéma

Figure 4 Bilan de particules qui passent à travers une surface

Calculer le volume du cylindre précédent.

En déduire le nombre dN 0 de particules qui passent à travers dS pendant dt . Montrer que ^dN _dt

⁰

= ~j _N · − − →

d ² S . Exprimer alors ~j _N .

2 Expression du vecteur densité de courant dans le cas de la convection exercice

Le volume est d ² S v dt cos θ . dN ₀ = n ₀ d ² S v dt cos θ . Comme ~ v · − − →

d ² S = v d ² S cos θ dN ₀

dt = n ₀ ~ v · − − →

d ² S = ~j _N · − − → d ² S

avec ~j _N = n ₀ ~ v . 2. Généralisation

Le nombre dN ₀ de particules qui traversent une surface orientée S pendant dt est : dN ₀ = φ _N dt avec : φ _N = x

S

~j _N · − − → d ² S

Le ux de particules φ _N s'exprime en s ⁻¹ .

et la densité volumique de courant de particules ~j _N s'exprime en m ⁻² · s ⁻¹ . Flux de particules à travers une surface orientée dénition

3. Cas de la diusion

On s'intéresse à des particules qui se déplacent sans déplacement macroscopique du uide.

Le physiologiste allemand Fick a étudié, le premier, la diusion vers 1850.

La diusion intervient dans de nombreux champs, en particulier :

• en biologie ;

• en chimie ( chromatographie) ;

• en physique nucléaire (séparation isotopique de l'uranium, neutrons dans un réacteur nucléaire) ;

• en physique des matériaux (jonction p −n pour les diodes, diodes électroluminescentes et diodes lasers).

Diusion s'y retrouver

On admet la loi phénoménologique suivante (loi de Fick) :

Loi de Fick dénition

A une dimension x , la loi de Fick devient

~j _N = −D ∂n ₀

∂x ~ u _x

La loi de Fick revient à supposer une réponse ( ~j _N ) proportionnelle aux causes (les inho- mogénéités de n ₀ ) .

Le signe est là car les particules vont vers les zones peu denses.

Le tableau 1 présente quelques valeurs numériques de coecients diusion moléculaire dans l'eau à 25 ^◦ C .

Exemples de coecients de diusion dans l'eau tableau

molécule D en m ² · s ⁻¹ N aCl 19 × 10 ⁻¹⁰ sucre 5, 2 × 10 ⁻¹⁰

Table 1 Quelques coecients de diusion moléculaire dans l'eau à 25 ^◦ C

Le tableau 2 présente quelques valeurs numériques de coecients de diusion de gaz dans l'air à 0 ^◦ C et P = 1 atm . D varie comme M ⁻

¹²

et donc diminue à mesure que la masse augmente.

Exemples de coecients de diusion de gaz tableau

gaz D en m ² · s ⁻¹ H ₂ 611 × 10 ⁻⁷ CH 4 196 × 10 ⁻⁷ O ₂ 178 × 10 ⁻⁷ CO 2 138 × 10 ⁻⁷

Table 2 Quelques coecients de diusion de gaz dans l'air à 0 ^◦ C et P = 1atm

La quasi-totalité des centrales nucléaires utilise un combustible enrichi' à environ 4% en uranium 235 alors que cet élément n'est présent qu'à 0, 7% dans l'uranium naturel essen- tiellement composé d'uranium 238.

Utilisation de la diusion pour l'enrichissement de l'uranium. photo

L'uranium est injecté sous forme d'hexauorure d'uranium U F ₆ gazeux. Les molécules d'hexauorure doivent traverser des membranes très nes percées de milliards de pores au cm ² . Les molécules plus légères contenant l'isotope ²³⁵ U franchissent un tout petit peu plus rapidement ces barrières que l'isotope ²³⁸ U . Au bout de 1400 barrières à l'usine Georges-Besse, on obtient le taux d'enrichissement d'environ 4% .

On donne la masse molaire du uor : M (F ) = 19 g · mol ⁻¹ .

Calculer la variation relative des coecients de diusion des deux isotopes de l'uranium dans U F ₆ gazeux.

3 Utilisation de la diusion pour l'enrichissement de l'uranium. exercice

^D (

²³⁵

^{U F}

6

) ^−D (

²³⁸

^{U F}

6

)

D(

²³⁸

U F

6

) =

q M (

²³⁸

U F

6

)

M (

²³⁵

U F

6

) − 1 = 4, 3 × 10 ⁻³ .

III- Equation de diusion des particules

1. Etablissement de l'équation de diusion des particules

La gure 5 représente une surface fermée. On introduit un signe moins dans les bilans car les conventions de l'analyse vectorielle et de la thermodynamique sont diérentes.

Conventions thermodynamiques schéma

Figure 5 Conventions thermodynamiques

ni annihilation de ces particules par une réaction) : dN ₀

dt = − Z Z

Σ

~j N

−−→

d ² Σ

Considérons un milieu unidimensionnel dont la densité de particules varie avec x . Appe- lons N ₀ (t) le nombre de particules situées dans le volume cylindrique d'aire S compris entre x et x + dx et faisons un bilan :

N ₀ (t) = n ₀ (x, t) S dx et N ₀ (t + dt) = n ₀ (x, t + dt) S dx , d'où ^dN _dt

⁰

= ^∂n _∂t

⁰

S dx .

Or, si l'on suppose qu'il n'y a aucun processus de création ou d'annihilation de parti- cules,

dN ₀

dt = S j _x (x, t) − S j _x (x + dx, t) = − ∂j _x

∂x S dx Ainsi... ⇒

à une dimension ( x ), sans création ni annihilation, la densité de particule n ₀ (x, t) ) suit :

∂n 0

∂t + ∂j x

∂x = 0 4 Equation de continuité à une dimension théorème

Si on utilise la loi de Fick à une dimension : j _x = −D ∂n ₀

∂x dans l'équation de continuité

∂n 0

∂t + ∂j x

∂x = 0 on trouve... ⇒

L'équation de diusion à une dimension ( x ) dans un milieu homogène de coecient de

5 Equation de diusion sans création ni annihilation à une dimension théorème

diusion D , sans création ni annihilation, est (si la densité de particule est n 0 (x, t) ) :

∂n ₀

∂t = D ∂ ² n ₀

∂x ²

S'il y a création et/ou annihilation, il faut rajouter (et/ou soustraire) des termes dans l'équation de diusion.

Cas où il y aurait création ou annihilation de particules s'y retrouver

L'équation de diusion à trois dimensions dans un milieu homogène de coecient de diusion D , sans création ni annihilation, est

∂n ₀

∂t = D ∆n ₀

On peut utiliser le laplacien en coordonnées cylindriques si n 0 (r, t) :

∆n 0 = 1 r

∂

∂r

r ∂n ₀

∂r

On peut utiliser le laplacien en coordonnées sphériques si n ₀ (r, t) :

∆n ₀ = 1 r ²

∂

∂r

r ² ∂n ₀

∂r

Généralisation de l'équation de diusion sans création ni annihilation s'y re- trouver

S'il y a création ( C ) et/ou annihilation ( A ), il faut rajouter (et/ou soustraire) des termes dans l'équation de diusion :

∂n ₀

∂t = D ∆n ₀ + C − A

Cas où il y aurait création ou annihilation de particules s'y retrouver

2. Solution de l'équation de diusion en régime permanent

La gure 6 représente une tige homogène, de section constante S , de longueur L _AB , fermée sur ses surfaces latérales, mise en contact avec deux milieux en x _A et en x _B , en régime permanent ( _∂t ^∂ = 0 ).

Position du problème à une dimension ^schéma

Figure 6 Position du problème à une dimension

En régime permanent, l'équation de diusion devient : d ² n ₀

dx ² = 0 soit n ₀ (x) = a x + b et j _x = −D ^∂n _∂x

⁰

= −D a ,

où a et b sont des constantes xées par les conditions aux limites.

On se souviendra donc que... ⇒

En régime permanent, dans un milieu homogène :

• la grandeur qui diuse ( n ₀ (x) ) suit une loi ane,

• le ux ( φ _N ) est constant.

6 Solution de l'équation de diusion en régime permanent théorème

−−→ grad (n ₀ ) = ^dn _dx

⁰

~ u _x = ⁿ _x

^B

⁻ⁿ

^A

B

−x

_A

~ u _x et φ _N = s

S ~j _N d ² S ~ u _x = D ⁿ

^A

_L ⁻ⁿ

^B

AB

S . Ainsi, on a ⇒ La diérence de densité particulaire aux bornes d'un cylindre de coecient de diusion D , de section S et de longueur L _AB est (en convention récepteur) :

n _A − n _B = R _N φ _N avec R _N = L _AB D S R _N s'exprime en s · m ⁻³ .

7 Résistance pour la diusion des particules théorème

3. Solution de l'équation de diusion en régime quelconque

Cette équation étant non invariante par transformation du sens d'écoulement du temps ( t → −t) , la diusion est irréversible.

Il y a unicité de la solution. Il existe des solutions analytiques dans des cas particuliers, mais souvent il faut faire appel à une résolution numérique.

Les constantes d'intégration sont déterminées par les conditions aux limites (spatiales et temporelles).

Propriétés de l'équation de diusion s'y retrouver

Il se peut que l'on ne trouve pas de solution analytique à l'équation de diusion. On fait alors appel à une solution numérique, trouvée par ordinateur.

Solution numérique s'y retrouver

L'équation de diusion fait apparaître un temps caractéristique τ pour un système de taille caractéristique L :

1 τ ∼ D

L ²

Obtention d'ordres de grandeurs de diusion à retenir

On voit donc que L varie comme √

τ : la diusion est un phénomène lent, dans la mesure où, pour des tailles macroscopiques, les temps de diusion sont souvent très grands.

Lenteur des phénomènes de diusion s'y retrouver

Exercice traité en n de cours

Solution gaussienne de l'équation de diusion

1) Montrer que n ₀ (x, t) = ^{√ N}

4π D t e ⁻

^{4xD t2}

vérie l'équation de diusion à une dimension ^∂n _∂t

⁰

= D ^∂ _∂x

²

ⁿ

₂⁰

. 2) Etude de la fonction.

2.a) Montrer que n ₀ (x, t) à t xée est paire.

2.b) Calculer ∆x(t) la largeur à mi-hauteur, telle que n 0

± ^∆x(t) ₂ , t

= ⁿ

⁰

^(0,t) ₂ . 2.c) Tracer l'allure de n 0 (x, t) en fonction de x à plusieurs dates t .

3) Interprétation :

3.a) comment varie la largeur à mi-hauteur ∆x(t) avec t ?

3.b) Retrouver un équivalent de ∆x(t) en utilisant l'équation de diusion.

Correction :

On dérive par rapport à l'espace une fois :

∂n 0

∂x = N

√

4πDt e ⁻

^x

2 4Dt

−2x

4Dt

puis une deuxième fois :

∂ ² n 0

∂x ² = N

√ 4πDt

−2 4Dt

e ⁻

^x

2

4Dt

+ x −2x 4Dt e ⁻

^x

2 4Dt

= N

4Dt × e ⁻

^x

2

4Dt

× −2

√ 4πDt ×

1 − x ² 2Dt

La dérivée par rapport au temps donne :

∂n ₀

∂t = N 4πDt

e ⁻

^x

2 4Dt

−x ²

4D

−1 t ²

√

4πDt − e ⁻

^x

2

4Dt

4πD

2 √ 4πDt

= N

4πDt e ⁻

^x

2 4Dt

−x ²

2Dt

− √ 4πDt 2t −

√ 4πDt 2t

!

soit

∂n 0

∂t = N 4πDt e ⁻

^x

2 4Dt

√ 4πDt

2t

−1 − −x ² 2Dt

= N

4πDt × e ⁻

^x

2

4Dt

× −πD

√ 4πDt

1 − x ²

2Dt

On a bien

∂n ₀

∂t = D ∂ ² n ₀

∂x ² 0.c) n ₀ (x, t) est bien paire car n ₀ (x, t) = n ₀ (−x, t) . 1) La largeur à mi-hauteur est telle que

√ N

4πDt e ⁻

^∆x

2

16Dt

N

√ 4πDt

1

2 ⇔ e ⁺

^∆x

2

16Dt

= 2 ⇔ ∆x ² = 16 ln (2) D t

soit ∆x = 4 p

ln (2) D t .

1.a) L'allure de T (x, t) est une courbe en cloche (gaussienne).

2) Interprétation :

2.a) ∆x(t) varie avec t comme sqrtt .

2.b) Avec l'équation de diusion ^∂n _∂t

⁰

= D ^∂ _∂x

²

ⁿ

2⁰

, on peut écrire : 1

t ≈ D 1

∆x ² ⇒ ∆x ≈ √ D t

qui n'est pas très loi de ∆x = 4 p ln (2) √

D t .

Techniques à maîtriser

I- Bilans de particules

Exprimer le nombre de particules traversant une surface en utilisant le vecteur ~j N . Utiliser la notion de ux pour traduire un bilan global de particules.

Utiliser la loi de Fick. Citer l'ordre de grandeur d'un coecient de diusion dans un gaz dans les conditions usuelles.

ce qu'il faut savoir faire capacités

1.1) Diusion dans un tube

Soit n(x, t) = n ₀ e ⁻

^xa

, la densité de particules diusantes dans un tube d'axe Ox ( x est compris entre 0 et h ). On note S la section du tube, h sa longueur et D le coecient de diusion.

1) Exprimer le nombre total de particules contenues dans le tube.

2) Exprimer le vecteur densité de courant ~j.

3) Exprimer le ux par unité de temps des particules qui traversent une surface S placée en x = ^h ₂ .

1) Le nombre total de particules contenues dans le tube est

N = S Z x=h

x=0

n(x) dx = S n ₀ Z x=h

x=0

e ⁻

^xa

dx = S n ₀

−a e ⁻

^xa

^x=h

x=0 = a S n ₀ h

1 − e ⁻

^ha

i

2) Le vecteur densité de courant est

~j = −D −−→

gradn = −D ∂n

∂x ~ e x = + D n 0

a e ⁻

^xa

~ e x

3) Le ux par unité de temps des particules qui traversent une surface S placée en x = ^h ₂ est

Φ _N = x

x=

^h₂

~j · −−→

d ² S = S D n ₀ a e ⁻

^2ah

1.2) Séparation isotopique

L'uranium naturel contient une faible proportion ( 0, 72% ) de l'isotope 235 , qui seul intéresse l'industrie nucléaire, le reste étant de l'isotope 238 . Il convient donc d'enrichir le minerai naturel en ²³⁵ U . On commence pour cela à préparer l'hexauorure U F 6 , gazeux.

La diusion est d'autant plus rapide que les molécules sont plus légères (loi de Graham) : le coecient de diusion dépend de la masse molaire M en ^{√ 1} _M .

On arrive à une séparation acceptable moyennant de très nombreux passages successifs du mélange gazeux à travers des cloisons poreuses.

1) Calculer le rapport r des vitesses de diusion de ²³⁵ U F ₆ et ²³⁸ U F ₆ , connaissant la masse molaire du uor : M (F ) = 19g.mol ⁻¹ .

1) Les vitesses de diusion de ²³⁵ U F 6 et ²³⁸ U F 6 sont dans le rapport :

r = v( ²³⁵ U F 6 ) v( ²³⁵ U F ₆ ) =

s

238 + 6.M(F)

235 + 6.M(F) = 1, 00429

II- Etablissement d'une équation de diusion des particules

Établir une équation traduisant un bilan local dans le seul cas d'un problème unidimensionnel en géo- métrie cartésienne, éventuellement en présence de sources internes.

Admettre et utiliser une généralisation en géométrie quelconque utilisant l'opérateur divergence et son expression fournie.

Utiliser la conservation du ux sous forme locale ou globale en l'absence de source interne.

Établir une équation de la diusion dans le seul cas d'un problème unidimensionnel en géométrie carté- sienne.

Utiliser une généralisation en géométrie quelconque en utilisant l'opérateur laplacien et son expression fournie.

ce qu'il faut savoir faire capacités

Il s'agit de faire un bilan particulaire : le nombre de particules N = RRR

nd ³ τ du système déni (qui vérie les symétries du problème) varie pendant dt de dN = +C.dt−A.dt+dN e , où A est le terme d'absorption, C le terme de création, et le nombre de particules échangées dN e est tel que ^dN _dt

^e

est égal au ux de

~j N à travers les parois du système orientées vers l'intérieur. On utilise la loi de Fick ~j N = −D. −−→

gradn .

En cartésien, il faut prendre comme système un élément de volume compris entre x et x + dx et bien penser à orienter les vecteurs surface vers l'intérieur du système.

x x + dx

d S 1 d S 2

2 2

1 2

d S 3 2

A) Etablissement de l'équation de diusion des particules méthode

2.1) Diusion de particules à trois dimensions sans absorption ni création

Quelle est l'équation que suit n 0 , la densité volumique de particules dans un milieu homogène à trois dimensions, de coecient de diusion D , sans création ni annihilation ?

Conservation des particules : pour le volume V , s'il n'y a ni création ni annihilation de matière : dN 0

dt = Z Z Z

V

∂n 0

∂t d ³ τ = − Z Z

Σ

~j N .d ² Σ = ~ − Z Z Z

V

div

~j N

.d ³ τ

Au niveau local, la loi de conservation des particules s'écrit donc :

∂n 0

∂t = −div

~j N

Si le système est homogène, le coecient de diusion D ne dépend pas de la position on a :

−−→

2.2) Diusion de particules à une dimension sans absorption ni création

Quelle est l'équation que suit n ₀ , la densité volumique de particules dans un milieu homogène à une dimension x , de coecient de diusion D , sans création ni annihilation ?

On va faire un bilan pour un cylindre de section S entre les abscisses x et x + dx . En x , le ux de particules est φ N (x, t) = RR

S

~j N .d ² S ~ = −D.S. ^∂n _∂x

⁰

x . En x + dx , le ux de particules est φ N (x + dx, t) = RR

S

~j N .d ² S ~ = −D.S. ^∂n _∂x

⁰

x+dx . Le nombre de particules est N 0 = n(x, t).S.dx .

Le bilan est ^dN _dt

⁰

= ^∂n(x,t) _∂t S.dx = +φ N (x, t) − φ N (x + dx, t) = − ^∂φ _∂x

^N

dx = D.S ^∂ _∂x

²

ⁿ

2⁰

dx . D'où

∂n ₀ (x, t)

∂t = D. ∂ ² n ₀ (x, t)

∂x ²

2.3) Diusion de particules à une dimension avec absorption et création

Quelle est l'équation que suit n 0 , la densité volumique de particules dans un milieu homogène à une dimension x , de coecient de diusion D , avec création et annihilation ?

On va faire un bilan pour un cylindre de section S entre les abscisses x et x + dx . En x , le ux de particules est φ N (x, t) = RR

S

~j N .d ² S ~ = −D.S. ^∂n _∂x

⁰

x . En x + dx , le ux de particules est φ _N (x + dx, t) = RR

S

~j N .d ² S ~ = −D.S. ^∂n _∂x

⁰

x+dx . Le nombre de particules est N 0 = n(x, t).S.dx .

Le bilan est ^dN _dt

⁰

= ^∂n(x,t) _∂t S.dx = +φ N (x, t)−φ N (x+dx, t)+C.S.dx−A.S.dx = − ^∂φ _∂x

^N

dx+C.S.dx−A.S.dx = D.S ^∂ _∂x

²

ⁿ

₂⁰

dx + C.S.dx − A.S.dx .

Dans un milieu homogène à une dimension x , de coecient de diusion D , avec création volumique C et annihilation volumique A ,

∂n 0 (x, t)

∂t = D. ∂ ² n 0 (x, t)

∂x ² + C − A

2.4) Création par réaction en chaîne dans un réacteur nucléaire

On s'intéresse aux neutrons créés par la réaction nucléaire qui a lieu dans le c÷ur du réacteur. Chaque neutron va casser plusieurs noyaux et ainsi donner naissance à de nouveaux neutrons.

Ecrire l'équation de diusion pour la densité n 0 des neutrons.

Sachant que le terme de création est proportionnel à n 0 , on peut écrire C = c.n 0 , soit ^∂n

⁰

_∂t ^(x,t) = D.∆.n ₀ (x, t) + c.n ₀ (x, t) .

2.5) Diusion dans un tuyau poreux

Soit un tube cylindrique, d'axe Oz , de longueur ` , de rayon a , contenant des molécules. Les concentrations des molécules sont maintenues constantes aux deux extémités n(0) = 0 et n(`) = n 1 . Soit D le coecient de diusion, on se place en régime permanent.

Le tube est légèrement poreux donc des molécules peuvent s'échapper vers l'extérieur à travers la paroi latérale d'épaisseur e . Cette diusion est caractérisée par le coecient D ⁰ D . On supposera que la densité de particules varie linéairement dans l'épaisseur du tube et qu'elle est nulle hors du tube : n ext = 0 .

1) Exprimer les projections j _z (z) et j _r (z, r = a) du vecteur densité de courant ~j .

2) En déduire que l'équation diérentielle vériée par n(x) est ^∂

²

_∂z ^n(z)

2

− ^n(z) _δ

₂

= 0 . On donnera l'expression de δ .

3) Résoudre l'équation diérentielle et étudier le cas où D ⁰ D .

1) On a j z (z) = −D ^∂n _∂z et j r (z, r = a) = −D ^{0 ∂n} _∂r = D ^{0 n(z)} _e .

2) Un bilan en régime permanent sur un morceau de tube compris entre les abscisses z et z + dz donne dN

dt = 0 = π a ² j _z (z) − π a ² j _z (z + dz) − 2 π a dz j _r (r = a) = −π a ² ∂j _z

∂z dz − 2 π a dz j _r (r = a) soit 0 = a ^∂j _∂z

^z

+ 2 j r (r = a) . Les expressions des projections permettent d'écrire :

0 = −D a ∂ ² n(z)

∂z ² + 2D ⁰ n(z) e En posant δ ² = ^{a e D} _{2 D}

0

, on a bien ^∂

²

_∂z ^n(z)

2

− ^n(z) _δ

2

= 0 .

3) La solution est

n(z) = A ch z δ

+ B sh z δ

Les conditions aux limites imposent n(0) = 0 = A et n(`) = n <sub>1</sub> = B sh <sub>δ</sub> <sup>`</sup> . Aussi, B = ⁿ

¹

sh (

^`δ

) . Donc n(z) = n 1

sh ^` _δ sh z δ

Dans le cas où D ⁰ D , ` δ , sh ^z _δ

≈ ^z _δ , soit n(z) = n 1

` δ

z δ = n 1

` z

qui est une fonction ane (cf. cours).

2.6) Source radioactive de particules

On s'intéresse à une source qui génère par une réaction radioactive des particules en un point O : ^dN _dt

O = S 0 . On se place en régime permanent. Les particules diusent avec un coecient D dans le milieu environnant.

Comme la diusion est isotrope, la densité n ₀ des particules ne dépend que du rayon r dans les coordonnées sphériques.

1) Déduire l'équation diérentielle suivie par n ₀ grâce à l'expression du laplacien en sphérique :

∆f = 1 r ²

∂

∂r

r ² ∂f

∂r

si f (r, t) .

1) ^dN _dt = 0 = +φ n (r 0 ) − φ n (r + dr) en orientant le ux vers les r croissants.

Comme φ n (r) = −4.π.r ² ₀ .D. ^∂n _∂r

⁰

r = S 0 , φ _n (r + dr) = −4.π. (r + dr) ² .D. ^∂n _∂r

⁰

r+dr = −4.π.r ² 1 + 2 ^dr _r

.D. h _∂n

0

∂r

r + _∂

2

n

₀

∂r

²

r

.dr i , soit au premier ordre φ n (r + dr) = −φ n (r) − 4.π.r ₀ ² .dr.D. h

∂

²

n

0

∂r

²

r + ² _r ^∂n _∂r

⁰

r

i , On trouve donc D. h

∂

²

n

0

∂r

²

r + ² _r ^∂n _∂r

⁰

r

i

= 0 . 2) ∆f = _µ ¹

1

.µ

₂

.µ

₃

h ∂

∂s

₁

_µ

2

.µ

₃

µ

₁

. _∂s ^∂f

1

+ _∂s ^∂

2

_µ

3

.µ

₁

µ

₂

. _∂s ^∂f

2

+ _∂s ^∂

3

_µ

1

.µ

₂

µ

₃

. _∂s ^∂f

3

i soit ∆n ₀ (r) = _r

₂

_. ¹ _{sinθ ∂}

∂r r ² . sin θ. ^∂n _∂r

⁰

= _r ¹

₂

h

2.r. ^∂n _∂r

⁰

+ r ^{2 ∂} _∂r

²

ⁿ

₂⁰

i

ce qui redonne bien la même équation de diusion.

III- Solutions de l'équation de diusion

Analyser une équation de diusion en ordre de grandeur pour relier des échelles caractéristiques spatiale et temporelle.

L'équation de diusion fait apparaître un temps caractéristique τ pour un système de taille caractéris- tique L :

1 τ ∼

D L ²

B) Ordre de grandeur et diusion de particules méthode

3.1) Temps de diusion du CO ₂ dans une pièce

On donne le coecient de diusion du dioxyde de carbone dans l'air : D = 0, 14.10 ⁻⁴ m ² .s ⁻¹ .

1) Calculer l'ordre de grandeur de la durée t que mettrait du dioxyde de carbone à diuser dans une salle dont le volume vaut V = 50m ³ .

1) L ² = D.t , d'où :

t = V

²³

D = 11jours

3.2) Diusion de la vapeur d'eau au dessus de l'eau bouillante

De l'eau est portée juste à ébullition dans un bécher, de sorte qu'à sa surface de cote z = 0 , la densité moléculaire prenne la valeur xée

n(z = 0) = n 0 = P 0

k B T

où P 0 = 1, 0 × 10 ⁵ Pa est la pression de vapeur saturante de l'eau à 100 ^◦ C. Le bécher est fermé et surmonté d'un tube vertical de section S et de hauteur L . Soit n(z, t) la densité de vapeur d'eau qui diuse dans l'air avec un coecient de diusion D . A l'extrémité supérieure, un courant d'air impose une densité volumique de courant de particules

j N (z = L, t) = k n(z = L, t) où k est une constante positive.

1) Etablir l'équation locale de diusion.

2) Résoudre cette équation dans le cas stationnaire : déterminer n(z) et j _N en fonction de z , k , D , n ₀ et L .

1) Un bilan pour un système de section S compris entre les cotes z et z + dz donne : dN

dt = S dz ∂n

∂t

et dN

dt = S j z (z, t) − S j z (z + dz, t) = −S ∂j z

∂z dz

Donc ∂n

∂t = − ∂j z

∂z = D ∂ ² n

∂z ² d'après la loi de Fick.

2) Dans le cas stationnaire, n(z) = a z + b . Les conditions aux limites sont :

• en z = 0 , n(z = 0) = b = n 0

• en z = L , j N (z = L, t) = k n(z = L, t) = k (a L + n 0 ) = −D ^dn _dz = −D a .

Donc (k L + D) a = −k n 0 ⇒ a = _{k L+D} ^{−k n}

⁰

. D'où n(z) = _{k L+D} ^{−k n}

⁰

z + n 0 et j N (z) = _{k L+D} ^{D k n}

⁰

.

3.3) Centrifugeuse

On considère une ultra centrifugeuse en régime permanent dont la partie mobile (le rotor) est percée de cavités cylindriques perpendiculaires à l'axe de rotation Oz . Chaque cavité peut recevoir une cellule cylindrique d'axe Ox orthogonale à Oz , de section S , située à une distance de l'axe Oz comprise entre x min et x max .

Dans une cellule, on place une solution composée d'un solvant et de particules microscopiques identiques, constituant le soluté, de concentration c . On suppose que la concentration ne dépend que de x .

Le rotor est animé d'un mouvement de rotation de vitesse angulaire ω constante. On admet que les particules de soluté sont animées, par rapport à la cellule, d'un mouvement radial de vitesse ~ v = s ω ² x ~ u x , où s est un coecient dépendant à la fois des particules et du solvant.

1) Exprimer le vecteur densité de courant de convection ~j c .

On note D le coecient de diusion du soluté dans la solution, cette diusion vériant la loi de Fick.

2) Donner l'expression du vecteur densité de courant diusif ~j d des particules.

3) Etablir l'équation diérentielle à laquelle obéit la concentration c(x) .

4) En utilisant le fait que le courant total de particules (convectif + diusif) est nul aux bords de la cellule, donner la forme de c(x) .

5) Quelle équation faut-il utiliser pour déterminer parfaitement c(x) ?

1) Le vecteur densité de courant de convection est ~j c = c ~ v = c(x) s ω ² x ~ u x . 2) Le vecteur densité de courant diusif est ~j d = −D −−→

gradc = −D _dx ^dc ~ u x . 3) Un bilan pour un système fermé donne :

dN

dt = 0 = {

~j(x) · −−→

d ² Σ = y div

~j(x) d ³ τ

Donc

div

~j(x)

= div

~j c +~j d

= d dx

s ω ² x c(x) − D dc(x) dx

= 0

4) On trouve

j x = A = cste Or cette constante est nulle sur les bord, donc

dc(x) dx − s ω ²

D x c(x) = 0 On trouve

c(x) = A e

^{s ω}

2 2D

x

²

5) Pour déterminer A , il faut utiliser le nombre total de particules :

N = S

Z x=x

_max

x=x

min

c(x) dx

3.4) Absorption de neutrons par le bore

On considère une assemblée de neutrons dans un milieu leur faisant subir de nombreux chocs, qui leur communiquent une vitesse d'agitation moyenne constante v . On appellera n(x, y, z, t) le nombre de neutrons par unité de volume.

1) Rappeler la loi de Fick qui donne le vecteur densité de courant de neutrons ~j n , dont le ux à travers une surface quelconque est égal au nombre de neutrons traversant cette surface par unité de temps.

Le milieu absorbe les neutrons et on supposera que chaque neutron parcourt une distance λ a jusqu'à son absorption. Le nombre A de réactions d'absorption par seconde et par unité de volume est A = ^n.v _λ

a

.

2) Vérier que cette relation est homogène.

~j n = −D. grad (n) où D est le coecient de diusion, caractéristique du milieu.

2)

[A] = n.v λ a

= m ³ · s ⁻¹

3) On retranche A à l'équation de diusion :

∂n

∂t = D.∆n − A 4) La précédente équation devient : D ^d _dx

²

ⁿ

₂

= A = ^n.v _λ

a

. Sa solution est de la forme : n = A − .e ^−x.

√

_v

λa.D

+ A + .e ^+x.

√

_v

λa.D

. La condition à la limite x → ∞ nous donne : n → 0 ⇒ A ₊ = 0 .

La condition à la limite x = 0 nous donne : j n = N 0 = −D. ^dn _dx = D q _v

λ

_a

.D A ₋ . Donc :

n = N ₀ . r λ _a

v.D .e ^−x.

√

_v

λa.D

5) On cherche L tel que e ^−L.

√

_v

λa.D

= ₁₀ ¹

₃

, soit :

L. = 3.ln(10) r λ a .D

v

3.5) Stabilité d'un réacteur nucléaire

1) On considère une assemblée de neutrons dans un milieu leur faisant subir de nombreux chocs, qui leur communiquent une vitesse d'agitation moyenne constante v . On appellera n(x, y, z, t) le nombre de neutrons par unité de volume.

Le milieu absorbe les neutrons et on supposera que chaque neutron parcourt une distance λ a jusqu'à son absorption.

Le nombre A de réactions d'absorption par seconde et par unité de volume est A = ^n.v _λ

a

. 1.a) Vérier que cette relation est homogène.

On supposera en outre que le milieu contient des sources de neutrons représentées par la création de S(x, y, z) neutrons par seconde et par unité de volume.

1.b) En admettant le modèle simple suivant lequel, lors d'une absorption, il y a capture d'un neutron qui donne lieu à une ssion délivrant K neutrons, exprimer S(x, y, z) .

2) On considère le cas d'un réacteur nucléaire en régime permanent, compris entre deux faces planes perpendiculaires à Ox aux points d'abscisse x = ± ^a ₂ . sur lesquelles la densité de neutrons est nulle : n(x =

± ^a ₂ ) = 0 . (régime stable d'un réacteur nucléaire).

2.a) Établir l'équation diérentielle suivie par n dans un tel milieu.

2.b) Que doit vérier K − 1 ?

2.c) Donner la forme de la répartition correspondante de densité n(x) des neutrons.

2.d) Exprimer alors v pour que le réacteur atteigne eectivement un régime stable (régime critique).

1) 1.a)

[A] = n.v λ a

= m ⁻³ · s ⁻¹

1.b)

S = K n.v λ _a

2) 2.a) On ajoute à l'équation de diusion S et on retranche A : ^∂n _∂t = D.∆n − A + S . En régime permanent l'équation diérentielle sur n devient :

d ² n

dx ² + (K − 1) n.v

D.λ _a = 0

2.b) On cherche une solution sinusoïdale : n = n 0 . cos (k.x + ϕ) , avec k ² = ^(K−1).v _D.λ

a

. Il faut donc que K > 1

2.c) Pour s'annuler en x = ± ^a ₂ , la densité de neutrons doit être : n = n 0 . cos π.x

a

2.d) Il faut que k = ^π _a =

q (K−1).v D.λ

a

soit :

v = π ² a ²

λ _a .D K − 1

IV- Modèle de la marche au hasard

Mettre en place un modèle probabiliste discret à une dimension de la diusion (marche au hasard) et évaluer le coecient de diusion associé en fonction du libre parcours moyen et de la vitesse quadratique moyenne.

ce qu'il faut savoir faire capacités

On peut relier le libre parcours moyen ` , le coecient de diusion D et le temps de vol ∆t grâce à l'équation de diusion :

1

∆t ≈ D

` ² soit

D ≈ ` ²

∆t = v q ` avec v q , la vitesse quadratique moyenne.

Les calculs dans le détail sont plus compliqués et partent du modèle discret de la marche au hasard à une dimension avant de passer à une densité de probabilité continue.

C) Evaluer le coecient de diusion à partir du modèle de la marche au hasard

méthode

4.1) De la marche au hasard à la densité de probabilité gaussienne

1) On s'intéresse à une particule qui se déplace selon l'axe x sur une longueur ` vers la gauche ou vers la droite tous les ∆t . On prendra n et k entiers et on appelle p (k, n) la probabilité d'être en x = k` à la date t = n∆t .

1.a) Que doit vérier k pour que p soit non nul ?

1.b) Exprimer p (k, n) en utilisant la fonction C _n ^p = _{p! (n−p)!} ^n! . 2) On suppose que n 1 . On admet que dans ce cas :

C _n ^p 2 ⁿ ∼

r 2 πn exp

−2 n

n

2 − p 2

2.a) Que devient ?

1.a) Après pas, est compris entre et . D'autre part, si est impair, aussi et si est pair, k aussi.

1.b) Il y a 2 ⁿ chemins possibles. On voit sur le triangle de Pascal que le nombre de chemins possibles pour aller en x = k` vaut

• C _n ^p avec p = ^n+k ₂ si n est impair (et k aussi, compris entre −n et +n ) ;

• C _n ^p avec p = ^n+k ₂ si n est pair (et k aussi, compris entre −n et +n ).

Dans tous les cas, on prendra donc :

p (k, n) = C

n+k

n

2

2 ⁿ 2) Passage au continu :

2.a) Avec la formule donnée la probabilité devient :

p (k, n) ≈ r 2

πn exp

"

−2 n

n

2 − n + k 2

² #

= r 2

πn exp

"

−2 n

k 2

² #

= r 2

πn exp −k ²

2n

2.b) En utilisant k = ^x _` et n = _∆t ^t .

p (x, t) 2` ≈ r 2∆t

πt exp

−x ² ∆t 2` ² t

On aboutit à :

p (x, t) = r 2∆t

π4` ² t exp

−x ² ∆t 2` ² t

2.c) On a bien : p (x, t) = ^{√ 1}

4πDt e ⁻

^4Dtx2

, si l'on pose D = ` ²

2∆t

4.2) Densité de probabilité gaussienne On admet que

( R +∞

−∞ e ^{−α x}

²

dx = p π α

R +∞

−∞ x ² e ^{−α x}

²

dx = _2α ¹ p π α

1) Déterminer le coecient de normalisation A de la densité de probabilité p (x, t) = Ae ⁻

^4Dtx2

. 2) Calculer < x > , la valeur moyenne de x .

3) Calculer < x ² > , la moyenne quadratique de x .

1) On pose α = _4Dt ¹ . Aussi,

Z +∞

−∞

Ae ^{−α x}

²

dx = A r π

α = 1 donc

A = r α

π = 1

√ 4πDt

2) Comme la fonction xe ^{−α x}

²

est impaire,

< x >=

Z +∞

−∞

x Ae ^{−α x}

²

dx = 0

3)

< x ² >=

Z +∞

−∞

Ax ² e ^{−α x}

²

dx = 1

√ 4πDt Z +∞

−∞

x ² e ^{−α x}

²

dx = 1

√ 4πDt 1 2α

r π α On remplace α par _4Dt ¹ :

< x ² >= 1

√ 4πDt

4Dt 2

√

4πDt = 2Dt

4.3) De la marche au hasard à la la formule d'Einstein On admet que les trois directions de l'espace étant indépendantes,

< x ² + y ² + z ² >=< x ² > + < y ² > + < z ² >= 3 < x ² >

1) Le modèle de la marche au hasard à une dimension suivant x donne à la date t :

< x ² >= 2Dt

où D est le coecient de diusion. En déduire < x ² + y ² + z ² > pour un modèle à trois dimensions.

2) L'observation du mouvement brownien de particules de taille a à la surface d'un liquide de viscosité η à la température T aboutit à la relation :

< x ² + y ² >= 2k _B T 3πηa t

En déduire le coecient de diusion D de ces particules de taille a dans le volume du liquide de viscosité η à la température T .

1) Pour un modèle à trois dimensions : < x ² + y ² + z ² >=< x ² > + < y ² > + < z ² >= 3 < x ² >= 6Dt . 2) A 2D : < x ² + y ² >= ^2k _3πηa

^B

^T t = 2 < x ² >= 4Dt , donc

D = k B T 6πηa

4.4) Modèle de Langevin de la diusion à une dimension (D'après ENS 2005)

Nous allons étudier un modèle simple introduit par Paul Langevin (1908). On considère le mouvement à une dimension d'une particule de masse m le long d'un axe Ox (on note x et v les valeurs algébriques de la position et de la vitesse de la particule) soumise à une force "aléatoire" F(t) et à une force de frottement f = −αv , où α est une constante positive. Il n'y a pas de pesanteur dans ce modèle simple.

1) Montrer que l'équation du mouvement de la particule peut se mettre sous la forme :

m d

dt (xv) = mv ² − αxv + xF (t)

2) Compte tenu du caractère complexe de la force aléatoire F(t) , nous ne cherchons pas à résoudre direc- tement l'équation du mouvement. En fait, sous certaines hypothèses, le mouvement "moyen" de la particule dépend peu de la forme exacte de la force aléatoire. Pour accéder à ce mouvement "moyen", on imagine qu'un grand nombre de particules se trouve initialement à la position x = 0 à l'instant t = 0 . Chaque particule vérie, indépendamment des autres, l'équation du mouvement de la question précédente. En revanche, à chaque instant, la valeur de la force aléatoire dière a priori d'une particule à l'autre.

L'opérateur mathématique noté h..i permet de représenter symboliquement, à un instant donné, la valeur moyenne sur toutes les particules des grandeurs x , v , xv , etc.

Le caractère aléatoire de la force F (t) se traduit alors par hF i (t) = 0 . De plus, la position de la particule n'étant pas corrélée à la force, on a hxF i = hxi hF i . Enn, comme cet opérateur agit à un instant donné, on suppose qu'il commute avec l'opérateur de dérivée temporelle, soit : ^dh..i _dt = _d..

dt

. 2.a) Déterminer l'équation diérentielle vériée par hxvi .

2.b) Pour un gaz de particules de masse m à la température T , donner la moyenne temporelle du carré d'une composante cartésienne de la vitesse, notée v _x ² . Dans le reste de la question, on admettra que

v ²

= v ² _x . 2.c) Compte tenu des conditions initiales, résoudre l'équation vériée par hxvi .

2.d) En déduire x ²

(t) .

un mouvement à trois dimensions relativement à un repère cartésien (Oxyz) , le résultat obtenu pour le modèle à une dimension en supposant que :

x ² (t) =

y ² (t) =

z ² (t)

3.a) Quelle propriété du système peut-on invoquer pour justier cette hypothèse ? 3.b) Déterminer

r ²

(t) , où r représente la distance de chaque particule au point O , en faisant apparaître le coecient D .

3.c) Déterminer le temps τ D mis par une particule pour se déplacer en moyenne d'une distance égale à son diamètre 2a .

3.d) On considère une particule sphérique de rayon a dans un liquide de viscosité η . Donner l'expression de τ D en fonction de k B , T , η et a .

3.e) Calculer la valeur de τ D dans l'eau pour des particules sphériques de rayons 0, 1 µ m, 10 µ m et 1 mm à la température de 20 ^◦ C . Que peut-on en conclure sur la dynamique de telles particules en suspension ?

1) Le principe fondamental de la dynamique s'écrit : m ^dv _dt = −αv + F (t) ⇒ mx ^dv _dt + mv ² = mv ² − αxv + xF (t) ⇔

m d (xv)

dt = mv ² − αxv + xF (t).

2)

2.a) On a : m d<xv>

dt = < m ^d(xv) _dt > soit m d<xv>

dt =< mv ² − αxv +xF (t) > soit encore m d<xv>

dt =

m < v ² > −α < xv > + < xF (t) > or : < xF (t) > = < x >< F (t) > = 0 ; il reste : d < xv >

dt + α

m < xv > = < v ² > . 2.b) D'après le théorème d'équirépartition de l'énergie, on a :

1

2 mv _x ² = 1 2 k B T 2.c) Nous avons ainsi : d<xv>

dt + _m ^α < xv > = ^k _2m

^B

^T dont la solution vériant la condition initiale

< xv > (0) = 0 est :

< xv > (t) = k B T α

1 − exp

− αt m

.

2.d) Nous avons : ^d<x _dt

²

^> = < ^d(x _dt

²

⁾ > = < 2xv > (t) Soit ^d<x _dt

²

^> = ^k

^B

_α ^T 1 − exp − ^αt _m . Sachant que < x ² > (0) = 0 , nous en déduisons par intégration

< x ² > (t) = 2.k B T α

t + m

α exp

− αt m

− m α

.

2.e) Dans ce résultat apparaît le temps caractéristique : τ = m

α

Aux temps courts, c'est-à-dire pour t τ , < x ² > (t) ' ^k

^B

_m ^T t ² le mouvement moyen est un mouvement uniforme à vitesse q

k

B

T

m , caractéristique de l'agitation thermique, le frottement ne joue aucun rôle.

Aux temps longs, c'est-à-dire pour t τ , < x ² > (t) ' ^2k _α

^B

^T t = 2Dt ce résultat correspond à un phénomène de diusion à 1 dimension (avec un coecient D ) résultant de l'action combinée du frottement et de l'agitation thermique.

3) 3.a) Il s'agit de l'isotropie du système : toutes les directions de l'espace sont équivalentes.

3.b)

< r ² > (t) = < x ² > (t) + < y ² > (t) + < z ² > (t) = 6.D.t 3.c) On trouve immédiatement : τ D = ^2a _3D

²

.

3.d) Dans le cas d'une particule sphérique dans un liquide visqueux, dont sait que : D = _6πηa ^k

^B

^T On trouve :

τ _D = 4πηa ³ k B T

3.e) En prenant η eau = 10 ⁻³ Pa.s, on trouve les résultats numériques reportés dans le tableau ??.

a 0, 1 µ m 10 µ m 1 mm τ D ( en s ) 1, 6.10 ⁻³ 1, 6.10 ³ 1, 6.10 ⁹

Pour les plus petites particules, on observera lors d'une expérience durant quelques secondes, la diusion uniquement.

Pour les particules de taille intermédiaire, on observera sur quelques secondes, un mouvement moyen rectiligne uniforme (dont la direction varie de manière aléatoire, c'est le mouvement brownien).

Les plus grosses particules ne sont pas sensibles à l'agitation thermique.

Les techniques mathématiques à connaître

Calcul de l'opérateur gradient

Dénition du gradient : On posera df = −−→

grad (f ) · − →

d` donc R B A

−−→ gradf · − →

d` = f (B ) − f (A) . Dans le repère cartésien :

Rappelons que df =

∂f

∂x

dx +

∂f

∂y

dy +

∂f

∂z

dz et, comme en coordonnées cartésiennes − →

d` = dx ~ u _x + dy ~ u y + dz ~ u z , on peut écrire

−−→ grad (f ) = ∂f

∂x

~ u x +

∂f

∂y

~ u y + ∂f

∂z

~ u z

Expression avec l'opérateur nabla : −−→

grad (f ) = − → O f en posant l'opérateur nabla :

~ O = ~ u x

∂

∂x + ~ u y

∂

∂y + ~ u z

∂

∂z en coordonnées cartésiennes seulement ! ! !

Dans le repère cylindrique :

df = ∂f

∂r

dr + ∂f

∂θ

dθ + ∂f

∂z

dz

mais cette fois − →

d` = dr ~ u _r + r dθ ~ u _θ + dz ~ u _z donc

grad ~ (f ) = ∂f

∂r

~ u _r + 1

r ∂f

∂θ

~ u _θ +

∂f

∂z

~ u _z

Dans le repère sphérique :

df = ∂f

∂r

dr + ∂f

∂θ

dθ + ∂f

∂ϕ

dϕ

mais cette fois − →

d` = dr ~ u _r + r dθ ~ u _θ + r sin θ dϕ ~ u _ϕ donc

grad ~ (f ) = ∂f

∂r

~ u _r + 1

r ∂f

∂θ

~ u _θ + 1 r sin θ

∂f

∂ϕ

~ u _ϕ

Expression dans un repère quelconque :

dans n'importe quel repère, on peut écrire −−→

grad (f ) =







1 µ

1

∂f

∂s

1

1 µ

₂

∂f

∂s

₂

1 µ

₃

∂f

∂s

₃





 avec

Coordonnées − → u 1 − → u 2 − → u 3 s 1 s 2 s 3 µ 1 µ 2 µ 3

cartésiennes − → u x − → u y − → u z x y z 1 1 1 cylindriques − → u _r − → u _θ − → u _z r θ z 1 r 1

sphériques − → u r − → u θ − → u ϕ r θ ϕ 1 r r sin θ

Résolution de problème

La carburation de l'acier

D'après ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2011 - PARTIE D Disponible sur le site scei-concours

Faire diuser du carbone pour durcir l'acier.

Les procédés de traitements thermochimiques de surface par ré- action hétérogène gaz-solide consistent à exposer, à une température inférieure à la température de fusion de l'acier que constitue la pièce métallique à un environnement gazeux contenant l'espèce chimique à introduire. Ce traitement, largement usité en milieu industriel, est un processus lent et thermiquement activé qui permet d'introduire un élé- ment en surface d'une pièce métallique comme les aciers sans passer par la phase liquide ; opération qui serait très couteuse compte tenu des températures de fusion élevées des aciers. Il permet d'améliorer notablement les propriétés mécaniques des pièces mais nécessite des temps de traitement relativement longs qu'il convient d'optimiser.

À titre d'exemple, si l'on souhaite connaître le temps de traite- ment nécessaire à une diusion du carbone dans l'austénite à 900 ^◦ C d'un acier initialement à un pourcentage massique en carbone 0,5% de telle façon que ce pourcentage atteigne après traitement 1% en masse de carbone à 1mm de la surface, un temps de diusion d'environ 74 heures est nécessaire ! Cet exemple montre que les conditions de diu- sion en phase solide conduisent à des temps de traitement très longs, dicilement compatibles avec la production industrielle.

Ces durées peuvent être cependant considérablement réduites si l'on augmente la température de traitement. Ainsi si on élève de 50 ^◦ C

la température de traitement par rapport au calcul précédent, le temps de diusion se réduit à 14 heures. En eet, le coecient de diusion dépend exponentiellement de la température T selon une loi de type Arrhénius :

D = D 0 exp −Q

RT

avec R = 8, 314 J · K ⁻¹ · mol ⁻¹ , D ₀ le facteur pré-exponentiel qui correspond au coecient de diusion pour une température innie et Q l'énergie d'activation. Dans le cas de la diusion du carbone dans l'austénite, D ₀ = 1, 5 × 10 ⁻⁶ cm ² · s ⁻¹ et Q = 313 × 10 ³ J · mol ⁻¹ .

Enoncé

1) Si la durée de traitement est d'environ 74 heures à 900 ^◦ C, de combien de degrés faut-il augmenter

la température pour faire tomber la durée du traitement à 14 heures ? Est-ce cohérent avec l'élévation de

température dont parle le texte ?

On convertit D 0 en unités SI : D 0 = 1, 5 × 10 ⁻¹⁰ m ² · s ⁻¹ .

L'équation de diusion fait apparaître un temps caractéristique τ pour un système de taille caractéristique L tels que ¹ _τ ∼ _L ^D

2

soit τ ∼ ^L

2

D . Le rapport des temps de diusion à T ₀ = 900 ^◦ C et T ₀ + ∆T vaut : τ (T 0 )

τ (T 0 + ∆T) = D (T 0 + ∆T ) D (T 0 ) = 74

14 = 5, 3

Or le rapport des deux coecients donne : ^D(T _D(T

⁰

^+∆T

₀

₎ ⁾ = exp _Q

R

∆T T

₀

(T

₀

+∆T)

≈ exp _Q

R

∆T T

₀²

si T 0 ∆T , comme le laisse entendre le texte. Il s'agit donc de résoudre ^Q _R ^∆T _T

2

0

= ln 5, 3 ⇔

∆T = ln 5, 3 RT ₀ ²

Q = ln 5, 3 8, 314 × (273 + 900) ²

113 × 10 ³ = 61 K

(soit 61 ^◦ C, au lieu de 50 ^◦ C, ce qui reste proche).

Programmation en python

Ivrogne sur trottoir

Un ivrogne se déplace le long d'un trottoir. On note s = 0 sa position de départ sur le trottoir, face au bar.

A chaque pas d'une longueur l = 30 cm il fait le choix au hasard de continuer dans la même direction ou au contraire de partir dans la direction opposée.

1) Proposer un programme python dénissant une fonction ivrogne(N ) donnant la position s(N ) de l'ivrogne au bout de N pas.

2) Tester la fonction plusieurs fois pour diérentes valeurs de N 1 .

Approche documentaire (DNS)

Sur la théorie du mouvement brownien

Note de M. P. LANGEVIN, présentée par M. Mascart

Comptes-rendus de l'Académie des Sciences 146 (1908), 530-532. Lire en ligne sur Gallica.

En 1908, Paul Langevin va développer une approche nouvelle, qui permet de retrouver la relation d'Einstein D = _6πηa ^k

^B

^T .

I. Etudes du mouvement brownien par Einstein

Le très grand intérêt théorique présenté par les phénomènes de mouvement brownien a été signalé par M.

Gouy : on doit à ce physicien d'avoir formulé nettement l'hypothèse qui voit dans ce mouvement continuel des particules en suspension dans un uide un écho de l'agitation thermique moléculaire, et de l'avoir justi- ée expérimentalement, au moins de manière qualitative, en montrant la parfaite permanence du mouvement brownien et son indiérence aux actions extérieures lorsque celles-ci ne modient pas la température du milieu.

Une vérication quantitative de la théorie a été rendue possible par M. Einstein, qui a donné récemment une formule permettant de prévoir quel est, au bout d'un temps donné τ , le carré moyen ∆ ² _x du déplacement ∆ x

d'une particule sphérique dans une direction donnée x par suite du mouvement brownien dans un liquide, en fonction du rayon a de la particule, de la viscosité µ du liquide et de la température absolue T . Cette formule est

(1) ∆ ² _x = RT N

1 3πµa τ

où R est la constante des gaz parfaits et N le nombre de molécules dans une molécule-gramme, nombre bien connu aujourd'hui et voisin de 8 × 10 ²³ .

M. Smoluchowski a tenté d'aborder le même problème par une méthode plus directe que celles employées par M. Einstein dans les deux démonstrations qu'il a données successivement de sa formule, et a obtenu pour

∆ ² _x une expression de même forme que (1) , mais qui en dière par le coecient 64/27 .

II. Calcul par la méthode de Langevin

J'ai pu constater tout d'abord qu'une application correcte de la méthode de M. Smoluchowski conduit à retrouver la formule de M. Einstein exactement et, de plus, qu'il est facile de donner, par une méthode toute diérente, une démonstration inniment plus simple.

Le point de départ est toujours le même : le théorème d'équipartition de l'énergie cinétique entre les divers degrés de liberté d'un système en équilibre thermique exige qu'une particule en suspension dans un uide quelconque possède, dans la direction x , une énergie cinétique moyenne ^RT _2N égale à celle d'une molécule gazeuse de nature quelconque dans une direction donnée, à la même température. Si ξ = ^dx _dt est la vitesse à un instant donné de la particule dans la direction considérée, on a donc pour la moyenne étendue à un grand nombre de particules identiques de masse m

(2) mξ ² = RT N

Une particule comme celle que nous considérons, grande par rapport à la distance moyenne des molécules et se mouvant par rapport à celui-ci avec la vitesse ξ subit une résistance visqueuse égaie à −6πµaξ d'après la formule de Stokes. En réalité, cette valeur n'est qu'une moyenne et en raison de l'irrégularité des chocs des molécules environnantes, l'action du uide sur la particule oscille autour de la valeur précédente, de sorte que l'équation du mouvement est, dans la direction x

(3) m d ² x

dt ² = −6πµa dx dt + X

Sur la force complémentaire X , nous savons qu'elle est indiéremment négative et positive, et sa grandeur est telle qu'elle maintient l'agitation de la particule que, sans elle, la résistance visqueuse nirait par arrêter.

L'équation (3) multipliée par x peut s'écrire (4) m

2 d ² x ²

dt ² − mξ ² = −3πµa dx ²

dt + X · x