I. Etudes du mouvement brownien par Einstein
Le très grand intérêt théorique présenté par les phénomènes de mouvement brownien a été signalé par M.
Gouy : on doit à ce physicien d'avoir formulé nettement l'hypothèse qui voit dans ce mouvement continuel des particules en suspension dans un uide un écho de l'agitation thermique moléculaire, et de l'avoir justi-ée expérimentalement, au moins de manière qualitative, en montrant la parfaite permanence du mouvement brownien et son indiérence aux actions extérieures lorsque celles-ci ne modient pas la température du milieu.
Une vérication quantitative de la théorie a été rendue possible par M. Einstein, qui a donné récemment une formule permettant de prévoir quel est, au bout d'un temps donné τ, le carré moyen ∆2x du déplacement ∆x
d'une particule sphérique dans une direction donnée xpar suite du mouvement brownien dans un liquide, en fonction du rayonade la particule, de la viscosité µdu liquide et de la température absolueT. Cette formule est
(1) ∆2x= RT N
1 3πµaτ
oùR est la constante des gaz parfaits et N le nombre de molécules dans une molécule-gramme, nombre bien connu aujourd'hui et voisin de8×1023.
M. Smoluchowski a tenté d'aborder le même problème par une méthode plus directe que celles employées par M. Einstein dans les deux démonstrations qu'il a données successivement de sa formule, et a obtenu pour
∆2x une expression de même forme que(1), mais qui en dière par le coecient64/27.
II. Calcul par la méthode de Langevin
J'ai pu constater tout d'abord qu'une application correcte de la méthode de M. Smoluchowski conduit à retrouver la formule de M. Einstein exactement et, de plus, qu'il est facile de donner, par une méthode toute diérente, une démonstration inniment plus simple.
Le point de départ est toujours le même : le théorème d'équipartition de l'énergie cinétique entre les divers degrés de liberté d'un système en équilibre thermique exige qu'une particule en suspension dans un uide quelconque possède, dans la directionx, une énergie cinétique moyenne RT2N égale à celle d'une molécule gazeuse de nature quelconque dans une direction donnée, à la même température. Si ξ= dxdt est la vitesse à un instant donné de la particule dans la direction considérée, on a donc pour la moyenne étendue à un grand nombre de particules identiques de massem
(2)mξ2= RT N
Une particule comme celle que nous considérons, grande par rapport à la distance moyenne des molécules et se mouvant par rapport à celui-ci avec la vitesseξsubit une résistance visqueuse égaie à−6πµaξ d'après la formule de Stokes. En réalité, cette valeur n'est qu'une moyenne et en raison de l'irrégularité des chocs des molécules environnantes, l'action du uide sur la particule oscille autour de la valeur précédente, de sorte que l'équation du mouvement est, dans la directionx
(3)md2x
dt2 =−6πµadx dt +X
Sur la force complémentaireX, nous savons qu'elle est indiéremment négative et positive, et sa grandeur est telle qu'elle maintient l'agitation de la particule que, sans elle, la résistance visqueuse nirait par arrêter.
L'équation(3)multipliée parxpeut s'écrire (4) m
2 d2x2
dt2 −mξ2=−3πµadx2
dt +X·x
Si nous considérons un grand nombre de particules identiques et prenons la moyenne des équations(4)écrites pour chacune d'elles, la valeur moyenne du termeX·xest évidemment nulle à cause de l'irrégularité des actions complémentairesX, et il vient, en posantz= dxdt2
prend la valeur constante du premier terme en régime permanent au bout d'un temps de l'ordre de 6πµam ou 10−8 seconde environ pour les particules sur lesquelles le mouvement brownien est observable.
On a donc en régime permanent d'agitation dx2
dt =RT N
1 3πµa d'où pour un intervalle de tempsτ
x2−x20=RT N
1 3πµaτ Le déplacement∆x d'une particule est donné par
x=x0+ ∆x et comme ces déplacements sont indiéremment positifs et négatifs,
∆2x=x2−x20=RT
Un premier essai de vérication expérimentale vient d'être fait par M. T. Svedberg, dont les résultats ne s'écartent de ceux fournis par la formule(1)que dans le rapport de 1 à 4 environ et s'approchent davantage de ceux, calculés par la formule de M. Smoluchowski.
Les deux démonstrations nouvelles que j'ai obtenues de la formule de M. Einstein, en suivant pour l'une d'elles la marche amorcée par M. Smoluchowski, me paraissent écarter dénitivement la modication proposée par ce dernier.
D'ailleurs, le fait que M. Svedberg ne mesure pas réellement la quantité ∆2x qui gure dans la formule et l'incertitude sur le diamètre réel des granules ultramicroscopiques qu'il a observées appellent de nouvelles mesures faites de préférence sur des granules microscopiques de dimensions plus faciles à connaître exactement, et pour lesquels l'application de la formule de Stokes, qui néglige les eets d'inertie du liquide, est certainement plus légitime.
Enoncé
On considère une particule micrométrique (de rayona) positionnée à l'instant initial au centre d'un repère dans de l'eau de viscosité µ = 10−3 Pa·s, sans vitesse initiale. Cette particule a une masse m et une masse volumique proche de celle de l'eauρ≈103 kg·m−3.
On admet que la projection du principe fondamental de la dynamique suivant la direction xappliqué à la particule considérée s'écrit
(3)md2x
dt2 =−6πµadx dt +X
2) Moyenne de la position
2.a) Déterminerx(τ). On pourra poser la grandeury=dxdt pour s'aider.
2.b) Que penser du résultat ? 3) Moyenne du carré de la position
3.a) Récrire le théorème d'équipartition de l'énergie à une dimension grâce à la constante de Boltzmann kB.
3.b) Déterminerx2(τ). On pourra, comme le propose le texte de Langevin, poser la grandeurz=dxdt2 pour s'aider.
3.c) On pourrait montrer que x2(τ) = 2Dτ, où D est le coecient de diusion de la particule dans l'eau. Que penser du résultat ?
3.d) Retrouver une expression littérale approchée dex2(τ)grâce à l'équation de diusion de la particule.
Correction
2) Moyenne de la position
2.a) En partant de (3)dont on fait la moyenne :
md2x
dt2 =−6πµadx dt + 0 qui devient en posant la grandeury= dxdt :
Tcd2y d'après les conditions initiales.
2.b) Ce résultat n'est pas étonnant : la particule n'a pas plus de chance de partir à gauche en moyenne (x(τ)<0) qu'à droite (x(τ)>0).
3) Moyenne du carré de la position
3.a) Le théorème d'équipartition de l'énergie à une dimension est donné par le texte :
(2)m
3.b) L'équation(3)multipliée parxpeut s'écrire
mxd2x
Ainsi, on trouve bien comme dit le texte de Langevin :
(4) m En passant à la moyenne :
m 2
dz
dt + 3πµaz=kBT La solution générale
z(t) = kBT
3πµa+Ce−TCt donne aux grands temps
z(τ)≈ kBT 3πµa En intégrant une fois on trouve :
x2(τ) = kBT 3πµaτ
3.c) Comme x2(τ) = 2Dτ, on en déduitle coecient de diusion de la particule dans l'eau :
D= kBT 6πµa qui est cohérent avec le chapeau du texte.
3.d) L'équation de diusion de la particule
∂n
∂t =D∂2n
∂x2 donne une expression littérale approchée :
1
τ ≈D 1 x2(τ) donc
D≈ kBT 3πµa