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Montrer que l’équation

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Academic year: 2022

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(1)2010 - 2011. Lycée secondaire ALI BOURGUIBA Épreuve : Mathématiques. Prof : MAATALLAH. Devoir de contrôle n° 1. Durée 2 h. Classe :. Le 13 - 11 - 2010. EXERCICE N 1 ( 5 points ) 1/ Soit un entier naturel non nul . Montrer que l’équation : + ……………+ possède une unique solution dans [ 0 , +∞[ . On la note . 2/ Montrer que la suite ( ) ∈ℕ est décroissante . En déduire qu’elle converge . 3/ Montrer que , pour tout entier naturel 4/ Déterminer lim a n n 1 n  . ≥2 ∶. =. . En déduire lim a n . n  . +. 4 M1. +. −1=0. .. EXERCICE N 2 ( 4 points ). Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (o, u⃗,v⃗ ) . Soit A(−i), B(i) et (z) = 1/ Déterminer et tracer l’ensemble Γ = { M(z) /M ≠ A , M ≠ B et (z) ∈ ℝ. ∗. , z∈ ℂ \{i}. }. 2/ Soit ω ∈ ℂ \{i} tel que |ω| = 1 et arg (ω)≡ θ [2π] , θ ∈]0 , [ . Soit l’équation (E) :. = ω. a) Montrer que (E) possède une solution unique z qu’on exprimera en fonction de ω . b) Mettre z sous forme exponentielle puis résoudre dans ℂ l’équation ( E’) : (z − i) − i(z + i) = 0 . EXERCICE N 3 ( 5 points ) Dans le plan orienté (DA⃗, DB⃗) ≡. on considère un parallélogramme ABCD de centre O tel que (AB⃗, AD⃗) ≡. [2π] et. [2π] . On note I =D∗ C et E le point tel que CED soit un triangle équilatéral direct .. 1/ a) Montrer qu’il existe une unique rotation telle que (A)=E et (B)=D . b) Préciser l’angle de puis vérifier que I est le centre de et préciser l’image de la droite (CD) par . 2/ La droite (CE) coupe (AB) en F . Montrer que AEF est un triangle équilatéral et que (F)=A . 3/ Pour tout point M du plan on considère les points M = R , (M) et M = R , (M) .Montrer que M est l’image de M par une translation dont on précisera le vecteur . 4/ On pose φ = t ⃗ ∘ S( ) , = t ⃗ ∘ S( ) et ℎ = ∘ S( ) . Caractériser φ ,. et ℎ .. EXERCICE N4 ( 6 points ) Soit. la fonction définie sur [0 ,. 1/ a) Montrer que. réalise une bijection de [0 ,. b ) Construire les courbes ∁ de et ∁ c) Montrer que. 2/ Soit. la fonction. ( )=. [ par ∶. de. est dérivable sur K et sur [1 , +∞[ par ∶. .. [ sur un intervalle K qu on précisera .. dans un repère orthonormé ( , ⃗, ⃗ ).. ( )=. que (. )′( ) =. .. > 1 et. a) Montrer que est continue sur [1 , +∞[ , dérivable sur ]1 , +∞[ et que ( )= b) Montrer que ∀ ∈ [1 , +∞[ on a ∶ ( ) +. (1) =. ( ) = −(. Bon Travail. .. )( )..

(2)

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