(b) Établir l’équation différentielle d’évolution de y pour y >
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Texte intégral
(2) Devoir en temps limité o 1 : Ressorts et ondes. samedi 28 septembre. I.2. La surface est maintenant excitée par les oscillations d’une vibreur ponctuel et a l’allure observée ci-contre. Dans la simulation on a négligé la diminution de l’amplitude avec la distance de propagation pour améliorer le contraste des images.. (a) Décrire brièvement le mouvement du sauteur 2 en tenant compte de ces valeurs. Comparer en particulier les accélérations subies à celles d’un mouvement purement sinusoïdal. (b) Question subsidiaire, s’il reste du temps : Vérifier que Y1 et Y2 sont bien solutions de l’équation différentielle du 2a avec les valeursi données au 3.. (a) Déterminer la nouvelle fréquence, notée ν2 du signal. (b) Représenter l’allure de la surface de l’eau si la pulsation du signal est deux fois plus faible.. 20. 1. 10. 0, 5. y(cm). MPSI2, Louis le Grand. 0. 0. −0, 5. −10 −20. −20. (c) Donner l’expression de ξ en fonction de x , y , t , ν , c si l’onde a une phase nulle à t = 1/(2ν) en (x = 0 ; y = 0). I.3. La surface est désormais excitée par les vibrations conjointes de la source ponctuelle et de la barre, de mêmes amplitudes. Ces vibrations sont synchrones, en phase, de fréquence ν0 ≡ 10 Hz. La distance entre la source ponctuelle et la barre est notée d.. On étudie des ondes à la surface de l’eau produites par la chute de gouttes d’eau. On commence par considérer quelques caractéristiques générales des ondes de surface.. I Sources rectiligne et ponctuelle. (a) Déterminer la nature de l’onde sur le segment [OB]. On en précisera la valeur de la longueur caractéristique.. On considère une barre située à l’abscisse x = −15 cm émettant à l’aide d’un vibreur une onde sinusoïdale de fréquence notée ν se propageant à la surface de l’eau.. (a) Déterminer la célérité des ondes si ν ≡ ν1 = 14,5(6) Hz. On supposera dans toute la suite que cette célérité, notée c, reste constante quand la pulsation varie.. y(cm). 0, 5. 10 x(cm). 20. On revient à une excitation par une seule source ponctuelle, réalisée en faisant tomber de l’eau au goutte à goutte avec un débit constant. On note z(r , t) l’élévation verticale d’un point de la surface de l’eau par rapport à son altitude au repos.. (c) Donner l’expression de ξ(x , t), pour tout x ∈ [−15 : 15] si désormais la barre est placée en x ≡ x0 = 5 cm et si l’onde a une phase nulle en x = x0 à t = 0.. Julien Cubizolles, sous licence http ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.. 0. −1. (b) Donner l’expression de la perturbation, notée ξ de la surface de l’eau en fonction de x , c , t , ν pour une onde d’amplitude ξ0 telle que la phase en x = 0 , t = 0 soit nulle.. i. Et oui, on retrouve ici aussi le nombre d’or.. O. II Goutte à goutte. −10 10. B. (d) En déduire l’allure de la surface de l’eau à tout instant.. −0, 5. 0 x(cm). −1. (c) Déterminer le lieu des points M de coordonnées (x ; y) (ie une expression reliant x et y) tels que le déphasage entre l’onde issue de O et celle issue de la barre soit égal à π.. 0. −10. 20. −10. 10. 0. 10. d. 0. (b) Quel déphasage entre les oscillations de la barre et du point permet d’échanger les positions des nœuds et des ventres sur le segment [OB] ?. 1. I.1. La surface de l’eau à un instant donné a l’allure représentée sur la figure ci-contre, dans laquelle les zones claires représentent une crête et les zones sombres un creux.. 0 x(cm). 10 y(cm). Problème 2 : Des ronds dans l’eau. −10. II.1. On utilise une burette pour laquelle on a observé que chaque goutte avait un volume de 0,1 mL. Quel doit être le débit en mL · s−1 pour que la longueur d’onde à la surface de l’eau soit 1,5 cm ? On note D0 sa valeur et on considère qu’il est réglé à cette valeur dans toute la suite. II.2. On prend en compte dans cette question la variation de l’amplitude des oscillations en un point M avec la distance entre la source O et le point M , notée r = OM . On indique que la puissance moyenne par unité de longueur associée à une oscillation d’amplitude Z est proportionnelle à Z 2 . On propose les lois suivantes de variation de l’amplitude Z avec la distance r au cours de la propagation d’un front d’onde.. 2/8. 2019–2020.
(3) Devoir en temps limité o 1 : Ressorts et ondes. MPSI2, Louis le Grand. • Z(r) est de la forme Z(r) = • Z est de la forme Z(r) =. samedi 28 septembre. Z0 r0 , r. Z0 r , r0. • Z est de la forme Z(r) = Z0. q. r0 . r. avec Z0 l’amplitude à la distance r0 . (a) Justifier qualitativement et brièvement laquelle vous paraît compatible avec une propagation à énergie constante. (b) Tracer l’allure correspondante de la surface de l’eau en fonction de la distance r.. II.3. Les ondes se propagent en fait à la surface d’un bassin circulaire de rayon R, centré sur le point O où tombent les gouttes. On considère tout d’abord qu’une perturbation atteignant le bord en r = R est réfléchie avec un déphasage de π sans atténuation ; et qu’on a toujours un ventre de vibration au point d’impact de la goutte.. R O. r M. (a) Proposer une valeur de R proche de 10 cm permettant d’observer une onde stationnaire, quand le débit vaut D0 . (b) Le déphasage à la réflexion dépend en fait de manière subtile des propriétés d’interaction de l’eau avec la paroi et on peut observer des valeurs différentes de π. Dans le cas où ce déphasage vaut π/4, représenter l’allure, entre r = 0 et r = R d’un mode d’onde stationnaire, en négligeant la variation de l’amplitude avec la propagation. On précisera en particulier le rapport des amplitudes des oscillations en r = R et r = 0. (c) On considère de nouveau et dans toute la suite que le déphasage à la réflexion vaut π. Comment l’amplitude de l’onde qui s’est réfléchie sur la paroi varie-t-elle avec r ? En déduire l’allure du profil z(r). (d) On commence le goutte à goutte à l’instant t = 0, la surface étant initialement au repos. Combien de temps doit-on attendre avant que l’onde stationnaire soit établie ?. Julien Cubizolles, sous licence http ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.. 3/8. 2019–2020.
(4) Devoir en temps limité o 1 : Ressorts et ondes. MPSI2, Louis le Grand. samedi 28 septembre. Correction du problème 1. I Question préliminaire. (ωb − ωa )t − π/2 1. On a :. ~ B. sin(ωb t) = cos. π. π − ωb t = cos − 2ωa t . 2 2. ~ C. La construction de Fresnel est représentée sur la figure ci-contre, à l’instant où ωa t = 40°.. ωa t. ~ A. ~B ~ C. ϕ(t). ~ A. O. O. t=0:f =2. t=. π :f =0 ωb. t=. O. ~ C. 2. On représente les constructions de Fresnel correspondantes sur la figure 4. On y lit les valeurs de f , qui ~ sur l’axe horizontal. sont les projections du vecteur C. t = π/(ωb ). t=0. ~ A. Fig. 3. ~ B. 2π : f = −2 ωb. II Caractéristiques d’un saut #» #» 1. Le sauteur est soumis à son poids P et à la force de tension T . À l’équilibre, ces deux forces s’opposent et on a donc T = P , soit k∆`eq = mg. On calcule donc : t = 2π/ωb. k=. mg = 52 N · m−1 . ∆`eq. O. ~ A ~ B. 2. (a) Il s’agit d’un résultat classique de mécanique du point. On peut l’établir : • en utilisant la conservation de l’énergie entre l’instant initial où elle vaut Em = 0 et un instant ultérieur où elle s’exprime selon Em = 12 mẏ 2 − mgy, puisque l’axe y est orienté selon la verticale descendante, • ou en intégrant deux fois la loi de la quantité de mouvement : ÿ = g avec les conditions initiales y(0) = 0 et ẏ(0) = 0.. ~ C. Fig. 4. (b) Pour y > `0 , la corde est tendue et le sauteur est soumis : #» • à son poids P = mg e#» y, #» • à la tension de la corde T = −k(y − `0 )e#» y.. Julien Cubizolles, sous licence http ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.. 4/8. 2019–2020.
(5) Devoir en temps limité o 1 : Ressorts et ondes. MPSI2, Louis le Grand. 2. (a) Les équations différentielles des mouvements et celles définissant les équilibres s’écrivent :. La loi de la quantité de mouvement s’écrit donc : mÿ = mg − k(y − `0 ) →. samedi 28 septembre. d2 (y − `eq ) + ω 2 (y − `eq ) = 0 dt2. avec: `eq = l0 +. mg . k. Sa solution est de la forme générale : y = `eq + (y(0) − `eq ) cos(ωt) +. 0 = −k(y1eq − `0 ) + k(y2eq − y1eq − `0 ) + m1 g. mÿ2 = −k(y2 − y1 − `0 ) + m2 g. 0 = −k(y2eq − y1eq − `0 ) + m2 g.. On établit les équations différentielles vérifiées par les différences Y = y − yeq en effectuant les différences, pour chaque sauteur, entre son équation différentielle et son équation d’équilibre :. ẏ(0) sin(ωt). ω. mŸ1 = −kY1 + k(Y2 − Y1 ) = kY2 − 2kY1. L’instant initial est celui où la corde se tend, √ie quand y(0) = `0 . On a déterminé à la question précédente que la vitesse vaut alors ẏ(0) = 2g`0 . On a finalement : √ mg 2g`0 y = `0 + (1 − cos(ωt)) + sin(ωt). k ω Une rapide construction de Fresnel assure que l’amplitude √ −(mg/k) cos( ωt) + ( 2g`0 / ω) sin( ωt) est : r mg 2 2g`0 ∆ymax = + 2 = 38 m. k ω. mÿ1 = −k(y1 − `0 ) + k(y2 − y1 − `0 ) + m1 g. tu. terme. 2. mŸ2 = −k(Y2 − Y1 ). 2. 2. Ÿ1 = −2ω Y1 + ω Y2. Ÿ2 = −ω Y2 + ω Y1 .. en notant T1eq et T2eq les valeurs des tensions à l’équilibre, avant qu’on ait descendu le deuxième sauteur de ∆`i . Dans ce nouvel état initial, l’équilibre du sauteur 1 s’écrit toujours T1 = T2 + mg donc T1 − T2 = T1eq − T2eq . On a donc, à l’instant où on libère le sauteur 2 : kY1 = k(∆`i − Y1 ) → Y1 =. mg + ∆ymax = 93 m. k. • Au cours d’un mouvement sinusoïdal d’amplitude A, la vitesse maximale atteinte est ωA, soit ici : ω∆ymax = 30,7 m · s−1 .. ∆`i . 2. (c) Comme les vitesses initiales des deux sauteurs sont nulles, les conditions initiales du mouvement sont : 1 1 XAi = Y1i + αa Y2i = + αa ∆`i XBi = Y1i + αb Y2i = + αb ∆`i 2 2 ẊBi = 0. • La tension est maximale quand l’élongation l’est aussi, soit pour y = ymax . On a alors : ! r mg mg 2 2g`0 Tmax = k (`max − `0 ) = k + + 2 . = 2,7 · 103 N. k k ω. ẊAi = 0.. On en déduit les solutions des équations différentielles canoniques : 1 1 XA = XAi cos(ωa t) = + αa ∆`i cos(ωa t) XB = XBi cos(ωa t) = + αb ∆`i cos(ωb t). 2 2. III Un jeu dangereux. En formant des combinaisons linéaires des équations définissant Xa et Xb , on détermine :. 1. (a) Notons T1 et T2 les tensions de chacune des cordes. L’équilibre de chacun des sauteurs s’écrit :. Y2 =. sauteur 1: T1 = T2 + mg, sauteur 2: T2 = mg.. mg k. y1eq − `0 =. 2mg 3mg → y2eq = 2`0 + . k k. Y1 =. αb Xa − αa Xb . αb − αa. L’étude de √ la Section I montre que sa construction de Fresnel donne un vecteur de grande amplitude ((2+ 5)/2 ' 2,1 ≡ Zb ) qui tourne lentement ωb avec à son extrémité un vecteur plus court. (b) La longueur totale de la corde est alors y2eq = 125 m.. Julien Cubizolles, sous licence http ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.. Xa − Xb αa − αb. 3. (a) On constate que Y2 est la somme de deux sinusoïdes de pulsations différentes, avec ωa ' 2,6× ωb : √ √ (2 + 5) cos(ωb t) − (2 − 5) cos(ωa t) √ Y2 = . (3) 2 5. On a de plus T1 = k(y1 − `0 ) et T2 = k(y2 − y1 − `0 ). On en déduit : y2eq − y1eq − `0 =. (2). T1i = k(y1eq + Y1 − `0 ) = T1eq + kY1 ,. sinusoïdal. Le point O doit se trouver à une plus grande hauteur pour éviter un accident. (d). (1). (b) À l’instant initial, on a Y2 = ∆`i . Les tensions T1 et T2 s’expriment alors selon : T2i = k y2eq + ∆`i − (y1eq + Y1 ) − `0 = T1eq + k(∆`i − Y1 ). (c) La longueur maximale de la corde au cours d’une oscillation sera donc : `max = `0 +. 2. 5/8. 2019–2020.
(6) Devoir en temps limité o 1 : Ressorts et ondes. √ (( 5 − 2)/2 ' 0,11 ≡ Za ) qui tourne beaucoup plus vite, à ωa . La faible amplitude de ce dernier assure que le mouvement global sera peu différent d’une sinusoïde à ωb . En particulier la valeur maximale de la dérivée seconde du terme de pulsation ωa , qui vaut Za ωa2 reste notablement plus faible que celle du mouvement lent de plus grande amplitude pour lequel elle vaut Zb ωb2 : leur rapport vaut Zb ωb2 /(Za ωa2 ) ' 6. C’est donc le terme lent qui gouverne les accélérations ressenties par le sauteur. 1. (b) Pour une fréquence deux fois plus faible, la longueur d’onde sera deux fois plus grande comme représenté ci-contre. (c) La distance d’un point p M à l’origine O a pour expression OM = x2 + y 2 . En négligeant l’atténuation avec la propagation, on aura donc :. 0. 20. 1. 10. 0, 5 0. 0. −0, 5. −20. −20. −10. 0 x(cm). 10. −1. 20. p p ξ = ξ0 cos 2πν((t − 1/(2ν) − x2 + y 2 /c) = −ξ0 cos 2πν(t − x2 + y 2 /c) −0, 5. I.3. (a) La perturbation sur le segment OB est l’interférence d’une onde progressive issue de O et d’une onde régressive synchrone issue de B. On a donc une onde stationnaire, la distance entre deux nœuds étant λ1 /2 = 1,175(35) cm. Les nœuds seront les points d’abscisse x où ces deux ondes interfèrent destructivement soit tels que :. −1 0. 45. 90 ωB t. 135. 180. (b) Il suffit de reprendre l’expression (3) de Y2 et d’établir l’expression équivalente de Y1 en fonction de Xa et Xb . On vérifie ensuite (c’est fastidieux…) que ces deux fonctions sont bien solutions du système des équations (1) et (2).. |x−x0 |−|x−xB | = λ/2. iex−(xB −x) = λ/2. mod λ. mod λ → x =. d +λ/4 2. mod λ/2,. en notant d l’abscisse du point B. Les ventres seront les points d’abscisse x où ces deux ondes interfèrent constructivement soit tels que :. Correction du problème 2. |x − x0 | − |x − xB | = 0. I Sources rectiligne et ponctuelle I.1. (a) On dénombre 18,5(5) longueurs d’ondes sur 30 cm, soit une longueur d’onde de λ1 = 1,62(4) cm. Avec ν1 = c/λ2 = 14,5(6) Hz, on calcule c = 23,5(7) cm · s−1 . (b) Pour x > −15 cm l’onde est progressive et on a donc : ξ(x, t) = ξ0 cos(ω(t − x/c)).. x > x0 : x < x0 :. ξ(x, t) = ξ0 cos(ω(t − (x − x0 )/c)) ξ(x, t) = ξ0 cos(ω(t + (x − x0 )/c)).. iex − (xB − x) =. mod λ → x =. xB + 2. mod λ/2.. On a en particulier un ventre en x = d/2. (b) Avec un déphasage ∆ϕB la phase de l’onde issue de B devient 2πν(t − |x − xB |/c) + ∆ϕB et la condition d’interférences destructives devient : λ∆ϕB |x − x0 | − |x − xB | − = λ/2 mod λ. 2π. (c) La perturbation de l’onde issue de la source ponctuelle a pour expression : ξO = ξ0 cos. I.2.. Julien Cubizolles, sous licence http ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.. mod λ. Pour échanger les positions des ventres et des nœuds, il suffit que les interférences soient destructives aux lieux des ventres précédents. En considérant le point x = d/2, le déphasage ∆πB devra vérifier : λ∆ϕB − = λ/2 mod λ → ϕB = −π mod [2π]. 2π. (c) L’onde est maintenant progressive pour x > x0 et régressive pour x < x0 soit : (. (a) On dénombre ici 8,50(25) longueurs d’onde en 20 cm, soit λ2 = 2,35(7) cm. On en déduit la fréquence ν2 = c/λ2 = 10,0(4) Hz.. −10. Y2 /∆`i Ẏ2 /(ωB ∆`i ). 0, 5. Comme on peut le constater sur la figure cicontre, les oscillations à ωa sont quasiment indécelables car leur amplitude est très faible. L’évolution est cependant différente d’une simple sinusoïde comme l’étude de la dérivée permet de le vérifier.. samedi 28 septembre. y(cm). MPSI2, Louis le Grand. 6/8. ω. t−. !! p x2 + y 2 ≡ z0 cos (ΨO ) ; c. 2019–2020.
(7) Devoir en temps limité o 1 : Ressorts et ondes. MPSI2, Louis le Grand. samedi 28 septembre. 2. 2. celle issue de la barre est : 10. ie:. B 0. 0. O. 0. 10. y(cm). 0. 0. O. 20. 10 x(cm). 20. 10 B. 0. 0. O. 1 B 0. 0. O. −1 −10. 0. 10 x(cm). (b) ωt = π/3 + π/2.. −1 −10. Il s’agit de l’équation d’une parabole admettant y = 0 pour axe de symétrie et divergeant vers x → −∞ quand y 2 → ∞.. 0. 1. B. y(cm). y 2 − (λ/2 + d)2 x=− . 2(d + λ/2). 10 x(cm). 10. 1. −2x(d + λ/2) = y 2 − (λ/2 + d)2. −1. (a) ωt = π/3.. 2. x2 + y 2 = (−x + λ/2 + d)2. 0. O. −10. p x2 + y 2 + (x − d) = λ/2.. On peut développer cette expression en :. B 0. −1 −10. y(cm). ω p 2 x + y 2 + (x − d) c. 1 y(cm). y(cm). Limitons nous au cas x < d, où |x − d| = d − x. Le déphasage entre ces deux ondes sera égal à π aux points M (x , y) tels que : π = ΨB − ΨO =. 10 1. |x − d| ξB = ξ0 cos ω t − ≡ z0 cos (ΨB ) . c. 20. 0. On a représenté sur la figure ci-dessus les paraboles correspondant à des déphasages ΨB − ΨO = λ/2 mod λ. Ce sont des points où la perturbation est toujours nulle puisque les deux ondes y sont en opposition de phase. Elles passent donc par les nœuds situés sur le segment [OB].. −1 −10. 10 x(cm). 20. −2. 0. (c) ωt = π/3 + π.. 10 x(cm). 20. −2. (d) ωt = π/3 + 3π/2.. Fig. 5 : Évolution temporelle de la surface de l’eau.. (d) On a représenté sur la figure 5 la surface de l’eau à différents instants.. z. II Goutte à goutte (b) On a représenté cette allure sur la figure cicontre. L’expression n’est valable que pour r > r0 , hors de la zone d’excitation centrale puisque celle-ci ne peut pas être rigoureusement ponctuelle.. II.1. Une longueur d’onde de λ = 1,5 cm correspond à une période de T = λ/c = 6,4 · 10−2 s. C’est également la période avec laquelle doivent tomber les gouttes. Il faut donc un débit de D0 = 0,1 mL/T = 1,56 mL · s−1 . II.2. (a) Les fronts d’ondes émis par une source ponctuelle sont des cercles. Sans dissipation, l’énergie se répartit donc sur ces cercles. Le produit de la densité d’énergie par le périmètre du cercle, proportionnel à la distance r doit donc être constant. Comme la densité d’énergie est proportionnelle au √ carré de l’amplitude de l’excitation, l’amplitude doit décroître en 1/ r, de la forme : r Z = Z0. r0 . r. Julien Cubizolles, sous licence http ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.. r r0 z(r) √ Z0 r0 /r √ −Z0 r0 /r. II.3. (a) On aura une longueur d’onde λ = 1,5 cm. L’onde stationnaire devra avoir un ventre en r = 0 (où tombent les gouttes) et un nœud à la périphérie où l’amplitude sera nulle puisque l’onde réfléchie. 7/8. 2019–2020.
(8) Devoir en temps limité o 1 : Ressorts et ondes. MPSI2, Louis le Grand. est en opposition de phase. On peut donc chercher la perturbation sous la forme : z(r, t) = cos(ωt) cos. 2πr λ. . avec: cos. 2πR λ. = 0.. Cette expression assure en effet qu’on aura un ventre en r = 0 et un nœud en r = R. Les valeurs de R possibles vérifient alors : 2πR π λ = [π] → R = λ 2 4. λ . = 3,75 mm [7,5 mm] . 2. On peut par exemple choisir λ/4 + 13 × λ/2 = 10,125 cm.. Remarquons qu’on aurait pu obtenir ce résulz tat sans expliciter ξ(r , t) pour tout r. L’oscillation en r = R est la somme de de la si- 2ξ0 cos(π/8) z(r, t = 0) z(r, t = π/ω) nusoïde incidente et de la sinusoïde réfléchie, ξ0 de même amplitude ξ0 mais avancée de π/4. Une construction de Fresnel permet alors de r0 R déterminer l’amplitude de leur somme, égale r à 2ξ0 cos(π/8). Sur la figure ci-dessous, on a bien un ventre en x = 0 et une valeur en x = R −2ξ0 correspondant à une phase de π/8, soit légèrement inférieure au maximum de l’oscillation. Pour cette courbe, on n’a pas tenu compte de la diminution de l’amplitude au cours de la propagation (contrairement à la réponse suivante) pour mettre en valeur la phase au rebond en r = R.. On peut remarquer que la condition « ventre à r = 0 » est discutable puisqu’une description sinusoïdale de l’onde n’est certainement pas pertinente dans la zone de chute des gouttes. (b) La présence d’un ventre en x = 0 assure qu’on a un déphasage nul à la réflexion en ce point. La condition pour obtenir une onde stationnaire est toujours que la phase acquise à l’issue d’un aller et retour de longueur 2R soit congrue à 0 mod 2π : elle s’écrit donc : −. 2π π 2R + = 0 λ 4. mod 2π → −2kR +. π =0 4. mod 2π.. (4). L’onde stationnaire s’écrit donc comme la somme : • d’une onde progressive issue de O dont on peut choisir la phase nulle en r = 0 , t = 0 dont la perturbation peut s’écrire :. samedi 28 septembre. z (c) L’onde réfléchie sera une onde circulaire concentrique : pour elle, la conservation de l’énergie répartie sur des cercles de rayons de plus en plus petit imposera au contraire que l’intensité croisse au fur et à mesure que r diminue : elle variera elle p aussi en Z0 r0 /r. L’onde incidente et l’onde réfléchie auront donc, en tout point, la même amplitude (en négligeant les phénomènes dissipatifs) et interféreront avec un contraste maximal.. r0. R r z(r, t = 0) z(r, t = π/ω). ξP (r, t) = xi0 cos (ω(t − r/c)) ; • d’une onde régressive issue de la périphérie déphasée de telle sorte que son déphasage présente une avance de π/4 par rapport à la phase de l’onde incidente en quand elle parvient en r = R soit : ξR (r, t) = xi0 cos (ω(t + (r − R)/c) − kR + π/4) .. (d) On doit attendre que le premier front d’onde ait effectué un aller et retour du centre du bassin jusqu’au rebord : l’ensemble du bassin sera alors le siège d’une onde progressive et d’une onde régressive et l’onde stationnaire sera en place. Ceci prendre un temps : 2R/c = 20 cm/(23,5 cm · s−1 ) = 0,85 s.. L’onde totale est alors, en utilisant k = ω/c : ξ(r, t) = xP (r, t) + ξR (r, t) = 2ξ0 cos (ωt − kR + π/8) cos (kr − kR + π/8) La condition d’onde stationnaire 4 donne : π = 0 mod [π] → 8 ξ(r = 0, t) = 2ξ0 cos (ωt) kR −. ξ(r, t) = 2ξ0 cos (ωt) cos (kr)) ξ(r = R, t) = 2ξ0 cos (ωt) cos (kR)) = 2ξ0 cos (ωt) cos (π/8)) .. On reconnaît une onde stationnaire qui présente un ventre en r = 0 et dont l’amplitude des oscillations en r = R est : cos(π/8) ' 0,92 plus faible qu’en r = 1.. Julien Cubizolles, sous licence http ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.. 8/8. 2019–2020.
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