Séries d’exercices corrigés détaillés
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Texte intégral
(2) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. ROYAUME DU MAROC. Professeur Badr Eddine El FATIHI. SÉRIES D’EXERCICES « 2ème Année Bac – SM ». om. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. .c. Projet de livre 2021-2022. je. te. Montrer une limite par la définition Monotonie d’une suite numérique Les suites arithmétiques Les suites géométriques Les suites récurrentes Les suites adjacentes Le raisonnement par récurrence Manipuler des sommes finies et infinies. su. . xa. Tome 2 : Suites Numériques. Professeur Badr Eddine EL FATIHI Ouarzazate 2021 Samedi 10 juillet 2021. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 2. WhatsApp : 0660344136.
(3) Séries d’exercices corrigés détaillés. 1. :. 2ème Année Bac - SM. Professeur Badr Eddine El FATIHI. Préface. te. xa. .c. om. Ce livre est un support d’exercices corrigés conçu en faveur des élèves de la 2ème année Bac SM du Maroc. J’ai y classé 101 exercices pour la leçon intitulée suites numériques. Les exercices proposés sont riches, variés et contiennent tout type de questions. C’est une plate-forme de travail pour les élèves qui auraient besoin d’un supplément de soutien très particulier. dans ce cadre, l’élève est invité à choisir le type d’exercices là où il se sent faible et de prendre son temps pour renforcé ses apprentissages. Mon objectif est d’aider ces élèves à parvenir à un niveau qui leurs permettrait de passer les devoirs, les examens et tout type de concours d’admission pour les écoles supérieurs avec succès.. su. je. Cette série contient entre autre un rappel de cours, les énoncés des exercices et les réponses détaillées qu’on devrait lire attentivement et en profiter au maximum les idées de résolution. J’ai y classé encore des moyens et des méthodes hors programme juste pour élargir son équilibre de connaissances. Sachez que, dans les concours d’admission et même dans les examens, la réponse finale compte plus que la méthode suivie. La vitesse de réalisation est aussi importante car vous serez certainement serrés par le temps. D’ailleurs les concours sont formulés sous la forme de questions à choix multiple. Bon courage à tout le monde et à bientôt . Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 3. WhatsApp : 0660344136.
(4) 2. Séries d’exercices corrigés détaillés. :. 2ème Année Bac - SM. Professeur Badr Eddine El FATIHI. Méthodologie. Considérer. d’abord. une. du travail. séance. d’exercice. om. comme un jeu, car Apprendre par le jeu est le meilleur moyen existant de nos jours. la. question. et. essayer. de. trouver. la. xa. Lisez. .c. Choisir le type d’exercices voulu. te. réponse en 10 min en consultant de temps à autre le rappel de cours. je. Consulter ma réponse sur ce livre. su. Notez les lacunes et difficultés rencontrées Retourner pour refaire l’exercice à nouveau Passer à un autre exercice. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 4. WhatsApp : 0660344136.
(5) 3. Séries d’exercices corrigés détaillés. :. 2ème Année Bac - SM. Professeur Badr Eddine El FATIHI. Rappel de cours. Outil N° 1 :. Outil N° 4 :. Suite majorée ou minorée :. ⟺ 𝑢𝑛 +1 = 𝑞 𝑢𝑛 ; 𝑞𝜖ℝ∗ ⟺ 𝑢𝑛 = 𝑢𝑝 × 𝑞𝑛 −𝑝 ; 𝑛 ≥ 𝑝. Si 𝑢𝑛 𝑛 est croissante et majorée c-à-d 𝑢𝑛 ≤ 𝑀 Alors 𝑢𝑛 𝑛 est convergente vers un 𝑙 𝜖 ℝ. croissante et non lim𝑛∞ 𝑢𝑛 = +∞. om. lim 𝑢𝑛 = +∞ 𝑛∞. ⟺. Outil N° 3 :. 𝑢𝑛 𝑢𝑛 𝑢𝑛. 𝑛𝜖 ℕ 𝑛𝜖 ℕ 𝑛𝜖 ℕ. ⟺. ⟺ ∀𝜀 > 0. 𝑒𝑠𝑡 ↗ 𝑒𝑠𝑡 ↘ 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑡𝑒. ∃𝑁𝜖ℕ. ∀𝑛 ≥ 𝑁 ∶ 𝑢𝑛 < −𝐴. ∃𝑁𝜖ℕ. ∀𝑛 ≥ 𝑁 ∶ 𝑢𝑛 − 𝑙 < 𝜀. Outil N° 6 : La suite 𝑛𝛼. 𝑛𝜖 ℕ. ; 𝛼 𝜖 ℚ∗. ∎ 𝛼>0. ⟹. lim 𝑛𝛼 = +∞. ∎ 𝛼<0. ⟹. lim 𝑛𝛼 = 0. 𝑛∞ 𝑛∞. Outil N° 7 : l’unicité de la limite : ; 𝑝𝜖ℕ. La limite d’une suite numérique, quand elle existe, est unique.. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. ∀𝐴 > 0. 𝑛∞. ⟺ 𝑢𝑛 +1 = 𝑢𝑛 + 𝑟 ; 𝑟𝜖ℝ ⟺ 𝑢𝑛 = 𝑢𝑝 + 𝑛 − 𝑝 𝑟 ; 𝑝𝜖ℕ 𝑢𝑝 + 𝑢𝑛. ∀𝑛 ≥ 𝑁 ∶ 𝑢𝑛 > 𝐴. lim 𝑢𝑛 = 𝑙 𝜖 ℝ. Suite arithmétique :. 𝑛−𝑝+1 ⟺ 𝑢𝑝 + ⋯ + 𝑢𝑛 = 2. ∃𝑁𝜖ℕ. 𝑛∞. te. je. su. ⟺ ⟺ ⟺. ∀𝐴 > 0. lim 𝑢𝑛 = −∞. Monotonie d’une suite numérique : ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 +1 ≥ 𝑢𝑛 ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 +1 ≤ 𝑢𝑛 ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 +1 = 𝑢𝑛. 𝑛≥𝑝. Limite d’une suite par définition :. Si 𝑢𝑛 𝑛 est décroissante et non minorée Alors lim𝑛∞ 𝑢𝑛 = −∞ Outil N° 2 :. ;. Outil N° 5 :. xa. Si 𝑢𝑛 𝑛 est majorée Alors. 1 − 𝑞 𝑛−𝑝+1 𝑢𝑝 1−𝑞. ⟺ 𝑢𝑝 + ⋯ + 𝑢𝑛 =. .c. Si 𝑢𝑛 𝑛 est décroissante et minorée c-à-d 𝑢𝑛 ≥ 𝑚 Alors 𝑢𝑛 𝑛 est convergente vers un 𝑙 𝜖 ℝ. Suite géométrique :. 5. WhatsApp : 0660344136.
(6) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. Professeur Badr Eddine El FATIHI. Outil N° 8 : convergente ► bornée. Outil N° 12 :. lim 𝑢𝑛 = 𝑙 𝜖 ℝ. La suite récurrente 𝑣𝑛 = 𝑓 𝑢𝑛 :. 𝑛∞. ∃𝑀𝜖ℝ+. ⟹. ∀𝑛𝜖ℕ ∶. 𝑢𝑛 ≤ 𝑀. 𝑣𝑛 = 𝑓 𝑢𝑛 𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖 𝑒𝑛 𝑙 ⟹ lim 𝑓 𝑢𝑛 = 𝑓 lim 𝑢𝑛 𝑛∞ 𝑛∞ 𝑙 = lim 𝑢𝑛. Outil N° 9 : limites et ordre :. 𝑛∞. ⟹. 𝑛∞. ∎. 𝑢𝑛 ≤ 𝑣𝑛 lim 𝑣𝑛 = −∞. ⟹. 𝑛∞. lim 𝑢𝑛 = +∞. Outil N° 13 : suites adjacentes :. 𝑛∞. 𝑢𝑛 𝑛 𝑒𝑡 𝑣𝑛 𝑛 ⟺ 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. lim 𝑢𝑛 = −∞ 𝑛∞. 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑡 ↗ 𝑣𝑛 𝑒𝑠𝑡 ↘ lim 𝑢𝑛 − 𝑣𝑛 = 0. om. ∎. 𝑢𝑛 ≤ 𝑣𝑛 lim 𝑢𝑛 = +∞. 𝑛∞. 𝑣𝑛 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 𝑤𝑛 𝑢𝑛 = 𝑙 lim 𝑣𝑛 = lim 𝑤𝑛 = 𝑙 ⟹ lim 𝑛∞ 𝑛∞. ∎. 𝑢𝑛 > 𝑎 lim 𝑢𝑛 = 𝑙. ⟹. 𝑙≥𝑎. 𝑢𝑛 < 𝑎 lim 𝑢𝑛 = 𝑙. ⟹. 𝑙≤𝑎. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 𝑛∞. ⟹. 𝑙 ≤ 𝑙′. te. ∎. 𝑢𝑛 < 𝑣𝑛 lim 𝑢𝑛 = 𝑙 𝑛∞. lim 𝑣𝑛 = 𝑙′ 𝑛∞. ∎. 𝑞>1. 𝐴𝑙𝑜𝑟𝑠. su. ∎. 𝑠𝑖. je. Outil N° 10 : limite de ∎. xa. 𝑛∞. ∎. 𝑢𝑛 𝑛 𝑒𝑡 𝑣𝑛 𝑛 ⟹ lim 𝑢𝑛 = lim 𝑣𝑛 = 𝑙 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑛∞ 𝑛∞. 𝑛∞. .c. ∎. 𝑠𝑖. 𝑞=1. 𝐴𝑙𝑜𝑟𝑠. 𝑠𝑖. −1<𝑞 <1. 𝑞𝑛. 𝑛𝜖 ℕ. lim 𝑞𝑛 = +∞ 𝑛∞. lim 𝑞𝑛 = 1 𝑛∞. 𝐴𝑙𝑜𝑟𝑠. lim 𝑞𝑛 = 0 𝑛∞. ∎ 𝑠𝑖 𝑞 ≤ −1 𝐴𝑙𝑜𝑟𝑠 lim 𝑞𝑛 = 𝑛′ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑠 𝑛∞. Outil N° 11 : La suite 𝑢𝑛 +1 = 𝑓 𝑢𝑛 : 𝑢𝑛+1 = 𝑓 𝑢𝑛 𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝐼 ⊆ ℝ 𝑓 𝐼 ⊆ 𝐼 ; 𝑢0 𝜖 𝐼 lim 𝑢𝑛 = 𝑙 𝜖 𝐼. ⟹. 𝑓 𝑙 =𝑙. 𝑛∞. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 6. WhatsApp : 0660344136.
(7) Séries d’exercices corrigés détaillés. 4. 2ème Année Bac - SM. Professeur Badr Eddine El FATIHI. Série d’exercices. :. Exercice N° 1 :. Exercice N° 3 :. Soit 𝑢𝑛. Soit 𝑢𝑛. 𝑛. la suite définie par :. 𝑢𝑛 +1 =. 4𝑢𝑛 − 9 𝑢𝑛 − 2. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 1 5 𝑢𝑛 + 3 3. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑢0 = 1. om. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 5 2. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 1) calculer les termes : 𝑢1 ; 𝑣0 ; 𝑣1 2) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 3) 4) 5) 6). 𝑢𝑛 <. 5 2. Étudier la monotonie de 𝑢𝑛 𝑛𝜖 ℕ Montrer que 𝑣𝑛 𝑛 est géométrique. Écrire 𝑣𝑛 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑛 Calculer en fonction de n les sommes :. xa. Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 > 3 Montrer que 𝑢𝑛 est décroissante. En déduire que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 3 < 𝑢𝑛 ≤ 5 Montrer que 𝑣𝑛 𝑛 est arithmétique. Écrire 𝑣𝑛 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑛 Calculer : 𝒮 = 𝑣1 + 𝑣2 + ⋯ + 𝑣2020. 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 −. .c. 1 𝑢𝑛 − 3. Exercice N° 2 : 𝑛. ∎ 𝒮𝑛 = 𝑣0 + 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑛 ∎ 𝒯𝑛 = 𝑢0 + 𝑢1 + ⋯ + 𝑢𝑛. la suite définie par : 9 =3− 4 𝑢𝑛. su. 𝑢𝑛 +1. 7) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝒮𝑛. je. Soit 𝑢𝑛. te. 1) 2) 3) 4) 5) 6). la suite définie par :. 𝑢𝑛+1 =. 𝑢0 = 5 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑣𝑛 =. 𝑛. ;. 𝑛∞. ∀𝑛𝜖ℕ Exercice N° 4 :. 𝑢0 = 3. 1) Calculer 𝑢1. 2) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 ≠. Soit 𝑢𝑛 3. la suite définie par :. 𝑢𝑛+1 =. 2. 3) Étudier la monotonie de 𝑢𝑛 𝑛𝜖 ℕ 2 4) 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑣𝑛 = ; ∀𝑛𝜖ℕ 2𝑢𝑛 − 3 3𝑛 + 6 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 = 2𝑛 + 2. 3𝑢𝑛 + 2 𝑢𝑛 + 2. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑢0 = 1 1) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 2) 𝑀𝑞 ∶ 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 =. 6) Calculer en fonction de n la somme : 1 1 1 𝒮𝑛 = + + ⋯+ 2𝑢0 − 3 2𝑢1 − 3 2𝑢𝑛 − 3 Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 𝑛. 0 < 𝑢𝑛 < 2. 1 + 𝑢𝑛 2 − 𝑢𝑛 2 + 𝑢𝑛. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 7. WhatsApp : 0660344136.
(8) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. 3) En déduire la monotonie de 𝑢𝑛 𝑛 Et que : ∀𝑛𝜖ℕ ∶ 1 ≤ 𝑢𝑛 < 2 𝑢𝑛 + 1 4) 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑣𝑛 = ; ∀𝑛𝜖ℕ 𝑢𝑛 − 2 Montrer que 𝑣𝑛 𝑛 est géométrique.. Exercice N° 7 : Soit 𝑢𝑛. 𝑛. la suite définie par :. 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 𝑛2 − 𝑛. 𝑛∞. 3) Écrire 𝑢𝑛 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑛 On pourra utiliser les somme suivants : 𝑘=𝑛. 𝑘=𝑛. om. 𝑣𝑘 𝑘=2. 𝑛 𝑛+1 𝑘= 2. 𝑘2 =. 𝑒𝑡. Exercice N° 5 :. 𝑘=1. Soit 𝑢𝑛. Exercice N° 8 :. 12 + 𝑢𝑛. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑘=1. .c. la suite définie par :. Soit 𝑢𝑛. 𝑛. 𝑢𝑛+1 = 2𝑢𝑛 + 1 − 𝑛. 𝑢0 = 0. 𝑛 𝑛 + 1 2𝑛 + 1 6. la suite définie par : ;. xa. 𝑢𝑛+1 =. ∀𝑛𝜖ℕ. 1) Montrer que : ∀𝑛 > 3 ; 𝑢𝑛 > 𝑛 2) 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim 𝑢𝑛. 𝑘=𝑛. 𝑛. ;. 𝑢0 = −2. 5) Écrire 𝑣𝑛 en fonction de n 4𝑛+1 − 1 6) 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 = 1 + 2 × 4𝑛 7) Calculer en fonction de n la somme : 𝒮𝑛 =. Professeur Badr Eddine El FATIHI. ∀𝑛𝜖ℕ. Exercice N° 6 :. 1) soit 𝑢0 = 0, Calculer les six premiers termes de la suite 𝑢𝑛 . 2) conjecturer une formule donnant l’expression de 𝑢𝑛 en fonction de n. 3) Démontrer cette formule par récurrence 4) Soit 𝑢0 = 1, Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 = 2𝑛 + 𝑛. Soit 𝑢𝑛. Exercice N° 9 :. 1) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ∗ ; 4 − 𝑢𝑛+1 ≤. 1 4. 4 − 𝑢𝑛. 1 𝑛−1. te. 2) Mq : ∀𝑛𝜖ℕ ;. 3 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 4. 3) En déduire : ∀𝑛𝜖ℕ∗ ; 4 − 𝑢𝑛 ≤. 4. la suite définie par :. su. 𝑛. je. 4) Déterminer la limite de la suite 𝑢𝑛. 𝑢𝑛+1 =. 𝜋 𝑢𝑛 𝜋2 + 𝑐𝑜𝑠 𝜋 + 2𝑢𝑛 𝑢𝑛. ;. Soit 𝑣𝑛. ∀𝑛𝜖ℕ. 2) 𝑀𝑞 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑣𝑛 =. 1 𝑢𝑛. 2 + 𝑣𝑛. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑣0 = 1 𝑒𝑡 𝑢𝑛 > 0. 1) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 0 ≤ 𝑣𝑛 ≤ 2 2) Montrer que 𝑣𝑛 est croissante. 3) 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑣𝑛. 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑡𝑚é𝑖𝑞𝑢𝑒. 𝑛∞. 3) En déduire 𝑢𝑛 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑛 4) 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 lim 𝑢𝑛. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 𝑛∞. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. la suite définie par :. 𝑣𝑛+1 =. 𝑢0 = 2𝜋. 𝜋2 𝜋 1) 𝑀𝑞 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ∶ ≡ 2𝜋 𝑢𝑛 2. 𝑛. 8. WhatsApp : 0660344136.
(9) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. 3 𝑛 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 − ; ∀𝑛𝜖ℕ 4 1) Montrer que 𝑣𝑛 𝑛 est géométrique. 1 𝑛 3 𝑛 2) 𝐷é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 = + 4 4 3) Calculer en fonction de n la somme : 𝒮𝑛 = 𝑢0 + 𝑢1 + ⋯ + 𝑢𝑛 4) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim 𝑢𝑛. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. Exercice N° 10 : Soit 𝑢𝑛. 𝑛. la suite définie par :. 𝑢𝑛 +1 =. 𝑢𝑛 𝑢𝑛 + 1. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑛∞. 𝑢0 = 1. 𝑛∞. Exercice N° 11 : la suite définie par :. 𝑢𝑛 +1 =. 8 𝑢𝑛 − 1 𝑢𝑛 + 2. om. ∀𝑛𝜖ℕ. 2𝑛−1. Exercice N° 14 : On considère définie par :. la. fonction numérique. 2𝑥 + 3 2𝑥 + 7 1) Donner le tableau de variations de 𝑓 2) Soit 𝑢𝑛 la suite numérique définie : 𝑓 𝑥 =. 𝑢𝑛+1 = 𝑓 𝑢𝑛. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 1. ≤ 𝑢𝑛 ≤ 1. 𝑢0 = 1. la suite définie par : Montrer que : ;. ∀𝑛𝜖ℕ ;. 2. 3) Étudier la monotonie de la suite 𝑢𝑛 1 1 1 4) 𝑀𝑞 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛+1 − ≤ 𝑢𝑛 − 2 8 2. 𝑛. ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑢0 = 2 Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 3. 𝑛∞. su 𝑢𝑛+1. 𝑢1 = 4. 5) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim 𝑢𝑛. Exercice N° 12 :. 1 1 3 = 𝑢𝑛 + 4 2 4. ∀𝑛𝜖ℕ. 4) 𝐷é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 = 7 −. 𝑛∞. 𝑛. 𝑒𝑡. ;. 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 ; ∀𝑛𝜖ℕ 1) Montrer que 𝑣𝑛 est géométrique 2) Donner 𝑣𝑛 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑛 3) Calculer la somme suivante : 𝒮𝑛 = 𝑣0 + 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑛. 1) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 2 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 4 2) Étudier la monotonie de 𝑢𝑛 . 3) En déduire : ∀𝑛𝜖ℕ ; 3 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 4 4 4) 𝑀𝑞 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; 4 − 𝑢𝑛+1 ≤ 4 − 𝑢𝑛 5 4 𝑛 5) 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; 4 − 𝑢𝑛 ≤ 5 6) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim 𝑢𝑛. Soit 𝑢𝑛. 3 1 𝑢𝑛 − 𝑢𝑛−1 2 2. 𝑢0 = 1. je. 𝑢0 = 3. ;. la suite définie par :. 𝑢𝑛+1 =. te. 𝑛. 𝑛. .c. 𝑛∞. Soit 𝑢𝑛. Soit 𝑢𝑛. 𝑣𝑛 =. xa. 1) 2) 3) 4) 5). Exercice N° 13 :. 1 ; ∀𝑛𝜖ℕ 𝑢𝑛 Calculer 𝑢1 ; 𝑢2 ; 𝑢3 ; 𝑣0 ; 𝑣1 ; 𝑣3 Montrer que 𝑣𝑛 est arithmétique Écrire 𝑢𝑛 𝑒𝑡 𝑣𝑛 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑛 Déterminer la monotonie de 𝑢𝑛 𝑛 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 lim 𝑢𝑛 𝑒𝑡 lim 𝑣𝑛. 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒. Professeur Badr Eddine El FATIHI. 9. WhatsApp : 0660344136.
(10) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. 1 1 5) 𝐷é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; 0 ≤ 𝑢𝑛 − ≤ 2 2 6) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim 𝑢𝑛. 3𝑛 +1. Déterminer la valeur du paramètre 𝛼 pour que 𝑣𝑛 soit géométrique.. 𝑛∞. Pour tout ce qui suit on travaille avec la valeur de 𝛼 retrouvée dans la 1ère Ques. Exercice N° 15 : Soit 𝑢𝑛. 𝑛. 2) Calculer 𝑣𝑛 𝑒𝑡 𝑢𝑛 en fonction de n 3) Exprimer 𝒮𝑛 = 𝑣0 + 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑛 En fonction de n 4) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim 𝒮𝑛. la suite définie par :. 𝑢𝑛+1 =. 𝑢𝑛. 2. +. 1 𝑛+1. ;. 2. ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑛∞. 5) Exprimer 𝒯𝑛 = 𝑢0 + 𝑢1 + ⋯ + 𝑢𝑛 En fonction de n. om. 𝑢0 = 1 1) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 > 0 2) Montrer que 𝑢𝑛 est croissante 3) 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 ∶. ∀𝑛𝜖ℕ. ; 𝑣𝑛 = 𝑘=1. Exercice N° 17 : Soit 𝑢𝑛. 1 𝑘2. 1 1 + 𝑢𝑛 2. 2. je. 𝑛∞. Exercice N° 18 :. su. Soit 𝑢𝑛. 𝑛. la suite définie par :. 𝑢𝑛+1 =. la suite définie par :. 𝑢𝑛+1 =. 2 8 𝑢𝑛 − 𝑛 − 3 3. ;. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 2 − 2 ; ∀𝑛𝜖ℕ 1) Montrer que 𝑣𝑛 est géométrique 2) Calculer 𝑢𝑛 en fonction de n 3) On pose : 𝒮𝑛 = 𝑢02 + 𝑢12 + ⋯ + 𝑢𝑛2 On pose encore : 𝒯𝑛 = 𝑣0 × 𝑣1 × ⋯ × 𝑣𝑛 Calculer 𝒮𝑛 𝑒𝑡 𝒯𝑛 en fonction de n. 𝑢0 = 2 ∀𝑛𝜖ℕ ∀𝛼𝜖ℝ. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 1 2 𝑢 +1 2 𝑛. 𝑢0 = 2. ∀𝑛𝜖ℕ. 1) 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 ∶ 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 + 𝛼𝑛 − 1 ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑢0 = 2. Exercice N° 16 : 𝑛. ;. est croissante 5 2) 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 ≥ 2 5𝑛 3) 𝐷é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 ≥ 2 + 2 4) 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 lim 𝑢𝑛. 179 ≤ lim 𝑢𝑛 ≤ 3 𝑛∞ 72. Soit 𝑢𝑛. 2. 1) Montrer que la suite 𝑢𝑛. te. 5) Déduire : ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 ≤ 3 Et que 𝑢𝑛 est convergente. 6) Montrer que : ∀𝑘 ≥ 3 ; 2𝑘+1 ≥ 𝑘 + 1 7) En déduire que : 1 ∀𝑘 ≥ 3 ; 𝑢𝑘+1 2 − 𝑢𝑘 2 ≥ 𝑘+1 2 8) En déduire encore que :. la suite définie par :. 𝑢𝑛+1 =. xa. 1 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ∗ ; 𝑣𝑛 ≤ 2 − 𝑛 4) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ∗ ∶ 𝑢𝑛 = 1 + 𝑣𝑛. 𝑛. .c. 𝑘=𝑛. ∗. Professeur Badr Eddine El FATIHI. 10. WhatsApp : 0660344136.
(11) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. 4) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 lim 𝑢𝑛. ; lim 𝒯𝑛. 𝑛∞. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 𝑛∞. Exercice N° 19 :. Exercice N° 21 :. Soit : 𝑎 𝜖 ℕ 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 > 1 Soient les suites 𝑢𝑛 𝑒𝑡 𝑣𝑛 définies : 𝑢𝑛+1. Professeur Badr Eddine El FATIHI. 2 𝑢𝑛 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛. ;. Soit 𝑢𝑛. ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑢𝑛+1. 1 + 𝑢𝑛2 = 1 + 𝑢𝑛. 𝑢0 =. 1 2. 𝑢0 = 1 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 2. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 2. 𝑣𝑛 − 𝑢𝑛. .c. 1. 4) En déduire que :. Soit 𝑢𝑛. 𝑎−1 2𝑛 5) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 ∙ 𝑣𝑛 = 𝑎 6) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 < 𝑎 < 𝑣𝑛. 𝑛. 𝑢𝑛+1 =. 3. 6 − 𝑢𝑛. 2. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑢𝑛+1. 2. −𝑎 =. 𝑛∞. 2 𝑢𝑛+1. 4) − 𝑎 = 𝑢𝑛+1 − 𝑎 𝑢𝑛+1 − 𝑎 Utiliser cette identité pour déterminer une majoration de 𝑢𝑛+1 − 𝑎 en. 1) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 0 ≤ 𝑢𝑛 < 3 2) Montrer que 𝑢𝑛 est strictement ↗ 𝑢𝑛 2 3) 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑣𝑛 = 3 − 𝑢𝑛 2 Montrer que 𝑣𝑛 est arithmétique 4) Exprimer les termes généraux 𝑢𝑛 𝑒𝑡 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛 𝜖 ℕ 5) 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim 𝑢𝑛. fonction de 5) soient. 𝑢𝑛 − 𝑎 . 𝑢1 − 𝑎 ≤ 𝑘. 𝑒𝑡. 𝑛≥1.. 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝑢𝑛 − 𝑎 ≤ 2 𝑎. 𝑘. 2𝑛 −1. 2 𝑎. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 𝑛∞. bhhh. ∀𝑛𝜖ℕ 𝑎>0. ;. 𝑢𝑛2 − 𝑎 2 4 𝑢𝑛2 𝑒𝑡 𝑢𝑛 ≥ 𝑎 2) 𝑀𝑞 ∶ 𝑛 ≥ 1 ⟹ 𝑒𝑡 𝑢𝑛 𝑛𝜖 ℕ 𝑒𝑠𝑡 ↘ 3) 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 lim 𝑢𝑛 = 𝑎. 𝑢0 = 0. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 1 𝑎 𝑢𝑛 + 2 𝑢𝑛. 1) 𝑀𝑞 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ;. la suite définie par :. su. Soit 𝑢𝑛. la suite définie par :. 𝑢0 > 0. je. Exercice N° 20 :. 𝑛. 𝑢𝑛+1 =. te. ∀𝑛𝜖ℕ ; 0 < 𝑣𝑛 − 𝑢𝑛 ≤. 𝑛∞. Exercice N° 22 :. xa. 3) Mq : 0 < 𝑣𝑛+1 − 𝑢𝑛+1 ≤. ∀𝑛𝜖ℕ. 1) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 0 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 1 2 2) 𝑀𝑞 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; 1 − 𝑢𝑛+1 ≤ 1 − 𝑢𝑛 3 1 2 𝑛 3) 𝐷é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; 1 − 𝑢𝑛 ≤ 2 3 4) 𝐷é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛. 𝑣0 = 𝑎 1) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 0 < 𝑢𝑛 < 𝑣𝑛 2) Montrer que la suite 𝑢𝑛 est croissante et que 𝑣𝑛 est décroissante. ;. om. 𝑣𝑛+1 =. la suite définie par :. 𝑛. 11. WhatsApp : 0660344136.
(12) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. Professeur Badr Eddine El FATIHI. Exercice N° 23 :. Exercice N° 26 :. Soit 𝑢𝑛. Soit 𝑢𝑛. la suite définie par :. 𝑛. 𝑢𝑛 =. 3𝑛 − 2 4𝑛 + 1. ;. 1) Montrer que 𝑢𝑛. 𝑛. 𝑢𝑛+1 =. ∀𝑛𝜖ℕ. est majorée par. la suite définie par : 1 𝑢 +1 2 𝑛. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑢0 = 1. 3 4. 2) montrer que 𝑢𝑛 est minorée par −2 3) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim 𝑢𝑛. 1) Montrer que ∀𝑛𝜖ℕ ; 1 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 2 2) 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛. Exercice N° 24 :. Exercice N° 27 :. Soit 𝑣𝑛. Soit 𝑢𝑛. 𝑛∞. 𝑣𝑛 = 𝑛2 − 2𝑛 + 3 1) Montrer que 𝑣𝑛 2) Montrer que 𝑣𝑛. ;. lim 𝑣𝑛 𝑛∞. Exercice N° 25 : 𝑛. 𝑒𝑡. 𝑤𝑛. 𝑛. 𝑛. les suites définies. 𝑛∞. ∀𝑛𝜖ℕ 𝛼 𝜖 0,1. ;. Soit 𝑢𝑛. 𝑣𝑘. su. 𝑘=0. 1) Montrer que les suites 𝑣𝑛 𝑒𝑡 𝑤𝑛 Convergent et calculer leurs limites. 2) Soit 𝑢𝑛 la suite définie par : 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 +. 𝑣𝑛 𝑢𝑛. ;. 𝑢𝑛+1 =. la suite définie par :. 1 1 + 4𝑢𝑛 + 1 + 24𝑢𝑛 16. 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 ∶. ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑣𝑛 =. 1) Mq : ∀𝑛𝜖ℕ∗ ;. ; ∀𝑛𝜖ℕ. 1 + 24𝑢𝑛 ; ∀𝑛𝜖ℕ∗ 𝑣𝑛+1 − 3 =. 1 2. 𝑣𝑛 − 3. 2) Calculer 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛 𝜖 ℕ∗ 3) 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛 𝑛∞. Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 > 0 3) Montrer que 𝑢𝑛 est strictement ↗. 1 𝛼𝑢0 est convergente. 4) 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 ≤ 𝑢0 +. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 𝑛. 𝑢1 = 1. 𝑢0 > 0. 5) En déduire que 𝑢𝑛. 𝑛∞. Exercice N° 28 :. 𝑘=𝑛. 𝑤𝑛 =. ∀𝑛𝜖ℕ. 1) Calculer les termes : 𝑢0 𝑒𝑡 𝑢2 2) On pose : 𝑣𝑛 = 4𝑢𝑛 − 𝑢𝑛+1 ; ∀𝑛𝜖ℕ Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 − 4𝑛 3) Montrer que 𝑣𝑛 est géométrique. 4) Exprimer 𝑣𝑛 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑢𝑛 en fonction de n 5) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 ∶ lim 𝑢𝑛 𝑒𝑡 lim 𝑣𝑛. je. 𝑣𝑛 = 1 − 𝛼. ;. 𝑢1 = 5. te. 𝑣𝑛. la suite définie par :. 𝑢𝑛+1 = 3𝑢𝑛 + 4𝑛. ∀𝑛𝜖ℕ. est minorée par 2 n’est pas maojorée 𝑣𝑛 ; lim 2 𝑛∞ 𝑛. 𝑛. xa. 3) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟. Soient par :. om. la suite définie par :. .c. 𝑛. 𝑛∞. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 12. WhatsApp : 0660344136.
(13) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. 1) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ∶ 3 ≤ 𝑢𝑛 < 4 2) Étudier la monotonie de la suite 𝑢𝑛 Puis en déduire qu’elle est convergente. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. Exercice N° 29 : 𝑣𝑛. 3) Mq : ∀𝑛𝜖ℕ ; ;. 1. 𝑢𝑛 =. 2+𝑛 3𝑛 + 1 𝑣𝑛 = 𝑛−1 𝑤𝑛 = 𝑛 𝑛. 𝑤𝑛. les. 25. 4 − 𝑢𝑛. 24 4) 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; 4 − 𝑢𝑛 ≤ 25 𝑃𝑢𝑖𝑠 𝑑é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim 𝑢𝑛. suites. 𝑛. 𝑛∞. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. ;. ∀𝑛𝜖ℕ\ 1. ;. 24. 4 − 𝑢𝑛+1 ≤. 𝑢𝑛 − 4 5) 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑣𝑛 = ; ∀𝑛𝜖ℕ 𝑢𝑛 − 2 Montrer que la suite 𝑣𝑛 est géométrique 6) Exprimer 𝑣𝑛 𝑒𝑡 𝑢𝑛 en fonction de n 7) 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 lim 𝑢𝑛 à 𝑛𝑜𝑢𝑣𝑒𝑎𝑢. ∀𝑛𝜖ℕ. om. Soient 𝑢𝑛 ; définies ainsi :. Professeur Badr Eddine El FATIHI. 𝑛∞. 8) Exprimer 𝒮𝑛 = 𝑣0 + 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑛−1 en fonction de 𝑛 𝜖 ℕ∗ 9) 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝒮𝑛. Montrer en utilisant la définition d’une limite d’une suite numérique que : 𝐸𝑡. lim 𝑢𝑛 = 0. 𝐸𝑡. lim 𝑣𝑛 = 3. 𝐸𝑡. lim 𝑤𝑛 = +∞. .c. 𝑛∞. Exercice N° 32 :. 𝑛∞. Exercice N° 30 :. 1) ∀ 𝑥 𝜖 0,1. xa. 𝑛∞. 𝑛∞. ; 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 ∶. 𝑘=𝑛. lim 𝑛∞. 𝑘=𝑛. 𝑥. 𝑘. 𝑘 ∙ 𝑥𝑘. ; lim 𝑛∞. 𝑘=0. 𝑘=0. 3) 4) 5). 2) Calculer les limites suivantes :. lim 𝑛 − 5𝑛 − 6𝑛 + 7 𝑛∞. je. 2). 2. lim 𝑛∞. 3𝑛2 − 5𝑛 + 2 lim 𝑛∞ 4 − 𝑛3 lim. 3. 𝑛∞. 𝑛3 − 𝑛 + 4 − 𝑛 3. lim 𝑛∞. 2 𝑛3. −. 1! + ⋯ + 𝑛! 𝑛+1 !. lim 𝑛∞. Exercice N° 33 :. −1 𝑛3. Soit. 𝑢𝑛. pour tout. Exercice N° 31 : Soit 𝑢𝑛. ;. 𝑛∞. lim 𝑛2 − 𝑛 − 𝑛 + 1 𝑛∞. 1! + ⋯ + 𝑛! 𝑛!. 3) soit 𝑢𝑛 une suite bornée vérifiant : ∀𝑛𝜖ℕ∗ ; 2𝑢𝑛 ≤ 𝑢𝑛−1 + 𝑢𝑛+1 𝑒𝑡 𝑢1 ≥ 𝑢0 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 = 0. su. 1). 3. te. Calculer chacune des limites suivantes :. une. suite. positive. 𝑛 𝜖 ℕ ; 𝑢𝑛 ≤. 1 2𝑛. vérifiant. on pose :. 𝑘=𝑛 𝑛. la suite définie par :. 8 𝑢𝑛 − 1 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 2 𝑢0 = 3. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. ∀𝑛𝜖ℕ. ∶. 𝒮𝑛 =. 𝑢𝑘 𝑘=0. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. Montrer que la suite 𝒮𝑛 13. est convergente WhatsApp : 0660344136.
(14) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. Professeur Badr Eddine El FATIHI. Exercice N° 34 :. Exercice N° 37 :. Soit 𝒮𝑛. Soit 𝑢𝑛. 𝑛≥1. 𝑘=𝑛. 𝒮𝑛 = 𝑘=1. la suite définie ainsi :. −1 𝑘+1 1 −1 𝑛+1 = 1 − + ⋯+ 𝑘 2 𝑛. On note ∀𝑛 ≥ 1. 1 𝑛+1 2) Montrer que la suite 𝑢𝑛 est bornée 3) Étudier la monotonie de 𝑢𝑛 4) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 ∶ lim 𝑢𝑛 1) 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ∶ 𝑢𝑛 = 2 +. 𝑎𝑛 = 𝒮2𝑛 𝑏𝑛 = 𝒮2𝑛 +1. ;. 𝑛∞. 1) Mq 𝑎𝑛 𝑛≥1 𝑒𝑡 𝑏𝑛 𝑛≥1 sont adjacentes 2) Conclure sur la nature de 𝒮𝑛 𝑛≥1. om. Exercice N° 38 : Soit 𝑢𝑛. Exercice N° 35 : 𝑛≥1. ∀𝑛𝜖ℕ∗ ; 𝑢𝑛 = 𝑛 + 1 − 𝑛 1) Mq 𝑢𝑛 𝑛𝜖 ℕ∗ est bornée par 0 et ½ 2) Étudier la monotonie de 𝑢𝑛 𝑛𝜖 ℕ∗ 3) 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim 𝑢𝑛. la suite définie par :. 𝑘=𝑛. 𝑢𝑛 =. 𝑘. =1+. 1 2. + ⋯+. 1 𝑛. 1) montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ∗ ; 𝑢𝑛 ≥ 𝑛 2) 𝑃𝑟é𝑐𝑖𝑠𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑛≥1. 𝑘=𝑛. 𝑥𝑘. 𝑃𝑛 𝑥 = −1 +. ;. 𝑛 𝜖 ℕ∗ \ 1. 1) 2) 3) 4) 5). 𝑘=1. su. 1) Montrer que le polynôme 𝑃𝑛 𝑥 admet une racine unique 𝛼𝑛 𝜖 0,1 . 2) Étudier la monotonie de 𝛼𝑛 𝑛≥2 . 𝛼𝑛 𝑛≥2 est-elle convergent ? 3) Donner la valeur exacte de 𝛼2 . 𝑥 𝑛 +1 − 2𝑥 + 1 4) 𝑀𝑞 ∶ ∀ 𝑥 ≠ 1 ; 𝑃𝑛 𝑥 = 𝑥−1 𝑛+1 5) Déduire : ∀𝑛 ≥ 2 ; 𝛼𝑛 − 2𝛼𝑛 + 1 = 0 6) Mq : ∀𝑥 > 2 ; 0 < 2𝛼𝑛 − 1 < 𝛼2 7) 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 lim 𝛼𝑛. la suite définie par :. 𝑢𝑛+1 = 4 −. 3 𝑢𝑛. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 > 3 Montrer que 𝑢𝑛 est strictement ↘ En déduire que 𝑢𝑛 est majorée Montrer que 𝑢𝑛 est convergente 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛 𝑛∞. Exercice N° 40 : Soit 𝑢𝑛. 𝑛. la suite définie par :. 𝑢𝑛+1 = 6 + 𝑢𝑛. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑢0 = 4. 𝑛∞. 1) Montrer que 𝑢𝑛 est majorée par 9 et minorée par 1/4. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 𝑛. 𝑢0 = 6. je. 𝑆𝑜𝑖𝑡. Soit 𝑢𝑛. te. Exercice N° 36 :. 𝑛∞. Exercice N° 39 :. xa. 𝑘=1. 1. la suite définie par :. .c. Soit 𝑢𝑛. la suite définie par : 2𝑛 + 3 𝑢𝑛 = ; ∀𝑛𝜖ℕ 𝑛+1. 14. WhatsApp : 0660344136.
(15) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. 2) Étudier la monotonie de la suite 𝑢𝑛 3) 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 lim 𝑢𝑛 = 9. Professeur Badr Eddine El FATIHI. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 𝑛∞. Exercice N° 41 :. Exercice N° 44 :. Soit 𝑢𝑛. Soit 𝑢𝑛. 𝑛. la suite définie par :. 𝑢𝑛 +1 =. 𝑛𝑢𝑛 + 1 𝑛+1. ;. Exercice N° 42 :. om. xa. Soit 𝑢𝑛. ;. ∀𝑛𝜖ℕ∗. te. 3 + 𝑢𝑛 4. 1 5. je. 𝑢1 =. 1) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ∗ ; 0 < 𝑢𝑛 <. su. 2) Étudier la monotonie de 𝑢𝑛 3) 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim 𝑢𝑛. 4. 2). 𝑛≥1. 3). 𝑛∞. Soit 𝑢𝑛. 5). la suite définie par : 𝑢𝑛 3. 2. +2. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑢𝑛+1. la suite définie par : 3𝑢𝑛2 + 2 = 3𝑢𝑛 + 1. ∀𝑛𝜖ℕ∗. ;. 2 − 𝑢𝑛+1 =. 𝑛∞. Exercice N° 46 : Soit 𝑢𝑛. 𝑢0 = 2 1) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 ≥ 3 2) Étudier la monotonie de 𝑢𝑛 𝑛≥0 3) 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim 𝑢𝑛. 𝑛𝜖 ℕ. la suite définie par :. 𝑘=𝑛. 𝑢𝑛 =. 𝑛∞. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 𝑛𝜖 ℕ∗. 3𝑢𝑛 2 − 𝑢𝑛 1 + 3𝑢𝑛 Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ∗ ; 0 < 𝑢𝑛 < 2 3𝑢𝑛 6 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ∗ ; < 1 + 3𝑢𝑛 7 6 𝑛−1 𝐷é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ∗ ; 0 < 2 − 𝑢𝑛 ≤ 7 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛. 1) 𝑀𝑞 ∶. 1. 4). 𝑢𝑛+1 =. 𝑛∞. 𝑢1 = 1. Exercice N° 43 : 𝑛𝜖 ℕ. ∀𝑛𝜖ℕ. Exercice N° 45 :. la suite définie par : 2. ;. 1) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 1 ≤ 𝑢𝑛 < 2 2) Étudier la monotonie de 𝑢𝑛 𝑛≥0 1 3) 𝑀𝑞 ∀𝑛𝜖ℕ ; 0 < 2 − 𝑢𝑛+1 ≤ 2 − 𝑢𝑛 2 1 4) 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; 0 < 2 − 𝑢𝑛 ≤ 𝑛 2 5) 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim 𝑢𝑛. .c. 𝑛∞. 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛. 2 + 𝑢𝑛. 𝑢0 = 1. 1) Montrer que : ∀𝑛 ≥ 1 ; 0 < 𝑢𝑛 < 1 2) Étudier la monotonie de 𝑢𝑛 𝑛≥1 𝑢𝑛+1 − 1 𝑛 3) 𝑀𝑞 ∶ ∀𝑛 ≥ 1 ; = 𝑢𝑛 − 1 𝑛+1 4) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim 𝑢𝑛. 𝑛𝜖 ℕ∗. la suite définie par :. 𝑢𝑛+1 =. ∀𝑛𝜖ℕ. 1 𝑢1 = 2. Soit 𝑢𝑛. 𝑛𝜖 ℕ. 𝑘=1. 15. 1 𝑘 𝑘+1. ;. ∀𝑛𝜖ℕ∗. WhatsApp : 0660344136.
(16) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. 1) calculer les termes : 𝑢1 ; 𝑢2 ; 𝑢3 ; 𝑢4 1 1 1 2) 𝑉é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ = − 𝑘 𝑘+1 𝑘 𝑘+1 3) Donner une expression simple de 𝑢𝑛 4) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛. Professeur Badr Eddine El FATIHI. Exercice N° 50 : Soit 𝑢𝑛. 𝑢𝑛+1 =. 𝑛∞. Exercice N° 47 :. 𝑢𝑛 =. 𝑛𝜖 ℕ. 𝑢0 =. 2𝑢𝑛 1 + 𝑢𝑛. ;. 2. ∀𝑛𝜖ℕ. 1 2. la suite définie par :. 2𝑛 + 1 − 2 𝑛 𝑛 + 1. ;. 1) Calculer les termes : 𝑢1 ; 𝑢2 2) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 0 < 𝑢𝑛 < 1 3) Montrer que 𝑢𝑛 𝑛𝜖 ℕ est strictement ↗. ∀𝑛𝜖ℕ. 4) Déduire : ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 ≥. 𝑘=𝑛. 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 ∶ 𝒮𝑛 =. 𝑢𝑘. ;. 1. om. Soit 𝑢𝑛. la suite définie par :. 𝑛𝜖 ℕ. 2. 5) 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛. ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑘=0. 𝑛∞. Exercice N° 51 :. .c. 1) simplifier l’expression de 𝒮𝑛 2) 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝒮𝑛. Soit 𝑢𝑛. 3) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛 𝑛∞. Exercice N° 48 : 𝑛𝜖 ℕ. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. je. 1) Étudier la monotonie de la suite 𝑢𝑛 2) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛. su. Exercice N° 49 :. Exercice N° 52 :. Soit 𝑢𝑛. Soit 𝑢𝑛. 𝑢𝑛 = 𝑘=1. la suite définie par :. 1 1 1 = 1+ +⋯+ 𝑘 2 𝑛. ;. la suite définie par :. 𝑢𝑛+2 = 2𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛. ∀𝑛𝜖ℕ∗. 1) Calculer les termes : 𝑢1 ; 𝑢2 ; 𝑢3 2) Étudier la monotonie de la suite 𝑢𝑛 𝑘=𝑛. 3) 𝑀𝑞 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑛𝜖 ℕ. 𝑢0 = 1. ∗. ; 𝑢𝑛 = 𝑛 − 𝑘=2. 𝑘=𝑛. 4) 𝑀𝑞 ∀𝑛𝜖ℕ∗ ; 𝒮𝑛 =. ;. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑢1 = 3. 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 ∶ 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛. 𝑘−1 𝑘. 1) Montrer que 𝑣𝑛. est constante. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 𝑢𝑘 = 𝑛 + 1 𝑢𝑛 − 𝑛. 𝑘=1 Professeur Badr Eddine EL FATIHI. ∀𝑛𝜖ℕ∗. 𝑛∞. 𝑛∞. 𝑛𝜖 ℕ 𝑘=𝑛. ;. 𝑢𝑛+1 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑛 𝑢𝑛 𝑢𝑛 +1 2) 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑟 𝑒𝑡 1 𝑢𝑛 Puis en déduire la monotonie de 𝑢𝑛 𝑛𝜖 ℕ∗ 3) Montrer que : ∀𝑛 ≥ 2 ; 3𝑛 > 𝑛2 4) 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛. la suite définie par :. 𝑢𝑛 = −2𝑛2 + 3. la suite définie par :. 1) 𝐸𝑥𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟. te. Soit 𝑢𝑛. 𝑛𝜖 ℕ∗. 3𝑛 𝑢𝑛 = 𝑛. xa. 𝑛∞. 16. WhatsApp : 0660344136.
(17) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. Professeur Badr Eddine El FATIHI. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 2). −5 lim 𝑛∞ 3. 2) En déduire que 𝑢𝑛 𝑛𝜖 ℕ est croissante 3) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛. 3). lim. 4). 7 lim 𝑛∞ 3. 5). lim. 6). lim. Exercice N° 53 : Calculer chacune des limites suivantes :. lim 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑛 + 1 − 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑛 𝑛∞. 3. 4). 2 − 8𝑛2 + 5𝑛3 lim 𝑛∞ 7𝑛3 − 3. 5). lim 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛. 𝑛+1− 𝑛−1. 6). lim. 𝑛∞. 3. 𝑛∞. Soit 𝑢𝑛. 2𝑛+1 + 3𝑛+1 32𝑛−1. ;. 𝑛. ∀𝑛𝜖ℕ. Dans chacun des cas ci-dessous, Montrer que les suites 𝑢𝑛 𝑒𝑡 𝑣𝑛 sont deux suites adjacentes :. ∀𝑛𝜖ℕ∗ 1) 𝑢𝑛 ≤. 𝑢𝑛 =. 1 𝑛. 2𝑛 𝑛+2 𝑘=𝑛. 2). 𝑛∞. 𝑢𝑛 = 𝑘=1. Exercice N° 55 :. 𝑛−1. 3) 𝑢𝑛 =. Calculer chacune des limites suivantes : 3 + 2. ;. 𝑛. Exercice N° 57 :. 2) 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛. 𝑛. 𝑛 𝑛 + −1. 𝑛∞. je. 𝑐𝑜𝑠 3𝑛. 1) 𝑉é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ∗ ;. −1 lim 𝑛∞ 2. la suite définie par :. 𝑛 𝑛 ≤ 𝑢𝑛 − 3 ≤ 𝑛+1 𝑛−1 2) 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛. la suite définie par :. su. 𝑛𝜖 ℕ∗. 𝑛𝜖 ℕ. 1) 𝑀𝑞 ∶ ∀𝑛 ≥ 2 ;. 𝑛2 + 𝑛 − 1 − 𝑛. 𝑢𝑛 =. 1). 3. 2 𝑛 − 2𝑛. 𝑢𝑛 = 3 +. 𝑛+6. Exercice N° 54 : Soit 𝑢𝑛. 𝑛∞. 𝑛. − 2021. .c. 3. lim. 𝑛∞. 5. 𝑛. Exercice N° 56 :. 3). 𝑛∞. 𝑛. 7𝑛 − 5𝑛 3𝑛. xa. 2). te. 1). 3𝑛2 − 6𝑛4 lim 𝑛∞ 2𝑛2 + 5. 𝑛∞. 2 + 9. om. 𝑛∞. 𝑛. 𝑘=1. 1 𝑘!. 1 𝑘2 𝑘 + 1. 1 𝑛!. ;. 𝑣𝑛 = 2 +. ;. 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 +. 2. ;. 1 𝑛 ∙ 𝑛!. 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 +. 1 3𝑛2. 𝑛. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 17. WhatsApp : 0660344136.
(18) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. 1 𝑢 − 2 4 𝑛 9) 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛. Exercice N° 58 : Soit 𝑢𝑛. 𝑛𝜖 ℕ. 8) 𝑀𝑞 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛+1 − 2 ≤. la suite définie par :. 𝑢𝑛+2 = 7𝑢𝑛+1 + 8𝑢𝑛 𝑢0 = 0. ;. ;. 𝑛∞. ∀𝑛𝜖ℕ. Exercice N° 60 :. 𝑢1 = 2. 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ;. Soit 𝑢𝑛. 𝒮𝑛 = 𝑢𝑛 +1 + 𝑢𝑛. 𝑛𝜖 ℕ. om. Soit 𝑢𝑛. la suite définie par :. 𝑢0 = 1. 1 1 + 𝑢𝑛. ;. su. 1) Calculer les termes : 𝑢1 ; 𝑢2 ; 𝑢3 3. 2) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 1 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 2 1 3) 𝑀𝑞 ∀𝑛𝜖ℕ∗ ; 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 ≤ 𝑢𝑛 − 𝑢𝑛−1 4 1 1 + 𝛼𝑛. Soit 𝑢𝑛. 5) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝛼𝑛 ≤ 𝛽𝑛 6) Montrer que 𝛼𝑛 est croissante et montrer que 𝛽𝑛 est décroissante. 7) Montrer que les suites 𝛼𝑛 𝑒𝑡 𝛽𝑛 Convergent vers la même limite.. 𝑢𝑛 = 𝑘=1. 𝑛𝜖 ℕ. 1 𝑘2. ;. ∀𝑛𝜖ℕ∗. la suite définie par :. 𝑢𝑛+1 =. 1 + 𝑢𝑛 2. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑢0 𝜖 0,1 1) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 0 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 1 2) Montrer que 𝑢𝑛 est convergente. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 𝑘=𝑛. Exercice N° 62 :. 4) On pose ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝛼𝑛 = 𝑢2𝑛 𝑒𝑡 𝛽𝑛 = 𝑢2𝑛+1. 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝛽𝑛 = 1 +. la suite définie par :. 𝑛𝜖 ℕ∗. 1) Étudier la monotonie de la suite 𝑢𝑛 2) vérifier que ∀𝑘 ≥ 2 on ait : 1 1 1 1 1 1 = − 𝑒𝑡 < − 𝑘 𝑘−1 𝑘−1 𝑘 𝑘2 𝑘 − 1 𝑘 1 3) 𝐷é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ∗ ; 0 < 𝑢𝑛 < 2 − 𝑛 4) Montrer que 𝑢𝑛 𝑛≥1 est convergente. ∀𝑛𝜖ℕ. je. 𝑢𝑛+1 = 1 +. te. Soit 𝑢𝑛. ∀𝑛𝜖ℕ. Exercice N° 61 :. xa. 4) Déduire 𝑢𝑛 𝑒𝑡 𝑣𝑛 en fonction de n 𝑢𝑛 5) 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑛 𝑛∞ 2. ;. .c. 𝑖=0. 3𝑢𝑛 + 5 𝑢𝑛 + 3. 1) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 < 5 2) Montrer que 𝑢𝑛 𝑛≥2 est croissante 3) En déduire que 𝑢𝑛 est convergente Puis déterminer sa limite. 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑛. Exercice N° 59 :. la suite définie par :. 𝑢0 = −2. 𝑖=𝑛−1. 𝑤𝑖. 𝑛𝜖 ℕ. 𝑢𝑛+1 =. 1) Montrer que 𝒮𝑛 𝑛𝜖 ℕ est géométrique puis exprimer 𝒮𝑛 en fonction de 𝑛𝜖ℕ 2) On pose : ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑣𝑛 = −1 𝑛 𝑢𝑛 Et on pose : ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑤𝑛 = 𝑣𝑛+1 − 𝑣𝑛 Exprimer 𝑤𝑛 en fonction de 𝒮𝑛 3) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟. Professeur Badr Eddine El FATIHI. 18. WhatsApp : 0660344136.
(19) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. 3) 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 ∶ 𝑢0 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 ;. 𝜃 𝜖 0,. 𝜋 2. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 𝜃 2𝑛 5) En déduire la limite de la suite 𝑢𝑛 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶. 𝑢𝑛 = 𝑐𝑜𝑠. on pose : ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑣𝑛 = 𝒮2𝑛 𝑒𝑡 𝑤𝑛 = 𝒮2𝑛+1 Montrer que 𝑣𝑛 𝑒𝑡 𝑤𝑛 sont adjacentes 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 ∶ lim 𝑣𝑛 = lim 𝑤𝑛 = 𝑙. Exercice N° 63 :. 𝑛∞. 2 𝑢 7 𝑛 6) Déduire alors le résultat suivant :. 𝑛 𝑛. 𝑛∞. lim. =0. 𝑐𝑜𝑠1 + 𝑐𝑜𝑠2 + ⋯ + 𝑐𝑜𝑠𝑛 𝑛 𝑛. 𝑛∞. =0. 2) soient 𝑢𝑛 𝑛𝜖 ℕ 𝑒𝑡 𝑣𝑛 𝑛𝜖 ℕ deux suites réelles strictement monotones et telles que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 0 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 2 𝑒𝑡 0 ≤ 𝑣𝑛 ≤ 3 𝑂𝑛 𝑠𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛 ∙ 𝑣𝑛 = 6. Exercice N° 65 : Calculer chacune des limites suivantes : 3 𝑛 1) lim ∙ sin 𝑛 𝑛∞ 4. te. 2). lim. 1 𝑛 3 − sin 𝑛. 3). lim 𝑛∞. 𝑛 − sin 𝑛 𝑛 + sin 𝑛. 4). lim. 𝑛 + 1 − sin 2𝑛. 5). lim 𝑛∞. 𝑛 − cos 𝑛 𝑛2 + 2𝑛. 6). lim. 2 −1. je. 𝑛∞. Exercice N° 64 :. su. Soit 𝑢𝑛. 𝑛∞. lim 𝑢𝑛 = lim 𝑣𝑛 = 0 𝑛∞. 𝑛𝜖 ℕ. la suite définie par :. 𝑢𝑛 +1. 𝑢𝑛2 = 1 − 2𝑢𝑛2. 𝑢0 = 𝑎 𝜖 0,. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 1 4. 1) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 0 < 𝑢𝑛 <. −1. 𝑛∞. 𝑛. + 4𝑛2 + 3. 4. Soit 𝑢𝑛. 𝑘. 𝑛𝜖 ℕ∗. la suite définie par :. 𝑘=𝑛. 𝑢𝑛 =. 𝑘=𝑛. 𝒮𝑛 =. 𝑛∞. Exercice N° 66 :. 1. 2) Montrer que 𝑢𝑛 𝑛𝜖 ℕ est décroissante 3) En déduire que la suite 𝑢𝑛 𝑛𝜖 ℕ est convergente et que lim 𝑢𝑛 = 0 4) 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ;. 𝑘=𝑛+1. On pourra remarquer que : 𝒮𝑛 − 𝑙 ≤ 𝒮𝑛 − 𝑣𝑛 + 𝑣𝑛 − 𝑙. 3) soient 𝑢𝑛 𝑛𝜖 ℕ 𝑒𝑡 𝑣𝑛 𝑛𝜖 ℕ deux suites réelles positives telles que : lim 𝑢𝑛2 + 𝑢𝑛 ∙ 𝑣𝑛 + 𝑣𝑛2 = 0 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶. 𝒮𝑛 − 𝑣𝑛 ≤ 𝑎. 𝑘. 𝑛∞. Que peut-on dire des suites 𝑢𝑛 𝑒𝑡 𝑣𝑛 ?. 𝑛∞. ;. 2 7. 7) 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 ∶ lim 𝒮𝑛 = 𝑙. xa. 𝑛∞. ∀𝑛𝜖ℕ. om. lim. 𝑘=2𝑛. .c. ∎. 𝑠𝑖𝑛1 + 𝑠𝑖𝑛2 + ⋯ + sin 𝑛. 𝑛∞. 5) 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛+1 ≤. 1) Montrer, par une méthode autre que la définition, les limites suivantes : ∎. Professeur Badr Eddine El FATIHI. 𝑢𝑘. 𝑘=1. 𝑛2. 𝑛 +𝑘. ;. ∀𝑛𝜖ℕ∗. 𝑘=0 Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 19. WhatsApp : 0660344136.
(20) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. 𝑛 𝑛2 1) 𝑀𝑞 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; ≤ 𝑢𝑛 ≤ 2 𝑛+1 𝑛 +1 2) 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛. ∎. ∗. 𝑛∞. 3 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 4. 1 4. Soit 𝑢𝑛. 𝑛2 2𝑛. ∀𝑛 ≥ 𝑛0. 2. 𝑛∞. 𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑛 ≥ 1 ; 𝑛𝜖ℕ 𝑘=𝑛. ∎ 𝒮𝑛 =. ∀𝑛𝜖ℕ. je. ;. su. 1) 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ lim 𝒮𝑛 = +∞ 𝑛∞. 2) Montrer que les suites 𝑢𝑛 𝑒𝑡 𝑣𝑛 Sont adjacentes de limite commune 𝐿 ≥ 1 𝒮𝑛 𝒮𝑛 3) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 ∶ lim ; lim 𝑛∞ 𝑛∞ 𝑛 𝑛 4) Déduire la valeur de la limite suivante. 1) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ∗ ; 2𝑛 ≥ 𝑛 + 1 2) on considère les suites définies par :. lim 𝑛∞. 𝑘=1. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. ∎ 𝑢𝑛 = 2 𝑛 − 𝒮𝑛. 𝑘. ∎ 𝑣𝑛 = 2 𝑛 + 1 − 𝒮𝑛. Exercice N° 69 :. ;. 𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 ∶. 1. 𝑘=1. 𝑛∞. 1 𝑘 ∙ 2𝑘. 𝑢𝑛+1 3 < 𝑢𝑛 4. ∶. .c. ;. Exercice N° 71 :. 1) Montrer que 𝑢𝑛 𝑛𝜖 ℕ est croissante 2) Montrer par l’absurde que la suite 𝑢𝑛 n’est pas majorée 3) 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛. 𝑢𝑛 =. 𝑛∞. 𝑢𝑛 +1 𝑢𝑛. 3 𝑛−𝑛 0 3) 𝑀𝑞 ∶ ∀𝑛 ≥ 𝑛0 ; 𝑢𝑛 ≤ 𝑢𝑛 0 4 4) 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛. la suite définie par :. 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 𝑢𝑛. ∎. ∀𝑛𝜖ℕ∗. ;. xa. Exercice N° 68 :. ∃ 𝑛0 𝜖 ℕ. te. 𝑛∞. 𝑘=𝑛. 𝑛≥1. 2) En déduire que :. 1 4 3) Étudier la monotonie de la suite 𝑢𝑛 𝑛 4) En déduire que 𝑢𝑛 est convergente 5) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim 𝑢𝑛. 𝑢0 = 1. ∀𝑛𝜖ℕ∗. la suite définie par :. 1) 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim. ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; 0 ≤ 𝑢𝑛 ≤. 𝑛𝜖 ℕ. 𝑛𝜖 ℕ∗. 𝑢𝑛 =. 1 𝑢0 = 5. Soit 𝑢𝑛. ;. om. ;. 1 1 − 𝑛 𝑛 ∙ 2𝑛. Exercice N° 70 :. par :. 1) Déterminer 𝑓 𝐼 2) soit 𝑢𝑛 la suite numérique définie : 𝑢𝑛+1 = 𝑓 𝑢𝑛. 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 +. Montrer que les suites 𝑢𝑛 𝑛≥1 𝑒𝑡 𝑣𝑛 convergent et ont la même limite.. Exercice N° 67 : Soit 𝑓 la fonction définie sur 𝐼 = 0,. Professeur Badr Eddine El FATIHI. ∀𝑛𝜖ℕ∗. 1. 𝑘=𝑛. 1. 𝑛 𝑘=1 𝑛 + 𝑘. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 20. WhatsApp : 0660344136.
(21) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. Professeur Badr Eddine El FATIHI. Exercice N° 75 :. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. Soit 𝑢𝑛. la suite numérique définie par :. Exercice N° 72 : 𝑛≥1. 𝑘=𝑛. 𝑢𝑛 = 𝑘=1. 1 𝑘3. 1) Montrer que 𝑢𝑛. 1) 2) 3) 4). est strictement ↗ 1 2) 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ∗ ; 𝑢𝑛 ≤ 2 − 𝑛 3) En déduire que 𝑢𝑛 𝑛≥1 est convergente 𝑛≥1. ∎ 𝑢𝑛 = 𝑘=0 𝑘=𝑛. ∎ 𝑣𝑛 = 𝑘=0. 𝑛𝜖 ℕ. 1 3𝑘 𝑘 3𝑘. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑢𝑛+1 =. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. je. 3) 4). 𝑛∞. 5) 6). la suite numérique définie par :. 𝑢0 =. 1 2. 𝑛∞. 2𝑢𝑛 + 1 𝑢𝑛 + 1 ;. ; 𝛼=. 1 + 𝑢𝑛 8. 3. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 2 7 𝑢𝑛 ≥. 3 1. 7. 𝑢𝑛+1 <1 𝑢𝑛 Montrer que la suite 𝑢𝑛 converge 7 1 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 3 − 8 8 Montrer que 𝑣𝑛 est géométrique Exprimer 𝑢𝑛 en fonction de n 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛 𝑛∞. Exercice N° 77 :. ∀𝑛𝜖ℕ. On considère la fonction 𝑓𝑛 définie par :. 1+ 5 2. 𝑓𝑛 𝑥 = 𝑥 3 + 𝑛𝑥 − 1. 1) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 1 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 𝛼 2) Montrer que la suite 𝑢𝑛 est ↗ 3) En déduire que 𝑢𝑛 est convergente Et déterminer sa limite Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 3. 3. 2) 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ;. Exercice N° 74 :. 𝑢𝑛 +1 =. ∀𝑛𝜖ℕ. ; 𝑢𝑛 ≥ 3 de la suite 𝑢𝑛 est convergente ∶ lim 𝑢𝑛. 1) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ;. Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 3𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛 + 𝑢𝑛 Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑣𝑛 ≤ 1 Montrer que 𝑣𝑛 𝑛𝜖 ℕ est convergente 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑣𝑛. Soit 𝑢𝑛. ;. la suite numérique définie par :. 𝑢0 =. su. 1) 2) 3) 4). Soit 𝑢𝑛. définies par :. .c. 𝑘=𝑛. Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ Étudier la monotonie En déduire que 𝑢𝑛 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒. xa. 𝑛𝜖 ℕ. 𝑣𝑛. te. 𝑒𝑡. +2. Exercice N° 76 :. Exercice N° 73 : Soient 𝑢𝑛. 2. 𝑢0 = 2. ∀𝑛𝜖ℕ∗. ;. 𝑢𝑛 3. 𝑢𝑛+1 =. la suite définie par :. om. Soit 𝑢𝑛. ;. ∀𝑛𝜖ℕ∗ ∀𝑥𝜖ℝ. 1) Montrer que l’équation 𝑓𝑛 𝑥 = 0 admet une solution unique 𝑥𝑛 𝜖 0,1 21. WhatsApp : 0660344136.
(22) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. 2) Montrer que 𝑥𝑛 𝑛≥1 est strictement ↘ 3) En déduire que 𝑥𝑛 est convergente 1 4) 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ∗ ; 𝑥𝑛 < 𝑛 5) 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑥𝑛. Professeur Badr Eddine El FATIHI. Exercice N° 80 : Soit 𝑢𝑛. ;. 𝑢1 = 1. 𝑘=𝑛. 𝑘=𝑛. 𝑢𝑘 = 2𝑛+1 − 2 − 𝑘=1. 7) 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑤𝑛 =. 𝑘=1 1. 2 ≥1+. 1 𝑢𝑘 ∙ 𝑣𝑘. Montrer que 𝑤. 𝑛 𝑛𝜖 ℕ∗. 𝑢𝑛 = 𝑘=1. 1 𝑘. ;. ; ∀𝑛𝜖ℕ∗. est convergente. ∎. 𝑘=0. 𝑛∞. 𝑢𝑛+1 =. les suites définie par 𝑢𝑛 ∙ 𝑣𝑛. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑣𝑛+1 =. 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 2. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑣0 = 2𝛼 𝜖 ℝ+ ∗ 1) 𝑀𝑞 ∶ ∀𝑎 > 0 ; ∀𝑏 > 0 ∶. ∀𝑛𝜖ℕ∗. 2) 𝑀𝑞 ∶ ∀ 0 < 𝑎 ≤ 𝑏. 1 + 𝑢𝑛 2 2) Montrer que 𝑢𝑛 𝑛≥1 est strictement ↗ 3) 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛 = +∞ 1) 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ∗ ; 𝑢2𝑛 ≥. ;. 𝑎𝑏 ≤. 𝑎+𝑏 2. 𝑎+𝑏 ≤𝑏 2 𝑎 ≤ 𝑎𝑏 ≤ 𝑏. 𝑎≤. 3) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 0 < 𝑢𝑛 ≤ 𝑣𝑛 4) Montrer que 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑡 ↗ et 𝑣𝑛 𝑒𝑠𝑡 ↘ 5) Montrer que les suites 𝑢𝑛 𝑒𝑡 𝑣𝑛 convergent vers la même limite. 𝑛∞. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 𝑢𝑘. 𝑢0 = 𝛼 𝜖 ℝ + ∗. la suite définie par : 𝑘=𝑛. 𝑛∞ 𝑘=𝑛. 𝒮𝑛 =. .c ∎. 𝑘. su 𝑛≥1. ∀𝑛𝜖ℕ ;. Soient 𝑢𝑛 𝑒𝑡 𝑣𝑛. 1 𝑘. Exercice N° 79 : Soit 𝑢𝑛. ∀𝑛𝜖ℕ. Exercice N° 81 :. je. 𝑘=1. ;. 𝑘. ;. Exprimer 𝒮𝑛 en fonction de n 5) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝒮𝑛. te. 6) Montrer que : ∀𝑘𝜖ℕ. ∗. 4) 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 ∶. xa. 1) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ∗ ; 𝑢𝑛 ≥ 1 2) Étudier la monotonie de la suite 𝑢𝑛 1 3) 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 + ; ∀𝑛𝜖ℕ∗ 𝑛 Montrer que 𝑣𝑛 𝑛≥1 est géométrique 4) Exprimer 𝑢𝑛 en fonction de n La suite 𝑢𝑛 converge-t-elle ?. 𝑘=𝑛. ∀𝑛𝜖ℕ. 1) Montrer que 𝑣𝑛 est géométrique 2) Déterminer 𝑣𝑛 𝑒𝑡 𝑢𝑛 en fonction de n 3) 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛. ∀𝑛 ≥ 1. om. 𝑛+2 𝑛 𝑛+1. 5) 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒. ;. 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 ∶ 𝑣𝑛 = 2 − 𝑢𝑛. la suite définie par :. 𝑢𝑛+1 = 2𝑢𝑛 +. 2 2 𝑢𝑛 + 3 3. 𝑢0 = 1. Exercice N° 78 : 𝑛≥1. la suite définie par :. 𝑢𝑛+1 =. 𝑛∞. Soit 𝑢𝑛. 𝑛𝜖 ℕ. 22. WhatsApp : 0660344136.
(23) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. Exercice N° 82 :. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. Soit 𝑔 la fonction définie sur 𝐼 par :. 3) En remarquant que : 1 1 1 1 ∀𝑘 ≥ 2 ; = − 𝑘2 − 1 2 𝑘 − 1 𝑘 + 1 Donner une expression simplifiée de 𝑢𝑛 4) 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛. 2. 𝑔 𝑥 =. 𝑥 − 3𝑥 + 6 𝑥−1. ;. ∀ 𝑥 𝜖 𝐼 = 1, +∞. 1) Montrer que : ∀𝑥𝜖𝐼 ; 𝑔 𝑥 ≥ 3 2) soit 𝑢𝑛 la suite définie par : 𝑢𝑛+1 = 𝑔 𝑢𝑛. ;. 𝑛∞. Exercice N° 85 :. ∀𝑛𝜖ℕ. Soit 𝑣𝑛 ∗. 𝑛∞. xa. 3. 3𝑢𝑛 + 1 − 1. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. su 1 𝑘2 − 1. 𝑒𝑡. ∶ 0 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 1 de 𝑢𝑛 est convergente ∶ lim 𝑢𝑛. 1) Montrer que 𝑢𝑛 𝑛≥2 𝑒𝑡 𝑣𝑛 sont deux suites adjacentes. 7𝑢𝑛 − 25 𝑢𝑛 − 3. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑢𝑛 ≠ 5 1 2) 𝑆𝑜𝑖𝑡 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 − 5 Montrer que la suite 𝑣𝑛 est arithmétique 3) Exprimer 𝑣𝑛 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑢𝑛 en fonction de n 4) Calculer la somme 𝒮10 = 𝑣1 + ⋯ + 𝑣10 1) Montrer que :. 1 𝑛. ∀𝑛𝜖ℕ ;. Exercice N° 87 : Soit 𝑢𝑛. 𝑛𝜖 ℕ∗. la suite définie par :. 𝑛≥2. 𝑢𝑛+1 =. 2) Que peut-on en conclure ? Professeur Badr Eddine EL FATIHI. la suite définie par :. 𝑢0 = 2. 𝑛∞. 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 +. 𝑛𝜖 ℕ. 𝑢𝑛+1 =. On pose pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 2 :. 𝑘=2. 𝑛∞. Soit 𝑢𝑛. Exercice N° 84 :. 𝑢𝑛 =. ∀𝑛𝜖ℕ. Exercice N° 86 :. je. Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ Étudier la monotonie En déduire que 𝑢𝑛 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒. 𝑘=𝑛. ;. la suite définie par :. 𝑢0 = 1 1) 2) 3) 4). 2. 𝑣0 = 3. te. 𝑢𝑛+1 =. 𝑣𝑛+1. 2 + 𝑣𝑛 = 2𝑣𝑛. 1) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑣𝑛 > 2 2) Étudier la monotonie de la suite 𝑣𝑛 3) 𝑑é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑣𝑛. Exercice N° 83 : 𝑛𝜖 ℕ. la suite définie par :. .c. Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 ≥ 3 3) Montrer que 𝑢𝑛 𝑛𝜖 ℕ∗ est décroissante 4) En déduire que 𝑢𝑛 est convergente 5) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛. 𝑛≥0. om. 𝑢0 = 5. Soit 𝑢𝑛. Professeur Badr Eddine El FATIHI. 5𝑢𝑛 − 3 3𝑢𝑛 − 1. ;. ∀𝑛𝜖ℕ∗. 𝑢1 = 0 23. WhatsApp : 0660344136.
(24) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. 1) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ∗ ; 𝑢𝑛 ≠ 1 𝑢𝑛 + 1 2) 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ∗ ; 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 − 1 Montrer que 𝑣𝑛 𝑛≥1 est arithmétique 3) Exprimer 𝑣𝑛 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑢𝑛 en fonction de n 4) Calculer 𝒮𝑛 = 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑛 en fct de n 5) Calculer les limites suivantes : lim 𝑢𝑛 ; lim 𝑣𝑛 ; lim 𝒮𝑛 𝑛∞. 𝑛∞. 5) Calculer en fonction de n la somme : 𝒮𝑛 = 𝑣0 + 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑛 6) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 ∶ lim 𝑣𝑛 ; lim 𝒮𝑛 ; lim 𝑢𝑛 𝑛∞. Soit 𝑢𝑛. 𝑢𝑛 +1. ∀𝑛𝜖ℕ. .c. te. Soit 𝑢𝑛. 𝑛∞. 𝑢0 =. 𝑢𝑛 3 − 2𝑢𝑛. ;. la suite définie par : 2. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 1) montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 0 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 1 2) Étudier la monotonie de la suite 𝑢𝑛 3) Montrer que pour tout 𝑛𝜖ℕ on a :. ∀𝑛𝜖ℕ. 0 ≤ 1 − 𝑢𝑛+1 ≤ 3 − 1 1 − 𝑢𝑛 4) En déduire que ∀𝑛𝜖ℕ on a :. −1 2. 𝑛. 0 ≤ 1 − 𝑢𝑛 ≤ 3 − 1 1 − 𝑢0 5) Pour tout 𝑛𝜖ℕ∗ on pose :. 1) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 < 0 2) Etudier la monotonie de la suite 𝑢𝑛 𝑢𝑛 3) 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 ∶ 𝑣𝑛 = ; ∀𝑛𝜖ℕ 𝑢𝑛 − 1 Montrer que 𝑣𝑛 est géométrique 4) Exprimer 𝑣𝑛 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑢𝑛 en fonction de n. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 𝑛𝜖 ℕ. 𝑢0 𝜖 0,1. je. 𝑢𝑛 +1 =. 𝑛∞. 𝑢𝑛+1 = 2 + 𝑢𝑛 − 3 + 𝑢𝑛. la suite définie par :. su. 𝑛𝜖 ℕ. 𝑛∞. Exercice N° 91 :. Exercice N° 89 : Soit 𝑢𝑛. ∀𝑛𝜖ℕ. Montrer que 𝑣𝑛 est géométrique 4) Exprimer 𝑣𝑛 𝑒𝑡 𝑢𝑛 en fonction de n 5) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 lim 𝑢𝑛 𝑒𝑡 lim 𝑣𝑛. xa. 1) Calculer les termes : 𝑢1 ; 𝑢2 3 𝑛 2) 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 ∶ 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 − ; ∀𝑛𝜖ℕ 4 Montrer que 𝑣𝑛 est géométrique 3) Exprimer 𝑣𝑛 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑢𝑛 en fonction de n 4) Calculer en fonction de n la somme : 𝒮𝑛 = 𝑢0 + 𝑢1 + ⋯ + 𝑢𝑛 5) Calculer chacune des limites suivantes : lim 𝑣𝑛 ; lim 𝒮𝑛 ; lim 𝑢𝑛. 2 + 𝑢𝑛. ;. 2. 1) montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 0 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 4 2) Étudier la monotonie de la suite 𝑢𝑛 2 3) 𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 ∶ 𝑣𝑛 = 1 − ; ∀𝑛𝜖ℕ 𝑢𝑛. 𝑛. ;. 16𝑢𝑛. 𝑢0 = 1. 𝑢0 = 2. 𝑛∞. la suite définie par :. 𝑢𝑛+1 =. la suite définie par :. 𝑛∞. 𝑛𝜖 ℕ. 𝑛∞. 1 1 3 = 𝑢𝑛 + 4 2 4. 𝑛∞. om. 𝑛𝜖 ℕ. 𝑛∞. Exercice N° 90 :. Exercice N° 88 : Soit 𝑢𝑛. Professeur Badr Eddine El FATIHI. 𝑘=𝑛−1. 3 + 𝑢𝑘2. 𝒮𝑛 = 𝑘=0. 𝑇𝑛 = 𝑢𝑛 + 𝒮𝑛 You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 24. WhatsApp : 0660344136.
(25) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. 5) 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 ∶. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. Soit 𝑢𝑛. Exercice N° 92 :. 𝑢𝑛+1 = 2 +. 1 2 − 𝑢𝑛 𝑢𝑛. ;. 2. ∀𝑛𝜖ℕ. Exercice N° 93 :. om. te. je. Soit 𝑢𝑛. 𝑢0 = 0. su. 1 + 𝑢𝑛 −1 2𝑛. ∀𝑛𝜖ℕ∗. Exprimer 𝑢𝑛 en fonction de n 3) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛 𝑛∞. 1 𝑘−1 2 1 𝑛 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝑣𝑛 > 𝑛 − 1 + ; ∀𝑛𝜖ℕ∗ 2 𝑘=1. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 1 1 𝑢𝑛+1 + 𝑢𝑛 2 2 𝑒𝑡. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑢1 = 1. 𝑛∞. 1. 𝑣𝑛 =. la suite définie par :. On pose : 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 +1 − 𝑢𝑛 ; ∀𝑛𝜖ℕ 1) Montrer que 𝑣𝑛 est géométrique 2) Écrire 𝑣𝑛 en fonction de n 3) On pose : 𝒮𝑛 = 𝑣0 + ⋯ + 𝑣𝑛−1 ; ∀𝑛𝜖ℕ∗ Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ∗ ; 𝒮𝑛 = 𝑢𝑛 4) Écrire 𝑢𝑛 en fonction de n 5) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛. 1 𝑢0 = 2. 4) 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 ∶. 𝑛𝜖 ℕ. 𝑢𝑛+2 =. 𝑘=𝑛. 𝑢1 = 2. 𝑛∞. la suite définie par : ;. ∀𝑛𝜖ℕ. Exercice N° 95 :. 1 1 1−𝑥 <1− 𝑥 < 2 1+𝑥. 𝑢𝑛+1 = 1 −. ;. .c. 1) Montrer que pour tout 𝑥 𝜖 0,1 on a :. 𝑛𝜖 ℕ. 𝑒𝑡. xa. 𝑛∞. 3 1 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 2 2. 1) Calculer les termes : 𝑢2 ; 𝑢3 ; 𝑢4 2) 𝑢𝑛 est-elle arithmétique ou géométr 3) montrer que pour tout 𝑛𝜖ℕ on a : 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 𝑢𝑛+2 − 𝑢𝑛+1 ≥ 0 4) En déduire la monotonie de 𝑢𝑛 5) soit 𝑣𝑛 la suite définie par : ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 Montrer que 𝑣𝑛 𝑛𝜖 ℕ est géométrique 6) Exprimer 𝑣𝑛 en fonction de n 7) En déduire 𝑢𝑛 en fonction de n 8) Montrer que 𝑢𝑛 𝑛𝜖 ℕ∗ est bornée. 9) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛. 1) Montrer que 𝑢𝑛. est minorée par 2 1 2) 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝑢𝑛+1 − 2 < 𝑢𝑛 − 2 4 1 𝑛 3) 𝐷é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; 0 < 𝑢𝑛 − 2 ≤ 4 4) 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛. 𝑛∞. la suite définie par :. 𝑢0 = 1. 𝑢0 = 3. 2) Soit 𝑢𝑛. 𝑛𝜖 ℕ. 𝑢𝑛+2 =. la suite définie par :. 𝑛𝜖 ℕ. lim 𝑣𝑛. Exercice N° 94 :. Déterminer la nature da la suite 𝑇𝑛 𝑛≥1 6) Exprimer 𝒮𝑛 en fonction de 𝑛 ; 𝑢0 ; 𝑢𝑛. Soit 𝑢𝑛. Professeur Badr Eddine El FATIHI. 1+. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 25. WhatsApp : 0660344136.
(26) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. 1) Calculer les termes : 𝑢1 ; 𝑢2 ; 𝑢3 2) Étudier la monotonie de 𝑢𝑛 𝑛≥1 3) Montrer que pour 𝑝 𝜖 ℕ\ 0 ; 1 on a : 1 1 1 − > 𝑝 2𝑝 𝑝 𝑝−1 4) En déduire que : 2 ∀𝑛𝜖ℕ∗ ; 1 < 𝑢𝑛 < 3 − 𝑛. Exercice N° 96 : Soit 𝑥𝑛. la suite définie par :. 𝑛𝜖 ℕ. 𝑥𝑛+1 = 𝑥0 =. 1 2 𝑥𝑛 + 2 𝑥𝑛. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 3 2. 1) Montrer que pour tout 𝑛𝜖ℕ on a : 2. Exercice N° 97 :. 𝑢𝑛+1 = 𝑢1 =. 𝒮𝑛 =. 𝑢𝑘 =. 𝑢0 = 0. 𝑛2 + 𝑛 3. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. su. Soit 𝑢𝑛. 𝑢𝑛 = 𝑘=1. ∀𝑛𝜖ℕ∗. 𝑢𝑛 𝑛. 1 𝑘 𝑘. ;. la suite définie par : ;. ∀𝑛𝜖ℕ∗. 𝑢1 = 1 1) Calculer les termes : 𝑢2 ; 𝑢3 2) On pose : 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 − 2 ; ∀𝑛𝜖ℕ∗ Montrer que 𝑣𝑛 est géométrique 3) Exprimer 𝑣𝑛 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑢𝑛 en fonction de n 4) Calculer en fonction de n la somme : 𝒮𝑛 = 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑛 5) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑠𝑛. ∀𝑛𝜖ℕ∗. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 𝑛𝜖 ℕ∗. 𝑢𝑛+1 = 1 − 2 𝑢𝑛 + 2 2. la suite définie par : 𝑘=𝑛. 𝑣𝑛 =. Exercice N° 100 :. Exercice N° 98 : 𝑛≥1. ;. 2 3. 𝑛∞. 1) Calculer les termes : 𝑢1 ; 𝑢2 ; 𝑢3 2) Calculer 𝑢𝑛 𝑒𝑡 𝑢𝑛+1 en fonction de n 3) En déduire que 𝑢𝑛 est arithmétique. Soit 𝑢𝑛. ∀𝑛𝜖ℕ∗. Calculer les termes : 𝑢2 ; 𝑢3 Montrer que la suite 𝑣𝑛 est géométrique Exprimer 𝑣𝑛 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑢𝑛 en fonction de n Calculer en fonction de n la somme : 𝑢2 𝑢𝑛 𝒮𝑛 = 𝑢1 + + ⋯ + 2 𝑛 5) 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝒮𝑛. je. 𝑘=0. ;. 1) 2) 3) 4). te. 𝑘=𝑛. 2𝑛 + 2 𝑢𝑛 3𝑛. 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 ∶. la suite définie par :. 𝑛𝜖 ℕ. la suite définie par :. xa. 𝑛∞. 𝑛𝜖 ℕ∗. om. Soit 𝑢𝑛. 2) En déduire que 𝑥𝑛 est minorée par 2 3) Montrer que 𝑥𝑛 est strictement ↘ 1 𝑛 4) 𝑀𝑞 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; 0 < 𝑥𝑛 − 2 < 2 5) 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim 𝑢𝑛. Soit 𝑥𝑛. Exercice N° 99 :. .c. 𝑥𝑛 − 2 𝑥𝑛 +1 − 2 = 2𝑥𝑛. Professeur Badr Eddine El FATIHI. 𝑛∞. 26. WhatsApp : 0660344136.
(27) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. Professeur Badr Eddine El FATIHI. Exercice N° 101 : Soit 𝑢𝑛. 𝑛𝜖 ℕ. la suite définie par :. 𝑢𝑛+1. 𝑢𝑛2 + 𝑢𝑛 = 2 𝑢𝑛 + 1. 𝑢0 =. 3 2. ;. ∀𝑛𝜖ℕ. 𝑢𝑘 < 𝑛 + 2 1 − 𝑘=0. 1 2. 𝑛. 𝑘=𝑛−1. 6) 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ lim. 𝑢𝑘. 𝑘=0. su. je. te. 𝑛∞. xa. 𝑛<. .c. 𝑘=𝑛−1. om. 1) Montrer que : ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 > 1 2) Étudier la monotonie de la suite 𝑢𝑛 1 3) 𝑀𝑞 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛+1 − 1 < 𝑢𝑛 − 1 2 1 𝑛 4) 𝐷é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 ∶ ∀𝑛𝜖ℕ ; 0 < 𝑢𝑛 − 1 < 2 5) Montrer que pour tout 𝑛𝜖ℕ∗ on a :. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 27. WhatsApp : 0660344136.
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