Séries d’exercices corrigés détaillés
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Texte intégral
(2) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. ROYAUME DU MAROC. Professeur Badr Eddine El FATIHI. SÉRIES D’EXERCICES « 2ème Année Bac – SM ». om. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. .c. Projet de livre 2021-2022. je. te. Montrer une limite par la définition Enlever la forme indéterminée La continuité à gauche et à droite Limite au voisinage de plus ou moins l’infini Prolongement par continuité L’arc tangente et la racine nième Montrer qu’une équation admet des solutions Travailler avec la règle de l’Hôpital. su. . xa. Tome 1 : limites et continuité. Professeur Badr Eddine EL FATIHI Ouarzazate 2021 Samedi 01 septembre 2021. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 2. WhatsApp : 0660344136.
(3) Séries d’exercices corrigés détaillés. 1. :. 2ème Année Bac - SM. Professeur Badr Eddine El FATIHI. Préface. te. xa. .c. om. Ce livre est un support d’exercices corrigés conçu en faveur des élèves de la 2ème année Bac SM du Maroc. J’ai y classé 110 exercices pour la leçon intitulée limites et continuité. Les exercices proposés sont riches, variés et contiennent tout type de questions. C’est une plate-forme de travail pour les élèves qui auraient besoin d’un supplément de soutien très particulier. dans ce cadre, l’élève est invité à choisir le type d’exercices là où il se sent faible et de prendre son temps pour renforcé ses apprentissages. Mon objectif est d’aider ces élèves à parvenir à un niveau qui leurs permettrait de passer les devoirs, les examens et tout type de concours d’admission pour les écoles supérieurs avec succès.. su. je. Cette série contient entre autre un rappel de cours, les énoncés des exercices et les réponses détaillées qu’on devrait lire attentivement et en profiter au maximum les idées de résolution. J’ai y classé encore des moyens et des méthodes hors programme juste pour élargir son équilibre de connaissances. Sachez que, dans les concours d’admission et même dans les examens, la réponse finale compte plus que la méthode suivie. La vitesse de réalisation est aussi importante car vous serez certainement serrés par le temps. D’ailleurs les concours sont formulés sous la forme de questions à choix multiple. Bon courage à tout le monde et à bientôt . Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 3. WhatsApp : 0660344136.
(4) 2. Séries d’exercices corrigés détaillés. :. 2ème Année Bac - SM. Professeur Badr Eddine El FATIHI. Méthodologie. Considérer. d’abord. une. du travail. séance. d’exercice. om. comme un jeu, car Apprendre par le jeu est le meilleur moyen existant de nos jours. la. question. et. essayer. de. trouver. la. xa. Lisez. .c. Choisir le type d’exercices voulu. te. réponse en 10 min en consultant de temps à autre le rappel de cours. je. Consulter ma réponse sur ce livre. su. Notez les lacunes et difficultés rencontrées Retourner pour refaire l’exercice à nouveau Passer à un autre exercice. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 4. WhatsApp : 0660344136.
(5) 3. Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. Professeur Badr Eddine El FATIHI. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. :. Rappel de cours ∎ lim 𝑓 𝑥 = 𝑙. Outil N° 1 :. 𝑥→−∞. C’est la définition d’une limite d’une fonction que ce soit finie (𝑙𝜖ℝ) ou infinie, au voisinage d’un point ou au voisinage de plus ou moins l’infini :. ∎ lim 𝑓 𝑥 = −∞ 𝑥→−∞. om. 𝑥→𝑥 0. ∀𝜀 > 0 ∃𝛼 > 0 ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 ∶ 𝑥 − 𝑥0 < 𝛼 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝑙 < 𝜀. 𝑥→𝑥 0. C’est la définition de la limite à droite ou à gauche d’une fonction au voisinage d’un point quelconque : ∎ 𝑥→𝑥 lim 𝑓 𝑥 = 𝑙. xa. ∀𝐴 > 0 ∃𝛼 > 0 ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 ∶ 𝑥 − 𝑥0 < 𝛼 ⟹ 𝑓 𝑥 > 𝐴. Outil N° 2 :. .c. ∎ lim 𝑓 𝑥 = +∞ ⟺. ∀𝐴 > 0 ∃𝐵 > 0 ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 ∶ 𝑥 < −𝐵 ⟹ 𝑓 𝑥 < −𝐴. ⟺. ∎ lim 𝑓 𝑥 = 𝑙 ⟺. ∀𝜀 > 0 ∃𝐵 > 0 ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 ∶ 𝑥 < −𝐵 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝑙 < 𝜀. ⟺. 0. 𝑥>𝑥 0. ∎ lim 𝑓 𝑥 = 𝑙 𝑥→+∞. ∎ lim 𝑓 𝑥 = +∞ 𝑥→+∞. te. ⟺. ∀𝐴 > 0 ∃𝐵 > 0 ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 𝑥>𝐵 ⟹ 𝑓 𝑥 >𝐴. je. ⟺. ∀𝜀 > 0 ∃𝛼 > 0 ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 ∶ 0 < 𝑥 − 𝑥0 < 𝛼 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝑙 < 𝜀. ⟺. ∀𝜀 > 0 ∃𝐵 > 0 ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 ∶ 𝑥 >𝐵 ⟹ 𝑓 𝑥 −𝑙 <𝜀. ∎ 𝑥→𝑥 lim 𝑓 𝑥 = 𝑙 0. 𝑥<𝑥 0. ∶. ∀𝜀 > 0 ∃𝛼 > 0 ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 ∶ −𝛼 < 𝑥 − 𝑥0 < 0 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝑙 < 𝜀. ⟺. ∎ 𝑥→𝑥 lim 𝑓 𝑥 = +∞. 𝑥 → −∞ ⟺ −𝑥 → +∞ 𝑓 𝑥 → −∞ ⟺ −𝑓(𝑥) → +∞. ∎ 𝑥→𝑥 lim 𝑓 𝑥 = +∞. su. Il suffirait d’apprendre par cœur ces quatre définitions. Et pour en déduire les cas de moins l’infini, il suffit d’effectuer un petit changement de variable de type :. 0. 𝑥>𝑥 0. ⟺. 0. 𝑥<𝑥 0. ⟺. On obtient ainsi les définitions suivantes :. 0. 𝑥→𝑥 0. 𝑥>𝑥 0. ∀𝐴 > 0 ∃𝛼 > 0 ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 ∶ 𝑥 − 𝑥0 < 𝛼 ⟹ 𝑓 𝑥 < −𝐴. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. ∀𝐴 > 0 ∃𝛼 > 0 ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 ∶ −𝛼 < 𝑥 − 𝑥0 < 0 ⟹ 𝑓 𝑥 > 𝐴. ∎ 𝑥→𝑥 lim 𝑓 𝑥 = −∞. ∎ lim 𝑓 𝑥 = −∞ ⟺. ∀𝐴 > 0 ∃𝛼 > 0 ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 ∶ 0 < 𝑥 − 𝑥0 < 𝛼 ⟹ 𝑓 𝑥 > 𝐴. ⟺ 5. ∀𝐴 > 0 ∃𝛼 > 0 ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 ∶ 0 < 𝑥 − 𝑥0 < 𝛼 ⟹ 𝑓 𝑥 < −𝐴 WhatsApp : 0660344136.
(6) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. ∎ 𝑥→𝑥 lim 𝑓 𝑥 = −∞. Professeur Badr Eddine El FATIHI. Outil N° 5 :. 0. 𝑥<𝑥 0. ∀𝐴 > 0 ∃𝛼 > 0 ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 ∶ −𝛼 < 𝑥 − 𝑥0 < 0 ⟹ 𝑓 𝑥 < −𝐴. ⟺. Opérations sur les limites : on prenant en considération juste les formes déterminées :. Outil N° 3 :. ∎. Si la limite d’une fonction numérique existe en un point, alors elle est unique. C’est ce qu’on appelle l’unicité de la limite :. ∎. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. lim 𝑥→𝑥. 0. 𝑄 𝑥 0 ≠0. ∎ ∎. lim sin 𝑥 = sin 𝑥0. 𝑥→𝑥 0. lim tan 𝑥 = tan 𝑥0. 𝑥→𝑥 0. lim. 𝑥→𝑥 0. ∎ lim. 𝑥→0. 𝑥=. 𝑥0. ;. 𝑥 =. lim 𝑔 𝑥 ≠ 0. 𝑥→𝑥 0. .c. ; 𝑃, 𝑄 = 𝑝𝑜𝑙𝑦𝑛ô𝑚𝑒𝑠. lim cos 𝑥 = cos 𝑥0. 𝑥→𝑥 0. lim 𝑓 𝑥. 𝑙 + ∞ = +∞ +∞ + ∞ = +∞ 𝑛é𝑔 × +∞ = −∞ 𝑝𝑜𝑠𝑖 × +∞ = +∞ +∞ −∞ = −∞ 1 = +∞ 0+ 1 = 0+ +∞ −∞ −∞ = +∞. je. ∎. 𝑃 𝑥 𝑃 𝑥0 = 𝑄 𝑥 𝑄 𝑥0. 𝑃 = 𝑝𝑜𝑙𝑦𝑛ô𝑚𝑒. su. ∎. ;. ;. 𝑥0 ≢. 𝑙 − ∞ = −∞ −∞ − ∞ = −∞ 𝑛é𝑔 × −∞ = +∞ 𝑝𝑜𝑠𝑖 × −∞ = −∞ +∞ +∞ = +∞ 1 = −∞ 0− 1 = 0− −∞. Outil N° 7 : 𝜋 𝜋 2. Voici une liste des formes indéterminées :. 𝑥0 ≥ 0. sin 𝑥 tan 𝑥 = lim =1 𝑥→0 𝑥 𝑥. +∞ − ∞. 0×∞. 1∞. ∞0. ∞ ∞ 00. 0 0. Remarque : la forme indéterminée fondamentale est zéro/zéro. Et toutes les autres formes indéterminées sont des variantes de cette forme là. 1 0 ⇝ 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒1 ∶ 0×∞= 0× = 0 0 ∞ 1 0 ⇝ 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒2 ∶ = ×∞=0×∞= ∞ ∞ 0. 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 1 = 2 𝑥→0 𝑥 2. ∎ lim. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 𝑥→𝑥 0. 𝑥→𝑥 0. xa. ∎. lim 𝑃 𝑥 = 𝑃 𝑥0. 𝑥→𝑥 0. 𝑥→𝑥 0. Voici une liste de formes déterminées écrites sous cette forme juste pour simplifier la rédaction :. te. ∎. lim 𝑓 × 𝑔 𝑥 = lim 𝑓 𝑥 × lim 𝑔 𝑥. Outil N° 6 :. Outil N° 4 : Voici les limites de quelques fonctions usuelles :. 𝑥→𝑥 0. om. 𝑡→𝑥 0. 𝑥→𝑥 0. 𝑥→𝑥 0. 𝑓 ∎ lim 𝑥→𝑥 0 𝑔. lim 𝑓 𝑥 = lim 𝑓 𝑡. 𝑥→𝑥 0. lim 𝑓 + 𝑔 𝑥 = lim 𝑓 𝑥 + lim 𝑔 𝑥. 𝑥→𝑥 0. 6. WhatsApp : 0660344136.
(7) 2ème Année Bac - SM. Outil N° 8 :. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. C’est la règle de l’Hôpital : je suis sûr est certain que cette technique est hors programme mais vous devriez l’apprendre et à la maîtriser pour l’appliquer éventuellement dans le brouillon pour déterminer la valeur de la limite.. Outil N° 9 : L’utilisation de la calculatrice : cette technique est valable juste dans vos préparations chez-vous à la maison pour avoir une idée sur la valeur de la limite. Voici deux exemples à méditer :. 0 𝑓(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) ∎ 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 ⟹ lim = lim ′ 𝑥→𝑥 0 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑥 0 𝑔 (𝑥) 0. ∎ lim. 𝑥→0. Exemples :. 𝑥→0. sin 𝑥 cos 𝑥 = lim =1 𝑥→0 1 𝑥. ∎. tan 𝑥 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 ∎ lim = lim 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 1. =1. ∎ lim. 𝑥→0. = lim. =. 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥. 1 + 𝑡𝑎𝑛2. ∎ lim. 𝑥→0. ∎ lim. 𝑥→2. xa. ⟺. lim 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0. 𝑥→𝑥 0. Outil N° 11 : La continuité en un point implique, et nécessite la continuité à droite et à gauche :. cos 𝑥. + 2 𝑡𝑎𝑛2 𝑥. 0 +2. 𝑡𝑎𝑛2. sin 𝑥 − tan 𝑥 𝑥3. 0. =. 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡 𝑒𝑛 𝑥0. 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥. cos 0. 2. 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑒𝑛 𝑥0. 𝑥 − sin 𝑥 sin 𝑥 = lim 𝑥→0 2 tan 𝑥 ∙ 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑥. su. 𝑥→0 2. −1 4. La continuité en un point :. je. 𝑥→0. 𝑥 4 − 𝑥 3 − 𝑥 = 𝑓 108. Outil N° 10 :. te. 1 + sin 𝑥 cos 𝑥 = lim =1 𝑥→0 1 𝑥. lim. 𝑥→+∞. = −0,24999 =. 1 − cos 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 1 ∎ lim = lim = lim = 𝑥→0 𝑥→0 2𝑥 𝑥→0 2 𝑥2 2 lim. 𝑥 − sin 𝑥 1 = 𝑓 0,001 𝑟𝑎𝑑 = 0,50003 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑥 2. .c. ∎ lim. Professeur Badr Eddine El FATIHI. om. Séries d’exercices corrigés détaillés. 1 + 𝑡𝑎𝑛2. 0. =. 1 2. lim 𝑓 𝑥 = 𝑥→𝑥 lim 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0. 𝑥→𝑥 0 𝑥>𝑥 0. 0. 𝑥<𝑥 0. Outil N° 12 :. −1 2. Prolongement par continuité d’une fonction : 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑜𝑛𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑡é 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑥0 ∉ 𝐷𝑓. 𝑥−1−1 1 = 2 𝑥 −4 8. ⟺. Je vous laisse le soin de vérifier ces deux dernières limites.. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. ⟺. 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥. ; 𝑥 𝜖 𝐷𝑓. 𝑓 𝑥 = lim 𝑓(𝑥) = 𝑙 𝜖 ℝ 𝑥→𝑥 0. 7. WhatsApp : 0660344136.
(8) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. Professeur Badr Eddine El FATIHI. Outil N° 13 :. 𝟏. 𝒙𝟐 𝟏. La continuité sur un intervalle :. 𝒙𝟒 𝟏. 𝒙𝟔. ′. ∎ 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑎, 𝑏 ⟺ 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑒𝑛 𝑥0 ; ∀𝑥0 𝜖 𝑎, 𝑏 ∎ 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑙′ 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑎, 𝑏 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑎, 𝑏 ⟺ 𝑒𝑡 𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑒𝑛 𝑎+ ∎ 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑙′ 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑎, 𝑏 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑎, 𝑏 ⟺ 𝑒𝑡 𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑒𝑛 𝑏 −. om. 𝟏. 𝒙𝟕. xa. Outil N° 14 :. 𝒙𝟑. .c. ∎ 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑙′ 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑎, 𝑏 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑎, 𝑏 ⟺ 𝑒𝑡 𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑒𝑛 𝑎+ 𝑒𝑡 𝑏 −. 𝟏. 𝟏. 𝒙𝟓. La mémorisation de l’allure de quelques fonctions usuelles vous permettriez d’en tirer les limites que vous en aurez besoin :. 𝟓. 𝟐. 𝒙𝟕. 𝒙𝟑 𝟑. te. 𝒙𝟓. 𝝅 𝟐. su. −𝝅 𝟐. je. 𝒕𝒂𝒏(𝒙). 𝟏. −𝟏. 𝒙𝟑 𝟑. 𝒙. 𝒄𝒐𝒔(𝒙) 𝒔𝒊𝒏(𝒙). You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 8. WhatsApp : 0660344136.
(9) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. Outil N° 15 :. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 𝝅 𝟐. Professeur Badr Eddine El FATIHI. Opérations sur les fonctions continues : soient 𝑓 𝑒𝑡 𝑔 deux fonctions continues sur un intervalle 𝐼 et soit 𝜆 𝜖 ℝ Alors :. 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝒙). ∎ 𝑓 + 𝑔 ; 𝜆𝑓 ; 𝑓 × 𝑔 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑟 𝐼 ∎ 𝑓 𝑛 ; 𝑛𝜖ℕ∗ 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝐼 ∎ 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝐼 ∎ 𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝐼 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑓 ≥ 0 ∎ 𝑓/𝑔 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝐼 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑔 ≠ 0. −𝝅 𝟐. om. Outil N° 16 :. La continuité d’une composition :. 𝟏 𝒙. xa. .c. ∎. 𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑡 𝑠𝑢𝑟 𝑙′ 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒 𝐼 𝑔 𝑐𝑜𝑛𝑡 𝑠𝑢𝑟 𝑙′ 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒 𝐽 𝑓 𝐼 ⊆𝐽 ⟹ 𝑔𝑜𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝐼. Outil N° 17 :. te. Comment intervertir les signes de limite et image. Autrement-dit, quand aurais-je le droit de dire que la limite de l’image est égale à l’image de la limite ?. je. 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝒙) 𝒙. su. ∎. 𝑓 ∶ 𝐼 ⟼ 𝑓 𝐼 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝐼 𝑔 ∶ 𝐽 ⟼ 𝑔 𝐽 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑒𝑛 ℓ ℓ = lim 𝑓 𝑥 𝑥→𝑥 0. ⟹. lim 𝑔 𝑓 𝑥. 𝑥→𝑥 0. = 𝑔 lim 𝑓 𝑥 𝑥→𝑥 0. Outil N° 18 : 𝒔𝒊𝒏(𝒙) 𝒙. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. L’image d’un intervalle de ℝ par une fonction continue est un intervalle de ℝ. Soit 𝑓 une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle 𝐼 ⊆ ℝ . On calcule l’image de 𝐼 selon les cas suivants :. 9. WhatsApp : 0660344136.
(10) Séries d’exercices corrigés détaillés. ∎ 𝑓. 𝑎, 𝑏. =. 𝑓 𝑎 ,𝑓 𝑏 𝑓 𝑏 ,𝑓 𝑎. 2ème Année Bac - SM. 𝑠𝑖 𝑓 𝑒𝑠𝑡 ↗ 𝑠𝑢𝑟 𝐼 𝑠𝑖 𝑓 𝑒𝑠𝑡 ↘ 𝑠𝑢𝑟 𝐼. Professeur Badr Eddine El FATIHI. Outil N° 20 : Théorème de la fonction réciproque :. lim 𝑓 𝑥 , lim 𝑓 𝑥 − +. 𝑠𝑖 𝑓 𝑒𝑠𝑡 ↗ 𝐼. lim 𝑓 𝑥 , lim 𝑓 𝑥 − +. 𝑠𝑖 𝑓 𝑒𝑠𝑡 ↘ 𝐼. 𝑏. 𝑎. =. 𝑏. ∎ 𝑓. 𝑎, 𝑏. 𝑎. 𝑓 𝑎 , lim 𝑓 𝑥 −. 𝑠𝑖 𝑓 𝑒𝑠𝑡 ↗ 𝐼. lim 𝑓 𝑥 ,𝑓 𝑎 −. 𝑠𝑖 𝑓 𝑒𝑠𝑡 ↘ 𝐼. 𝑏. =. 𝑏. ∎ 𝑓. −∞, 𝑎. lim 𝑓 𝑥 , 𝑓(𝑎). 𝑠𝑖 𝑓 𝑒𝑠𝑡 ↗ 𝐼. 𝑓 𝑎 , lim 𝑓 𝑥. 𝑠𝑖 𝑓 𝑒𝑠𝑡 ↘ 𝐼. −∞. =. −∞. ∎ 𝑓. 𝑎, +∞. lim 𝑓 𝑥 , lim 𝑓 𝑥 +. 𝑠𝑖 𝑓 𝑒𝑠𝑡 ↗ 𝐼. lim 𝑓 𝑥 , lim 𝑓 𝑥 +. 𝑠𝑖 𝑓 𝑒𝑠𝑡 ↘ 𝐼. +∞. 𝑎. =. +∞. lim 𝑓 𝑥 , lim 𝑓 𝑥. 𝑠𝑖 𝑓 𝑒𝑠𝑡 ↗ 𝐼. lim 𝑓 𝑥 , lim 𝑓 𝑥. 𝑠𝑖 𝑓 𝑒𝑠𝑡 ↘ 𝐼. −∞. +∞. +∞. −∞. 𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝐼 ⟹ 𝑓 ∶ 𝐼 ⟼ 𝑓 𝐼 𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑡. Outil N° 19 :. 𝑓 𝑒𝑡 𝑓 −1 𝑜𝑛𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑚ê𝑚𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠. ∎ 𝑓 ∶ 𝐼 ⟼ 𝑓 𝐼 𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 ⟹. ∎ 𝑓 ∶ 𝐼 ⟼ 𝑓 𝐼 𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡 ⟹. 𝒞𝑓 𝑒𝑡 𝒞𝑓 −1 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑠𝑦𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑟𝑎𝑝𝑝𝑜𝑟𝑡 à ∆ : 𝑦 = 𝑥. Outil N° 21 :. La fonction arc tangente :. −𝜋 𝜋 ; 2 2 𝑦 ⟼ 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑦 tan 𝑥 ⟼ 𝑥. ∎ 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ∶ ℝ ⟼. xa. ∎ 𝑓 ℝ =. 𝑎. ∎. om. 𝑎, 𝑏. .c. ∎ 𝑓. Théorème des valeurs intermédiaires : Version générale, version monotone, version particulière :. te. ∎. 𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑡 𝑎, 𝑏 𝑦 𝜖 𝑓 𝑎, 𝑏. ∎. 𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑡 𝑎, 𝑏 ⟹ ∃! 𝑥 𝜖 𝑎, 𝑏 ; 𝑓 𝑥 = 𝑦 𝑦 𝜖 𝑓 𝑎, 𝑏 𝑓 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑡. ∎. je. ∃ 𝑥 𝜖 𝑎, 𝑏 ; 𝑓 𝑥 = 𝑦. 𝒕𝒂𝒏(𝒙). su. ∎. ⟹. 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝒙). Voici quelques propriétés fondamentales de la fonction arc tangente :. 𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑡 𝑎, 𝑏 ⟹ ∃ 𝑥 𝜖 𝑎, 𝑏 ; 𝑓 𝑥 = 0 𝑓 𝑎 ×𝑓 𝑏 <0. ∎. 𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑡 𝑎, 𝑏 𝑓 𝑎 ∙ 𝑓 𝑏 < 0 ⟹ ∃! 𝑥 𝜖 𝑎, 𝑏 ; 𝑓 𝑥 = 0 𝑓 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑡. ∎ ∀𝑥𝜖ℝ. On dira que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet une seule solution dans l’intervalle 𝑎, 𝑏. ∎. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. −𝜋 𝜋 ; ; 2 2 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑦. ∀𝑥𝜖ℝ. ∀𝑥𝜖. ∎ ∀𝑥𝜖ℝ 10. ∀𝑦𝜖. ; 𝑡𝑎𝑛 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 𝑥 −𝜋 𝜋 ; 2 2. ; 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 𝑥. ; 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 −𝑥 = −𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 WhatsApp : 0660344136.
(11) ∎ ∀ 𝑥 𝜖 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ2 ∶ 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑎 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑏 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑎 < 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑏 −𝜋 ∎ lim 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 = ; 𝑥→−∞ 2. 2ème Année Bac - SM. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. ⟺ 𝑎=𝑏 ⟺ 𝑎<𝑏. Voici quelques propriétés da la fonction racine nième définie sur ℝ+ :. 𝜋 lim 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 𝑥→+∞ 2. 1 −𝜋 = 𝑥 2. ∎. ∀𝑥𝜖ℝ+. ⟼ ℝ. 𝑛. =𝑥. ∀𝑦𝜖ℝ+ ∶ 𝑥=𝑛 𝑦 ⟺ 𝑥=𝑦. ∀𝑥𝜖ℝ+. ∀𝑦𝜖ℝ+ ∶ 𝑥<𝑛 𝑦 ⟺ 𝑥<𝑦. xa. te. ∎ ∎. je 1 2 3. su = 𝑥. 𝑥. Propriétés de la fonction racine nième : Soient a et b deux nombres réels positifs et p et n deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, On a :. Remarque : si n est impair alors la fonction racine nième est définie de ℝ à valeurs dans ℝ Mais dans la majorité des cas on se restreint au cas de ℝ+ pour qu’on puisse travailler dans un domaine positif et avoir la liberté en appliquant les règles de 𝑥. 𝑛. Outil N° 23 :. +. 𝑦 ⟼ 𝑛 𝑦 𝑥n ⟼ 𝑥. 1 2 3. 𝑥𝑛 =. .c. +. 𝑛. ∶. 𝑛. ⊡ ∶ ℝ. calcul comme. ∀𝑥𝜖ℝ+. ∎. La fonction Racine 𝑛𝑖è𝑚𝑒 ; 𝑛 ϵ ℕ∗ ∎. ∎. 𝑛. Outil N° 22 :. 𝑛. ∀𝑦𝜖ℝ+ ∶ 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑥 = 𝑦𝑛. 𝑛. 1 𝜋 ; 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 = 𝑥 2. ∎ ∀𝑥 < 0 ; 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛. ∀𝑥𝜖ℝ+. ∎. 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 ∎ lim = 0+ ; lim =1 𝑥→±∞ 𝑥→0 𝑥 𝑥. ∎ ∀𝑥 > 0. Professeur Badr Eddine El FATIHI. om. Séries d’exercices corrigés détaillés. 𝒙𝒓. =𝑥. 𝑛. 𝑛. 𝑎×. 𝑛. 1 1 ×𝑛 𝑎 𝑎. 𝑏=. 𝑛. ;. ∎ ∎. 𝒚=𝒙 𝟏. 𝑎≠0. 𝑛. 𝑎 𝑎 ∎ ×𝑛 ; 𝑏 𝑏 𝑛𝑝 𝑛 ∎ 𝑎𝑝 × 𝑎 𝑛. 2 3. 𝑎𝑏. 𝑛 𝑝 𝑛. 𝑎=. 𝑎. 𝑝. 𝑛𝑝. =. 𝑛. 𝑏≠0. 𝑎 𝑎𝑝. Outil N° 24 :. 𝒙𝒓. Passage aux limites dans des inégalités : ∎. 𝑓 𝑥. >. 𝑡𝑒𝑛𝑑 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑙. ∎ Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 11. 𝑓 𝑥 𝑡𝑒𝑛𝑑 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑙. 𝑔 𝑥. ⟹. 𝑙≥𝑙. ⟹. 𝑙≤𝑙. 𝑡𝑒𝑛𝑑 𝑣𝑒𝑟 𝑙′. <. 𝑔 𝑥 𝑡𝑒𝑛𝑑 𝑣𝑒𝑟 𝑙′. WhatsApp : 0660344136.
(12) Séries d’exercices corrigés détaillés. ∎. 𝑥. <. 𝑓 𝑥. 𝑡𝑒𝑛𝑑 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑙′. <. 𝑡𝑒𝑛𝑑 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑙. ⟹. 2ème Année Bac - SM. 𝑔 𝑥. Professeur Badr Eddine El FATIHI. Annexe : quelques graphes. 𝑡𝑒𝑛𝑑 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑙". 𝑙 ′ ≤ 𝑙 ≤ 𝑙". 𝒇 𝒙 =𝒙− 𝒙+𝟏. Outil N° 25 : Puissances. rationnelles. d’un. nombre. +. strictement positif. Soient 𝑎 𝜖 ℝ 𝑒𝑡 𝑟 =. 𝑃 𝑞. ∗. Avec 𝑝 𝜖 ℤ 𝑒𝑡 𝑞 𝜖 ℕ . On a : 𝑞. 𝑎𝑝. om. 𝑃. 𝑎𝑟 = 𝑎 𝑞 = Outil N° 26 :. 𝑎 𝑏. 𝑟′. = 𝑎𝑟𝑟 ′. 𝑟. 𝑎 𝑏𝑟. 𝑟. 𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏. 1 𝑎𝑟. 𝒇 𝒙 →. 𝑎 = 𝑎𝑟−𝑟′ 𝑎𝑟′. −𝟏 𝟐. je. Outil N° 27 :. = 𝑎𝑟 × 𝑏𝑟. 𝑎−𝑟 =. 𝑟. =. 𝑟. te. 𝑎𝑟. 𝑎𝑏. xa. 𝑎𝑟 × 𝑎𝑟′ = 𝑎𝑟+𝑟′. .c. Propriétés des puissances rationnelles : Soient 𝑟, 𝑟 ′ 𝜖 𝑄 𝑒𝑡 𝑎, 𝑏 𝜖ℝ+ On a :. ∎. su. L’utilisation des inégalités pour déterminer des limites (critère de comparaison) :. 𝑥. ≤𝑓 𝑥 ≤. 𝑡𝑒𝑛𝑑 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑙 𝑥→𝑥 0. ⟹ lim 𝑓 𝑥 = 𝑙. 𝑡𝑒𝑛𝑑 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑙 𝑥→𝑥 0. ∎ 𝑓 𝑥 ≤. 𝑔 𝑥 𝑡𝑒𝑛𝑑 𝑣𝑒𝑟𝑠 −∞ 𝑥→𝑥 0. ∎. 𝑔 𝑥. 𝑥 𝑡𝑒𝑛𝑑 𝑣𝑒𝑟𝑠 +∞ 𝑥→𝑥 0. ≤𝑓 𝑥. 𝒇 𝒙 = 𝒙+𝟏− 𝒙. 𝑥→𝑥 0. 𝒇 𝒙 →𝟎. ⟹ lim 𝑓 𝑥 = −∞ 𝑥→𝑥 0. ⟹ lim 𝑓 𝑥 = +∞ 𝑥→𝑥 0. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 12. WhatsApp : 0660344136.
(13) Séries d’exercices corrigés détaillés. 4. 2ème Année Bac - SM. Professeur Badr Eddine El FATIHI. Série d’exercices. :. Exercice N° 1 :. 2) 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 lim 𝑓 𝑥 = 1. Montrer, en utilisant la définition d’une limite d’une fonction numérique que :. Exercice N° 4 :. 𝑥→1. Soit 𝑔 la fonction définie sur ℝ+ par : 𝑥 𝑔 𝑥 = 1+ 𝑥 1 1 1) 𝑀𝑞 ∶ ∀𝑥𝜖ℝ+ ; 𝑔 𝑥 − ≤ 𝑥 − 1 2 2 1 2) 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 ∶ lim 𝑔 𝑥 = 𝑥→1 2. 2. 1) lim 𝑥 + 𝑥 = 0 2) lim. 𝑥→0. om. 𝑥→0. 𝑥 =0 2𝑥 + 1. 4) lim 2𝑥 + 𝑥 − 𝑥. 3. 𝑥→0. Exercice N° 5 :. =0. Soit la fonction définie ainsi : 𝑥−1 𝑥 = 2𝑥 + 1. xa. 2. .c. 3𝑥 2 3) lim 2 =0 𝑥→0 𝑥 + 1. Exercice N° 2 :. Démontrer les limites suivantes en utilisant la définition d’une limite d’une fonction :. te. 1) 𝑇𝑟𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑟é𝑒𝑙 𝑘 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 ∶. 2. ∀𝑥 ≠. 1) lim 3𝑥 − 5𝑥 + 1 = −1. 2) lim. 2𝑥 + 1 1 = 𝑥−1 2. 𝑥→2. 𝑥→+∞. −1 +. 1. 3 𝑥. lim 𝑥 = 2. 𝑥→−1. 𝑆𝑜𝑖𝑡 ∶ 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 2𝑥 + 1 1) 𝑇𝑟𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝜆 𝜖 ℝ 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢′ 𝑜𝑛 𝑎𝑖𝑡 ∶ ∀𝑥𝜖ℝ ; 𝑥 ≤ 1 ⟹ 𝑓 𝑥 − 1 ≤ 𝜆 𝑥 2) 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ lim 𝑓 𝑥 = 1. 3) lim 4𝑥 + 1 = 3. 4) lim. 𝑥 −2 ≤𝑘 𝑥+1. Exercice N° 6 :. su. 𝑥→−1. 2) 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶. je. 𝑥→1. −1 1 ; 𝑥+1 ≤ ⟹ 2 3. 𝑥→0. = −1. Exercice N° 7 :. Exercice N° 3 :. Calculer chacune des limites suivantes : Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par : 2𝑥 𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥2 1) 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∀𝑥𝜖ℝ ∶ 𝑓 𝑥 − 1 ≤ 𝑥 − 1 Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 5𝑥 2 + 𝑥 1) lim 𝑥→−∞ 𝑥 − 2 2. 2) lim+ 𝑥→3. 2𝑥 3−𝑥. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 2. 13. WhatsApp : 0660344136.
(14) Séries d’exercices corrigés détaillés. 3) lim. 𝑥→+∞. 𝑥 2018 𝑥 2019 + 1. 𝑥 5) lim 𝑥→1 1 − 𝑥. 2ème Année Bac - SM. 4) lim. 3− 𝑥 𝑥. 6) lim. 1 𝑥 𝑥2 + 2. 𝑥→+∞. 2. Professeur Badr Eddine El FATIHI. Exercice N° 10 : Soit 𝑓 la fonction définie ainsi : sin 𝑥 − 1 ; 𝑥>1 2 𝑥2 − 𝑥 𝑥−1 𝑓 𝑥 = ; 𝑥≤1 2𝑥 − 1 − 1. 1+. 𝑥→+∞. 𝑓 𝑥 =. Exercice N° 8 : La fonction 𝑓 admet-elle une limite en 1 ? Calculer chacune des limites suivantes : Exercice N° 11 :. om. 1) lim 𝑥 2 − 𝑥 𝑥→+∞. On considère la fonction 𝑓 définie ainsi :. 2) lim 2 − 𝑥 + 𝑥 3 𝑥→−∞. 3. 𝑥5 − 𝑥4 + 𝑥3 + 3 𝑓 𝑥 = 𝑥+1. 2. 3) lim 2𝑥 + 𝑥 − 1 1 − 3𝑥 4) lim 𝑥 3 1 − 2𝑥. 𝑥 ≠ −1. .c. 𝑥→−∞. ;. 𝑓 −1 = 12. 5. Étudier la continuité de la fonction 𝑓 en zéro. xa. 𝑥→−∞. 5) lim −2𝑥 4 − 𝑥 2 + 𝑥 + 1. Exercice N° 12 :. 𝑥→−∞. Résoudre les équations suivantes :. te. 6) lim 1 − 2𝑥 2 1 + 3𝑥 𝑥→+∞. je. Exercice N° 9 :. 1) ∎ ∶ 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 3𝑥 =. 𝜋 8. 2) ∎ ∶ 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 2 + 2 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 3𝑥. su. Calculer chacune des limites suivantes : 3𝜋 4. 3) ∎ ∶ 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 2 − 𝑥 =. sin 𝜋𝑥 𝑥. ;. 2) lim. 1 − cos 2𝑥 𝑥2. 4) ∎ ∶ 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 =. sin2 𝑥 3) lim 𝑥→0 3𝑥 2. ;. 4) lim. sin 5𝑥 tan 3𝑥. 5) ∎ ∶ 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 2𝑥 =. 1) lim. 𝑥→0. 5) lim. 𝑥→0. sin 7𝑥 sin 𝑥. 𝑥→0. 𝑥→0. ;. 6) lim. 𝑥→0. 𝑥+1−1 sin 𝑥. 6) ∎ ∶ 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛. 𝑥 =. 𝜋 3. −𝜋 4. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 𝜋 1 + 2𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 4 4. 14. WhatsApp : 0660344136.
(15) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. Exercice N° 13 :. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le domaine de définition puis étudier la continuité sur chaque sous intervalle du domaine de définition : 𝑓 𝑥 = tan. 𝜋 2𝑥 − 1. ;. 𝑔 𝑥 = sin cos. Exercice N° 16 : Soit 𝑓 la fonction définie ainsi :. 𝜋 𝑥. 2𝑥 2 − 𝑥 + 1 𝑥−2 3 𝑥 −1 ; 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 −1. 𝑓 𝑥 =. 1 − cos 𝑥 1 𝑢 0 = 2. 𝑥. ;. 𝑥≠0. lim 𝑓 𝑥 lim 𝑓 𝑥. .c. lim 𝑥 − 7𝑥 − 1. ; lim 𝑥. 𝑥→−2. −𝑥. 2017. +2. 𝑥 +𝑥 2𝑥 − 1. je ;. lim3. 𝑥→. ;. 2. lim. 𝑥→−1. lim. 𝑥→0 −. 𝑥2 − 𝑥 𝑥. ; ;. lim. 𝑥→3+. lim. 𝑥→1−. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 𝑓 𝑥 =. 𝑥2 − 9 𝑥−3. 𝑔 𝑥 =. sin 𝑥 − tan 𝑥. 𝑔 0 =0 15. ;. cos 𝑥 − 1 + sin 𝑥 𝑥. 𝑔 𝑥 = 𝑥 ∙ sin. 1− 𝑥 𝑥−1. en. 𝑥 − 1 + 𝑥2 𝑥+1. 𝑓 𝑥 =. 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 11𝑥 − 6 lim 𝑥→2 𝑥 5 − 32. 2 − 1 − 3𝑥 𝑥2 − 1. ; 𝑥≥2. Étudier la continuité fonctions suivantes :. 4. Calculer chacune des limites suivantes : ;. 𝑥<2. 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3. Exercice N° 15 :. −𝑥 2 + 𝑥 + 6 lim 𝑥→3 𝑥 2 − 4𝑥 + 3. ;. Exercice N° 18 :. lim tan 𝑥 −𝜋. 𝑥→. 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3. 1) Justifier la continuité de 𝑓 sur ℝ. 2) Déterminer : 𝑓 −2,4 𝑒𝑡 𝑓 −∞, 1. 2. su. 4. 2018. 𝑥→−1. 2𝑥 − 3𝑥 − 9 𝑥−1. lim𝜋 sin 𝑥. lim 𝑓 𝑥. 𝑥→2−. On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ :. te. 2. 𝑥→. lim 𝑓 𝑥. 𝑥→2 +. Exercice N° 17 :. Calculer les limites suivantes :. 𝑥→3. lim 𝑓 𝑥. 𝑥→1+. 𝑥→−∞. 𝑥→1−. Exercice N° 14 :. lim. 𝑥<1. lim 𝑓 𝑥. 𝑥→+∞. 𝑥 tan 𝜋𝑥. 3. 𝑥≥1. Calculer les limites ainsi proposées :. xa. 𝑣 𝑥 =. ;. om. 𝑥2 − 2 − 𝑥 1 − cos 2𝜋𝑥 𝑥 = ; 𝑘 𝑥 = 𝑥+1 −2 𝑥 𝑥−1 𝑢 𝑥 =. Professeur Badr Eddine El FATIHI. ;. 𝑥 1 𝑥. ;. zéro. des. 𝑥≥0 ; 𝑥<0. 𝑥>0 𝑥<0. WhatsApp : 0660344136.
(16) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. Professeur Badr Eddine El FATIHI. Exercice N° 19 :. Exercice N° 23 :. On considère la fonction g définie par :. Soit 𝑎 un réel strictement positif, on considère la fonction 𝑔 définie par :. 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑥 =. 𝑎𝑥 2 − 𝑎𝑥 𝑥 2 − 5𝑥 + 4 𝑥3 − 1 3. 𝑥+𝑥−2. ;. 𝑥>1. ;. 𝑥2 + 𝑥 + 𝑎 − 𝑎 𝑔 𝑥 = 𝑥. 𝑥<1. 𝑔 0 =. Déterminer la valeur de 𝑎 pour que la fonction 𝑔 soit prolongeable par continuité en 1.. −1 𝑓 0 = 8. 𝑥≠0. Exercice N° 24 :. .c. ;. 2 𝑎. om. On considère la fonction 𝑓 définie par : 3 + cos 𝑥 − 2 𝑥2. 1. Montrer que 𝑔 est continue en 0 puis préciser la limite de la fonction 𝑔 quand 𝑥 tend vers plus l’infini.. Exercice N° 20 :. 𝑓 𝑥 =. 𝑥≠0 𝑥 ≥ −𝑎. ;. Soit g la fonction numérique définie par :. xa. 𝑔 𝑥 =. 𝑥 + tan 2𝑥 sin 3𝑥. ;. 𝑥≠0. 𝑔 0 =1. Étudier la continuité de 𝑓 en zéro.. te. Exercice N° 21 :. Étudier la continuité de la fonction 𝑔 au point zéro.. je. Déterminer le réel 𝑎 pour que la fonction proposée soit continue en zéro.. su. 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 − 1 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2 𝑥. ;. Exercice N° 25 : Soit 𝑓 la fonction numérique définie par :. 𝑥≠0. 𝑓 𝑥 = 3 − 𝑥2. 𝑓 0 =𝑎. 𝑥2 − 3 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1. Exercice N° 22 :. Déterminer le réel 𝑎 pour que la fonction 𝑓 définie ci-dessous, soit continue en 𝜋/2 : 𝑓 𝑥 =. sin 𝑥 − 1 𝜋 𝑥− 2. ;. 𝑥≠. 𝑥≤0 ;. 𝑥>0. Étudier la continuité de la fonction 𝑓 au point d’abscisse zéro.. 𝜋 2. 𝜋 𝑓 =𝑎 2 Professeur Badr Eddine EL FATIHI. ;. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 16. WhatsApp : 0660344136.
(17) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. Exercice N° 29 :. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. Étudier la limite de la fonction 𝑓 au point 𝑎 dans les cas suivants :. Exercice N° 26 : Soit g la fonction numérique définie par : 𝑥2 − 1 𝑥−1. 𝑔 𝑥 =. ;. Professeur Badr Eddine El FATIHI. 1). 𝑓 𝑥 =. 𝑥−1 ∙𝑥 𝑥2 − 1. 2). 𝑓 𝑥 =. 𝑥+1 2 𝑥2 − 1. 𝑥≠1. 𝑔 1 =2. Exercice N° 27 :. 4). ∎. 𝑓 𝑥 =. ;. 𝑥−1 𝑥2 − 5 − 4 𝑥−1 𝑥3 − 8. 𝑥2 + 5 − 3. 𝑓 𝑥 = cos 𝑥. ;. 𝑥<𝜋. 𝑓 𝑥 =. ;. 𝑎=1. xa. 𝑓 𝑥 =. 𝑥≥𝜋. 1). 𝑎= 5. ; 𝑥≠2. 2). ; 𝑎=2. 3). su. Exercice N° 28 :. Dans chacun des cas suivants, étudier la continuité de la fonction 𝑔 au points d’abscisse 𝑎 . 1 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 9 sin 𝑥−3. 4). 5) ; 𝑥≠3. ;. 𝑎=𝜋. ;. 𝑎=0. 𝑥<0. lim. 1 + 𝑥2 𝑥2. lim−. 1 1 − 2 𝑥 𝑥 +1. lim. 1 1 + 2 + sin 𝑥 𝑥. 𝑥→0. 𝑥→0. 1 − tan 𝑥 2 𝜋 𝑔 𝑥 = ; 𝑥≠ 1 + cos 4𝑥 4 𝜋 1 𝑔 = 4 2. 6). ;. 𝑥→+∞. lim−. 𝑥→0. lim. 𝑥→0+. 1 − 𝑥 + 𝑥2 𝑥3 1 + 𝑥2 𝑥. ; 𝑎=3. 𝑔 3 =0. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. ; 𝑥≥0. ;. Calculer les limites suivantes :. 𝑓 2 = 18. 2. 𝑥 2 − 2𝑥 𝑥+2. 𝑓 𝑥 =𝐸 𝑥. te. ∎. 𝑓 𝑥 =. ;. Exercice N° 30 :. 𝑥2 − 5 − 4. je. ∎. 𝑎 = −1. 𝑓 𝑥 = sin 𝑥. .c. Dans chacun des cas suivants, étudier la continuité de la fonction 𝑓 au point 𝑎 .. ;. 𝑎=1. om. 3). Étudier la continuité de la fonction g au point d’abscisse 1.. ;. 𝑎=. 𝜋 4. lim. 𝑥→0. 2 2 − 1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑥. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 17. WhatsApp : 0660344136.
(18) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. Professeur Badr Eddine El FATIHI. Exercice N° 31 :. Exercice N° 33 :. Calculer chacune des limites suivante :. Calculer chacune des limites suivantes :. 3 𝑥+1. lim. 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 1 𝑥+1 2. 𝑥→−1. 2. 𝑥→0. 2). 3). 𝑥3 − 1 lim 𝑥→1+ 𝑥 − 1 3. 4). 1 lim− − sin 𝑥→2 𝑥 − 2. 5). lim− 1 +. 6). 𝑥→1. lim 𝑥→−4 𝑥<−4. 𝑥→+∞. 3) lim. 𝑥→0. 1. 2 𝑥−2. 1 𝑥−1. 𝑥. 𝐸 𝑥 𝑥+4. lim. 4) 2. lim. 𝑥→+∞. 2009. 1). 3. te. 2). 3 𝑥. −1. 4). cos 𝑥 − 1 𝑥. su. 2) lim. 1 𝑥. 3). je. 𝑥→+∞. 2−. 𝑥→0. 3) lim. 𝑥→1. 4) 5). 5). 𝑥−1 𝑥−1. 6). lim 𝑥 2 2 + sin 𝑥. 𝑥→−∞. lim. 𝑥→+∞. 𝑥+1 1 + 𝑥2 sin 𝑥. 1 + 𝑥2. Calculer chacune des limites suivantes : lim. cos 𝑥 𝑥2 + 1. lim. 𝑥 + sin 𝑥 𝑥 2 + cos 𝑥. lim. 2𝑥 + cos 𝑥 3𝑥 + sin 𝑥. 𝑥→+∞. 𝑥→+∞. Calculer les limites suivantes : lim. 𝐸 𝑥 𝑥. Exercice N° 34 :. Exercice N° 32 :. 1). 1 𝑥. om. 𝑥→−1. 1) lim 𝑥 2 + 𝑥 4 ∙ sin. .c. 2). lim. xa. 1). 5𝑥 2 − 1 3𝑥 2 + 4. 𝑥→+∞. lim. 𝐸. 𝑥. 𝑥→+∞. 𝑥. lim. sin 𝑥 𝑥2 + 1. 𝑥→−∞. lim. 𝑥→+∞. 2 − cos 𝑥 1+ 𝑥. Exercice N° 35 : Calculer chacune des limites suivantes :. 6). lim. 𝑥→+∞. 𝑥 − 1 + cos 𝑥 1). You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 18. lim. 𝑥→0. 𝑥2 + 𝑥 +. 1 𝑥2. WhatsApp : 0660344136.
(19) Séries d’exercices corrigés détaillés. 3) 4) 5) 6). lim+. 𝑥→1. 𝑥3 + 1 𝑥−1 3. 𝑥→+∞. lim. 𝑥3 + 1 𝑥−1 3. lim. 𝑥 + 𝑥2. 𝑥→+∞. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 3). 4) 3. 𝑥 −𝑥 +𝑥+1. lim. 1 𝑥 𝑥2 + 2. 𝑥→+∞. 1+. 5). 6). Exercice N° 36 :. lim. 3𝑥 + 5 𝑥2 + 1. 𝑥→−∞. 6). lim. te. lim. 𝑥→+∞. 𝑥2 − 7 𝑥 3 + 2𝑥 + 1. 1). 𝑥→−∞. lim. 𝑥→+∞. 𝑥→1. lim. 𝑥→9. lim 𝑥→−1 𝑥>−1. je. 5). 𝑥→+∞. 𝑥 − 4𝑥 2𝑥 2 + 1. lim. 2). 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑥3 + 3. 3). 𝑥4 + 𝑥2 + 1 𝑥−1. lim. 𝑥→2. lim 𝑥→1 𝑥<1. 4). Exercice N° 37 :. lim 𝑥→−1 𝑥<−1. Calculer les limites suivantes : 5) 1) 2). lim. 𝑥→−∞. 3𝑥 2 − 𝑥 + 4. lim− 3 −. 𝑥→0. 𝑥 3 + 2𝑥 − 3 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 𝑥+7− 𝑥−1. 𝑥 + 16 − 𝑥 − 2. Calculer les limites suivantes :. su. 4). lim. 𝑥→+∞. 𝑥2 + 1 𝑥−1. Exercice N° 38 :. 2. 3). lim. xa. 2). −3𝑥 + 𝑥 + 1. 𝑥−1. 𝑥→1. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 2. lim. 𝑥→+∞. 2𝑥 − 1 − 𝑥 2 − 𝑥 + 1. .c. Calculer les limites suivantes : 1). lim. 2. lim. 𝑥→−∞. Professeur Badr Eddine El FATIHI. om. 2). 2ème Année Bac - SM. 𝑥>0. 1 𝑥. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. lim 𝑥→0. 6) 19. lim. 𝑥→3. 𝑥+1 2𝑥 + 3 − 1 𝑥 2 − 2𝑥 𝑥− 𝑥+2 𝑥 + 2 − 1 + 2𝑥 1−𝑥 𝑥 2 + 𝑥 + 3𝑥 + 3 𝑥+1 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥 𝑥2 + 𝑥 + 1 − 1 𝑥 + 1 − 𝑥2 + 𝑥 + 4 𝑥 + 1 − 3𝑥 + 1 WhatsApp : 0660344136.
(20) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. Exercice N° 39 :. 3). Professeur Badr Eddine El FATIHI. lim. sin 3𝑥 tan 𝑥. lim. sin 5𝑥 sin 4𝑥. lim. cos 𝜋𝑥 − 1 𝑥. lim. tan 𝑥 − 1 𝑥2 − 1. 𝑥→0. Calculer chacune des limites suivantes :. 3) 4) 5) 6). 𝑥→+∞. lim. 𝑥→−∞. lim. 𝑥→+∞. lim. 𝑥→+∞. lim. 𝑥→−∞. lim. 𝑥 →+∞. 4). 2𝑥 − 𝑥 4𝑥 2 + 3𝑥 − 7 + 2𝑥 + 5. 6) 5𝑥 2. + 𝑥 − 1 − 4𝑥 + 3. 𝑥 + 𝑥2 + 1. Calculer chacune des limites suivantes :. 𝑥2 + 𝑥 + 1 − 𝑥 − 3. 1). 4) 5). lim. 𝑥→+∞. 3). te. 𝑥 2 + 𝑥 + 1 + 𝑥𝑚 1 − 𝑥3 + 𝑥 − 1. lim. 𝑥 + 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. 𝑥→−∞. 𝑥→0. 1 − cos 6𝑥 sin 4𝑥 ∙ tan 3𝑥. lim. tan 𝜋𝑥 𝑥−1. lim. 𝑠𝑖𝑛3 2𝑥 𝑥3. lim𝜋. sin 𝑥 − cos 𝑥 𝜋 𝑥− 4. lim. sin 2𝑥 𝑥3. 𝑥→1. 𝑥→0. 3𝑥 2 − 6𝑥 − 1 + 2𝑥 − 5. lim. 𝑥→−∞. lim. xa. 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 4 − 𝑥 2 + 2. 4). je. 3). lim. 𝑥→−∞. 2). ; 𝑚𝜖ℝ. su. 2). 𝑥→+∞. 𝑥→1. Exercice N° 42 :. Calculer les limites suivantes : lim. 𝑥→0. 2𝑥 2 + 1 − 𝑥 2 − 𝑥 − 2. Exercice N° 40 :. 1). 5). 𝑥→0. om. 2). lim. .c. 1). 5). 6). 𝑥→. 4. 𝑥→0. lim+. 𝑥→0. cos 𝑥 − 1 𝑥. Exercice N° 41 :. Exercice N° 43 :. Calculer chacune des limites :. Calculer les limites suivantes :. 1) 2). lim. 𝑥→0. lim𝜋. 𝑥→. 6. 1). sin 2𝑥 sin 3𝑥. 𝑥→. 3. sin 𝑥 − 3 cos 𝑥 𝜋 𝑥− 3. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 𝑥 sin 𝑥 − cos 𝑥 𝜋 𝑥− 6. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. lim𝜋. 20. WhatsApp : 0660344136.
(21) 2ème Année Bac - SM. Exercice N° 45 :. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 3). 4). 5). 6). lim. 𝑥→+∞. lim. 𝑥→+∞. lim. 𝑥→+∞. lim. 𝑥→−∞. lim. 𝑥→+∞. 𝑥 2 − sin. Calculer les limites suivantes :. 1 𝑥. 1). cos 𝑥 𝑥3. 𝑥2. 2). 1 + sin 𝑥 2 + cos 𝑥. 1+. 3). 𝑥 2 + 𝑥4 + 1. 2𝐸 𝑥 + 𝑥−𝐸 𝑥 𝑥2. 4) 2. 5). lim. 𝑥→0. lim. 𝑥→1. lim. 𝑥→+∞. lim. 𝑥→0. 6). lim. xa. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 𝑥 2 + 1 − 3𝑥. lim. 𝑥→+∞. 4𝑥 2 + 𝑥 3 2𝑥 + 𝑥 3 1 2 − 2 𝑥−1 𝑥 −1 𝑥. 𝑥+1. 𝑥+. 𝑥. 𝑥−. 𝑥. .c. 2). Professeur Badr Eddine El FATIHI. om. Séries d’exercices corrigés détaillés. 𝑥→+∞. 𝑥. −. 𝑥. 𝑥−1. 𝑥 −𝑥−1 𝑥−1. Exercice N° 46 :. te. Exercice N° 44 :. Calculer les limites ainsi proposées :. Calculer chacune des limites suivantes :. 3) 4) 5). 6). 𝑥→2. lim. 2𝑥 − 2 𝑥 2 + 3𝑥 − 10. je. 2). lim. 2). 𝑥 + 𝑥2 + 1. su. 1). 1). 𝑥→−∞. lim. 𝑥→1. 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 4𝑥 − 1 𝑥3 − 1. 3). lim. 𝑥→0. 1 + sin 𝑥 − 1 − sin 𝑥 tan 𝑥. lim. tan 𝑥 − sin 𝑥 𝑥3. lim. 𝑥 1 − cos 𝑥 sin 3𝑥 − 3 sin 𝑥. 𝑥→0. 𝑥→0. lim. 𝑥+1− 𝑥. lim. 𝑥2 + 𝑥 − 𝑥. Exercice N° 47 :. 𝑥→+∞. 𝑥→+∞. lim. 𝑥→2. 𝑥→0. 𝑥. Calculer les limites suivantes :. 𝑥+2−2 2𝑥 + 5 − 3. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. lim+. 1 − cos 𝑥. 4). 1) 21. lim. 𝑥→−2. −1 2 𝑥 − 5𝑥 + 7 3 WhatsApp : 0660344136.
(22) Séries d’exercices corrigés détaillés. 3) 4). 5). 6). 1 3−𝑥. lim. 𝑥→3. 𝑥→+∞. 3). 𝑥→ 2. 4) 2 1 + 𝑥 𝑥2. lim. 𝑥→0+. 5). 1 1 − 𝑥 𝑥. 6). Exercice N° 48 :. lim. 𝑥→−∞. 6). lim. 𝑥→−∞. 1). 𝑥−1 𝑥2 + 𝑥 + 5 𝑥 + 1 ∙ 2𝑥 − 7 4𝑥 3 + 𝑥 + 5. lim. 1 − 3𝑥 4𝑥 + 7. lim. −4𝑥 3 + 5𝑥 + 9 7𝑥 3 − 6. 𝑥→+∞. 2. 2). 3). je. 5). lim. 2𝑥 3 − 7𝑥 2 + 4𝑥 + 4 𝑥 3 − 𝑥 2 − 8𝑥 + 12. 𝑥→−∞. lim. 𝑥 →+∞. 𝑥→2. 𝑥→2. 𝑥 4 + 3𝑥 3 − 7𝑥 2 − 27𝑥 − 18 𝑥 4 − 3𝑥 3 − 7𝑥 2 + 27𝑥 − 18. lim. 𝑥→3. Calculer chacune des limites suivantes :. 4). su. 4). lim. 4𝑥 3 − 5𝑥 − 22 𝑥2 − 𝑥 − 2. 𝑥→1. .c. 𝑥→+∞. 2. 3). lim. 𝑥2 + 𝑥 − 2 2𝑥 2 + 𝑥 − 3. 𝑥→3. 5 𝑥2 2 − 𝑥2 𝑥4 − 1 2. lim. xa. lim. 𝑥5 + 𝑥4 + 2 𝑥2 − 1. te. 2). 𝑥−3 𝑥 2 − 2𝑥 − 3. Exercice N° 50 :. Calculer chacune des limites suivantes : 1). lim. 2 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 𝑥. lim. 𝑥→0. 2. 𝑥3 + 𝑥. lim. lim. 2). Professeur Badr Eddine El FATIHI. om. 2). 2ème Année Bac - SM. 5). 𝑥→− 3. lim. 𝑥→1. lim. 𝑥→2. 𝑥+ 3 3 − 𝑥2. 1 2 − 2 𝑥−1 𝑥 −1 𝑥3 − 8 𝑥2 − 4. lim. 2𝑥 + 9. lim. 𝑥− 𝑥. lim. 3−𝑥. 𝑥→+∞. 𝑥→+∞. 3. 6). 𝑥→−∞. Exercice N° 49 :. Exercice N° 51 :. Calculer chacune des limites suivantes :. Calculer les limites suivantes :. 1). lim. 𝑥 →+∞. 3𝑥 − 𝑥 4 + 𝑥 1 − 5𝑥 2 𝑥 2 + 1 2 − 3𝑥 3. 1). You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 2) 22. lim. 𝑥 + 𝑥2 + 1. lim. 𝑥 − 4𝑥 2 + 1. 𝑥→+∞. 𝑥→+∞. WhatsApp : 0660344136.
(23) Séries d’exercices corrigés détaillés. 4𝑥 2 + 3𝑥 − 1 𝑥+5. lim. 𝑥→+∞. 4). lim. 𝑥→0. 5). You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. Exercice N° 56 :. 𝑥+1−1 𝑥. lim. 𝑥+1− 𝑥. 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝐾 𝑥 = 𝑥 2 − 3 sin 𝑥 1) 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ ∀𝑥𝜖ℝ ; 𝐾 𝑥 ≥ 𝑥 2 − 3 2) 𝐷é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 lim 𝐾 𝑥 𝑒𝑡 lim 𝐾 𝑥. lim. 𝑥+ 𝑥− 𝑥. Exercice N° 57 :. 𝑥→+∞. 6). 𝑥→+∞. 𝑥→+∞. 𝑓 𝑥 =. Exercice N° 52 :. 𝑆𝑜𝑖𝑡. Soit g la fonction numérique définie par : ;. 𝑥≤1. 𝑥+𝛼 𝑥+𝛽. ;. 𝑥>1. 𝑥2. 2) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟. 𝑓 𝑥 −1 ≤. −2 𝑥. 𝑥→−∞. 𝑥→+∞. Exercice N° 58 : 1 + sin 𝑥 − 1 𝑥 1) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim 𝑓 𝑥 𝑆𝑜𝑖𝑡. ∀𝑥𝜖ℝ. ∗. lim 𝑓 𝑥. 1 ; 𝑓 𝑥 ≥ 2 𝑥. 3) 𝐷é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 ∶. su. 2) 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒. lim 𝑔 𝑥. 𝑔 𝑥. ≤. 1 𝑥. 𝑥→−∞. 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 ; lim 𝑥→+∞ 𝑥 𝑥→−∞ 𝑥. lim 𝑓 𝑥 ; lim 𝑓 𝑥 ; lim. 𝑥→+∞. 𝑥→−∞. 3) 𝐸𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑓 𝑒𝑛 𝑧é𝑟𝑜. Exercice N° 55 :. Exercice N° 60 :. 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑥 = 𝑥 2 sin. 1 𝑥 1) 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ ∀𝑥𝜖ℝ∗ ; 𝑓 𝑥 − 𝑥 < 𝑥 2 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 ∙ 𝐸. ≤ 𝑥2. 𝑥→0. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 𝑒𝑡. 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑓 𝑥 = 𝐸 𝑥 + sin 𝑥 1) 𝑀𝑞 ∶ ∀𝑥𝜖ℝ ∶ 𝑥 − 2 < 𝑓 𝑥 ≤ 𝑥 + 1 2) 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 ∶. 𝑥→+∞. 1 𝑥3 1) 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ ∀𝑥𝜖ℝ∗ ; 𝑥 2) 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim 𝑥. lim 𝑓 𝑥. 𝑥→+∞. ≤. Exercice N° 59 :. cos 𝑥 𝑥. ;. 1 𝑥 lim 𝑓 𝑥. 2) 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ ∀𝑥𝜖ℝ∗ ; 𝑓 𝑥. 𝑥→0. 1) 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ ∀𝑥𝜖ℝ∗+. 𝑓 𝑥 =. 𝑥→0. Exercice N° 54 : 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑔 𝑥 =. ∀𝑥 ≤ −1 ;. 𝑥<0. 3) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim 𝑓 𝑥. je. 1) 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶. ;. 𝑥>0. 2) 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim 𝑓 𝑥. te. 𝑓 𝑥 =. 1 𝑥. ;. xa. Exercice N° 53 : 2 + sin. 𝑥. .c. 𝑥+𝛼 𝑥+2. sin 𝑥. 𝑥→−∞. cos 𝑥 − 𝑥 + 1 𝑥. 1) 𝑀𝑞 ∶. Trouver 𝛼 𝑒𝑡 𝛽 pour que lim𝑥→1 𝑔 𝑥 = 4. 𝑆𝑜𝑖𝑡. Professeur Badr Eddine El FATIHI. om. 3). 2ème Année Bac - SM. 23. WhatsApp : 0660344136.
(24) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. 2) 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim 𝑓 𝑥. 5). 𝑥→0. 3) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 ∶. lim 𝑓 𝑥. 𝑥→−∞. ; lim 𝑓 𝑥. Professeur Badr Eddine El FATIHI. lim. 𝑥→2. 𝑥→+∞. Exercice N° 61 :. 6). lim−. 𝑥→0. 2𝑥 + 1 − 𝑥 + 3 𝑥 2 − 1 − 2𝑥 2 − 5 𝑥2 − 𝑥 − 𝑥 𝑥2 + 𝑥 + 1 − 1. Calculer chacune des limites suivantes :. 4). 5). 6). 1). lim. 1 − 3𝑥 − 2 𝑥 2 + 4𝑥 + 3. 2). 𝑥→−4. 𝑥→−1. lim. 𝑥→−1 𝑥>−1. lim. 𝑥→0. lim−. 𝑥→1. 2𝑥 2 − 2. 3). 𝑥+1 𝑥4 + 1 − 1 𝑥 1 − 𝑥2 𝑥−1. 4). 5). 𝑥→1. lim. 𝑥→1. lim. 𝑥→3. lim. 𝑥→2. lim −1. 𝑥→. je. Exercice N° 62 :. lim+. 2𝑥 − 1 − 𝑥 − 1 − 1 𝑥−1. om. lim. 𝑥 3 + 64 3𝑥 2 + 14𝑥 + 8. 𝑥 − 3𝑥 + 2 𝑥−1. 𝑥 + 1 − 𝑥2 + 𝑥 + 4 𝑥−3. .c. 3). Calculer les limites suivantes :. xa. 2). lim. 𝑥→1. te. 1). Exercice N° 63 :. 𝑥 𝑥−1 𝑥2 − 1. 6). 2. lim. 𝑥→2. 2 − 3𝑥 − 2 2𝑥 + 5 − 3 4𝑥 + 6 + 𝑥 2 − 3𝑥 − 3 2𝑥 + 1 𝑥−1+ 𝑥+2−3 𝑥−2. Calculer chacune des limites suivantes :. 2). 3). 4). su. 1). Exercice N° 64 :. lim. 𝑥→1+. lim. 𝑥→3. lim+. 𝑥→1. lim. 𝑥→9. 1 1 − 2 𝑥−1 𝑥 −1. Calculer chacune des limites suivantes :. 2𝑥 + 3 − 𝑥 𝑥 2 − 3𝑥. 1). 𝑥 + 3 − 3𝑥 + 1 𝑥−1. 2). 𝑥−3 𝑥+7−4. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. lim𝜋. 𝑥→ 2 𝜋 𝑥< 2. lim𝜋. 𝑥→. 4. cos 𝑥 − 1 + sin 𝑥 cos 𝑥 − cos 3𝑥. cos 𝑥 − sin 𝑥 1 − 2 cos 𝑥. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 24. WhatsApp : 0660344136.
(25) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. Exercice N° 67 :. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 3) 4). lim. 𝑥→0. lim. 𝑥→±∞. Professeur Badr Eddine El FATIHI. 1 − cos 3𝑥 𝑠𝑖𝑛2 5𝑥. 𝑓 𝑥 =. sin 2𝑥 −2 𝑥. 𝑓 𝑥 =. 𝑥 𝑥+1 𝑥2 − 4. 𝑆𝑜𝑖𝑡. 𝑥 2 + 2𝑥 sin 𝑥. ; ;. 𝑥>0. 𝑥≤0 𝑥 ≠ −2. 1) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim 𝑓 𝑥 𝑥→0. 6). lim𝜋. lim. 𝑥 ∙ sin. 𝑥→. 2. 𝑥→0. lim 𝑓 𝑥. 𝑥→−∞. −1 1 −2≤𝑓 𝑥 ≤ −2 𝑥 𝑥 4) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim 𝑓 𝑥 3) 𝑀𝑞 ∶ ∀𝑥 > 0 ;. 1 1 ∙ cos 𝑥 𝑥. 𝑥→+∞. om. 5). 1 + cos 2𝑥 1 − sin 𝑥. 2) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒. 5) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 ∶. Exercice N° 65 :. lim 𝑓 𝑥. 𝑥→−2 𝑥>−2. 𝑒𝑡. lim 𝑓 𝑥. 𝑥→−2 𝑥<−2. Exercice N° 68 :. .c. Calculer les limites suivantes :. Calculer chacune des limites suivantes :. 4). 5). 𝑥→. 6. lim𝜋. 𝑥→. 4. lim. 𝑥→1. tan 𝑥 − 1 2 sin 𝑥 − 2. lim𝜋. 𝑥→. 2. 2). 3). sin 𝑥 − 1 𝑥2 − 1. 4). sin 𝑥 −1 1 + cos 𝑥 𝜋 𝑥− 2. 5). 6). Exercice N° 66 :. 𝑥 2 − 3𝑥 + 1 − 𝛼𝑥 − 𝛽. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. lim. 𝑥→+∞. 𝑥 + 4𝑥 2 − 𝑥 + 5. lim. 𝑥+2 𝑥 𝑥−3. lim. 𝑥+5 2𝑥 − 4. lim. 𝑥 2 − 3𝑥 + 5. 𝑥→+∞. 𝑥→−∞. 𝑥→−∞. lim. 𝑥→+∞. 2𝑥 + 1 𝑥+1. Calculer les limites suivantes :. cos 𝑎𝑥 − cos 𝑏𝑥 1) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 ∶ lim− 𝑥→0 𝑥 2) 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑛𝑖𝑒𝑟 𝛼 𝑒𝑡 𝛽 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑞𝑢′ 𝑜𝑛 𝑎𝑖𝑡 ∶ lim. 𝑥→−∞. Exercice N° 69 :. 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑟é𝑒𝑙𝑠 𝑡𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒 0 < 𝑎 < 𝑏. 𝑥→+∞. lim 𝑥 𝑥 + 𝑥 2 + 1. xa. 3 sin 𝑥 − cos 𝑥 6𝑥 − 𝜋. te. 3). lim𝜋. 1). je. 2). 𝑥→0. cos 𝑥 − cos 𝑥 sin 2𝑥 ∙ tan 3𝑥. lim. su. 1). 1). =0 25. lim. 𝑥→+∞. 𝑥−1 𝑥+3. ;. 2) lim. 𝑥→2. 𝑥− 2 𝑥 2 − 2𝑥. WhatsApp : 0660344136.
(26) Séries d’exercices corrigés détaillés. 3). 4). 6). lim. 𝑥→−∞. lim. 𝑥→+∞. lim. 𝑥→−∞. 2ème Année Bac - SM. 4𝑥 2 − 3𝑥 + 2𝑥 − 5. 𝑥+2 𝑥2. ;. 3). 5) lim. 𝑥→−∞. 𝑥3 + 1 2𝑥 + 3. 4). 𝑥 + 7 + 4 − 2𝑥. 5). Professeur Badr Eddine El FATIHI. lim. 𝑥→−∞. lim. 𝑥→−∞. lim. 𝑥→4. 𝑥−2 𝑥 2 + 5𝑥 2 − 7𝑥 3𝑥 + 5. 1 − 2𝑥. 𝑥+5− 𝑥−1 𝑥 + 12 − 𝑥 − 2. Exercice N° 72 :. Calculer chacune des limites suivantes :. Calculer chacune des limites :. 5). 6). lim. 𝑥→1. lim. 𝑥→+∞. lim+. 𝑥→0. lim+. 2). 𝑥→1. 𝑥 2 − 6𝑥 3𝑥 − 1. 3 𝑥−5 +2 4𝑥 2 − 9. .c. lim −3. 𝑥→ 2 −3 𝑥> 2. 𝑥 2 + 5𝑥 −2 𝑥−1. 3). 𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥 𝑥− 𝑥. 3. xa. 4). 𝑥→−∞. 𝑥−2. te. 3). lim. lim1. 𝑥→. 4). je. 2). lim. 𝑥→−∞. 1). 5). 𝑥+ 𝑥. 𝑥2 − 𝑥. su. 1). 𝑥4 + 2𝑥 𝑥2 − 𝑥. om. Exercice N° 70 :. 6). 𝑥−1. lim. 𝑥→−4. lim. 𝑥→0. lim. 𝑥→+∞. lim. 𝑥→4. 𝑥+5 𝑥 2 + 4𝑥 𝑥2 + 𝑥 𝑥2 − 𝑥 2𝑥 − 3 −5𝑥 + 7 𝑥 2 − 2𝑥 − 8 𝑥 2 − 5𝑥 + 4. Exercice N° 71 :. Exercice N° 73 :. Calculer les limites suivantes :. Calculer chacune des limites suivantes :. 1) 2). lim. 𝑥→+∞. lim. 𝑥→+∞. 3𝑥 2 + 𝑥 + 4 − 2𝑥 + 1. 1). 9𝑥 2 + 4𝑥 − 3𝑥 + 8. 2). You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 3) 26. lim−. 𝑥→4. lim. 𝑥→3−. lim. 𝑥→0+. 𝑥 𝑥−4 2𝑥 2 − 𝑥 + 1 3 − 𝑥 −1 − 𝑥 𝑥 𝑥+2 WhatsApp : 0660344136.
(27) Séries d’exercices corrigés détaillés. 5). 6). lim+. 𝑥→2. 2 − 3𝑥 2−𝑥. 5). 𝑥−3. 𝑥→3. 𝑥→2. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. −7. lim+. lim+. 𝑥3 − 8 𝑥 2 − 4𝑥 + 4. 6). Exercice N° 74 :. 6). lim+. 𝑥→1. lim. 𝑥→0. 𝑥3 − 1 𝑥2 − 𝑥. 1). 2). 1 1 − 3 𝑥−1 𝑥 −1. 3). 2). 3). 4). lim+. 𝑥→0. lim. 𝑥→0. −𝜋 + 2. tan 𝑥. lim𝜋. 𝑥→. 2. ;. cos 𝑥 2𝑥 − 𝜋. 4). ;. 5). lim −𝜋. 𝑥→. lim. 𝑥→1. −. tan 𝑥. 2. sin 𝜋𝑥 𝑥−1. 1). 𝑥3 − 1 𝑓 𝑥 = 𝑥−1. 2). 𝑓 𝑥 =. 1 − cos 𝑥 sin 𝑥. 3). 𝑓 𝑥 =. 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥 + 6 𝑥+1. ; 𝑥0 = −1. 1 − cos 4𝑥 tan 2𝑥 ∙ sin 𝑥. 4). 𝑓 𝑥 =. 𝑥 ∙ sin 𝑥 cos 𝑥 − 1. 𝑥0 = 0. sin 2𝑥 − 2 sin 𝑥 𝑥3. lim 𝑥 2. 𝑥→+∞. lim. Pour chacun des cas suivants, montrer que la fonction 𝑓 admet un prolongement par continuité au point 𝑥0 puis donner ce prolongement :. su 𝑥→0. 𝜋 2. 1 + sin 𝑥 cos 𝑥. Exercice N° 77 :. 2 − 𝑥2 + 4 𝑥 − 2𝑥 2. lim +. 𝑥→. Calculer les limites suivantes : lim. 𝑥→0. 𝑥→. Exercice N° 75 :. 1). sin 𝑥 − tan 𝑥 𝑥3. .c. 4𝑥 2 − 𝑥 + 5 𝑥2 − 4. 𝑥→0+. lim. 𝑥→0. xa. 5). lim+. 𝑥−3. 𝑥→3. lim. 2). 𝑥2 − 9 + 𝑥 − 3. lim+. 𝑥→−2 𝑥>−2. ;. te. 4). 𝑥→1. 𝑥−1 2 𝑥2 − 1 5. 2− 𝑥+4 tan 5𝑥. Calculer chacune des limites :. je. 3). lim−. lim. Exercice N° 76 :. Calculer chacune des limites suivantes : 1). Professeur Badr Eddine El FATIHI. om. 4). 2ème Année Bac - SM. 𝑥0 = 1. 1 + sin 𝑥 − 1 𝑥. ;. ;. 𝑥0 = 0. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 1 1 − cos 𝑥. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. ;. 27. WhatsApp : 0660344136.
(28) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. Exercice N° 78 : Pour chacun des cas suivants, montrer que la fonction 𝑓 admet un prolongement par continuité au point 𝑥0 puis donner ce prolongement :. Professeur Badr Eddine El FATIHI. 𝑥 1 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥. 3). 𝑓 𝑥 =. 4). 𝑓 𝑥 = cos 𝑡𝑎𝑛2 𝑥. Exercice N° 81 :. 1). 𝑥 2 + 4𝑥 − 3 𝑓 𝑥 = 𝑥+3. 2). 𝑥 3 − 𝑎3 𝑓 𝑥 = 𝑥−𝑎. ;. 𝑥0 = 𝑎 𝜖 ℝ. 1). 3). 𝑥−2 2 𝑓 𝑥 = 4𝑥 − 𝑥 3. ;. 𝑥0 = 2. 2). 4). 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 ∙ sin. ;. Calculer chacune des limites suivantes :. 3). 𝑥0 = 1. 1 𝑥−2 𝑥+ 𝑥. lim. 𝑥→+∞. Exercice N° 79 :. lim tan. 𝑥→0. 𝜋 sin 𝑥 3𝑥. lim cos. 𝑥→−∞. 𝜋𝑥 + 1 𝑥+2. lim cos sin. 𝑥→+∞. xa. 4). Dans chacun des cas suivants étudier la continuité de la fonction 𝑓 sur 𝐷𝑓 :. 3). 4). 𝑓 𝑥 = cos. 𝑓 𝑥 =. 6). +1. je. 2). 𝑥2. lim cos 𝜋. 𝑥→+∞. lim sin 𝜋. 𝑥→0. 1 𝑥 𝑥−1 𝑥+1. 1 − cos 𝑥 𝑥2. Exercice N° 82 :. 𝑥−3 𝑥+2. su. 1). 2𝑥 + 1 𝑓 𝑥 = sin 2 𝑥 −1. te. 5). Pour chacun des cas suivants, montrer que la fonction 𝑓 est continue sur l’intervalle 𝐼. puis déterminer 𝑓 𝐼 .. 𝑓 𝑥 = 1 − sin 𝑥. Exercice N° 80 :. 1). 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2. Dans chacun des cas suivants étudier la continuité de la fonction 𝑓 sur 𝐷𝑓 .. 2). 𝑓 𝑥 =. 3). 𝑓 𝑥 = 2𝑥 𝑥 + 1. 1). 𝑓 𝑥 = cos 2𝑥 2 − 3𝑥 + 4. 2). 𝑓 𝑥 = tan. 𝜋 𝑥. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 3. om. 1 𝑥−1. 𝑥0 = −3. .c. ;. 𝑥−4 𝑥−2. ;. 𝐼 = −1,3. ;. 𝐼 = 5,8 ;. 𝐼 = 3,5. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 28. WhatsApp : 0660344136.
(29) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. Exercice N° 85 :. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. 𝑓 𝑥 = tan 𝑥. ;. 𝐼=. Résoudre dans ℝ les équations inéquations ainsi proposées :. −𝜋 𝜋 , 2 2. 1). 𝑓 𝑥 =𝑥+3 ; 𝑥 ≤2 5). Exercice N° 83 : Montrer que chacune des équations suivantes admet au moins une solution dans 𝐼 :. 2). 2 cos 𝑥 − 𝑥 = 0 tan 𝑥 + 𝑥 = 2. 𝜋 𝜋 𝐼= , 4 3. ;. 3). 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛. 4). 1). te. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. je. 3). 4). su. Dans chacun des cas suivants, montrer que la fonction 𝑓 réalise une bijection de 𝐼 sur un intervalle 𝐽 à déterminer puis déterminer une expression de 𝑓 −1 𝑥 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 𝜖 𝐽 : 1). 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 5. 2). 𝑓 𝑥 = 4𝑥 − 𝑥 2. 3). 𝑓 𝑥 =. 4). 𝑓 𝑥 =. ; ;. 𝑥2 − 𝑥 − 𝑥 𝑥 𝑥2 + 2. 𝐸 ∶. 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 2𝑥 >. lim+ 𝑥 + 1 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛. 1 𝑥. lim− 𝑥 + 1 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛. 1 𝑥. 𝑥→0. 𝑥→0. lim 𝑥. 𝑥→−∞. lim. 𝑥→2. 𝜋 + 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 2. 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 − 2 𝑥2 − 4. Exercice N° 87 : 1) Étudier la continuité des fonctions : 𝑥 4 3 𝑓 𝑥 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑒𝑡 𝑔 𝑥 = 𝑥−1 2) calculer les limites suivantes : 3 3 𝑥−1 𝑥+1−1 lim ; lim 4 𝑥→1 𝑥→0 𝑥−1 𝑥+1−1. 𝐼 = 1, +∞ 𝐼 = −∞, 2. ;. 𝐼 = −∞, 0 lim. ;. 𝑥→+∞. 𝐼 = 0, 2. lim. 𝑥→+∞ Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 𝜋 3. Calculer chacune des limites suivantes :. 2). Exercice N° 84 :. 1 1 + 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 2 3. Exercice N° 86 :. 𝐼 = 0,1. 𝐼 = 0, 𝜋. 𝐸 ∶ 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 2𝑥 + 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 − 1 ≤ 0. xa. 3). 2. ;. ;. 𝜋 3. 2). .c. 𝑥 4 + 𝑥 2 + 4𝑥 − 1 = 0. 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 3𝑥 =. et. ; 𝐼 = −3,5. 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 ; 𝑥 > 2. 1). 𝐸 ∶. om. 4). Professeur Badr Eddine El FATIHI. 29. 3. 𝑥3 + 𝑥 − 𝑥. 𝑥2 + 1 −. 3. 𝑥2 + 1 WhatsApp : 0660344136.
(30) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. 3) Résoudre dans ℝ l’équation : 3. 2. 𝑥+1. −. 3. 2. 𝑥−1. =. 3. 2) 4𝑥 3). Exercice N° 88 :. Professeur Badr Eddine El FATIHI. lim. 𝐵=. 4. 4. 125. 2 9. 6. lim. 5. 𝐶=. 1 −3 3 72. ×. 1 4. × 25. 5 2. 𝑥− 𝑥+1. lim +. 1 1 𝜋 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 − 𝑥 𝑥 2. 𝑥→0. ∀𝑥𝜖ℝ ; 1 + 𝑥 − 𝑥 2 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 1 + 𝑥 − 𝑥 2 + 𝑥 4. 3 −2 2 33 2 3. Calculer les limites suivantes : × 21. 3 4. × 63−2. 1) −1 6. Exercice N° 89 :. Résoudre dans ℝ les équations : 3. 3+𝑥− 3−𝑥 =. 2). 𝐸 ∶ 2𝑥 𝑥 − 3𝑥 ∙. 3). 𝐸 ∶. 6. 4𝑥 2. te. 𝐸 ∶. 3). 4. 𝑥→0. 3. 𝑥+1− 𝑥 =1. 𝐸 ∶ 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 2𝑥 =. lim. 𝑥→0. 𝑓 𝑥 −1 𝑥 𝑓 𝑥 −1−𝑥 𝑥2. On considère la fonction numérique g définie par : −𝜋 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 𝜋 tan 𝑥 ; 𝑥 𝜖 – 𝜋, 2. 1 = 20 𝑥. su. lim. Exercice N° 92 :. je. 1). 𝑓 𝑥 + 𝑥2. lim. 𝑥→+∞. xa. 2). 4). 6. 𝑥→+∞. Soit 𝑓 une fonction numérique vérifiant :. 17 3. × 243. 3. 3. Exercice N° 91 :. × 625. 1 2 2 75. 𝑥− 𝑥+1. om. 𝐴=. 6. 32 × 27 × 108. 4. .c. 4. 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥. 𝑥→+∞. Simplifier les nombres suivants : 4). 3. 1 − 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥 ∙ tan 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥. 𝜋 4. 𝑔 𝑥 =. Exercice N° 90 :. 3 1 + 𝑥4 − 𝑥 2+𝑥. ;. 𝑥𝜖. ;. −𝜋 ,0 2. 𝑥 𝜖 0, +∞. 1) Calculer les limites suivantes : Calculer chacune des limites suivantes : 3. 1). lim. 𝑥→1. 4. 𝑥2. lim 𝑔 𝑥. 𝑥→+∞. −1. ;. lim 𝑔 𝑥. −𝜋 + 2. ;. lim 𝑔 −𝜋 − 2. 𝑥. 𝑥−1 2) Établir la continuité de g en zéro. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. Professeur Badr Eddine EL FATIHI. 30. WhatsApp : 0660344136.
(31) Séries d’exercices corrigés détaillés. 2ème Année Bac - SM. Exercice N° 93 :. You’re not supposed to create new methods or new techniques. Just understand those that already exist . it’s not about intelligence it’s about hard work. It’s about the amount of work per day dudes.. Déterminer les deux réels 𝑎 et 𝑏 pour que la fonction 𝑓 définie sur ℝ par : 𝑥2 + 𝑥 − 𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑥−2 𝑓 𝑥 =. 2𝑥 + 𝑏 3. ;. Déterminer les réels 𝑎, 𝑏, 𝑐 pour que les conditions soient vérifiées dans chacun des cas suivants :. 𝑥>2. ;. Professeur Badr Eddine El FATIHI. 1). 𝑥≤2. 2). lim 𝑓 𝑥. 𝑒𝑡. 𝑥→+∞. lim 𝑓 𝑥 = lim 𝑓 𝑥. 𝑥→0. 𝑥→3. 𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑒𝑛 𝑥0 = 2.. Exercice N° 97 :. Exercice N° 94 :. Pour chacun des cas suivants, montrer que la fonction 𝑓 admet un prolongement par continuité en 𝑥0 puis donner ce prolongement :. om. Soit continue au point 𝑥0 = 2 .. ;. −2𝑥 2 + 3𝑥 + 3 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1. ;. 𝑥>1. 2+𝑐 3. Soit continue au point 𝑥0 = 1.. je. Exercice N° 95 :. su. Déterminer les deux réels 𝑎 et 𝑏 pour que la fonction 𝑓𝑛 définie sur ℝ par :. ∀𝑛𝜖ℕ∗ ∶. 𝑓𝑛 𝑥 =. 3−𝑥 𝑛 −𝑎 𝑥−2. 3𝑥 + 𝑏 𝑓𝑛 𝑥 = 4. 𝑥 𝑥−1. 1) 𝑓 𝑥 =. ; 𝑥<2. ;. 𝑥≥2. ;. 3𝑥 + 1 − 𝑥 + 3. 𝑥0 = 1. 𝑥 + 6 + 2𝑥 + 5 − 3 ; 𝑥0 = −2 4 − 𝑥2. 2) 𝑓 𝑥 =. te. 𝑓 1 =. 𝑥<1. xa. 3𝑥 2 − 2𝑏𝑥 + 1 𝑓 𝑥 = 2 2𝑥 + 𝑎𝑥 − 𝑎 − 2. .c. Déterminer les réels 𝑎 et 𝑏 et 𝑐 pour que la fonction 𝑓 définie sur ℝ par :. 3) 𝑓 𝑥 =. tan 𝑥 − sin 𝑥 𝑥 + sin 𝑥. 4) 𝑓 𝑥 =. cos 𝑥 − 1 + sin 𝑥 𝑥. ;. 𝑥0 = 0. ;. 𝑥0 = 0. Exercice N° 98 : Soit 𝑓 la fonction définie par : 𝑓 𝑥 =. 𝑥−1. 2. ;. 𝑥2 − 1. 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 3𝑥 + 2. 𝑥 >1 ;. 𝑥 <1. Soit continue au point 𝑥0 = 2 1) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 ∶ Exercice N° 96 :. 𝑆𝑜𝑖𝑡 ∀𝑥𝜖ℝ ∶. 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 − 1 𝑓 𝑥 = ; 𝑥≥2 𝑥2 − 2 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 𝑐. ;. 𝑥<2. Professeur Badr Eddine EL FATIHI lacunes que connaît la filière SM en matière 31. lim 𝑓 𝑥. 𝑥→1−. 𝑒𝑡. lim 𝑓 𝑥. 𝑥→1+. 2) 𝑓 admet-elle un prolongement par Continuité en 1 ? 3) 𝑓 admet-elle un prolongement par Continuité en -1 ? WhatsApp : 0660344136.
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