DS1-2013_CORRIGE
Partie A : « Communication technique »
1. Dessins en projection plane
Question A-1 : Compléter les dessins en projection plane (cf. documents réponse) des pièces suivantes :
« Support de pince » , «doigt» et «boitier ». Représenter toutes les arêtes cachées.
« Support de pince »
Complèter la vue de dessus (vue de face et de gauche complètes)« Doigt »
Complèter la vue de dessus. (les autres vues sont complètes).
« Boitier »
représenter la vue de dessous en coupe B-B (les deux autres vues sont complètes)O
z x
y
1 x
1 z
O
x
z y
1 z 1
x
.
θ θ
θ θ
Fig. 4
2. Dessins en perspective isométrique
Question A-2 : Dessiner à main levée, en perspective isométrique les trois pièces ci-dessous.
« Lardon » « Vé double » « Potence »
Partie B : « Calcul vectoriel »
1. Présentation des données.
Sur la figure 4 ci-contre sont définis deux repères orthonormés directs R0 (O, x, y, z) et R1 (O, x1, y, z1).
On définit également trois vecteurs par leurs coordonnées respectives :
z y x
U r r r
2 1
2 − −
= ; V xr yr zr
1 4
2 − +
−
= ; W =2x1+3z1
2. Travail demandé :
Question B-1 : Effectuer les calculs suivants :
V
U+ ; U⋅V ; U∧V ; U ; V .
0 0
0 1
5 0
1 4 2
2 1 2
R R
R
V U
−
−
=
−
−
+
−
−
=
+
2 2 4 4 1
4 2
2 1 2
0 0
−
=
− +
−
=
−
−
⋅
−
−
=
⋅
R R
V U
0 0
0 10
2 9
1 4 2
2 1 2
R R
R
V U
−
−
=
−
−
∧
−
−
=
∧
Question B-2 : Démontrer que U etVne sont pas perpendiculaires.
Etant donné que le produit scalaire de ces deux vecteurs n’est pas nul, ils ne peuvent pas être perpendiculaires.
Question B-3 : Exprimer les vecteurs unitaires x1etz1dans le repère R0.
+
=
−
=
z x
z
z x
x
. cos . sin 1
. sin . cos 1
θ θ
θ θ
Question B-4 : En déduire les coordonnées de W dans le repère R0.
( ) ( )
sin 0
. 2 cos . 3
0 sin . 3 cos . 2 . cos . sin 3 . sin . cos 2 1 3 1 2
R
z x
z x
z x W
− +
= +
+
−
= +
=
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
Question B-5 : Calculer les produits suivants : 1
x
x⋅ ; z1⋅x ; x1⋅z ; x1⋅y ; x∧x1 ; z1∧x ; x1∧z ; x1∧y θ
cos 1=
⋅x
x z1⋅x=cos
(
π2−θ)
=sinθ x1⋅z=cos(
π2+θ)
=−sinθ x1⋅y=0y x
x∧ 1=sinθ. z1∧x=sin
(
π2−θ)
.y=cosθ.y x1∧z=−sin(
π2+θ)
.y=−cosθ.y x1∧y=z1Question B-6 : Déterminer un vecteur unitaire u ayant même direction et même sens que U .
U
u= U avec U = 4+1+4= 9 =3 d’où
3 0
2 13 23
R
u
−
= −
Question B-7 : Déterminer un vecteur unitaire j perpendiculaire à u et à ztel que la base
( )
u, j,z soit directe.0
0 23
13
R
u z j
=
∧
=
Question B-8 : Déterminer l’angle β, défini entre les vecteursUetV. En utilisant le produit scalaire :
On sait qu’il est possible de calculer le produit scalaire de deux manières :avec les coordonnées ou avec les normes :U⋅V =−2 U⋅V = U . V .cosβ
Avec U =3 et V = 4+16+1= 21= 3. 7
On en déduit : 0,1455
21 3
2 .
cos = ⋅ = − =−
V U
V
β U
Etant donné que cet angle n’est pas défini dans un plan orienté, on ne retiendra que la solution positive :
°
=
−
=arccos( 0,1455) 98,36 β
En utilisant le produit vectoriel :
On sait que :
10 0
2 9
R
V U
−
−
=
∧ On peut en déduire : U∧V = 81+4+100= 185 = 5. 37
Or on sait que la norme de ce produit vectoriel s’écrit également : U ∧V = U . V .sinβ Avec U =3 et V = 4+16+1= 21= 3. 7
On en déduit : 0,9894
21 3
185 .
sin ∧ = =
= V U
V β U
Etant donné que cet angle n’est pas défini dans un plan orienté, on ne retiendra que les solutions positives :
°
°
=
=arcsin(0,9894) 81,65 ou 98,36 β
