DS1-2014_corrige.doc (version: 24/09/14)
C. Gabrion (sept.14) page 1/4
DS1-2014_Corrigé
Partie A : « Communication technique »
1. Dessins en projection plane
Question A-1 : Compléter les dessins en projection plane (cf. documents réponse) des pièces suivantes :
« Doigt biseauté » et « Glissière ». Représenter toutes les arêtes cachées.
« DOIGT BISEAUTE »
Complèter les vues de gauche et de dessus (la vue de face est complète)
« GLISSIERE »
Complèter la vue de dessus (la vue de face et de gauche sont complètes)
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Question A-2 : Représenter les trois pièces ci-dessous en projection plane, en 2 ou 3 vues, permettant de définir complètement ces pièces. Les perçages sont tous débouchants. Représentez toutes les arêtes cachées.
Respectez les proportions des pièces et la correspondance des vues.
« Butée en U » « Axe épaulé »
« Bloc glissière »
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O
y r
z x
w
v
O
z
x y
v w
.
α α
α α
Partie B : « Calcul Vectoriel »
1. Présentation du mécanisme
Sur la figure ci-contre sont définis deux repères orthonormés directs R0 (O, x, y, z) et R1 (O, x, v, w).
On définit également deux points P et M de coordonnées respectives :
z y x
OP r r r 4 3
2 + +
=
etOM x r y r z r 2 4
2 − +
=
2. Travail demandé :
Question B-1 : Exprimer les coordonnées de v et w dans le repère R0.
−
=
+
=
y z
w
z y
v
. sin . cos
. sin . cos
α α
α α
Question B-2 : Calculer la norme des vecteurs : OP
etOM .
= + +
=
= + +
=
24
² 2
² 4
² 2
29
² 4
² 3
² 2 OM
OP
Question B-3 : Calculer les produits suivants : OP ⋅ x
;v ⋅ x
;v ⋅ y
;z
v ⋅
;OM ∧ x
;v ∧ x
;v ∧ y
;v ∧ z .
α α sin cos
0 2
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
z v
y v
x v
x OP
et
x x
z v
x y
v
w x v x OM
. cos 2 .
sin
. sin
4 2 0
0 0 1
2 4 2
α π α α
=
−
=
∧
−
=
∧
−
=
∧
=
∧
−
=
∧
Question B-4 : Calculer les produits suivants : OP ⋅ OM
etOP ∧ OM . 0
4 2 3 4 2
2 × − × + × =
=
⋅ OM
OP
et
−
=
−
∧
=
∧
14 4 22
2 4 2
4 3 2 OM OP
Question B-5 : Calculer l’angle entre OP
etOM .
Etant donné que OP ⋅ OM = 0 et que les normes de ces deux vecteurs ne sont pas nulles, on peut en déduire que OM
OP ⊥ .
Ces deux vecteurs ne sont pas dans un plan orienté, on peut donc écrire que ( OP ⋅ OM ) = π 2
Question B-6 : Déterminer un vecteur unitaire u ayant même direction et même sens que OM . On peut calculer directement les coordonnées de ce vecteur :
−
=
−
=
=
1 2 1 6 1 2
4
2
24
1
OM
u OM
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Question B-7 : Déterminer les coordonnées d’un point Q telles que : OQ ⊥ OP
etOQ ⊥ x .
En utilisant la méthode du produit vectoriel :
En effectuant le produit vectoriel :
OP ∧ x = T
on obtient un vecteur perpendiculaire au plan formé parOP
etx
.
−
=
∧
=
=
∧
3 4 0
0 0 1
4 3 2 T x OP
On peut en déduire la famille de solutions possibles :
OQ = k . T ( avec k ∈ ℜ )
En utilisant la méthode du produit scalaire :
On pose
OQ = X . x + Y . y + Z . z
où X, Y, Z sont les coordonnées que l’on cherche. Et on traduit les conditions pour la position du point N en relations mathématiques sur ces coordonnées :1 0 4 3 2
0 X Y Z eq
OP OQ OP
OQ ⊥ ⇒ ⋅ = ⇒ + + =
2 0
0 X eq
x OQ x
OQ ⊥ ⇒ ⋅ = ⇒ =
En substituant l’équation 2 dans l’équation 1, on obtient :
3 Y + 4 Z = 0 eq 4
Il existe une infinité de solutions. Par exemple, si on choisit Z = 1, alors Y = -0,75.
Pour retrouver la solution particulière obtenue précédemment, il suffit de choisir Y = 4. On obtient alors Z = -3 :
