DM1-2013_CORRIGE Partie A : « Verrou de coffre »

DM1-2013_CORRIGE Partie A : « Verrou de coffre »

Travail demandé

Pour identifier les différentes pièces de ce mécanisme, il peut être judicieux de mettre un peu de couleur :

1. Les figures 4 et 5 représentent deux pièces de ce mécanisme, indiquer le repère de ces deux pièces.

2. Dessiner à main levée les pièces 3, 4 et 6 en deux vues planes. Le choix des vues doit définir complètement les pièces.

3. Dessiner à main levée les pièces 4, 1 et 9 en perspective isométrique.

4. Grouper les pièces en solides cinématiques et établir le graphe de structure de ce verrou.

5. Tracer le schéma cinématique de ce mécanisme.

O

B y

S0

S6 S4

S3

A S2

x S1

S7 C

D E

+ F + + +

+

+ +

Couvercle S0 (5, 9, 10)

4

7

1 3 2

Pivot

Pivot

6 Pivot

Pivot Glissière

hélicoïdale Pivot

Pivot Glissant

Pivot

6. Sur le schéma cinématique, effectuer un tracer d’esquisse donnant la position des différents centres d’articulation dans les deux positions suivantes : le bras de fermeture 6 sort ou rentre de 5 mm

On comprend aisément la trajectoire possible des points suivants : - T(B/S0) = Cercle (A, AB)

- T(C/S0) = Cercle (O, OC) - T(D/S0) = Cercle (O,OD) - T(E/S0) = Cercle (F, FE)

Par construction, les droites (A,B) et (B,C) sont toujours perpendiculaires. D’où, en allongeant ou en raccourcissant la longueur BC, on allonge ou on raccourcit la longueur AC (avec AC=cste).

La position du point C est à l’intersection du cercle(O,OC) et du cercle (A, AC).

On en déduit la position du point D, diamétralement opposée à la position du point C par rapport au point O.

On en déduit la position angulaire de S7 telle que (E,F) et (E,D) soient toujours perpendiculaires (ED n’est pas constant).

En pratique, les positions angulaires des droites (A,B), (B,C), (D,E) et (E,F) varient très peu.

O

B y

S0

S6 S4

S3

A S2

x S1

S7 C

D E

+ F + + +

+

+ +

+ +

7. Proposer une nouvelle cinématique permettant de commander la translation simultanée de deux bras de fermeture (solides 2 et 3) à partir de la rotation d’un solide d’entrée 1, en complétant le schéma cinématique de la fig. 6.

Partie A : « système bielle manivelle »

Présentation du mécanisme

Le système bielle-manivelle présenté sur la figure ci-dessous est composé d’une manivelle S1 animée d’un mouvement de rotation continue, d’une bielle S2 et d’un piston S3 effectuant des translations alternatives.

Travail demandé

1. Définir les repères liés à chacun des solides.

R0 (O,x,y,z) lié à S0 R1 (O,x1,y1,z) lié à S1 R2 (B,x2,y2,z) lié à S2 R3 (B,x,y,z) lié à S3

2. Déterminer la relation entre la translation du piston et la rotation de la manivelle.

AB OA OB = +

2 . 1 .

. x = − a x + b x λ

 



  + 

 



 



−

= −

 



 



β β θ

θ λ

sin .

cos . sin

. cos .

0 b

b a

a

on en déduit 2 équations scalaires :

 



= +

=

2 . sin

. sin .

1 . cos

. cos

.

eq a

b

eq a

b

θ β

θ λ

β

Pour ne plus avoir la variable

β

dans nos équations, on peut envisager deux solutions : - Substitution de

^cos β

^par

¹ − ^{sin ²} β

θ β

θ

β ^{. sin ²}

²

² ² sin sin

. sin

2

. b

a b

eq ⇒ = a ⇒ =

on peut en déduire une expression de

β ^{. sin ²} θ

² 1 ²

cos b

− a

=

En substituant dans

eq . 1

, on obtient :

^{. sin ²} θ λ ^{. cos} θ

² 1 ²

. a

b

b − a = +

θ θ

λ ^{. sin ²}

² 1 ² . cos

. b

b a

a + −

−

=

⇒

⇒ λ = − ^{a . cos} θ + ^{b ²} − ^{a ². sin ²} θ

- On élève les deux équations au carré et on les ajoute :

)

² sin

²

².(cos cos

. 2

² )

² sin

²

².(cos 2

. 1

.

²

+ eq

²

⇒ b β + β = λ + λ a θ + a θ + θ

eq

² cos . 2

²

² a a

b = + +

⇒ λ λ θ

² cos . 2

²

² = b − a − a

⇒ λ λ θ

on aboutit à une équation du 2^nd degré :

λ ² + ( 2 a . cos θ ). λ + ( a ² − b ²) = 0

Calcul du discriminant :

∆ = ( 2 a . cos θ )² − 4 .( a ² − b ²) = 4 .( a ² cos ² θ − a ² + b ²) > 0

car a < b

Avec

∆ = ^{2 a ² cos ²} θ − ^{a ²} + ^{b ²} = ^{2 a ²(cos ²} θ − ^{1 )} + ^{b ²} = ^{2 a ².(} − ^{sin ²} θ ⁾ + ^{b ²} = ^{2 b ²} − ^{a ². sin ²} θ

On a deux solutions réelles :

2

² sin

².

² 2 cos . 2 2

cos .

1 2 θ θ θ

λ = − ^a − ∆ = ^{− a − b − a}

une solution négative qui est mécaniquement impossible.

2

² sin

².

² 2 cos . 2 2

cos .

2 2 θ θ θ

λ = − ^a + ∆ = ^{− a + b − a}

la seule solution mécaniquement possible.

θ θ

λ = − ^{a . cos} + ^{b ²} − ^{a ². sin ²}

⇒

O B

θ y

x

λ S0

S1 S2

S3 A

Avec : OA = a ; AB = b x1 y1

θ

y

β β

x2 y2

3. Proposer une autre cinématique permettant de transformer une rotation continue en translations alternative