Cinématique du solide I. Notion de solide
Un solideΣ est un système indéformable.
Soient A et B deux points quelconques appartenant au solide :
k−→
ABk=cte
On peut donc définir un repère RΣ dans lequel tous les points du solide sont fixes.
Remarque : il faut 6 paramètres pour caractériser la position d’un solide :
— 3 paramètres de position pour repérer le point OΣ : (xOΣ, yOΣ, zOΣ)
— 3 paramètres angulaires1 pour définir l’orientation deRΣ par rapport à R0.
→ un solide possède ainsi 6 degrés de liberté.
1. par exemple les angles d’Euler, vus dans le cours de SI
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II. Solide en rotation
1. Définition
Un solide est en translation dans R0 si les vecteurs de base deRΣ conservent une direction fixe dans R0. Le solide possède alors 3 degrés de liberté.
Conséquence : à un instant donné, tous les points d’un solide en translation ont la même vitesse dans R0 et décrivent des trajectoires parallèles.
Remarque : dans le cours de SI cela se traduit parΩ~RΣ/R0 =~0 et le torseur cinématique en un pointM quelconque s’exprime sous la forme :
M∈Σ
~0
~v(M)R0
2. Exemples
a) translation rectiligne
Tous les points du solide décrivent une tra- jectoire rectiligne.
b) translation circulaire
Tous les points du solide décrivent une tra- jectoire circulaire.
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III. Rotation d’un solide autour d’un axe fixe
Soit ∆ l’axe de rotation du solide supposé fixe dans R0. On peut donc choisir l’axeOz tel que
∆ =Oz.
Soit ω la vitesse angulaire de rotation du solide autour de ∆ (en unité S.I. ω s’exprime en rad.s−1). Quand ω =cte la rotation est dite uniforme.
Conversion : on donne ω = 3000tr/min. Exprimer ω en unité S.I.
Tout point M du solide Σ décrit un cercle de centre H, projeté orthogonal de M sur ∆, à la vitesse angulaire ω.
La vitesse du point M s’exprime donc en coordonnées cylindriques sous la forme :
~
v(M)/R0 =rω~uθ
Remarque :on peut introduire un vecteur~Ωappelé vecteur rotation du solide par rapport à R0
Ω =~ ω~u∆
Le sens d’orientation de ~u∆ se déduit du sens d’orientation choisi pour ω par la règle du tire- bouchon.
Soit O ∈∆. On peut écrire~v(M)/R0 =Ω~ ∧−−→
OM.
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En effet, en posant ~uz =~u∆,
~v(M) =Ω~ ∧(−−→
OH +−−→
HM)
=Ω~ ∧−−→
HM
=ω~uz∧r~ur
=ωr~uθ
• Dans le cours de SI le torseur cinématique d’un solide en rotation autour un axe fixe s’exprime en un point de cet axe sous la forme :
O∈∆
~Ω
~0
• Augmentation linéaire de la vitesse : la vitesse de rotation croît proportionnellement à r distance à l’axe de rotation.
∆
• Le vecteur Ω~ permet d’exprimer vectoriellement les dérivées temporelles de~ur et~uθ par rap- port au référentiel R0.
Ω~ ~ux x
y
~ uy
~ ur
~uθ
θ θ
Ω = ˙~ θ~uz =ω~uz
d~ur
dt
R0
=~Ω∧~ur = ˙θ~uθ d~uθ
dt
R0
=~Ω∧~uθ =−θ~˙ur
Tout vecteur A~ fixe dans RΣ vérifiera cette propriété : dA~ dt
!
R0
=Ω~ ∧A~
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