Volume 2 : Partie empirique

Décembre 2009

Nature du savoir et formulation des définitions dans les cours de mathématiques du secondaire

Volume 2 : Partie empirique

Thèse présentée en vue de l’obtention du grade de docteur en sciences de l’éducation par : Anne Defrance

Promoteur

Professeur Sabine Kahn

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Chapitre 8

Méthodologie

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Première enquête

Une première enquête a permis de situer la question avec plus de précision, de vérifier que nos premières impressions sur ce que les professeurs enseignent comme mathématiques en classe, n’étaient pas dénuées de tout fondement. Du coup, le problème pouvait être étudié avec plus de discernement.

Cette enquête a été présentée dans l’introduction de ce travail. Nous en indiquons ici, brièvement, la méthodologie.

Nous avons limité notre enquête au premier degré de l’enseignement secondaire, étant donné notre volonté d’analyser ce qui se passe en deuxième année du secondaire.

Un questionnaire constituait un instrument intéressant si nous voulions toucher un nombre plus important d’enseignants et confirmer ou infirmer, dans une certaine mesure, nos

premières hypothèses. Mais il est important de pouvoir mesurer les limites méthodologiques de son usage : il peut induire les réponses et ne permet pas toujours de faire apparaître des phénomènes ou des représentations qui n’auraient pas été anticipés par le chercheur.

Ensuite, nous avons fait le choix de laisser les enseignants libres de répondre ou non à ce questionnaire. Par conséquent, nous exposons les résultats aux limites de validité induites par ce contexte.

Les affirmations proposées forçaient les enseignants à prendre position sur base d’une échelle de Likert (« pas du tout d’accord », « pas d’accord », « plutôt d’accord » et « tout à fait d’accord »). Nous avions volontairement omis de mettre un nombre impair de réponses possibles pour qu’il en soit ainsi.

Ce questionnaire a été diffusé auprès d’un échantillon représentatif d’enseignants du 1^er degré de l’enseignement du réseau officiel de Belgique francophone. Pour cette étude,

62 établissements du réseau de la Communauté française de Belgique sur 127 furent contactés. 312 questionnaires furent envoyés aux professeurs de mathématiques.

Nous avons reçu 67 questionnaires en retour. La proportion de réponses que nous avons obtenue est donc de l’ordre de 21,5 %. Comme bien souvent pour ce type d’exercice, le taux de « mortalité » dans le retour du questionnaire est important.

L’analyse des réponses a tout de même permis de mettre en évidence certaines conceptions des enseignants et leur ampleur, même si ces résultats ne sont pas statistiquement significatifs.

Afin de ne pas surcharger ce travail de thèse, l’intégralité des questions et les fréquences obtenues aux différentes réponses, sont insérées en annexe.

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Deuxième enquête

La première enquête a mis en évidence certaines attitudes, et conceptions de professeurs sur les compétences, et leur manière de donner cours. On remarque un manque de formation à un enseignement par compétences, une certaine forme de rejet de son principe combiné au sentiment de déjà faire tout cela. Et du côté des cours, les professeurs montrent un désir de rigueur, et assurent que certaines pratiques sont incontournables si on veut faire faire des mathématiques. La définition est rarement un énoncé qu’il faut apprendre par cœur.

Généralement, les élèves peuvent la formuler « avec leurs mots », c’est-à-dire conformément à leurs représentations.

Mais une enquête statistique présente nécessairement des lacunes. Elle offre une catégorisation de la réalité qui peut présenter des déficiences parce que les réponses fournies ne donnent pas les raisons qui les sous-tendent, et il s’ensuit que de mauvaises interprétations, ou des absences d’interprétation sont toujours possibles.

Pour approfondir, il était donc utile de contacter des professeurs, de leur poser les questions de vive voix, et de les écouter. Les questions posées étaient sensiblement les mêmes que celles du questionnaire, mais proposées cette fois de manière ouverte.

Ces entretiens ont un double rôle : primo, celui d’analyser les conceptions que les professeurs ont des cours de mathématiques qu’ils construisent, et secundo, celui de confronter leurs remarques avec les observations de classes qui ont été effectuées.

Les observations de classes conduiront à analyser à travers un verbatim, comment la formulation d’une définition (si formulation il y a) est introduite dans la leçon. Ceci permettra de voir comment les quatre tensions concernant la théorie sont gérées par le professeur dans sa classe, et comment réagissent les élèves, et de voir s’ils gèrent l’articulation entre apprentissage d’une théorie (ou entrée dans le texte) et apprentissage de compétences, le cas échéant, comment ils le font.

Deux questions ouvertes ont été posées aux élèves, par écrit. La première était posée avant la leçon, la seconde après celle-ci. Le dépouillement de la première question permettra de voir, dans son étude globale, comment les élèves considèrent leur cours de mathématiques, et pour chaque leçon, de vérifier qu’il ne s’agit pas d’une classe atypique par rapport à l’ensemble des classes observées, un troisième rôle est de pouvoir comparer les réponses des élèves avant et après la leçon ; la seconde question a eu pour fonction de repérer le rapport que les élèves ont eu avec la définition apprise, et de vérifier si cette dernière les avait intéressés.

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1. Secondaire inférieur 1° Observation de leçons a) Domaine de travail

Pour introduire une définition, le professeur travaille dans un certain domaine : dans la réalité perceptible, ou dans un plan, avec ou sans coordonnées.

Les domaines de travail sont multiples, et les professeurs les utilisent pour exposer leurs définitions ; toutefois, ils pourraient ne pas présenter ces domaines explicitement à leurs élèves qui doivent les avoir à l’esprit. Cependant, une définition se rattache à un certain contexte et son existence ne se justifie qu’en rapport avec ce dernier : dans les « rues » on mesure, dans le plan idéalisé par le tableau, on peut construire et justifier sa construction, dans une théorie de géométrie, on justifie par axiome et raisonnement. Le domaine de travail impose en quelque sorte le type de justification et du même coup, une certaine forme de texte.

Il a donc paru utile d’observer ce domaine durant les leçons, et de voir si l’enseignant change de domaine, comment il le fait.

b) Formulations de définitions

i) Comment l’objet défini est-il introduit au tableau?

Remarque : dans ce point-ci, peut-être abusivement, on y glissera aussi, lorsque c’est nécessaire, la sorte d’objet défini : entre un triangle, une médiatrice ou le produit scalaire, il y a des différences. Le dernier peut apparaître comme résultat d’une règle opératoire à effectuer en utilisant d’autres objets – aspect dynamique- ou comme un nombre réel, résultat d’un simple calcul.

Pour introduire l’objet à définir, l’enseignant part-il d’un dessin, d’une figure, ou d’une phrase ? Et dans ce dernier cas, la définition exacte, conceptuelle vient-elle directement, ou est-elle d’abord introduite sans utiliser le langage ad hoc de la théorie ? Sa présentation dépend de ce que le professeur a en tête.

ii) À quel type de définition a-t-on abouti ?

Dans la théorie des ensembles, on peut définir un objet mathématique de deux manières différentes : en compréhension ou en extension. En extension, cela signifie qu’on énumère tous les objets de l’ensemble. Si l’ensemble est infini, on en donne une suite suffisamment significative de telle sorte que celui qui le lit peut découvrir les autres par lui-même. Dans la réalité, c’est d’un usage courant. L’enfant qui voit un arbre peut en reconnaître et leur donner le nom d’arbre alors qu’il n’en a jamais eu la définition précise selon une grille d’analyse scientifique. Il les reconnaît à force d’en voir et d’avoir entendu le mot adéquatement. Dans une théorie mathématique, on essaie de définir autrement, en énonçant des propriétés de telle sorte qu’on puisse lever toute ambiguïté sur l’objet défini et établir la partition : objet de l’ensemble ou ne lui appartenant pas. La définition y est présentée comme un énoncé qui établit certains liens entre d’autres énoncés déjà connus :

Une symétrie centrale est une transformation du plan pour laquelle le centre est le milieu du segment qui a pour extrémités un point et son image.

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On se rapproche d’une définition du dictionnaire. Toutefois, on essaie d’éviter le phénomène de « circularité », surtout dans l’enseignement où le professeur se raccroche à des observations de la vie courante ou à des figures pour didactiser voire linéariser son cours.

Cependant, certains objets font partie de termes premiers : une droite, un plan, un point, l’espace par exemple. Certes, on essaie bien de justifier leur présence par l’un ou l’autre axiome caractéristique : deux points distincts déterminent une droite et une seule, par exemple, mais c’est largement insuffisant pour permettre à l’élève de distinguer une droite par lui-même si rien ne lui a été montré auparavant. A force de lui montrer « l’idéalisation » d’objets « droits », on se dit qu’il comprendra… (De fait, pour les droites, il n’y a pas de problème semble-t-il à première vue pour des élèves de deuxième secondaire. Pour l’espace, c’est déjà une autre histoire).

De la sorte, le type de définition que le professeur présentera à ses élèves déterminera la possibilité d’entrer dans une théorie : soit il arrive à un énoncé en compréhension, soit il n’en propose pas. Et même dans le premier cas, la définition peut apparaître comme quelque chose

« qui existe » ou qui est totalement construit à partir d’autres objets mathématiques. Dans ce dernier cas, un pas est fait dans la direction d’une théorie.

Est-ce une définition présentée de manière dynamique (quasi procédurale), est-elle exprimée en langage très dépersonnalisé, ou peut-être n’est-elle pas énoncée du tout? Ou encore, plusieurs définitions sont-elles présentées aux élèves ?

Par exemple, une symétrie orthogonale est définie dans un manuel sous une forme que l’auteur traite de dynamique (Actimath, p. 46) :

Une symétrie orthogonale est une transformation du plan qui envoie tout point de l’autre côté de l’axe, sur la droite perpendiculaire à l’axe passant par ce point, à une même distance de l’axe.

Ici, l’expression indique ce à quoi il faut faire attention pour observer ou construire une symétrie.

Par contre, voici une définition qu’il serait possible de lire:

Une symétrie orthogonale d’axe z est une transformation du plan pour laquelle l’axe z est la médiatrice du segment qui a pour extrémités un point et son image.

Cette définition-ci ne parle pas d’un point précis, une symétrie concerne tous les points du plan. Et en parlant de transformations, le professeur qui l’aurait citée insère cette définition dans un ensemble, les transformations du plan, pour autant qu’il ait expliqué à quoi correspond le terme « transformation ». Cette définition peut faire apparaître la structure du cours, la théorie dans laquelle elle s’insère. Le caractère plus formel de cette dernière définition fait aussi allusion à un autre type de représentation.

c) Validation

L’existence est-elle validée, et comment ?

Dans le langage courant, le dictionnaire définit des mots renvoyant à des objets inexistants : un Martien par exemple (pour reprendre l’exemple de Stella Baruk). Qu’en est-il dans une

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théorie ? L’existence n’a plus la même signification. Elle tient plus des possibles relations entre les énoncés, mais dans les cours du secondaire, la géométrie s’appuie également sur les reproductions de figures, donc sur de l’observation. Dans quelle mesure a-t-on le droit de s’y fier ? On observe souvent dans les classes, des élèves qui construisent des figures trop particulières et sont ainsi amenés à des conclusions qui tiennent uniquement à la particularité du dessin. (On verrait par exemple les médiatrices et les médianes se couper en un même point parce que le triangle dessiné est équilatéral) Il faut pour cela préciser le domaine de travail et ses hypothèses. Le plan est-il muni d’un repère, donc d’une distance ? Travaille-t- on dans le plan affin ou dans le plan projectif ? Etc. Cette validation dépendra donc du domaine de travail, aussi des types de représentations utilisées ; y a-t-il une cohérence entre le système de validation, explicité ou non, et ceux-là ?

L’existence peut aussi être assurée parce que l’objet défini n’est rien d’autre, dans cette leçon, qu’une forme idéalisée d’un objet de la réalité : la découverte d’une définition de la médiatrice à partir de l’observation sur le terrain (cf. cours où le professeur est parti d’une carte des rues pour transposer sur un plan). Mais ce passage de l’un à l’autre est-il correct ? A quelles conditions ? Celles-ci sont-elles explicitées ? Ou dans quelle mesure peut-on les expliciter ? On rejoint une forme d’axiomatique : les rues sont devenues des lignes (termes premiers), mais sans signaler qu’il s’agit d’une convention.

Si on parcourt la même distance d’un endroit A vers B ou de A vers C, on pourra dire que les distances AB et AC sont égales. Dans le plan, la distance répond à des axiomes précis, à la limite, et certains professeurs le signalent, peu importe si sur la figure les segments AB et AC ne sont pas de même longueur lorsqu’on les mesure avec une latte graduée, il suffit de le poser. Deux types de représentations (au moins) sont donc en concurrence au moment où l’élève regarde le tableau : une représentation iconique, ou une représentation symbolique pour laquelle la figure géométrique est un indice qui favorise la mémorisation ou la compréhension de l’énoncé. (Dans l’exemple, on pourrait aussi calculer les distances, si on a vu le théorème de Pythagore, mais ce théorème figure au programme de troisième)

Dans l’exemple : « Une symétrie centrale est une transformation du plan pour laquelle le centre est le milieu du segment qui a pour extrémités un point et son image », l’existence vient de définitions antérieures (transformations du plan, milieu…) et de la possibilité de leurs relations mutuelles (il est possible de construire une médiatrice et de trouver une transformation avec toutes les conditions qu’elle exige). Mais est-ce souligné devant les élèves ? Un professeur pourrait aussi admettre l’existence de l’objet défini simplement par le fait que la définition est une traduction fidèle de la réalité sensible. C’est lié à la conception que le professeur se fait des mathématiques enseignées.

Notons de plus que dans certains cas, le professeur peut faire référence à la question de l’unicité.

d) Représentations

Pour faire comprendre une notion ou un concept, le professeur part généralement d’objets connus, ou d’idées maîtrisées (il le suppose, et cela est observé dans la première enquête) et il enchaîne peut-être ses leçons selon une progression relativement linéaire des savoirs, il a didactisé le savoir. Mais il termine avec la définition sous la forme qu’il pense être la plus appropriée dans le contexte de sa leçon. Il n’est pas certain qu’il arrive à ses fins. C’est pour cette raison qu’il semble nécessaire de se pencher sur les représentations utilisées par le

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professeur et sur celles des élèves. Pour définir, quelles sont les représentations que le professeur utilise, et quelle est celle qui aboutit à la définition étudiée ?

- iconique: on a à l’esprit une icône d’objets perçus (vision), l’image d’un rayon de soleil par exemple.

- On peut aussi avoir à l’esprit l’image d’un triangle, ou d’un segment de droite, sans pour autant songer à toutes les propriétés que ces figures possèdent en géométrie. Ce sont des dessins géométriques.

- indiciaire: on utilise des mots de la vie courante pour décrire la manière de construire l’objet mathématique.

Les élèves parviennent-ils à détacher leur personnalité de ce qu’on leur apprend, à sortir de leurs perceptions directes ? Le pronom « je » figure-t-il dans les réponses des élèves ?

Sont-ils dans une dynamique de construction : « je trace » ou « on trace » ? Ou plutôt: « il existe », construction d’un concept dans une idée plus prescriptive, c'est-à-dire qu’il permettra de développer des justifications ultérieurement ?

- symbolique a : on utilise dans l’idiome des mathématiques, les noms des objets et une structure particulière de la phrase, plus dépersonnalisée et faisant appel à des verbes d’état.

Ce type de représentation concerne la langue uniquement, tout en sachant que cette position est limitative, vu qu’il existe d’autres types de représentations symboliques, qui ne concernent pas la langue, mais qui ne nous intéressent pas ici.

Certains professeurs font une différence entre une définition dynamique qui utilise plus de mots de la vie courante (langue naturelle) et une structure de phrases également, et une autre plus formalisée ; selon leur but, ils dirigent leur leçon autrement. Dans le cas d’une définition dynamique, le professeur la rend directement opératoire : on comprend une chose après l’autre, et on peut construire l’image d’un point. Autrement dit, il concerne plus les constructions effectives dans le plan que la théorie géométrique. Il s’agit d’une représentation indiciaire. Dans le cas d’une définition plus formalisée, il s’agit d’un langage qui joue sur la

« signification », mais les liens n’apparaissent peut-être pas nécessairement aux yeux des élèves.

- symbolique b : l’énoncé est dépersonnalisé, il se présente comme dans le cas précédent, mais il se situe dans un contexte. Les termes définis prennent sens des relations qui existent entre les différents énoncés.

Ces quatre points - le domaine de travail, les différentes formulations des définitions, leur validation, et les représentations des professeurs et des élèves -, reprennent les quatre tensions mises en évidence dans la problématique : présence d’une situation ou d’un contexte, dépersonnalisation du sujet traité par le langage, la manière de valider qui tient à l’observation

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de la réalité sensible ou à la possibilité d’existence conformément aux conventions de départ, les représentations.

2° Entretien avec les professeurs

L’entretien a eu lieu après l’observation de classes, afin qu’il ne puisse influencer la manière de donner le cours. On pourrait imaginer en effet, que les questions qui concernent la définition modifient in extremis sa manière de l’enseigner, vu que dans l’entretien figurent également des questions sur les compétences et que le professeur se sente obligé de montrer qu’il enseigne des compétences alors qu’il n’en avait guère l’intention, par exemple.

Cet entretien jouera un double rôle. D’une part, il permettra de connaître les conceptions du professeur sur les compétences et sur le cours de mathématiques dans les années où il exerce, d’autre part, il pourra confirmer certains propos tenus lors de la leçon, ou tout au moins vérifier si aucune contradiction ne se présente.

La première enquête a montré que les professeurs de mathématiques ne maîtrisent pas bien la notion de compétences. Ils s’y sentent mal formés, ils ne conçoivent pas très bien ce qu’elles représentent comme intérêt dans la formation de leurs élèves, par rapport à leurs méthodes traditionnelles. Ils ne lisent guère les Socles. Cependant, ils consultent les programmes et s’y conforment. Mais ceux-ci sont construits dans une optique d’apprentissage des compétences.

Du coup, même sans le dire, ils y sont confrontés et leurs cours devraient refléter, bon gré mal gré, une certaine conception des compétences. A travers leur discours, nous allons essayer de mettre cette conception en évidence. Le premier point de cette étude concernera donc l’analyse de certaines questions posées lors de l’entretien.

Ces questions sont :

- Conceptions du cours de mathématiques, des compétences et des compétences transversales :

• Comment concevez-vous un cours de mathématiques ? (Q 1)

Cette question concerne le vif du sujet. Étant relativement générale, elle permettra de discerner ce qui intéresse particulièrement l’enseignant, ce pourrait être le contenu, la manière de le structurer, ou plutôt la formation des élèves, ou les méthodes didactiques utilisées, par exemple. Le professeur pourrait aussi s’intéresser à des pédagogies particulières. De plus, l’allure très générale de cette question a pour but de mettre l’enseignant à l’aise.

• Que représentent les compétences pour vous ? (Q 2)

Cette deuxième question est posée très souvent en fin d’entretien, et en la suggérant plus qu’en ne la posant de manière très directe, parce que l’analyse fournie par la première enquête a montré que les professeurs de mathématiques sont très récalcitrants vis-à-vis des compétences. Certains professeurs n’ont d’ailleurs pas souhaité répondre à cette question, se contentant de lever les yeux au ciel, ou de faire la moue. Toutefois, l’entretien, dans son ensemble, pourra nous montrer, par les différents recoupements possibles des réponses, comment ils conçoivent les compétences.

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• Et que représentent les compétences transversales ? (Q 3)

Cette question ne sera pas toujours posée. En effet, les compétences, et les compétences transversales sont jugées très différemment d’un professeur à l’autre. La première enquête l’a montré. De plus, il est possible que certains professeurs considèrent qu’une compétence a d’office un caractère transversal. L’entretien s’adaptera aux réponses des professeurs.

- Questions plus particulières :

• Selon vous, ce qu’on apprend à l’école doit-il avoir une utilité dans la vie courante ? (Q 4)

On désire voir si le professeur considère ce qu’il enseigne comme quelque chose d’utile immédiatement par les élèves, ou si l’usage est indirect, le cours de mathématiques servant à leur former l’esprit, plutôt qu’à leur donner des règles de calcul, par exemple. Cette question permettra d’affiner les réponses des enseignants sur leurs conceptions du cours de mathématiques

• Dans votre cours, est-ce qu’un nouveau chapitre commence toujours par un problème concret ? (Q 5)

Cette question permettra de voir quel type de compétences il enseigne, sur quoi il insiste : il présente des mathématiques reliées à la vie courante ou plutôt comme un mode de réflexion.

D’autre part, nous verrons s’il existe une concordance avec ce qui est dit précédemment, dans l’entretien. Le professeur pourrait fort bien présenter un exemple concret en début de chapitre uniquement pour se conformer aux désirs de l’inspection. Toutes ces questions vérifieront la concordance des réponses, et par la suite, celle de la leçon avec leurs conceptions. En effet, on pourrait imaginer qu’un professeur défende l’idée de mathématiques très structurées et qu’il donne un cours composé de tâches ponctuelles, ayant trait à des situations de la vie courante.

• Pensez-vous qu’il est utile d’expliquer aux élèves pourquoi il est intéressant de suivre un cours de mathématiques ? (Q 6)

A travers les réponses, on espère trouver la conception personnelle du professeur des mathématiques enseignées à l’école secondaire. Cette question complètera ou affinera la réponse à la première question.

• L’apprentissage des mathématiques au début du secondaire doit servir à poser un regard critique sur la vie de tous les jours. Que pensez-vous de cette affirmation ? (Q 7) Le « regard critique » est une expression qui recouvre sans doute plusieurs manières de porter un jugement. Aussi, les réponses fournies pourront probablement montrer de quelle manière on peut juger selon le professeur, et si le jugement s’établit à partir d’un texte structuré, jusqu’à une théorie basée sur des conventions comme dans le cas d’une théorie axiomatique, ou si l’observation suffit et qu’ils apprennent à leurs élèves, à juger d’après ce qu’ils observent.

• Montrer en classe que l’enseignant ne trouve pas toujours immédiatement la solution

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d’un problème, ou une démonstration, n’est pas à faire devant les élèves. Que pensez-vous de cette affirmation ? (Q 8)

Selon les réponses que les professeurs fourniront, il sera possible de voir s’ils s’attachent à la manière dont il faut réfléchir ou au résultat, c’est-à-dire à un contenu.

- D’autres questions figurent également dans l’entretien. Les voici :

• Quand une définition est formulée, les élèves doivent-ils la reformuler de manière formelle ou peuvent-ils la reproduire avec leurs mots ?

• Quand on apprend une définition, par quoi commence-t-on ? Un exemple concret (de la vie courante), ou…des dessins ?

• Quelle est l’utilité d’apprendre une définition ? Est-ce que vous expliquez cela aux élèves ?

• Est-ce qu’une définition est quelque chose qui existe en soi ?

• Proposer 2 exemples qui montrent que c’est utile (en géométrie et ailleurs).

Ces questions qui concernent plus particulièrement la définition, serviront à analyser plus en profondeur l’observation de classe et elles confirmeront ou infirmeront ce qui se dit au cours de la leçon. Elles s’avèreront parfois utiles également pour préciser les réponses aux premières questions. Toutefois, certaines questions sont parfois omises si l’observation de classe ou des réponses précédentes, dans l’entretien, ont fourni les réponses.

Dans cette partie, nous essayerons de comprendre les conceptions de l’enseignant, sur les compétences mais aussi sur les mathématiques. En effet, une définition peut être présentée comme quelque chose de déjà existant mais dont on souhaite pouvoir donner une représentation langagière (d’où l’aspect « découverte » de quelque chose qui existe). Mais elle peut aussi se présenter comme quelque chose que l’on pose et qui présenterait la définition sous un autre aspect, plutôt comme une « invention ». Si « l’invention » peut paraître plus adéquate (si on part de l’idée qu’on n’invente pas une « machine » sophistiquée pour rien, mais qu’elle serait là pour servir d’instrument), il n’est pas certain que les professeurs soulignent cet aspect. D’autre part, on pourrait aussi observer l’opposé : on

« découvre » quelque chose qui est bien utile.

Cette destination de la définition dépendra des conceptions du professeur des mathématiques.

On peut émettre l’hypothèse que le type de savoir sera sans doute différent; c’est ce que l’on veut observer.

3° Questions posées aux élèves

Nous avons vu que les individus portent en eux certaines représentations du monde. Elles sont très nombreuses, trop nombreuses pour être présentes toutes simultanément. De la sorte, Searle suppose que chacun de nous possède en lui un arrière-plan duquel elles peuvent ressurgir au moment où elles sont sollicitées. Ces représentations sont de natures différentes.

Nous nous sommes limité à trois types de représentations, les représentations iconiques, indiciaires et symboliques. Mais cette classification peut être affinée. Parmi les symboles

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figurent les symboles déterminés par la langue. Ce sont ceux qui nous intéressent dans le cadre de cette étude. Et plusieurs types apparaissent, nous les avons appelés de types a ou b.

L’indiciaire concerne les mots et les expressions de la langue naturelle qui concerne la vie courante, les situations, comme Rey les nomme. Le symbole a a trait à des termes qui évoquent des concepts ou des notions, sans pour autant que ceux-ci soient complètement structurés dans une théorie. Par exemple, un professeur définit une médiatrice comme la perpendiculaire au milieu d’un segment, conçue par l’observation d’un dessin géométrique.

Mais cette définition ne prend pas sens dans un contexte plus structuré de géométrie proprement dite. La leçon qui porte sur la médiatrice se limite à des constructions de telles droites. À l’école primaire, les élèves apprennent déjà de nombreux objets géométriques semblables à la médiatrice sans les structurer nécessairement dans une véritable théorie. Les questions qui sont posées aux élèves ont pour but de se faire une idée de leurs représentations.

Avant la leçon : à quoi sert ton cours de mathématiques ? Cite deux exemples.

Après la leçon : qu’est-ce qui est intéressant dans ce que tu viens d’apprendre et pourquoi ?

Une analyse de contenu sur l’ensemble des élèves pourra montrer les sujets qui reviennent le plus fréquemment dans les classes.

La première question joue un double rôle :

- Elle permet de vérifier que chaque classe étudiée n’est pas atypique, mais qu’elle se situe dans le même courant d’idées que les autres classes.

- Elle permet de voir en quoi les idées des élèves sur le cours de mathématiques se différencient de celles de leur professeur. On pourrait en effet imaginer que certains professeurs ne présentent pas une leçon qui permette l’accès à une théorie. Est-ce que les élèves, dans ce cas, n’ont pas de représentations, malgré tout, de mathématiques structurées en théorie?

La seconde question a pour but de voir l’influence de la leçon sur leurs représentations. Ils auront appris une nouvelle définition, ou tout au moins à la formuler de manière neuve. Ce nouvel acquis présente-t-il un intérêt à leurs yeux, et peut-il les conduire vers l’apprentissage d’une théorie ? Les représentations ont-elles évolué ? Est-on passé à des types suivants, de l’indiciaire au symbolique par exemple ? La définition nouvelle ou nouvellement formulée a- t-elle conduit les élèves vers une autre conception ? (celle d’une théorie ?, ou de mathématiques qui servent à autre chose ?)

À trois classes, nous avons demandé, quelques semaines plus tard, d’expliquer ce qu’était une définition en mathématiques, pour voir si une évolution avait eu lieu dans les représentations des élèves.

4° Les compétences idiomatiques

Nous avons vu dans le chapitre 5, que lors de l’apprentissage de compétences, et notamment lorsque les élèves apprennent une définition, une compétence particulière intervient, c’est la compétence idiomatique. Pour qu’une définition entre dans une théorie, elle doit se présenter sous une certaine forme, dépersonnalisée, utilisant l’idiome des mathématiques. Mais cette formulation sort de la langue familière aux élèves. Et du coup, les professeurs doivent

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l’enseigner. Mais il n’est pas du tout certain qu’ils le fassent, et il est très possible que chaque enseignant utilise des méthodes qui lui sont propres. C’est ce point qui sera présenté dans ce paragraphe.

5° Conclusions

Cette méthodologie permettra de confronter les conceptions du professeur sur les compétences et les cours de mathématiques, avec ce qu’ils font effectivement en classe : est- ce qu’ils amènent leurs élèves à entrer progressivement dans une théorie ou, au contraire, se limitent-ils à des tâches relativement ponctuelles, qui ne permettent pas de développer ultérieurement une forme textuelle structurée ? Les questions posées aux élèves tenteront de vérifier si ce que fait le professeur dans sa classe, permet d’entrer dans une théorie. En effet, par exemple, un professeur pourrait donner une leçon qui a trait à de la géométrie très formelle, sans passer par des exemples se rattachant à la vie courante, et utiliser un discours dépersonnalisé, et néanmoins susciter de l’intérêt auprès de ses élèves, tout comme on pourrait obtenir le résultat inverse.

Ainsi, dans les conclusions, seront reprises les traits importants dégagés par l’analyse des conceptions du professeur, et croisés avec l’analyse de la compétence idiomatique ainsi que les quatre tensions citées dans la problématique et rappelées ci-dessus ; ces résultats seront confrontés à l’analyse des questions posées aux élèves.

Pour voir si le professeur favorise l’entrée dans une théorie, il est utile de voir s’il s’attache à faire apprendre une certaine forme de discours dépersonnalisé. La première question

concernant la définition (Quand une définition est formulée, doivent-ils la reformuler de manière formelle ou peuvent-ils la reproduire avec leurs mots ?) pourra éventuellement en donner une première approche, l’observation de classe approfondira ce sujet.

Schématiquement, l’analyse de chaque classe comportera les points suivants :

1) Observation de la leçon

2) Représentations que les élèves se font de cette leçon (Qu’est-ce qui est intéressant dans ce que tu viens d’apprendre et pourquoi ? Parfois : que représente une définition ?) 3) Conceptions de l’enseignant

a) Sur les mathématiques enseignées à l’école secondaire b) Sur les compétences et les compétences transversales 4) Ce qui ressort de l’observation : les quatre tensions

a) Domaine b) Énoncé c) Validation d) Représentations

5) Les compétences idiomatiques 6) Conclusions

7) Représentations des élèves (À quoi sert ton cours de mathématiques ? et Cite deux exemples)

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2. Secondaire supérieur 1° Entretien avec le professeur

A nouveau, l’entretien a eu lieu après l’observation de classes, afin qu’il ne puisse influencer la manière de donner le cours. Quelle est leur conception des compétences ?

Ces professeurs ne sont plus directement concernés par les Socles de compétences, mais dans les deux dernières années, ils doivent se conformer aux Compétences terminales, un référentiel qui concerne tous les professeurs du secondaire supérieur. De plus, ils ont des programmes et ceux-ci sont construits dans une optique de l’apprentissage des compétences.

Ils y sont donc confrontés et leurs cours doivent refléter, comme dans l’inférieur, une certaine conception des compétences. A travers leur discours, nous allons essayer de la mettre en évidence. Le premier point de cette étude concernera donc l’analyse de certaines questions posées lors de l’entretien.

Ces questions sont les mêmes que celles posées dans l’inférieur, auxquelles s’ajoutent quelques questions supplémentaires :

1) Conceptions du cours de mathématiques, des compétences et des compétences transversales :

• Comment concevez-vous un cours de mathématiques ? (Q 1)

• Compétences en mathématiques ? (Q2)

• Compétences transversales ? (éventuellement) (Q 3)

• Ce qu’on apprend à l’école doit avoir une utilité dans la vie courante, oui ou non ?(Q4)

• Dans votre cours, est-ce qu’un nouveau chapitre commence toujours par un problème concret ? (Q5)

2) Questions plus particulières :

• Est-il utile d’expliquer aux élèves pourquoi il est intéressant de suivre un cours de mathématiques ?(Q6)

• L’apprentissage des mathématiques au secondaire doit servir à poser un regard critique sur la vie de tous les jours. Que pensez-vous de cette affirmation ? (Q7) 3) Montrer en classe qu’on ne connaît pas toujours la solution du problème n’est pas à

faire devant les élèves. (Q8)

4) D’autres questions figurent également dans l’entretien. Elles concernent plus spécifiquement la définition. Les voici :

• Quand une définition est formulée, doivent-ils la reformuler de manière formelle ou peuvent-ils la reproduire avec leurs mots ?(Q9)

• Quand on apprend une définition, par quoi commence-t-on ? Un exemple concret (de la vie courante), ou…des dessins ?(Q10)

• Quelle est l’utilité d’apprendre une définition ? Est-ce que vous expliquez cela aux élèves ? (Q11)

• Est-ce qu’une définition est quelque chose qui existe en soi ? (Q12)

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• Proposer 2 exemples qui montrent que c’est utile (en géométrie et ailleurs).

(Q13)

5) Ces questions-ci concernent les moyens de preuves. On peut supposer que les professeurs, au vu des compétences terminales et de l’avancement dans le cursus, présentent des leçons où figure une axiomatique. Il s’ensuit que les moyens de valider une définition pourront être différents de ceux rencontrés dans le secondaire inférieur.

• Quels sont les moyens de preuve acceptables dans votre cours? L’observation d’une figure, une démonstration ou quelque chose d’intermédiaire ? (Q14)

• Les élèves comprennent-ils l’intérêt d’une démonstration ? (Q15)

• Plusieurs professeurs me parlent de faire réfléchir les élèves. Qu’est-ce qu’ils veulent dire ? (Q16)

• D’autres me parlent de les faire chercher. Même question. Comment les faire chercher pour que ce leur soit utile ? (Q17)

6) Ces questions concernent leur conception des mathématiques et de celles enseignées au secondaire.

• Que sont les mathématiques ? Une science, un outil ? Quels sont ses buts ? (Q18)

• Que devrait-on enseigner au secondaire ? (Q19)

• Selon vous, les mathématiques sont plutôt :

a* un ensemble structuré d’énoncés dont certains sont fixés a priori axiomatiquement ? b* un ensemble structuré d’énoncés dont certains sont des énoncés de départ observés ? c* un ensemble d’objets concrets qu’on idéalise et dont on tire des propriétés par des réflexions, des raisonnements? (Q20)

• Comment amenez-vous l’infini dans votre cours ? (Q21)

• Et les nombres réels ? (Q22)

• Je pars d’un exemple. Une médiatrice. On la définit comme étant la perpendiculaire au milieu d’un segment. C’est aussi le lieu des points également distants des extrémités d’un segment. Est-ce que cela se démontre toujours dans le supérieur ? Ou bien on se base sur le fait que c’est déjà vu en inférieur ? (Qu’accepte-t-on de l’inférieur sur le plan des propriétés ?) (Q23)

La présentation de ces classes sera similaire à celle des classes de l’enseignement secondaire inférieur. Toutefois, dans les conclusions, on indiquera (ce qui est possible après avoir eu les réponses aux différentes questions), si le professeur considère une théorie mathématique comme étant

- un ensemble de règles - un instrument

- un moyen de saisir la réalité (tendance essentialiste)

- un instrument qui permet de construire des objets nouveaux.

Parfois, plusieurs tendances peuvent cohabiter.

250

1) Observation de la leçon

2) Représentations que les élèves se font de cette leçon (Qu’est-ce qui est intéressant dans ce que tu viens d’apprendre et pourquoi ? Que représente une définition ?)

3) Conceptions de l’enseignant

c) Sur les mathématiques enseignées à l’école secondaire d) Sur les compétences et les compétences transversales 4) Ce qui ressort de l’observation : les quatre tensions

e) Domaine f) Énoncé g) Validation h) Représentations

5) Les compétences idiomatiques 6) Conclusions

cohérence entre les différentes investigations

conceptions de la définition, de la démonstration, de la théorie

7) Représentations des élèves (À quoi sert ton cours de mathématiques ? et Cite deux exemples)

2° Présentation de l’échantillon

Il s’agit de l’enseignement général. Certaines classes appartiennent à des écoles qui ont réputation de se montrer très exigeantes, voire élitistes, d’autres classes se trouvent dans des écoles qui ne le sont pas du tout. Certaines écoles sont en ville, d’autres sont plutôt dans des villages de campagne. De la sorte, les classes de l’échantillon recouvrent un panel de différentes classes sociales. Toutefois, on n’a pas à mettre en rapport ce qu’on voit dans ces classes avec le type d’école parce qu’on ne cherche pas à rendre compte de la nature du savoir enseigné sur base de caractéristiques sociologiques des élèves.

Dans les chapitres suivants, nous présentons :

• 9 classes de deuxième année,

• 3 classes de quatrième année,

• 2 classes de cinquième année (mais une des classes a fait l’objet de deux observations sur deux leçons distinctes portant sur des domaines différents),

• 1 classe de sixième année.

Dans ces classes, les leçons observées ont duré une ou deux leçons de cinquante minutes.

Elles correspondent à 8 professeurs du secondaire inférieur et à 5 professeurs du secondaire supérieur.

En pratique, nous avons effectué plus d’observations et d’entretiens, mais dans le but de ne pas surcharger cette partie empirique, nous avons choisi les classes qui nous paraissaient les plus pertinentes pour ce travail.

Dans chacune de ces classes, nous avons indiqué le nombre d’élèves en début d’observation et en fin d’observation (en effet, dans une des classes, des élèves étaient partis à une visite médicale).

251 Niveau

d’enseignement N° du professeur

N° de la classe

nombre d'élèves à la 1^e

question

nombre d'élèves à la

2^e question INFERIEUR

2^e année 1 1 14 18

2^e année 2 2 24 24

2^e année 3 3 23 23

2^e année 4 4 23 23

2^e année 4 5 24 24

2^e année 5 6 23 23

2^e année 6 7 19 19

2^e année 7 8 20 20

2^e année 8 9 21 21

SUPERIEUR

6^e année 1 1 12 12

5^e année 2 2a 14 14

5^e année 2 2b 14 14

5^e année 3 3 23 23

4^e année 3 4 8 8

4^e année 4 5 24 24

4^e année 5 6 21 21

3° Limitation à de l’enseignement général

Il fallait circonscrire le sujet, en essayant d’ôter certaines variables qui auraient risqué de modifier les résultats. Pour cette raison, nous nous sommes contenté de l’enseignement général. L’enseignement technique et le professionnel sont soumis à d’autres programmes (dans les compétences à développer, on lit « comparer et éventuellement justifier », dans la partie géométrie, « aucune démonstration ne sera faite », on ne parle pas de définition).

La nature des formes textuelles qui s’enseignent en mathématiques présente des différences dans ces enseignements. Ensuite, nous nous sommes dit que c’est dans l’enseignement général qu’il y aurait le plus de chances de trouver des formes textuelles qui se rapprochent le plus d’une théorie. C’est peut-être erroné. Une suite possible de ce travail serait précisément de voir dans ces autres formes d’enseignement ce qu’il en est. Mais il faut noter qu’après certains entretiens effectués lors de la première enquête, il est apparu que certains professeurs de professionnel n’enseignent pas de définition. Le titre même de la thèse devrait donc se modifier. Et du coup, on se rend compte que d’autres variables seraient mises en jeu dans l’analyse du caractère épistémologique des mathématiques enseignées.

4° Biais possibles

Un des biais possibles pourrait venir du fait de la présence du chercheur au fond de la classe, mais nous nous sommes dit que cela ne devrait pas trop influencer les résultats de l’enquête parce que il existe une structure dans le cours (plus encore dans le supérieur) à laquelle le professeur ne peut déroger sans modifier le cours dans sa globalité. Ce qui peut changer, c’est l’attitude du professeur qui peut par exemple rajouter plus d’explications, ou s’adresser plus

252

souvent aux élèves. Globalement, cela ne paraît pas être le cas parce que les leçons témoignaient d’une certaine rapidité.

Deux professeurs ont délibérément décidé de présenter le même sujet dans des classes parallèles, sous des formes différentes. Toutefois, les deux professeurs devaient tout de même présenter des objets mathématiques qui s’inscrivaient dans la ligne générale de leur cours. De plus, les entretiens ont permis une certaine vérification en croisant les résultats de l’observation de classe avec l’entretien, et les réponses des élèves à la première question (à quoi sert ton cours de mathématiques ? Donne deux exemples)

Un autre biais possible viendrait de l’attention des élèves. Ils peuvent s’être montrés plus disciplinés que d’habitude. Mais cela ne change sans doute rien sur le fond du problème qui est essentiellement d’ordre épistémologique. Les réponses des élèves aux questions posées après la leçon viennent confirmer ce qu’on tire des observations directes ; on se dit donc que le climat de la classe ne joue pas (le chercheur a d’ailleurs précisé aux élèves que leur professeur ne lirait pas leurs réponses).

On se rend compte de l’étroitesse de l’échantillon mais la fiabilité dépendait notamment de cela ; moins de variables peuvent distraire l’analyse. D’ailleurs, les observations des classes ne constituent pas un échantillon, ce dernier n’a aucune prétention à la représentativité, parce que ce n’est pas mon objet.

Mon objet est de montrer qu’un certain nombre d’ambiguïtés sur la forme du savoir se retrouve dans les classes ; et cette ambiguïté est probablement inhérente à la situation même d’enseignement.

* *

*

Dans cette partie empirique, un premier chapitre est consacré à une analyse générale des réponses obtenues auprès des élèves à la première question posée, avant la leçon.

Ensuite, le chapitre qui suit traite de l’analyse par classe, du secondaire inférieur, et propose une conclusion.

Le chapitre suivant s’occupe du secondaire supérieur. Il permettra de voir si une évolution se marque dans la forme textuelle qui est présente dans les leçons, et si elle s’observe dans les représentations des élèves.

Puis viennent les conclusions générales.

253

Chapitre 9 

Résultats de la question posée aux élèves avant la leçon. 

254

Avant de commencer l’analyse, classe par classe, et professeur par professeur, il a paru utile de présenter quelques résultats globaux. Cet aperçu permettra de situer les réponses des élèves lors de l’analyse plus approfondie qui se fait par classe.

L’échantillon global comprend 297 élèves dans l’inférieur et 155 élèves dans le supérieur. À tous, la question suivante a été posée :

À quoi sert ton cours de mathématiques ? Cite deux exemples.

Les élèves ont fourni des réponses dont nous avons pu regrouper les arguments selon neuf catégories. Signalons que certains élèves ont donné des arguments relevant de différentes catégories. Comme nous avons tenu compte de tous leurs arguments, cela conduit à obtenir, parfois, des pourcentages dont la somme est supérieure à cent.

Dans l’inférieur :

Total image instrument concept Réfléchir outil calcul psychologique autre théorie études futures vie courante métier Allusion aux mathématiques

global 297 42 41 79 193 69 64 140 169 60

1è année 22 1 1 5 16 5 3 12 17 0

2 è année 251 38 30 65 167 60 56 116 137 56

3 è année 24 3 10 9 10 4 5 12 15 4

Nous nous sommes particulièrement intéressé à la deuxième année, qui constitue la fin d’un cycle. Les élèves de ce degré sont donc beaucoup plus nombreux. Les classes de première et de troisième année permettent de vérifier la présence des mêmes arguments dans les réponses des élèves des trois années. Le tableau qui suit donne les pourcentages des arguments retrouvés dans les réponses des élèves, c'est-à-dire le nombre de fois qu’un argument est apparu chez les élèves, lorsque le nombre d’élèves est ramené à cent.

Total image Réfléchir outil calcul psychologique autre théorie études futures vie courante métier Allusion aux mathématiquesInstrument concept

global 100 14 14 27 65 23 22 47 57 20

1è

année 100 5 5 23 73 23 14 55 77 0

2 è

année 100 15 12 26 67 24 22 46 55 22

3 è

année 100 13 42 38 42 17 21 50 63 17

255

Ce qui vient le plus souvent (65), c’est l’aspect directement utilitaire des mathématiques :

« règles de calculs », « pour faire les soldes », « pour calculer une addition dans les magasins », « pour calculer les factures ou les impôts », répondent les élèves. C’est la colonne « outil calcul ».

Une autre catégorie d’arguments mentionne l’usage des mathématiques dans la vie courante Les élèves citent le même type d’exemples que dans la catégorie précédente, en y ajoutant les calculs d’aires (de terrains par exemple) ou de périmètres.

L’intérêt des mathématiques pour le futur métier des élèves représente quantitativement la seconde catégorie d’arguments invoqués (57).

Beaucoup moins nombreux sont ceux qui pensent que leur cours leur servira à mieux appréhender les théories auxquelles ils seront confrontés dans l’avenir. Signalons, cependant que les élèves ne sont pas en mesure de connaître ni leur futur et ni non plus les dimensions théoriques auxquelles ils seront confrontés.

L’allusion aux mathématiques consiste essentiellement à : apprendre de nouvelles choses en mathématiques.

Dans la colonne « Réfléchir » figurent les réponses comme celles qui suivent :

Ouvrir l’esprit, développer le cerveau, être plus intelligent, (pour devenir ministre !), faire réfléchir, raisonner dans sa tête convenablement, acquérir de la logique (souvent) évoluer, avoir de la créativité, agir avec méthode, précision (des constructions). Dans l’analyse classe par classe, nous verrons ce qu’il en est avec plus de précision.

La colonne « Psychologique » concerne des réponses variées :

S’améliorer, s’épanouir, allusion aux enfants (ils étudient les mathématiques pour pouvoir suivre leurs enfants plus tard), pouvoir se concentrer, s’informer et apprendre, faire étudier, être en ordre, les mathématiques servent à construire l’avenir, à nous tourner vers une direction, à s’instruire, à rendre l’esprit pratique.

La colonne « Image » concerne des réflexions sur le monde : apprendre des connaissances générales, comment le monde est fait, enrichir le savoir.

La colonne « Instrument concepts » fournit le nombre de réponses de ceux qui s’intéressent aux mathématiques elles-mêmes : résoudre des problèmes, pouvoir se débrouiller en géométrie, en calcul littéral. C’est le taux le plus faible.

Dans l’enseignement supérieur, les réponses concernent globalement les mêmes centres d’intérêt mais les pourcentages diffèrent. Le métier est moins présent (alors qu’ils se rapprochent du moment de l’exercer), et l’allusion aux questions de réflexion, etc. est plus élevée.

256

Total image instrument concept Réfléchir outil calcul psychologique autre théorie études futures vie courante métier Allusion aux mathématiques

global 155 150 125 65 104 100 87 98 103 122

4è année 68 65 64 35 33 46 42 45 41 55

5 è année 56 55 38 24 45 33 32 39 39 44

6 è année 31 30 23 6 26 21 13 14 23 23

Total image instrument concept Réfléchir outil calcul psychologique autre théorie études futures vie courante métier Allusion aux mathématiques

global 100 97 81 42 67 65 56 63 66 79

4è année 100 96 94 51 49 68 62 66 60 81

5 è année 100 98 68 43 80 59 57 70 70 79

6 è année 100 97 74 19 84 68 42 45 74 74

Toutefois, il nous paraîtrait abusif de traiter ces résultats selon une quelconque analyse statistique. Le nombre d’élèves est trop faible. Par conséquent, c’est cas par cas, en regardant les réponses des élèves et en les croisant avec les autres résultats, ceux obtenus en observant la classe et ceux que nous avons relevé des entretiens avec les professeurs, qu’il sera possible de fournir certains renseignements. Ces informations seront plus fiables parce qu’elles résultent des relations réciproques entre quelques-unes des innombrables variables présentes dans toute situation propre aux sciences humaines.

257

Chapitre 10 

L’enseignement secondaire inférieur 

258

1. Introduction 

Ce chapitre concerne l’enseignement secondaire inférieur, la deuxième année.

Comme nous l’avons indiqué précédemment, c’est la fin d’un cycle, c’est pourquoi nous nous sommes limité à cette deuxième année. C’est aussi celle où les professeurs énoncent des définitions d’objets mathématiques qu’ils ont introduits progressivement l’année précédente et même souvent durant les fondamental.

Huit professeurs et neuf classes (deux classes parallèles reçoivent le cours de mathématiques d’un même professeur) sont présentés. Parmi les observations figurent deux classes d’une même école, de deux professeurs différents qui se sont accordés pour présenter le même sujet, mais différemment. Leur comparaison a permis d’en tirer un certain enseignement.

Nous présentons ces classes pour en retirer les observations des quatre tensions concernant l’enseignement de définitions. Les entretiens menés avec les professeurs sont repris en annexe ; dans ce qui suit, ils font l’objet d’une analyse. Les représentations des élèves concernent trois étapes différentes : les représentations immédiates observées lors de la leçon, leurs représentations sur la leçon, et celles sur le cours de mathématiques, plus généralement.

Tous ces résultats sont croisés dans une première conclusion, particulière à chaque classe.

Ensuite, après la présentation par classe, vient la conclusion globale qui retrace les points importants qui ressortent de l’analyse de ces neuf classes.

Le but est de prendre connaissance de la nature des savoirs mathématiques enseignés, au moins de quelques formes textuelles rencontrées. Lorsqu’on tente de les regarder, on est confronté à une double difficulté : l’une liée à leur contenu propre, des mathématiques, autrement dit, des sciences « dures », l’autre liée à la manière dont ils sont enseignés, et dont ils sont reçus par les élèves, et qui en fait des objets relevant des sciences humaines. En entrant dans le domaine des sciences humaines, l’étude de l’objet « savoirs mathématiques enseignés » se leste d’une caractéristique propre à nombre de recherches en sciences humaines : une multitude de variables qui ne peuvent être toutes contrôlées.

Pour limiter le nombre de variables, nous avons délimité le plus précisément possible notre objet d’études à la formulation d’une définition en géométrie. Cette formulation a parfois été omise par le professeur, pour diverses raisons qui ont aussi fait l’objet d’une analyse. De plus, la conception d’une définition chez les professeurs ne coïncident pas nécessairement avec celle qui consiste à exprimer un concept à partir d’autres.

Ces définitions concernent des objets mathématiques qui, la plupart du temps, sont déjà connus des élèves parce que les programmes imposent un apprentissage en spirale, ce qu’ils apprennent a souvent déjà fait l’objet d’une étude les années précédentes. En revanche, la formulation de la définition est inédite pour les élèves. Ils ne l’ont ni lue, ni entendue durant leurs années d’étude précédentes.

Remarque sur les observations

Chaque observation de classe retrace tout ce qui a été dit, ce que nous indiquons en italique.

Différentes indications de ce qui se passe en classe sont notées dans une autre police et sont mises entre crochets.

259

Dans les paragraphes qui suivent (l’analyse des conceptions des professeurs, les réponses des élèves, et les conclusions), les propos tenus oralement ou écrits par les professeurs et les élèves sont également notés en italique. Ces propos sont reproduits littéralement, avec toutes les incorrections qu’ils ont comportées.

Les entretiens sont reproduits intégralement en annexe.

260

2. Enseignement secondaire inférieur ­ Professeur 1 ­ Classe 1       1) Observation de la leçon 

Il s’agit d’une classe de 18 élèves de deuxième secondaire (13 ans). Quatre élèves arriveront en retard durant la séquence suite à une visite médicale. Le sujet de la leçon concerne les transformations du plan. Celles-ci ont été vues en première année, mais cette fois, le professeur va en donner des définitions précises.

L’énoncé de la définition est nouveau. La notation symbolique a été introduite auparavant.

[Le professeur a fait rapidement une comparaison entre la géométrie et un jeu dont les pions sont les droites, les points etc. Les règles sont les propriétés].

Or, un jeu, selon l’une des définitions que donne Brousseau (1998, p. 82), est « une activité physique ou mentale, purement gratuite, généralement fondée sur la convention ou la fiction, qui n’a dans la conscience de celui qui s’y livre d’autre fin qu’elle-même, d’autre but que le plaisir qu’elle procure ». Cette définition met l’accent sur l’aspect conventionnel, et sur la gratuité avec laquelle le joueur se livre au jeu. Une autre définition du jeu est celle qui met l’accent sur les règles à observer, ou encore sur les contraintes que celles-ci produisent.

Lorsque ce professeur signale aux élèves que la géométrie est un jeu, avec des pions et des règles, il invite ses élèves à effectuer des activités qui n’ont de sens que pour elles-mêmes, et il annonce qu’il faut s’astreindre à respecter des règles, c'est-à-dire les propriétés.

Contrairement à d’autres collègues, il ne souligne aucunement l’aspect concret, se rattachant à la réalité immédiate.

[Le professeur explique que les propriétés constatées et mesurées en 1ère vont être prouvées maintenant, qu’elles vont être démontrées. Et un premier outil pour cela, ce sont les transformations du plan.]

1 P - les symétries orthogonales. Que donner au départ ? 2 E - une droite

3 P - on l’appelle axe. Pour une symétrie centrale ? 4 E - un centre

5 P - une translation ? 6 E - des vecteurs [Le professeur corrige :]

7 P - un segment orienté. Et pour une rotation ? [Le professeur dessine au tableau et attend des réponses.] [Au tableau]

8 E - un point.

9 E - un cercle ? [L’élève suggère la réponse mais visiblement, il hésite] Le professeur poursuit son idée.

261

10 P - de quoi cela va dépendre ? D’un angle! α ! Il faut donc le centre de rotation et l’amplitude de l’angle. Le sens positif de la rotation ? L’inverse des aiguilles d’une montre.

[Sur un ton enjoué, comme si cela allait de soi.]

[Le professeur pose les questions et répond lui-même après de courts instants de silence.]

Le professeur se rend probablement compte que les élèves ont généralement plus de difficultés à comprendre et retenir ce que sont les rotations qu’ils n’en avaient avec les autres transformations, probablement parce qu’elle nécessite une construction au compas (d’où la réflexion de l’élève : « un cercle ») pour chaque point, et qu’il faut introduire les angles orientés auxquels les élèves n’ont pas été familiarisés jusqu’alors.

11 P - Pour la symétrie, on a deux possibilités selon que le point appartient ou non à l’axe.

[Il dessine au tableau et en se retournant vers la classe, il attend qu’un élève lui dicte la construction qu’il faut effectuer:]

[Au tableau]

12 E - on mesure la même distance de X à a avec une perpendiculaire.

[Le professeur ignore la réponse fournie par l’élève et pose la question correctement.] 13 P - comment trouver l’image de X par la symétrie d’axe a ?

[Il effectue la construction au tableau.

Ce faisant, le professeur explique la construction : comment on obtient X’, rappelle la notion de perpendicularité, et explique que la distance est la même entre X et a, et entre a et X’:]

[Au tableau]

Jusqu’à présent, le professeur s’adresse peu aux élèves. Il ne tente pas de faire émerger de leurs représentations celles qui devront se modifier, ou qui devront

262

permettre une réorganisation mentale de ce qu’ils savent. Or, les élèves ont appris l’année précédente, ou même durant leur école primaire, comment construire ces transformations. Il suppose peut-être que tout ceci est acquis et toujours bien maîtrisé.

14 P - la symétrie se note sa.

L’image va de la gauche vers la droite, et celle de la droite va vers la gauche. Les points qui appartiennent à l’axe restent identiques.

Tous les points du plan ont combien d’images ? 15 E - une seule.

16 P - est-ce qu’il existe un point qui a plus d’une image ? 17 E - non

18 P - et pas d’image ? 19 E - non

20 P - donc une symétrie est une transformation du plan.

Pourquoi transformation ? Parce que tout point a une seule image.

Autre exemple, les projections parallèles.

[Au tableau]

Tous les points ont une image et une seule mais tous les points sur une droite parallèle à la direction de projection, ont même image.

[Au tableau]

Les segments ont la même longueur (observé)

Ligne 14. Ici, le professeur suggère la figure géométrique et donne en même temps, l’explication de ce qui pourrait poser problème aux élèves.

Ligne 20. A nouveau, il pose les questions et y répond mais en construisant un

« dialogue », il précise pourquoi une symétrie est une transformation du plan et ce