Conclusion   des   deux   leçons

Les axes et centres de symétrie d’une figure sont des objets géométriques ; sur une figure géométrique, on peut les construire. Dans la réalité sensible, il existe des objets qui présentent des symétries. Cela se « voit ». Cependant, ces symétries correspondent en mathématiques à des définitions précises et à des constructions rigoureuses sur le plan mathématique. Un axe ou un centre de symétrie peut donc se tracer sur une figure, mais n’est pas un objet concret. Plusieurs possibilités existent dans une leçon : soit travailler directement en géométrie, soit partir de la réalité sensible. C’est ce qu’a fait ce professeur. De la sorte, il partait des représentations iconiques chez les élèves, mais il les conviait en même temps à devoir capter des implicites, les passages de la situation au contexte et vice versa, pour construire une représentation conceptuelle d’un axe ou d’un centre de symétrie (ce qui fait écrire par un élève : « on les utilise la plupart du temps inconsciemment »).

Ces implicites sont sans doute inévitables, dans une certaine mesure au moins, parce que toute explication supplémentaire qui indiquerait le passage de la situation au contexte, alourdirait le discours, et aurait peut-être pour effet de distraire l’attention des élèves de la finalité de la leçon. Comme nous l’avons vu au chapitre 2, l’oral en classe tient à la fois du texte et de la situation.

Cette manière d’enseigner telle que le fait ce professeur, propose des définitions qui se présentent comme l’explication d’une notion, mais en même temps, comme une mise en relation de concepts, c'est-à-dire comme une véritable définition qui explicite un lien entre des concepts (du coup, un élève écrit : « on rentre dans de la matière comme si on voudrait être scientifique »).

L’un des buts du professeur est d’apprendre à ses élèves à formuler des définitions, c'est-à-dire à acquérir un savoir propre au langage, une structure de surface qui répond à la nécessité de construire une structure de fond, laquelle pourra participer à l’élaboration d’une théorie, mais il ne va pas jusque là. Il ne parle d’ailleurs pas de médiatrice et ne rappelle pas les définitions des différentes symétries. Comme le chapitre 4 l’a montré, une théorie s’écrit, elle est produite par du langage et s’introduit par lui. Et les mathématiques telles qu’elles sont développées en Occident au moins, ne se sont construites qu’avec un certain type de langue, alphabétisé, ce qui a permis de construire des concepts (cf. chapitre 2).

En écoutant les propos de ce professeur, on a le sentiment qu’il envisage une théorie mathématique comme traduisant la réalité sensible (« Est-ce qu’une définition est quelque chose qui existe en soi ? », « Oui mais cela revient à mettre des mots sur une notion et ils ont énormément de mal à s’exprimer »). Il serait plutôt essentialiste, et cela se retrouve dans les

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réponses de certains élèves. Par exemple, « faire des axes de symétrie car on a découvert que les lettres en avaient ».

Dans le sens où les mathématiques sont une traduction fidèle de la réalité sensible, c’est cette réalité qui sert de preuve et pas l’inverse. D’où, il n’existe pas de conception d’une théorie en tant que jugement, malgré la présence des compétences idiomatiques. Les mathématiques sont aux yeux de ce professeur, une gymnastique de l’esprit, et même un «un jeu d’esprit plutôt qu’on peut transposer dans d’autres matières», c'est-à-dire une pratique qui s’appuie sur un certain nombre de règles. Mais ce ne sont pas vraiment des compétences au sens d’effectuer une tâche, puisqu’elles ne s’appuient pas sur un contenu préétabli sur lequel s’appliquent ces règles. Il s’agirait plutôt de compétences transversales.

324 7. Enseignement secondaire inférieur ­ Professeur 5 ­ Classe 6       

1)Observation de la leçon 

Il s’agit d’une leçon de 50 minutes.

Le professeur rappelle ce qui a été donné la leçon précédente.

Remarque d’un élève : si des droites sont parallèles, on ne sait pas voir l’angle. [Au tableau]

1. Description de l’image

1 P - si on fait subir une rotation à une figure, que fait-elle ? 2 E - elle tourne

3 P - dans un sens… ?

4 E - dans le sens des aiguilles ou le contraire [Au tableau]

Si on fait tourner une figure autour d’un point C, on peut réaliser cette rotation dans deux sens contraires.

Si le sens est celui des aiguilles d’une montre, on parle de rotation d’amplitude

négative ;

Et si le sens est l’inverse de celui des aiguilles d’une montre, on parle de rotation d’amplitude positive.

5 E - il faudra connaître les sens « horlogiques » ?

6 P - tout à fait ! Pouvoir le reconnaître dans les exercices.

7 E - mais l’année dernière on a vu les rotations autour d’un axe ?

8 P - oui, actuellement, c’est autour d’un point mais nous ne sommes plus dans l’espace mais dans un plan.

[Au tableau]

2. Eléments caractéristiques d’une rotation

9 P - quels sont les éléments à donner pour pouvoir déterminer une rotation ? 10 E1 - le sens

11 E2 – le centre

Ils omettent l’angle, celui-ci pose sans doute problème. [Au tableau]

Les éléments caractéristiques d’une rotation sont le centre (un point), l’amplitude de l’angle, et le sens de la rotation.

12 P - parfois on combine les deux : exemple : + 30° [Au tableau]

3. Notations

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13 E - à partir de quel nombre on sait si c’est + ou – 90° par exemple ? 14 P - c’est marqué dessus.

15 E - et si c’est 360° ?

16 P - que se passe-t-il alors ? 17 E - on fait un tour complet

18 P - si on note

R

19 E - par là (l’élève fait le geste) [Au tableau]

R

20 P - ? (le professeur se tourne vers les élèves et fait une mimique interrogative) 21 E - une rotation de centre C et d’amplitude 150°

22 P - quel sens ? 23 E - horlogique [Au tableau]

Remarques

1) une rotation ne change pas si on ajoute ou si on soustrait à l’amplitude de l’angle, un multiple entier de 360°.

24 P - vous m’avez l’air sceptique ! Le professeur attend un instant et ajoute : 25 P - exemple ! Si on dit 1040°, que fait-on ?

On ôte le plus grand multiple de 360 et on obtient 320° Comment dessiner 320° ?.... Une rotation de 320° ? 26 E - dans l’autre sens !

27 P - de combien ? 28 E - 40°

29 P - moins 40° !

Ligne 29. Ici, le professeur mélange deux additions qui travaillent sur des ensembles différents : l’une va de 0 à 360 et l’autre de -180 à 180 et cela entraîne des difficultés chez les élèves.

[Au tableau]

2) À toute rotation d’angle positif et de centre C correspond une rotation d’angle négatif et de centre C.

Ex :

R

30 P - ? (le professeur se tourne vers les élèves et fait une mimique interrogative) 31 E - -120° ?

32 P - d’accord ? 33 E - non, moins 140°

Et si on demande de trouver le centre ? 34 P - attends la suite !

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Ce calcul d’angle intervient à propos de la définition d’une rotation, mais si l’élève reste dans l’attente d’une explication précise et complète de cette rotation, le professeur s’attache, lui, à l’angle orienté. Une ambiguïté sur le sujet est liée à l’imprécision du domaine de travail : la rotation concerne la géométrie du plan, et d’autre part, les calculs dans un groupe modulo, pas cité explicitement.

[Au tableau]

36 P - on te demande une rotation de + 220° Dans quel sens tu vas tourner ?

37 E - dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. 38 P - mais si on tourne dans l’autre sens ?

39 E - 180° - 40° = 140°

40 P - oui !.... et si je fais un tour complet ?

Ligne 39. L’élève a déjà changé, il ne travaille plus dans le domaine qui va de 0 à 360 degrés mais de -180 à 180 degrés.

Ligne 40. Par contre, le professeur reste dans la réalité sensible. 41 E - 360°

42 P - il faut regarder ce qui te manque 43 E - oui, +220 = -140 !

Ligne 43. Ici, l’élève saisit la définition d’une addition modulo… La définition reste accrochée à la réalité pour le professeur mais pas pour l’élève qui cherche à se préciser ces types d’addition dans les mathématiques.

[Au tableau]

3è remarque

À toute rotation d’angle négatif et de centre C correspond une rotation d’angle positif et de centre C.

44 P - par exemple, une rotation de centre C et d’angle -320°, cela donne en positif ? 45 E - +40°

46 P - et que donne une rotation de + ou – 180° ? 47 E1 - une symétrie centrale

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48 E2 - je n’ai pas compris le début

49 P - imaginez que vous êtesà la salle de gymnastique, si on tourne en gymnastique, on fait un tour sur soi-même, on a fait combien de degrés ?

Ligne 48. Pour cet élève (au moins) l’addition modulo n’est pas encore saisie.

Ligne 49. Le professeur est de nouveau dans le concret de la vie quotidienne. Pour lui, expliquer à l’élève ce qu’il ne comprend pas (ligne 48), c’est revenir à la réalité sensible. Pourtant, il se pourrait bien que l’élève souhaite une explication mathématique, parce que cette manière d’additionner les angles s’insère dans la définition de la rotation, et donc en géométrie.

50 E - 360°

51 P - et si on fait deux tours ? 52 E - 720°

53 P - et à la fin, on sait dire combien de tours on a fait ? 54 E - non !

[Etc.

Le professeur donne encore quelques exemples du même type.]

[Au tableau]

4è remarque

Toute rotation de centre C et d’amplitude +180° est une symétrie centrale de centre C. Le professeur regarde ses élèves

55 E - Et si on a -370° ?

Ligne 55. Certains élèves n’ont toujours pas compris. La convention qui consiste à ôter des multiples des 360 n’est pas dite explicitement ici.

Conclusion

Une première difficulté venait du fait que les élèves ont étudié les rotations en première année, mais dans l’espace et maintenant, il s’agit de les voir dans un plan. Mais ce problème a été vite résolu par le professeur qui l’a signalé.

Une deuxième difficulté vient du fait que le professeur a donné dans la leçon précédente, une définition de la rotation dans le plan. Mais dans celle-ci, il n’a pas précisé comment on définissait un angle orienté. Et cette leçon est consacrée à ces angles orientés et leur addition, uniquement. Dans cette leçon-ci, il les fait saisir par les élèves en illustrant cela par une construction ou dans une situation de la vie quotidienne (construction ou salle de gymnastique). Il ne donne aucune définition formelle ni de l’angle orienté, ni de l’addition de ces angles. Il se limite à des remarques qui ont trait à la réalité sensible excepté une explication où le professeur dit : « on ôte le plus grand multiple » (ligne 25).