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Représentations   que   les   élèves   se   font   de   cette   leçon

Dans le document Volume 2 : Partie empirique (Page 46-88)

L’enseignement   secondaire   inférieur

2) Représentations   que   les   élèves   se   font   de   cette   leçon

Qu’est-ce qui est intéressant dans ce que tu viens d’apprendre et pourquoi ?

Questionnaire élèves :

(8) apprendre le nombre d’axes, apprendre à les construire, à être logique.

Pas d’allusion à la 2è définition, ils n’en voient pas l’utilité et ne comprennent pas que cela leur apprend à établir des liens.

(12) reconnaître et connaître les droites remarquables (14) découvrir comment faire les axes

(16) apprendre des définitions même si ça ne nous sert à rien. (24) les formes géométriques pour la culture générale,

quelques élèves trouvent le cours intéressant parce qu’ils « adorent le cours de math ».

3)Conceptions de l’enseignant  

a) Sur les mathématiques enseignées à l’école secondaire

Le professeur parle d’abord de l’aspect pédagogique qu’il adapte selon les contenus : Oooh, ça dépend vraiment du ... Et je fais des méthodes tout à fait différentes. Ici, en géométrie, c’est un petit peu plus interactif. En algèbre, euh, bien souvent ... En géométrie, c’est interactif et ils avancent à leur rythme. Bon, aujourd’hui, non, c’était vraiment un, une, un,… une leçon de synthèse, mais ils fonctionnent beaucoup, ils travaillent et je corrige individuellement ce qu’ils font, les constructions dans le cahier. C’est beaucoup plus individualisé en géométrie, habituellement, pas aujourd’hui, puisque, hein, c’était ça. En algèbre, on fonctionne quand même beaucoup plus sur des prépas faites à domicile et qu’on corrige presque systématiquement au tableau. Et en, j’ai une heure en supplément, une heure de renforcement avec eux, et cette heure de renforcement, je la consacre à des chapitres comme les statistiques, les, euh les points du programme : aire, volume, périmètre, graphiques, traitement des données, enfin, je fais... Et là, ils fonctionnent même parfois en groupes, en groupes de deux. Et en géométrie, ils fonctionnent aussi, mais, selon le moment, mes leçons

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ne sont pas type, selon le moment aussi, je pratique le tutorat. Donc les élèves qui se débrouillent bien, qui construisent bien, prennent à côté d’eux, un élève. Il ne peut pas construire à sa place, mais ils doivent le lui expliquer .... Ensuite, lorsqu’il parle des mathématiques à enseigner dans l’inférieur, il indique qu’elles ne sont pas un outil, immédiat du moins à leur niveau des études : cependant, à leur niveau ici, ce que je leur dis toujours en début d’année c’est ce qu’on disait : ça ne sert à rien le cours de mathématiques, je dis, pratiquement, quand on sort de primaire pour le calcul on a ce qu’il faut, et puis alors après, je leur pose des questions en leur disant « Oui tiens, mais les mathématiques, elles interviennent où ? ». Ben, c’est un modèle en météo, les géomètres, et ainsi de suite, donc en tant qu’outil. Bon, il y a cette partie-là, et puis alors, il y a autre chose aussi, et puis alors l’abstraction, et alors je leur dis, mais c’est comme on apprend du, on apprend le latin pour ça, mais il n’y a pas que les mathématiques. Disons que c’est ça, que, quelque part,… parfois un peu dérangeant parce que vous avez des gens qui sont quand même euh, on en rencontre qui sont quand même très fermés aux mathématiques pour des bonnes ou mauvaises raisons, ça euh, mais il y a là certainement tout un passif, même affectif là-derrière. Par contre, dans le supérieur, il estime que les mathématiques devraient être différenciées selon les sections, un cours plus dirigé vers l’abstraction pour les sections qui ont plus d’heures de mathématiques, et plus utilisable rapidement pour les sections où peu d’heures de mathématiques figurent au programme : … au cycle supérieur, ces cours à deux heures, je trouve que finalement, le cours de math deviendrait un cours où on apprendrait à utiliser un, un logiciel de, un tableur, où on apprendrait à utiliser correctement une calculatrice, ça serait aussi bien que, que de mettre certains chapitres,…faire un cours de stat, oui, parce que ça ils risquent d’en avoir besoin par la suite mais disons ceux qui ne sont pas orientés vers… . Et un peu plus loin dans l’entretien, il se pose le même genre de question pour l’inférieur : Les mathématiques ont quand même été euh,…la réduction manuelle… Plein de choses comme ça ont été euh, … On, on a orienté l’enseignement des mathématiques vers ça et avec ça parce que le seul outil dont on disposait pour calculer c’était quand même son cerveau. Maintenant, je crois que ce n’est quand même plus tout à fait vrai. Et donc il y a des opérations qu’on faisait… Bon, je ne suis pas capable de vous donner la réponse : si ça a encore un sens ou pas, je suppose que… Oui parce que je vous dis, il y a des tas de bazars qu’on fait, des tas de bazars, non, des tas de procédures qu’on met en place. Elles étaient très utiles mais maintenant, avec les enfants qu’on a devant nous qui disposent, euh, quand même, la plupart ont quand même un ordi, ou au moins une calculatrice, il y a quand même des choses qu’on fait un petit peu par habitude en math je trouve. … Est-ce qu’il est encore vraiment intéressant (le programme actuel qui demande d’apprendre de telles procédures)? Je ne sais pas, je ne sais pas, je ne sais pas... Moi je jongle avec ça parce que j’ai été habituée comme ça, je jongle avec ça et parce que quand ils me disent « 1 sur racine de 2 », je dis « je sais pas mais racine de 2 sur 2, je peux te donner la réponse ». « Ah, oui ». Alors je leur montre. « Ah oui, c’est vrai ». Ils comprennent mais, mais est-ce que je peux encore dire « On fait ça, pour cette raison… », parce que il y a quand même beaucoup de choses qu’on fait en mathématiques parce que tout un temps, le seul outil dont on a disposé…On ressent une tension chez ce professeur entre ce qu’il dit aux élèves (les mathématiques n’ont pas un usage direct) et ce qu’il pense de certaines parties des mathématiques proprement dites qui, selon lui, n’ont plus guère de sens actuellement parce qu’elles ne présentent pas une utilité immédiate.

Le chercheur : Ce qu’on apprend à l’école doit avoir une utilité dans la vie courante, oui ou non ?

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b) Sur les compétences et les compétences transversales

Sur le fait de montrer la finalité de ce qu’on va enseigner : commencer mes équations réductibles au premier degré par ce que je vous ai montré, ça j’y crois, le côté un peu plus ludique. Donc commencer les équations d’un degré supérieur à, hein, par des vérifications oui, mais ça c’est, ce n’est pas une définition, c’est rien du tout, c’est dire « Tiens dans cette équation là on la reconnaît par le fait hein, qu’il x ou qu’il y a y ». C’est une vérification. Et après, je vais seulement poser les bases en théorie de la résolution des équations d’un degré supérieur à un et faire des, vraiment des résolutions d’équations. Les exemples que donnent ce professeur ne semblent pas montrer vraiment la finalité de la leçon.

Les compétences sont considérées comme interdisciplinaires, et son gros problème est de les évaluer : Moi, je n’ai aucun outil ... correct d’évaluation des compétences, mais c’est ce qu’on a toujours à l’esprit, même si c’est une compétence spécifique à son cours, mais je crois qu’on doit de plus en plus aussi s’orienter vers des, des compétences interdisciplinaires, et ne pas hésiter à dire..., à faire des ponts avec d’autres cours parce que des savoir-faire, des savoir-être, vous ne savez quand même pas les mettre en œuvre uniquement dans votre cours, vous devez penser par exemple aujourd’hui, ben, je pense que j’ai essayé d’être au niveau de la... j’ai visé la précision au niveau de la définition. A d’autres moments, beh, quand vous êtes, je ne sais pas, moi, pas dans des définitions, mais par exemple, à certains moments, je parle de…de translations de vecteurs, je sais bien qu’ils voient les forces en physique, donc j’essaye aussi à ce niveau-là, de, d’essayer de remettre les choses en place, mais c’est vrai que les compétences, on les a à l’esprit en permanence même si on ne l’inscrit pas dans un cahier régulièrement…Bon, je peux faire une interro « calcul pgcd ppcm », et puis, alors à un autre moment, je dirai, il faut y aller, trouver la solution plus vite, et pour ça, il faut justifier en mettant la propriété qui a été utilisée, donc je vais avoir des questions vraiment de calcul sur deux, puis un point pour une propriété en plus, parce que, bon, on,… je n’évalue pas la même chose quand je demande les deux, je ne suis pas du tout dans... Je suis dans une technique de calcul et puis je suis dans l’application d’une règle générale du type « Quand un nombre en divise deux autres, il divise leur somme », ou des choses comme ça, « Deux nombres consécutifs sont toujours premiers entre eux, donc le plus petit est le pgcd et le plus grand le ppcm » [sic]. Donc là, je ne suis quand même pas au même niveau, donc je sépare ma, ma cote et j’essaye d’avoir des cotes, au niveau de la restitution, de la mémorisation, de l’application. Le professeur sépare les compétences en plusieurs types : des procédures de calcul, des exercices de réflexion etc. Et il assure que ses élèves préfèrent ces derniers. La question délicate du cadrage est rarement abordée: Par exemple, ceux qui sont arrivés à celui-ci : c’était un carré magique avec des expressions. Donc bien sûr pour les lettres ça ne pose aucun problème mais pour les chiffres on a dit, il y en a qui avait décomposé, il y en a qui ne l’avait pas fait, et puis, ce qui est possible, ce qui ne l’est pas. Ça prend énormément de temps. Ils s’acharnent dessus mais on prend, ça prend beaucoup de temps. Alors moi, ce que j’aime aussi bien pratiquer, c’est dans ce genre d’exercices, à un moment donné, on se pose quand même, le cours s’arrête et on se dit « Comment ai-je, comment ai-je fait ? », on l’explique aux autres, « Comment as-tu fait ? », « Est-ce que tu serais capable maintenant de le faire ? ». De temps en temps, on se fait des petites pauses hein ou même en début d’heure, deux minutes, on…enfin pas deux minutes c’est trop long sûrement pour eux, une minute. Alors je leur demande hein donc, comment hein, comment… Faire une petite pause métacognitive et ça, ça marche bien avec eux. A un moment donné de leur dire « Maintenant on se pose et pendant une minute, on laisse revenir tous les souvenirs, on prend tout et on note au tableau…on prend tout euh », mais seulement ça prend du temps ce genre de choses. Ça prend énormément de temps. A la suggestion : Montrer en classe que l’enseignant ne trouve pas toujours immédiatement la solution d’un problème ou une démonstration n’est pas

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à faire devant les élèves ?, il répond : Oh non, tout à fait, il faut le faire, il faut le pratiquer, tout à fait, le plus qu’on peut, le plus qu’on peut et trouver des solutions originales d’un enfant, il n’y a rien de mieux. Il n’y a rien de mieux que de mettre en avant un, un enfant qui a trouvé une solution. Moi j’adore dire « Oh, moi, je n’avais pas pensé à ça ». Oh oui ça moi, j’aime bien, oui ! Toutefois, dans cette réponse, il ne parle pas de mettre en évidence la manière dont l’élève, ou le professeur à titre d’exemple, réfléchit.

4)Ce qui ressort de l’observation : les quatre tensions 

e) Domaine

Le professeur construit des figures géométriques dans le plan (D2) (lignes 3-6, 68, 84), et il formule des énoncés d’objets mathématiques situés dans le plan (D3) (lignes 7-8, 12).

f) Énoncé

Par la 1è définition et le langage, il donne directement l’énoncé formel et l’explique, les élèves sont obligés d’essayer de comprendre ce que ce langage signifie (pour que la définition exprimée formellement ne soit pas apprise par cœur comme il le signale dans l’entretien). Quelques figures aident à comprendre la précision de ce qui est dit. (cf. angles adjacents). Les énoncés des définitions exigés par le professeur sont du type symbolique 2 (lignes 8, 11, 25, 37 à 42, 51-57, 64, 91, 101 avec une nuance quand il cite une perpendiculaire …qui passe par…). Pour l’instant du moins, les élèves n’insèrent pas les énoncés dans un ensemble plus structuré et certains n’en voient pas l’utilité (cf. remarque de l’élève ligne 66).

g) Validation

Elle se fonde sur l’observation de figures géométriques (par exemple, les lignes 18-22). Le professeur fait d’ailleurs la remarque aux élèves: une hauteur, on la construit puis on la définit (lignes 96, et 27 aussi). À la ligne 9, il dit aux élèves que cette définition « explique comment on la trace ». L’existence de l’objet défini vient de la construction des objets géométriques.

h) Représentations

Lorsque les élèves expliquent leur construction, ils sont dans des représentations symboliques 1. Ils formulent rarement des phrases complètes. Mais les mots utilisés font partie de l’idiome des mathématiques. Cependant, les élèves ne formulent pas de phrase complète qui reflèterait un texte mathématique, ils utilisent la langue naturelle et la syntaxe des phrases ne reflète pas totalement l’aspect formalisé propre à une théorie mathématique (lignes 85, 87). Le professeur utilise aussi la représentation iconique et la représentation indiciaire lorsqu’il dessine au tableau et demande aux élèves de ressortir de leurs observations si ce sont des angles adjacents (lignes 18 à 22). Lorsque le professeur énonce ou fait énoncer les définitions par les élèves, il est dans une représentation symbolique 2.

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5)Compétences idiomatiques 

Elles sont travaillées en classe, le professeur reprenant systématiquement les élèves pour qu’ils arrivent à une formulation de l’énoncé qui soit formalisé (lignes 12-18, 31-42, 51-57). Il insiste non seulement sur les termes utilisés mais aussi sur la manière de construire la phrase. Les élèves, eux, utilisent la langue naturelle et ne s’attachent pas à l’idiome mathématique mais ils sont repris systématiquement par le professeur (par exemple, lignes 85 à 89, 34 à 42, ou 51 à 57). Mais ceci s’effectue sans faire voir l’utilité de cet idiome (ligne 66). Le professeur insiste sur la précision du langage (lignes 43 à 46, ligne 57, 80) qui est nécessaire pour cibler correctement l’objet mathématique concerné, mais sans vraiment expliquer aux élèves le pourquoi de cette exigence. D’ailleurs, le professeur lui-même ne saisit pas spontanément l’intérêt de cet apprentissage (cf. entretien).

6)Conclusions 

Concordance entre ce que le professeur dit et fait.

Les premières réactions du professeur sont d’ordre pédagogique, comment il fait travailler les élèves selon les matières. Il parle volontiers des compétences en posant le problème de leur évaluation, en les considérant comme transversales et en soulignant l’intérêt auprès des élèves de se poser une réflexion sur la manière dont ils ont résolu une application. En ce sens, il reste dans des représentations symboliques de type 1(indiciaire) ou 2. Et ceci est cohérent avec ce qui a été observé. Dans l’entretien, on ressent un malaise sur les mathématiques à enseigner au secondaire et leur aspect épistémologique : doivent-elles se présenter comme quelque chose de directement utilisable ou utilisable plus tard, ou uniquement comme devant faire réfléchir ? Il insiste sur le fait qu’elles doivent - ou devraient- présenter une utilité, mais dans le cours, ce n’est pas le cas. Les objets mathématiques qu’il a définis sont situés dans un plan et il ne fait pas allusion ni à la réalité sensible, ni à des applications dans d’autres domaines (la physique par exemple). Les compétences idiomatiques sont travaillées mais sans utilité apparente, ni même sans les présenter comme un jeu, un jeu de langage. Seize élèves parlent d’apprendre des définitions « même si ça ne nous sert à rien ». Et dans l’entretien, la réaction du professeur, lorsque le chercheur lui demande des exemples qui montrent l’utilité d’une définition, est d’hésiter et de la présenter comme un exercice de mémorisation : euh, j’ai fait les…et ça c’est du jeu quelque part que je fais et je leur dis hein, je leur dis aussi : « Ça, d’un, d’un point de vue mathématique, ça ne se justifie pas. Mais j’estime que vous êtes de moins en moins sollicités par euh, une mémorisation, récitation, une restitution pure et dure ». Ils l’auront encore, ceux qui feront des études, ils l’auront encore par la suite. … Mais quand je dis vraiment je fais de la mémorisation pure et dure, je leur dis, et que c’est vraiment formatif et rien d’autre. Que d’un point de vue ça ne leur apprend rien d’étudier le théorème de Pythagore par cœur, que ça ne leur apprend rien du tout. L’énoncé, mais on l’a tellement pratiqué qu’ils le connaissent sans l’étudier. Mais si j’interroge, si je fais une interro de restitution sur le théorème de Pythagore et en troisième ça je le fais régulièrement parce que je trouve que on doit exercer leur mémoire et on ne l’exerce pas assez. Et si nous ne le faisons pas, les profs de math, qui le fera ?

Conceptions de la théorie

Sur l’intérêt de faire apprendre des définitions, le professeur hésite, et même ne peut répondre avec certitude. Pourtant, il les fait apprendre, et donne même deux définitions de la

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médiatrice, ou de la bissectrice, sans démontrer leur équivalence. Lorsque le chercheur lui demande dans quels types d’exercices les définitions qu’il vient d’enseigner vont intervenir, dans un premier temps, il ne peut répondre, ensuite il signale qu’il va les utiliser dans l’interrogation du lendemain, et ce n’est qu’à la suggestion du chercheur sur leur utilisation dans les exercices, qu’il précise un peu. Voici ses réponses :

Beh, c’est ce que je…On va avoir un contrôle demain, des vrai ou faux, ou des blancs : mettre le mot qui manque. Ça c’est comment je vais évaluer mais à quoi ça sert une définition ? Hum (hésitation) beh je vais dire à préciser, vraiment préciser, euh, le…Oui ça dépend…ça dépend, ça dépend. [Long silence]. Ça dépend parce que bon ici, euh, c’est préciser des objets qu’on utilise et dont on parle depuis le début de l’année et bon maintenant « Allez hop les gars on se pose et on écrit ça correctement ». Euh,… parfois, une définition, on est quand même bien obligé de la donner en préambule pour un cours, pour dire « Tiens on va faire telle ou telle chose », mais c’est vraiment, c’est pas…

Ensuite,il dit :

Essentiellement dans des exercices de mémorisation et vraiment plutôt au niveau d’un contrôle, et d’un autre coté aussi à tout moment qu’on on a la définition qu’on a enseignée et qu’on l’a, si l’enfant se trompe, on a quand même la possibilité de dire « Oui mais hé, hé, hé, hé, qu’est ce qu’on a dit, qu’est ce qu’on a dit, qu’est ce qu’on a dit ? » Oui, quand même. Lorsque le chercheur lui suggère : Ça revient dans les exercices ?, il répond :

Ça revient dans les exercices, ça revient … Je dis oui, c’est parce que je voyais plutôt mon

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