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Observation   de   classe

Dans le document Volume 2 : Partie empirique (Page 113-121)

L’enseignement   secondaire   inférieur

1) Observation   de   classe

[Les élèves ont devant eux une carte à l’échelle 1/20 000 établie dans leur manuel scolaire (Le nouvel Actimath, activités et exercices, p205). Il s’agit d’une région des Fagnes. L’activité qui leur est proposée est une chasse au trésor : les élèves doivent déterminer l’endroit où il se trouve].

Énoncé du livre :

Lors d’une balade dans les Fagnes, deux classes participent à une course au trésor. Chaque classe reçoit une carte de la région à l’échelle 1.20 000. Les élèves de la classe A partent de la borne K11 et ceux de la classe B partent de la « maison forestière ». Ils savent que le trésor est caché au bord d’un chemin ou d’un coupe-feu et qu’il est situé à même distance des deux points de départ. Détermine les endroits où le trésor peut se trouver.

Le départ est concret : observer les chemins sur la carte pour une course au trésor organisée entre deux classes. Les élèves lisent le problème posé et regardent la carte. En effectuant des aller et retours entre le livre et le tableau, le professeur dessine au tableau des constructions géométriques au compas. Et la recherche de la médiatrice se fait dans les deux domaines presque simultanément: sur la carte et dans le plan. Autrement dit, le domaine est parfois modifié au cours de la leçon et ce de manière implicite.

1P - Observer les rues parallèles. Existe-t-il plusieurs possibilités ? 2 E - s’il en existe plusieurs ?

3 P - les mettre toutes. [Les élèves cherchent.] 4 P - où se trouve le trésor ?

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5 E - à même distance de A et de B

6 P - trouvez-moi des points à même distance de A et B ! Comment faire ? 7 E - on prend le compas, on trace une ligne…

[Au tableau]

Les élèves observent une carte de géographie.

Mais dès le début, ils doivent effectuer des constructions géométriques. 8 P - oui

C’est un point, et après ?

La distance du compas doit être supérieure à ? 9 E - > ½

L’élève sous-entend « la moitié de la mesure du segment AB ». Il a donc connaissance de la propriété qui stipule que la plus courte distance d’un point à une droite est le segment de perpendiculaire abaissé du point sur la droite. Mais cette propriété n’est pas rappelée, on peut supposer que le professeur estime qu’elle est maîtrisée correctement.

10 P - oui, donc on peut prendre le milieu de AB 11 E - on trace une perpendiculaire au centre 12 P - oui, mais on ne parle pas de centre. 13 E - milieu !

14 P - le trésor pourrait être au milieu de [AB]. Et ailleurs ?

Si j’ouvre le compas encore plus, je peux avoir un autre point aussi à même distance de A et de B ! On construit. On prend un autre point, puis un point en dessous.

Ligne 14. La notion de distance paraît naturelle, elle est prise ici comme une traduction de la réalité sensible. Quand le professeur écrit « on construit », il idéalise la situation, il travaille dans un plan qui va servir d’indice pour découvrir la propriété. La première phrase parle du trésor, la réalité sensible, et ensuite du segment AB, objet idéal : deux domaines différents.

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16 P - oui, on a une droite…comment ? 17 E - perpendiculaire à AB

18 P - et ?

19 E - elle passe par tous les points dessinés

Cette réflexion montre que le résultat obtenu et admis par les élèves est justifié par l’observation du dessin. En effet, une droite est déterminée soit par deux points, soit par sa direction (en l’occurrence, ici, perpendiculaire au segment AB) et un point. Mais l’élève a cru nécessaire de devoir insister que cette droite passait bien par tous les points construits. Autrement dit, la justification se fait sans devoir passer par la langue, c’est la certitude d’une représentation iconique.

20 P - et perpendiculaire n’importe où ? 21 E - au centre

On peut se poser la question de savoir si l’élève était troublé par la construction au compas, ce qui lui fait penser au centre d’un cercle ?

22 P - au centre ? 23 E - au milieu.

L’élève s’est repris.

24 P - le trésor sera quelque part sur cette droite-là. Comment s’appelle-t-elle ? 25 E - médiatrice

26 P - une médiatrice, c’est ?

27 E - c’est une droite qui passe par le milieu d’un segment 28 P - milieu d’un segment ou du segment ?

On définit : c’est une droite perpendiculaire à un segment et qui passe par le milieu de celui-ci.

Exercice de construction : on ouvre le compas, on fait un arc de cercle… Mettre un point en couleur. (Tous les points de la carte qui peuvent convenir)

Ligne 24. le professeur parle à la fois du trésor et d’une droite. Il utilise donc deux domaines pratiquement simultanément : le domaine de la réalité sensible et le plan. Ligne 28. Le professeur insiste sur le fait que la médiatrice que les élèves viennent de construire est celle qui concerne le segment AB donné au départ. Autrement dit, il fait allusion au dessin. N’importe quelle médiatrice de n’importe quel segment ne peut convenir. Mais ensuite, il énonce la définition de la médiatrice de manière générale, et à ce moment-là, il se retrouve en géométrie, composée de l’ensemble des énoncés. Il a changé implicitement de domaine de travail.

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2è activité

[Au tableau]

29 P - dessine les points qui sont plus près de A que de B en vert, et l’inverse en rouge…Qu’est-ce que je vais construire ?

30 E - on trace [AB], on prend le milieu, on trace la perpendiculaire. 31 P - la perpendiculaire au segment AB passant par ?

32 E - le milieu !

33 P - oui, pourquoi tu fais cela ?

34 E - parce que sur la médiatrice, on aura tous les points à même distance de A et de B. 35 P - donc, si on se met à gauche, on aura les points ?

36 E - plus près du point A

37 P - donc, on les colorie en vert.

Et la médiatrice, on la met en rouge ou en vert ? 38 E - les 2 !

39 P - pas de couleur, pourquoi ? 40 E - parce que c’est « égal »

41 P - tous les points sont à même distance de A et de B.

Cette activité est de nouveau une activité de construction. Les questions que pose le professeur et qui obtiennent des réponses de la part des élèves, sont des observations, sans aucune justification explicite. Il s’agit toujours d’observation, donc d’une certitude (lignes 29 à 37). Mais, de plus, la propriété qui est sous-entendue, les élèves ne la connaissent pas encore ; ils ont vu que tous les points de la médiatrice sont équidistants des extrémités d’un segment, mais ce sont les seuls qui possèdent cette propriété. Et cette réciproque est nouvelle pour eux. Toutefois, cela paraît « naturel » chez les élèves.

351 [Au tableau]

42 P - Il y a des points plus près de A que de B, et plus près de A que de C. Qu’est-ce que je vais faire ?

43 E - on relie les trois points, on trace plusieurs médiatrices, on prend le milieu de chaque point C perpendiculaire à [AB].

L’élève se dépêche mais il commet une erreur d’appréciation dans son dessin ; pour lui, le point C appartient à la médiatrice de [AB].

44 P - non ! Pourquoi ?

C n’est pas perpendiculaire à une droite !

Tu veux que je trace une perpendiculaire au [AB] par le milieu ? Est-ce que C appartient à m ?

[Les élèves ne répondent pas]

Pour le dessin précédent, il n’y avait pas de problème, alors, ici, c’est pareil. On commence par la médiatrice de [AB], on hachure en rouge ceux qui sont plus près de B.

On prend l’ensemble des points plus près de A que de C, on fait… ? 45 E - on prend la médiatrice de [AC]

46 P - et on met en rouge ?

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48 P - on met en vert ce qui n’est pas rouge.

49 E - ? Si on avait voulu, on n’aurait pas dû mettre rouge ! 50 P - à quoi cela vous fait penser ?

51 E - à une transformation du plan. 52 P - OK

Médiatrice fait penser à une symétrie orthogonale. On va démontrer pour la première fois. Ligne 52. Le professeur suit le manuel « Actimath » dans lequel symétrie orthogonale et médiatrice sont liées par définition (voir ce qui précède cette observation).

Ligne 51. Les élèves pensent aux propriétés de géométrie, qui sont, pour eux, des résultats obtenus par construction et surtout par observation de dessins, ils n’ont pas encore fait de démonstration.

Activité 3

53 P - ici, on a cherché plusieurs points à égale distance de A et de B et on a constaté qu’ils étaient alignés.

[Le professeur dicte :]

Tout point de la médiatrice d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment. On va démontrer, c'est-à-dire prouver que ce qu’on affirme est correct.

Il n’est pas sûr que les élèves ne soient pas certains que cette propriété soit correcte.

54 P - on prend un point X n’importe où. On note ensuite les données :

[Au tableau]

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55 E - AM ou AB?

56 P - mais c’est la même droite ! [Le professeur prend un autre point sur la droite]

Ligne 55. Cette réflexion traduit un certain malaise chez l’élève. Depuis plusieurs années, il trace des droites en classe et il sait très vraisemblablement bien qu’il suffit de prendre deux points pour pouvoir la dessiner. Cette réaction est sans doute provoquée par le discours que vient tout juste de formuler le professeur : On va démontrer, c'est-à-dire prouver que ce qu’on affirme est correct. Jusqu’à présent, les élèves ont admis les énoncés sur simple observation de dessins géométriques, parfois après des constructions. Alors, pourquoi tout d’un coup, on ne serait plus certain de la propriété ?

[Au tableau]

AB ⊥ m

M = milieu de [AB]

X ∈ m

57 P - Où est X ? X appartient à m.

On met toujours hypothèse et thèse en langage mathématique 58 E - thèse, cela veut dire quoi ?

59 P - thèse, c’est ce qu’on demande de prouver. Ici, la thèse, c’est ?

[Silence]

60 P - On veut prouver que ? 61 E - |XA| = |XB|

62 P - C’est ce que je dois démontrer, prouver. On peut dire que cela se voit sur le dessin, mais on ne peut l’utiliser. Le dessin est juste là pour nous aider.

63 E - avec le compas, on construit… 64 P - oui mais pas le dessin ! 65 E - on sait que AM, heu…BM… 66 P - on a vu que m est l’axe de symétrie

Ligne 63. L’élève s’est contenté jusqu’à présent de construire et la justification se bornait à observer sa construction. Le professeur va maintenant passer à un autre type de justification. Mais il le fait de manière autoritaire : « On peut dire que cela se voit sur le dessin, mais on ne peut l’utiliser ». Aussi, les élèves se sentent perdus (ligne 65). Par habitude, ils reviennent aux constructions (ligne 63). En fait, implicitement,

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le professeur est passé d’un domaine de travail à un autre, du dessin à une figure géométrique, qui va servir d’indice pour guider la démonstration laquelle justifie ses différentes étapes par des énoncés. On se trouve donc dans le domaine de la géométrie constitué d’énoncés (ligne 62 : Le dessin est juste là pour nous aider, et avant ceci, on ne peut l’utiliser). Le professeur refuse des résultats obtenus par des observations. [Au tableau]

m est médiatrice de [AB] -> m ⊥ AB et passe par le milieu de AB. 67 P - d’accord ?

68 E - oui !

69 P - si m est l’axe de symétrie, l’image de A est quoi ? 70 E - c’est B

71 P - pourquoi ? Parce que par définition, il (le milieu du segment AB) est à même distance de A et B, et en plus, (la droite AB est) perpendiculaire à l’axe.

Le professeur souligne l’intérêt d’utiliser la définition qui est quelque chose que l’on possède et qui conduira à démontrer. Ce qui est nouveau pour les élèves est d’utiliser un énoncé (une raison) pour justifier.

72 P - l’image de X appartient à quoi ? L’image d’un point qui appartient à l’axe est le point lui-même. Sm A X B …

Par définition de symétrie orthogonale

Les symétries n’ont pas été démontrées, et leurs propriétés sont cependant acceptées, simplement parce qu’elles ont été observées (cf. le manuel). Ce sont des hypothèses de départ, non arbitraires mais conventionnelles ; cette convention n’est pas soulignée, le non arbitraire est souligné par le dessin de réalité sensible, c’est « naturel ».

2) Représentations que les élèves se font de cette leçon 

Qu’est-ce qui est intéressant dans ce que tu viens d’apprendre et pourquoi ?

Neuf élèves ont interprété le but de la leçon comme étant de pouvoir se repérer sur une carte. Par exemple : trouver un endroit sur une carte (5 élèves) et tracer la médiatrice ou encore repérer un endroit d’une carte (4 élèves), et deux élèves parlent plus spécifiquement du trésor.

Deux élèves s’attachent aux constructions : de construire (car j’aime me servir d’un compas et d’une équerre), ou savoir tracer une bissectrice.

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Cinq élèves parlent du contenu mathématique : la symétrie orthogonale parce qu’en géométrie, on en parle tout le temps, ou la médiatrice (et un élève ajoute savoir dire les points les plus près de A et de B)

Deux élèves se sont intéressés à la troisième activité : et on a appris les thèses et les données La soif d’apprendre (2 élèves), j’adore.

Rien parce que je le savais.

Dans le document Volume 2 : Partie empirique (Page 113-121)