L’enseignement secondaire inférieur
3) Conceptions du professeur
1) Conceptions de cet enseignant de son cours de mathématiques
La première réflexion de ce professeur concerne l’aspect pédagogique : Animer, les élèves doivent participer, manipuler, ils doivent travailler tout le temps, ils doivent être actifs tout le temps, animer, pas de cours ex cathedra sinon c’est l’enfer. Sur l’utilité des mathématiques, il estime qu’il faut montrer continuellement l’utilité immédiate de ce qui est enseigné auprès des élèves, sinon, ceux-ci ne montrent aucun intérêt au cours :
De toute façon, systématiquement, ils nous disent que les mathématiques ne servent à rien. Donc on doit continuellement se justifier, leur dire que ce n’est pas vrai, que dans la vie de tous les jours on n’a besoin pas des mathématiques comme on les voit à l’école, mais en tout cas, [on a besoin] d’avoir un bon raisonnement mathématique. Donc, c’est comme ça qu’on leur justifie.
Les deux professeurs : toujours leur trouver quelque chose de concret et ça c’est difficile. Oui, pour la médiatrice, par exemple, entre deux voisins, on va placer une lampe à égale distance des deux maisons. Où est-ce qu’on va la mettre ?
Le chercheur : il faut toujours se raccrocher à du concret ? Ils n’acceptent pas l’idée que c’est une manière de réfléchir qui est intéressante ?
Réponse : Oh oui ! (Sous-entendu toujours du concret). Sinon, ils ne se sentent pas concernés.
Comme dans la classe parallèle, le professeur éprouve le besoin de justifier ce qu’il enseigne aux élèves. Mais à nouveau, une contradiction apparaît entre ce qu’il pense et ce qu’il dit en classe : il montre aux élèves que les mathématiques sont d’un usage immédiat, en proposant des situations de la vie courante alors qu’en fait, il pense surtout que les mathématiques sont un moyen pour apprendre à raisonner. Dans quelle mesure estime-t-il que ce ne soit pas contradictoire ?
Le chercheur a posé la question : l’apprentissage des mathématiques au début du secondaire doit servir à poser un regard critique sur la vie de tous les jours. Que pensez-vous de cette affirmation ? Et le professeur a aussitôt répondu :
Ça c’est clair ! Ça c’est clair ! Ils ne doivent pas tout gober, ils doivent tout critiquer, tout analyser, ils doivent pouvoir justifier, démontrer.
Même en 1è, on les fait justifier, donc ils doivent se poser des questions.
Malgré cette façon de penser qu’ont les élèves, le professeur les oblige à justifier, démontrer, probablement pour qu’il se crée une forme d’habitus.
2) Ce que représente une compétence pour cet enseignant
Sur le plan des compétences, lorsque le chercheur a demandé ce qu’il en pensait, sa première réaction fut de rire. Pour lui, une compétence, c’est apprendre un raisonnement strict en
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mathématiques, ce qui les aidera quand ils feront des dissertations. Finalement, leur démarche sera structurée, et ils auront pris l’habitude de tout justifier. D’ailleurs on les reprend tout le temps. Quand ils commettent des erreurs de langage, on a tendance à les reprendre sans arrêt parce qu’on trouve que c’est important.
On peut supposer que ce raisonnement strict dont parle ce professeur, consiste à n’écrire des propos que s’ils sont argumentés par des raisons qui, en mathématiques, sont des propriétés. Et il ajoute à cela, la reprise des erreurs de langage. Mais ceci est encore trop vague pour pouvoir dire qu’il s’agit de l’entrée dans la théorisation. Le langage peut se limiter à la langue naturelle, avec sans doute de l’idiome mathématique, mais sans nécessairement des formulations propres à la théorisation.
Le décret Missions définit la compétence comme l’aptitude à effectuer des tâches. Ceci montrerait qu’il existe une certaine finalité dans ce qui est enseigné (cf. chapitre 5). Le manuel utilisé est récent et se conforme aux prescriptions légales, du coup, il entame les différents chapitres en présentant des exemples issus de la réalité sensible. Alors, à la question du chercheur : dans votre cours, est-ce qu’un nouveau chapitre commence toujours par un problème concret ?, il répond aussitôt :
Oui, dans l’ Actimath, c’est toujours comme ça. De toute façon, c’est comme ça que les inspecteurs nous poussent à travailler, le nôtre en tout cas.
Le professeur n’a pas mis en exergue dans l’entretien, s’il se penchait sur la manière dont les élèves réfléchissent. Lorsqu’il lui a été suggéré que montrer en classe que l’enseignant ne trouve pas toujours immédiatement la solution d’un problème ou d’une démonstration n’est pas à faire devant les élèves, il a simplement répondu :
oh si, moi, cela m’arrive fréquemment.
Le chercheur : quelles sont les réactions des élèves ? Le professeur : Ils comprennent très bien.
Et lorsque le chercheur a posé la question de ce que représentent les compétences transversales, il répond laconiquement: Servent dans d’autres cours.
4) Ce qui ressort de l’observation : les quatre tensions
a) Domaine
Plusieurs domaines de travail sont utilisés : la réalité sensible (D1), le plan (D2) avec des dessins géométriques, et où on effectue des constructions, ou un ensemble d’énoncés de géométrie (D3). On remarque que dans la première activité, D1 est finalement peu utilisé (lignes 1 et 14), par contre, D2 intervient dans les autres interventions. Et à la ligne 14, dans une seule phrase, le professeur passe de D1 à D2. À l’activité 3, on est toujours dans le plan, mais le professeur pousse ses élèves à formuler des énoncés pour justifier (lignes 57 et suite), on a donc des énoncés (D3).
Du début de la leçon à la fin, on se situe dans des domaines différents, il existe une forme d’évolution : D1, D2, D3.
b) Énoncé
Il est relativement formalisé (ligne 28), excepté l’expression « qui passe par » qui est plutôt de la langue naturelle et pas dans l’idiome des mathématiques. Ligne 53 : cette propriété est considérée comme une définition dans le manuel.
Le professeur se retrouve dans une situation plus ou moins intermédiaire sur le plan de la tension, entre une absence de formulation et une formulation très conceptuelle.
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c) Validation
Lignes 15, 17, 19 : les élèves ont observé, constaté, la preuve est ainsi faite.
Dans la troisième activité, à la ligne 53, le professeur souligne le caractère non arbitraire, de manière indirecte : on a cherché des points situés à égale distance de A et de B pour trouver un trésor, et une propriété a été découverte. Dans le domaine de la réalité sensible, la preuve est faite : des élèves ont observé et trouvé qu’il s’agissait d’une droite. Dans le domaine constitué des énoncés de la géométrie, le professeur indique qu’il faut passer à un autre type de preuve : une démonstration.
On a ici, deux définitions, deux validations tout à fait différentes, les deux extrêmes : constat et démonstration.
d) Représentations
Les discours des élèves concernent très souvent des constructions (par exemple, lignes 7, 11, 30, 43). Ils sont dans une représentation indiciaire. Parfois, ils font des constats sur des dessins (par exemple, lignes 5, 9, 15, 17, 36). Ils sont dans une représentation iconique, ou ils énoncent un énoncé (lignes 27-28) et sont dans une représentation symbolique a.
Dans l’activité 2, le professeur amène ses élèves à émettre des raisons (lignes 34, 40). On se situe alors dans un domaine constitué d’énoncés, on serait dans une représentation symbolique b. Mais cela reste un événement relativement ponctuel (seulement lignes 34 et 40) dans le cours de la leçon. Cela se passe jusqu’à l’activité 3 qui, elle, concerne une démonstration, et le professeur conduit ses élèves vers une représentation symbolique b (sans qu’il y arrive nécessairement cf. réponses des élèves).
Dans cette leçon, tous les types de représentation sont apparus.
5) Compétences idiomatiques
Ces compétences ne sont pas vraiment travaillées. Le professeur corrige quand l’élève commet une erreur de langage (lignes 11-13) mais cela s’arrête là.
6) Conclusions
Concordance entre ce que le professeur dit et fait.
Lorsqu’on lui pose des questions sur la définition, il apparaît une certaine forme de contradiction. D’une part, il dit qu’il n’exige pas en classe d’apprendre une définition par cœur, du moment que les élèves puissent l’utiliser dans des constructions, cela lui paraît suffisant, mais d’autre part, il explique qu’une définition permet à tout le monde d’avoir la même chose, exprimée de la même manière. Et il ajoute qu’il lui arrive de demander l’énoncé de la définition de la médiatrice. Lorsque le chercheur lui a demandé :quand une définition est formulée, doivent-ils la reformuler de manière formelle ou peuvent-ils la reproduire avec leurs mots ?, le professeur a répondu :
moi, c’est toujours, toujours, avec leurs mots je ne les oblige jamais à étudier par cœur et il ajoute par la suite citer une définition par cœur sans la comprendre, cela ne m’intéresse pas. Donc je l’ai dite oralement (la définition de la médiatrice) mais du moment qu’ils sachent ce que c’est une médiatrice et comment la construire, une définition par cœur sans la comprendre n’est pas intéressant.
À côté de cela, lorsque le chercheur a posé la question de l’utilité d’une définition, il répond : Pour avoir quelque chose en commun ; la définition ce serait pour qu’à un moment donné on se mette d’accord et on ait tous, la même chose, exprimée de la même manière.
L’entretien était commun avec le professeur qui enseignait dans la classe parallèle. L’autre professeur demande: tu dis que tu acceptes les définitions ?
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Le professeur répond : ah mais oui, mais à un moment donné il faut noter quelque chose, le même pour tout le monde hé bien ce sera la définition, mais si elle est exprimée différemment, pour moi, c’est bon aussi…. Je crois qu’ils comprennent un peu comment on fonctionne ; ils se rendent bien compte que moi je ne vais pas leur poser une question de restitution dans le contrôle mais je vais plutôt leur demander de construire une médiatrice, voilà ; quoique la médiatrice, je leur demande quand même. Ceci confirme les propos précédents.
Ce professeur utilise le manuel Actimath où, comme nous l’avons vu au début de cette observation, un des fascicules sert aux élèves. Ils y font des constructions, répondent aux questions. Du coup, le chercheur a demandé si les élèves écrivaient encore beaucoup, et le professeur a répondu :
Oui, ils écrivent, …il y a beaucoup de constructions, ils écrivent des choses importantes entre « » mais quand ils font des exercices complémentaires, ils prennent une feuille à part et ils sont obligés de tout écrire. Oui, on ne perd pas trop de temps. Ceci peut vouloir dire que ce professeur n’estime pas nécessaire que les élèves écrivent beaucoup, ce qui rejoindrait son idée qu’une définition doit avant tout être utile pour des constructions.
Dans cette leçon, le professeur a démontré pour la première fois. Alors, ce qui frappe, c’est cette duplicité de comportement : il part de situations de la réalité sensible, ensuite, il construit et puis, il démontre. Mais il ne développe guère la compétence idiomatique, il est passé outre. Et dans l’entretien, il n’insiste pas sur l’aspect théorique ou structuré que peuvent prendre des mathématiques.
7) Représentations des élèves
À quoi sert ton cours de mathématiques ?
70% des élèves considèrent leur cours de mathématiques comme leur fournissant un outil pour calculer. Mais pas seulement, certains ajoutent à cela l’apprentissage à la réflexion (2), à la logique, à connaître des formules. Un élève dit aussi : à apprendre des astuces.
40% se disent qu’il leur sera utile pour le métier qu’ils exerceront plus tard. Mais dans les exemples, un élève parle des problèmes « sa (sic) nous fait réfléchir ».
30% pensent que ce cours leur est utile dans la vie courante (calculer ses factures ….)
35% parlent des mathématiques uniquement : à connaître les maths et faire des exercices, à résoudre des problèmes.
Les réponses sont assez diversifiées. Les mathématiques comme un outil pour apprendre à calculer est une conception fort présente, leur utilité dans la vie courante l’est beaucoup moins, et apparemment moins que ce qu’en pense le professeur qui débute son entretien en disant qu’il faut toujours montrer l’utilité de ce qu’ils enseignent. Certains élèves songent à leur métier, ou estiment que ces mathématiques leur apprennent à réfléchir.
359 10. Enseignement secondaire inférieur Professeur 8 Classe 9
Il s’agit ici de la seconde classe de deuxième année observée dans cette école où deux professeurs ont décidé de présenter un même sujet pour notre observation : la définition d’une médiatrice. Ils ont convenu de la faire apprendre de manière différente dans les deux classes. Ils ont répondu également ensemble pour certaines parties de l’entretien.
1)Observation de classe
Le sujet de la leçon est le même que dans la classe parallèle donnée par un collègue, mais la leçon est conduite différemment pour que je puisse comparer. Ce professeur ne s’est pas appuyé sur Actimath, le manuel que ces deux professeurs utilisent avec leurs élèves.
Il s’agit d’une classe de 21 élèves de deuxième secondaire (13ans)
Le sujet de la leçon : la médiatrice. Les élèves ont déjà vu une première définition de la médiatrice. Ils vont en apprendre une seconde.
1 P – On prend une feuille quadrillée et on indique médiatrice d’un segment comme titre. [Les élèves se préparent].
2 P - Qui peut redonner une définition ?
3 E - C’est une droite qui coupe un segment perpendiculairement en son milieu. 4 P - Qui n’est pas d’accord ?
[Personne ne répond, les élèves font un signe d’assentiment.] 5 P - OK !
Ce sera la première définition. [Le professeur écrit au tableau.] [Au tableau]
La médiatrice d’un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement en
son milieu.
6 P - C’est le milieu de quoi ? 7 E - Du segment
D’emblée, le professeur semble se situer dans le contexte de la géométrie. [Au tableau]
Activités
8 P - Je vais vous donner une consigne [et il écrit au tableau] [Au tableau] :
Tracer un segment [XY] ; à l’aide de l’équerre, construire la médiatrice m de ce segment.
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9 E - C’est un genre de révision ?
10 P - oui, mais on va donner une nouvelle définition, on va aller plus loin. [Au tableau]
Placer deux points A et B sur la médiatrice m et compléter : |AX| = |AY| =
|BX| = |BY| = 11 P - |AX| veut dire quoi ? [Silence, personne ne répond] 12 P - c’est la mesure…
13 E - A et B se mettent n’importe où ? 14 P - où vous voulez, sur m.
15 E - on aura tous de mesures différentes ? 16 P - probablement
17 E - placer deux points, c’est comme si c’était un segment ?
18 P - c’est vrai que le segment AB sera sur la médiatrice mais je ne demande pas que tu prennes la mesure qui sépare le point A du point B.
Une lettre minuscule = ? 19 E - = une droite !
Les traits discontinus, c’est toujours au crayon ?
Le professeur part de constructions géométriques et en même temps, il demande de mesurer (avec une latte graduée) ce qui se fait sur un dessin. Les élèves sont intrigués (lignes 9, 13, 15, 17)
Lignes 13, 15, 17. Les élèves sont dans la construction d’un dessin géométrique. Et le professeur désire des mesures. À première vue, le rythme serait trop rapide, les élèves sont peut-être en surcharge. Mais son énoncé, au tableau, fait appel à deux domaines différents. « placer… » est une construction géométrique, destiné à obtenir une figure géométrique. D’autre part, |AX|=… est une mesure à prendre sur un dessin. Le passage implicite d’un domaine à l’autre provoque une difficulté. Ligne 17 : les élèves restent dans le dessin.
20 P - mais oui, ce sont desconstructions [en insistant sur ce dernier mot]. Eviter le quadrillage
21 E - oh !
A et B n’importe où sur la médiatrice ? 22 P - oui !
Donc, on mesure le segment, on détermine le milieu du segment, par ce point, on trace la perpendiculaire.
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Ligne 21. Un autre élève repose la même question. Les élèves restent toujours perplexes. Ils ne voient pas bien ce qu’il faut chercher ou pourquoi.
Ligne 22. Le professeur se rend compte que la leçon va peut-être trop vite pour les élèves et reprend l’activité en synthétisant.
23 P - On met des « ... » car c’est très long.
[L’élève place ses deux points A et B].
24 P - tout le monde les a placés comme ça ? 25 E - non ! Deux au-dessus ou en dessous.
26 P - celle qui a mis les deux points au-dessus, c’est correct ? 27 E - oui !
28 E - et si on les met l’un sur l’autre ?
Ici, l’élève essaie de classer : les points qui appartiennent à m, ou pas, est-ce qu’on peut prendre tous les points de m ?
29 P - non, parce que …[le professeur se reprend et ne répond pas, il souhaite éviter, sans doute, de donner la solution.]
Comment évaluer la distance AX ? 30 E - on mesure !
[Au tableau]
AX AY BX BY
2 cm 2 cm 2,3 cm 2,3 cm
3,5 3,5 3,2 3,2
31 E - en fait, comme si ça fait un triangle ?
Logiquement, ce sera toujours la même distance entre AX et AY. 32 P - pourquoi ? [Au tableau] AX AY BX BY 2 cm 2 cm 2,3 cm 2,3 cm 3,5 3,5 3,2 3,2 4,7 4,7 4,5 4,5
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33 P - cela s’observe encore. Tout le monde a aussi| AX| =| AY| ? 34 E - oui
On a un triangle isocèle
Ligne 31. L’élève semble avoir trouvé la réponse, mais son « logiquement » vient très probablement de l’observation de son dessin. À nouveau, l’élève se situe dans le domaine de la géométrie (…si ça fait un triangle ?...)
Ligne 34 : l’élève reste dans la géométrie. 35 P - comment justifier cela ?
36 E - à partir de la médiatrice, on monte au point A
La justification se fait par l’observation et la construction qui a l’air de se faire dans la réalité sensible.
37 P - toujours isocèle ? 38 E - il peut être équilatéral.
39 P - si le troisième sommet est sur le côté opposé, alors le triangle est isocèle. On peut donc dire que les points de médiatrice… ?
40 E - que la même distance…
41 P - si un point est sur la médiatrice du segment
42 E - alors les points sont à même distance, heu longueur…
Ligne 40. L’élève a saisi mais il éprouve quelques difficultés à s’exprimer. Le professeur revient à la géométrie mais cette fois, les élèves parlent de distance. 43 P - le point A est à même distance de X et de Y.
Il existe un mot pour dire cela ? 44 E - isométriques
Les deux barres On met | AX| =| AY|
45 P - ? [Regard interrogateur vers la classe] 46 E - la longueur d’un segment
47 P - équi…
À même distance : équidistant
Il existe combien de points sur la médiatrice ? 48 E - une infinité
49 P - et pour tous les points, c’est pareil.
Ligne 42. L’élève cherche la bonne formulation. Il hésite. Le professeur n’a pas approuvé (ligne 40). Du coup, les élèves tentent de changer. Ils parlent de longueur, et se retrouvent dans du concret. Ceci résulte sans doute du fait que le professeur a fait mesurer.
Implicitement, l’élève est passé de la géométrie au dessin (ligne 42), celui-ci lui sert sans doute à se représenter de quoi il s’agit. L’élève est partagé entre les termes de la situation, et ceux de l’idiome des mathématiques.
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(Ligne 44) Effectivement une isométrie conserve les distances, d’où la réflexion de l’élève, mais ici, ce n’est pas le mot correct, il s’en rend compte et ajoute : « les deux barres ». Il s’appuie cette fois sur la notation.
(Ligne 46) À nouveau, l’élève consulte un dessin, et ne se situe pas dans un contexte purement géométrique.
[Au tableau]
Conclusions : tout point de la médiatrice d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment.
La justification de cette propriété (qui va conduire à la seconde définition) s’est faite par l’observation et des mesures. Il s’agit d’une preuve pragmatique au sens où Balacheff le conçoit. Ceci rejoint l’entretien. Lorsque le chercheur a posé la question « A quoi sert une définition ? Quelle est l’utilité d’apprendre une définition ? », il a répondu : « à comprendre ce que c’est. …c’est de donner une représentation de ce que c’est ». La définition est attachée à l’objet qu’est le dessin géométrique.
50 E - mais madame, ce n’est pas français ! 51 P - si parce que…
Pour être équidistant, il faut être à même distance de deux points. 52 E - exemple, Bruxelles est à même distance que Namur.
53 P - non, Bruxelles est à une certaine distance de Namur, mais équidistant veut dire qu’un troisième point est à même distance de Bruxelles et de Namur.
[Au tableau]
A ∈ m
54 E - il faut préciser que m est la médiatrice.
Lignes 50-52. L’élève ne saisit pas, pour lui équidistant signifie à même distance en pensant peut-être à la propriété de réflexivité : d (A, B) = d (B, A). Le nombre de points est ambigu pour l’élève parce que le professeur parle de : « …à même distance de deux points ». Or, en fait, il y en a trois : A, B, et le point situé à égale distance de ces ceux-là, ce qu’il explique d’ailleurs à la ligne 53.