Compétences   idiomatiques

Le professeur énonce une définition et demande de réfléchir à la signification (ligne 43). On ne peut pas vraiment dire qu’il travaille cette compétence parce que les élèves répondent par des bribes de phrases et il ne demande pas de répéter une phrase complète (lignes 42, 55, 57).

Une définition sert à augmenter le vocabulaire mathématique (voir ci-dessous).

6)Conclusions  

Au début, le professeur a fait une comparaison avec un jeu. Il explique notamment que les points et les droites sont les pions du jeu. Dans une théorie, points et droites sont des termes premiers, des idéalisations d’objets de la réalité sensible. Dans un jeu, les pions représentent les joueurs. Ensuite viennent les règles du jeu, qui sont conventionnelles, elles doivent respecter certaines conditions de cohérence ; les règles sont comparées aux propriétés de la géométrie. Effectivement, les énoncés de géométrie ne peuvent, eux non plus, arriver n’importe comment. Une théorie doit afficher une cohérence. Mais ici, une distinction s’impose : en géométrie, il existe des définitions, des axiomes, des propriétés qui se démontrent. Les axiomes sont conventionnels, pas les théorèmes qui en découlent. Cette nuance n’est pas signalée auprès des élèves. Mais ceci s’explique peut-être par les conceptions du professeur sur les mathématiques. Du côté du jeu, comme du côté de la géométrie, on travaille dans une sorte de circuit fermé. Les règles sont imposées (dans la question sur les compétences, il parle d’ailleurs de rigueur). En géométrie, si on exclut les axiomes, les propriétés ne le sont pas, elles se démontrent, sauf si on considère que la propriété arrive obligatoirement comme résultat de la démonstration. En cela elles sont aussi contraignantes. Et puis, les démonstrations s’obtiennent à partir des définitions, qui, elles, existent parce qu’elles sont, chez ce professeur, une traduction fidèle de la réalité sensible (cf. ligne 59). Une autre caractéristique du jeu, est cet aspect de gratuité. On ne joue pas pour obtenir quelque chose, l’intérêt se situe dans le plaisir de la tâche. Et si on gagne, tant mieux pour soi ! C’est un plaisir personnel. Les élèves voient-ils dans la géométrie ce même plaisir ? On a une symétrie et au lieu d’écrire l’expression en toutes lettres, on écrit un symbole. À partir des symboles, on peut écrire une formule qui est l’expression d’une propriété (définition, théorème…) « en condensé ». Le professeur donne les formules des différentes transformations du plan qu’il a vues. C’est une autre représentation symbolique que les définitions en phrases, mais qui ne peut se faire qu’en ayant au préalable défini chaque symbole utilisé dans la formule, et la justification de la formule est celle d’une définition ou d’un théorème. Autrement dit, pour les élèves, ils doivent d’abord comprendre « en phrases », ce qui introduit une difficulté¹. Mais une formule, par sa concision, offre parfois une image, une représentation hiéroglyphique, qui est plus facile à mémoriser que la définition en phrases. À la ligne 30, on remarque que l’élève se rend compte de ce passage à

1 Un symbole serait un signe de signe, chez Hegel ; ce serait un symbole qui ne se définit qu’à partir d’autres symboles qui sont la langue.

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la formule (1) a doit passer par le milieu 2) |XA| = |AX’| ) et il effectue le passage par l’étape de la langue naturelle.

Le professeur passe d’une représentation à l’autre, implicitement quand il passe d’un domaine à l’autre (ligne 59), quand il passe du contexte à réalité sensible, il signale « par exemple », et les élèves connaissent cette réalité, cela ne doit, sans doute pas leur poser de problème mais l’inverse semble être plus problématique, un élève se trompe d’ailleurs à ce moment-là (ligne 62). En fait, le contexte de la géométrie se construit progressivement avec des définitions. Et du coup, les implicites qui sont présents à ces moments de passage d’un domaine à l’autre paraissent inévitables.

Ce professeur distingue en fait deux intérêts des mathématiques qui sont distincts : l’utilité « pratique » (pour devenir ingénieur, en électricité, etc.) et d’autre part, l’intérêt est d’apprendre à réfléchir. Dans l’observation de classe, on constate ceci :

Réfléchir, ce peut être c’est se représenter une figure géométrique, donc penser à un indice (lignes 27, 43), ce peut être penser à la structure du cours de géométrie, lorsque le professeurl souligne que les deux sortes de symétrie envisagées sont des transformations du plan (ligne 49). Mais cela peut être aussi effectuer un pliage pour montrer que deux triangles « sont pareils » (ligne 33).

Une définition sert à enrichir le vocabulaire. Son utilité se situe dans l’exercice et la maîtrise de la langue naturelle. Ils peuvent la donner (la définition) avec leurs mots si elle reste correcte. C’est ça le problème. C’est pour cela que je leurs dis: «essayez dans la mesure du possible de l’étudier, d’abord en l’ayant comprise, bien entendu, et de la restituer telle quelle, parce que, en plus, cela va enrichir votre vocabulaire», ce qui fait fort défaut, notamment en deuxième, et même en troisième. … Mais c’est la plus grosse difficulté qu’ils ont, c’est de s’exprimer en mathématiques... Elle s’utilise en géométrie afin de se montrer rigoureux: particulièrement en géométrie. En algèbre, je ne demande jamais aucune définition, ce sont des techniques de calculs, ça c’est savoir appliquer. Je ne vais pas demander des règles de multiplication sur des nombres entiers, s’ils savent appliquer pour moi c’est bon. Maintenant, ces définitions-là figurent tout de même dans le cours parce que s’ils ont oublié cela peut toujours être utile. Mais c’est surtout en géométrie où j’insiste beaucoup, parce qu’il y a beaucoup de vocabulaire, il y a une rigueur et c’est là-dessus que j’insiste. Elle est aussi une aide à garder en mémoire : (hésitation 3 sec.)Ben, celle que... celle que j’ai expliqué tantôt. Je crois que si on ne donne pas de définition, dans un mois, il n’y aura plus de support. Donc ça veut dire que, s’il ne reste que la traduction en symboles, je ne suis pas sûr que tout le monde va comprendre. Parce que, pour eux, c’est quand même des signes cabalistiques que tout le monde... qu’ils maît... que la plupart de maîtrisent pas. … je crois que la définition en français est très utile, justement, pour pouvoir, après x temps, quand on a un peu oublié les notions, ben, c’est quand même du français, et quand on lit attentivement, ça doit pouvoir être compréhensible. Ici, le professeur veut sans doute dire traduction en formule, parce que le symbole seul de la symétrie par exemple, ne fournit aucune explication. Pour ce professeur, il y a équivalence entre la phrase et la formule. Celle-ci est un condensé de ce qui est expliqué en phrases.

Le professeur ne parle pas, ni dans l’entretien, ni en classe, de définir des objets mathématiques à partir d’axiomes ou de conventions. Ces définitions semblent venir comme des traductions de la réalité sensible (cf. ses exemples de l’autoroute ou du tiroir). Mais elles présentent également un autre intérêt :

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Ben, je crois que justement c’est pour fixer, fixer les données du... de base. Euh... à partir du moment où ils ont bien compris la signification des trois définitions qui sont là, s’ils les comprennent bien, en les mémorisant etc., ils doivent aussi voir automatiquement le dessin, et ils voient les trois conditions, le parallélisme, le sens et la même longueur, tout çà doit... est repris dans la définition pour, en français, mais il y en a qui sentent, qui sentent mieux, parce que il y en a qui sont plus littéraires que d’autres, et donc cette définition-là leur conviendra, elle n’est plus scientifique, d’autres se reporteront sur une définition-symbole.

Plusieurs formes de rationalité sont présentes. La certitude intervient lorsqu’il préconise un pliage pour constater et affirmer que deux triangles sont pareils, ou l’évidence quand il fait référence à figure géométrique qui sert d’indice. On ne se situe donc jamais complètement dans une théorie. Mais on n’est plus, non plus, dans la réalité sensible, ou rarement. La formulation des définitions semble impliquer cela. Il dit d’ailleurs que sans définition il n’y aura plus de support.

Dans l’observation de classe, on remarque que l’enseignant présente un texte assez élaboré sur base d’objets construits dans le plan, cette construction sert à valider l’existence. Il y a une hiérarchie dans les énoncés : une symétrie est une transformation du plan et cette dernière est définie préalablement.

Les démonstrations vont venir par la suite. La seule chose qui manque pour avoir une théorie très formelle est la présence d’axiomes définis comme tels.

Cet aspect contextuel est souligné d’emblée par son discours : la géométrie est un jeu, donc une activité qui se soumet à certaines règles auxquelles il ne faut pas déroger.

Finalement, on a un cours déjà très théorisé, structuré, où les constructions aident à réfléchir, et non pas l’inverse. Par exemple, aux lignes 39 et 43, il précise qu’une transformation du plan est un ensemble de couples, puis il précise la symétrie centrale à partir de la transformation et il compare les deux sortes de symétrie envisagées.

Les définitions sont introduites par des figures, et des constructions rigoureuses, l’énoncé est précis et peut s’insérer dans une théorie.

Mais pour certains élèves, la représentation reste iconique, figurative, malgré le langage conceptuel, l’utilisation des concepts et des symboles mathématiques. Ils ne saisissent pas la nécessité de démontrer. Ceci se constate dans leurs réponses aux questions que le chercheur a posées, et aussi dans l’entretien : Oui, tout à fait (les élèves ne comprennent pas que c’est nécessaire de démontrer), ça c’est vrai que c’est un peu le problème, quand on a abordé le problème de deux ou trois manières différentes, et qu’on a, pour prendre la formule de Pythagore, on peut aussi l’introduire de trois manières différentes, c’est vrai qu’après, quand on arrive à la démonstration, ils disent, c’est vrai, on a compris. La démonstration ne paraît plus nécessaire. Ce qui compte pour les élèves, c’est le résultat. Et le professeur ajoute : Et en plus, eux, ils ne voient jamais que la finalité, c’est-à-dire, bon, on va utiliser la formule, quoi, euh, la démonstration, pour eux, c’est... aléatoire. On a une forme textuelle déjà très structurée mais les définitions ne sont pas présentées comme des conventions dans ce texte, et les élèves ne comprennent pas pourquoi il faut démontrer les énoncés qui suivent.

7)Représentations des élèves  

À quoi sert ton cours de mathématiques ?

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Les élèves ont répondu que les mathématiques leur apprennent à calculer. Mais dans leurs exemples, on remarque que ces calculs sont souvent algébriques (mises en équations, calcul de pgcd, ppcm, etc.)

Quelques-uns parlent de constructions géométriques.

- Les mathématiques vont être utiles dans la vie courante, ou pour le futur métier (4 élèves), ou les études ultérieures.

- Les mathématiques leur donnent une formation de l’esprit et fournissent un atout pour la vie :

Ouvrir l’esprit (2 élèves), réfléchir, ou encore raisonner, sur comment le monde est fait, nous aider à surmonter des problèmes de la vie de tous les jours quand on est adulte (exemple : culture générale, être plus intelligent, ne pas être ridicule devant les enfants) (3 élèves) . Un élève parle de développer le cerveau.

274 3. Enseignement secondaire inférieur ­ Professeur 2 ­ Classe 2         

1)Observation de la leçon 

Il s’agit d’une classe de deuxième secondaire, de 24 élèves.

Les élèves ont déjà vu ces droites remarquables (médiatrice, médiane, hauteur, bissectrice, diagonale). Ils vont maintenant apprendre ce que ce professeur appelle une seconde définition.

Les élèves ont reçu des feuilles manuscrites sur les droites remarquables.

[Le professeur se tourne vers sa classe et fait faire un bref rappel des leçons précédentes.]

1 P - de quelles droites a-t-on parlé ? 2 E - de la médiatrice d’un segment De la bissectrice d’un angle

Des diagonales d’un quadrilatère Des médianes d’un quadrilatère. 3 P - où trace-t-on une médiane ? 4 E - dans un triangle

[Et après un silence] Un diamètre

5 P - dans quelle figure ? 6 E - dans un cercle

7 P - quelle est la définition de la médiatrice d’un segment ? 8 E - c’est la perpendiculaire à un segment en son milieu. 9 P - c’est une première définition. …comment on la trace. une deuxième définition de la médiatrice d’un segment ? [Silence]

[Puis un élève lit sur sa feuille]

10 E - c’est l’axe de la symétrie qui échange les extrémités de ce segment.

Cette définition sans doute est justifiée par l’observation. Mais cela n’apparaît pas dans la leçon.

11 P - au niveau d’un angle, quelle est sa construction au compas ? [Un élève explique la construction de la bissectrice d’un angle.]

12 P - qu’est-ce qui constitue un angle ? 13 E - des droites

14 P - vraiment ?

15 E1 - des demi-droites

16 E2 - des demi-droites de même origine 17 P - première définition ?

18 E3 - elle partage en angles adjacents de même amplitude. Heu… c’est quand ils ont un côté en commun.

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[Au tableau]

19 E1 - oui ! [Au tableau]

20 P - angles adjacents ?

21 E2 - non ! Pas de sommet en commun. [Au tableau]

22 E3 - non ! pas de côté commun.

23 P - le premier dessin montre des angles adjacents car… 24 E - comment s’appellent les figures 2 et 3 ?

25 P - elles n’ont pas de nom.

Donc, la bissectrice partage en deux angles adjacents de même amplitude Comment noter l’amplitude d’un angle ?

Ligne 24 : l’élève demande les noms des autres types d’angles (différents des angles adjacents). Ils n’ont pas de nom, répond le professeur. Une définition cite quelque chose de très particulier, qui va permettre de catégoriser et de construire une théorie. Elle répond ainsi à une nécessité qui n’apparaît pas aux yeux de l’élève.

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26 E - entre des barres Au tableau :

| α | et aussi | AB | …

27 P - 2è définition de la bissectrice, non plus en décrivant ce qu’elle fait mais en utilisant l’expression de l’axe de symétrie ?

28 E4 - la bissectrice d’un angle est l’axe de symétrie qui passe au milieu de l’angle. 29 P - quel effet ?

30 E5 - qui reflète l’image de A sur B. [Au tableau]

Le professeur met des notations.

31 P - la médiatrice échange les extrémités du segment. [silence] Ici ? La bissectrice… ? 32 E - échange les côtés de l’angle

33 P - une phrase complète ! 34 E - la bissectrice d’un … 35 P - angle

36 E - qui ?

37 P - la bissectrice d’un angle est l’axe de symétrie 38 E - qui inverse les …

39 P - qui échange 40 E - les côtés 41 P - les côtés de cet 42 E - angle

Ligne 11 : le professeur demande de construire une bissectrice d’un angle avec le compas. La validation de cette construction est l’observation. Par la suite, lignes 31 à 42, le professeur énonce ce qu’il appelle la seconde définition de la bissectrice et qui est justifiée par la construction qui précède.

43 P - peut-on dire que la médiatrice d’un segment est l’axe de symétrie d’un segment ? 44 E - non

45 P - pourquoi ?

46 E - il existe le segment lui-même

47 P - regardons dans le cahier. Combien d’axes ? 48 E - 2

49 P - or, la bissectrice, combien d’axes ? 50 E - un seul.

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51 P - la bissectrice d’un angle est l’axe de symétrie qui ? 52 E - heu…un axe qui échange…

53 P - échange ? 54 E - les côtés ! 55 P - de… 56 E - l’angle 57 P - de cet angle !

58 E - pourquoi ne pas mettre A et B ? 59 P - parce qu on a des demi droites (etc.) Autre droite remarquable ?

60 E - les diagonales 61 P - dans quelle figure ? 62 E - quadrilatère 63 P - une phrase !

64 E - une diagonale d’un quadrilatère joint deux sommets opposés. 65 P - parfait !

Dicte, une diagonale d’un quadrilatère ? 66 E - joint deux sommets opposés Faudra-t-il étudier ces définitions ? 67 P - médiane

[L’élève lit : une médiane d’un quadrilatère joint les milieux de deux côtés opposés.] [Au tableau]

68 P - construire une diagonale et une médiane. Combien de diagonales dans un quadrilatère ? 69 E - 2

70 P - Combien de médianes dans un quadrilatère ? 71 E - 2

[Un élève au tableau dessine les diagonales et explique oralement]

72 P - Attention ! Une diagonale n’est pas un segment, c’est une droite ! Quel est le nom des diagonales ?

278 73 E - AC 74 P - en majuscule ou en minuscule ? 75 E - majuscule 76 P - et une médiane ? MN [Au tableau]

77 E - et on peut mettre les segments de même longueur 78 P - on note ?

79 E - [AN] = [ND]

80 P - pas d’accord ! Des segments ne sont pas égaux mais ont même longueur. 81 E - | AN | = | ND |

Etc.

82 P - dans un triangle, quelles sont les droites remarquables ? 83 E - médiane, hauteur

[Au tableau]

84 P - comment tracer une médiane d’un triangle ? 85 E - on prend la moitié de AC

86 P - le milieu de AC.

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88 P - une phrase !

89 E - qui joint le sommet B 90 P - ?

91 E - une médiane d’un triangle joint le milieu d’un côté au milieu du côté opposé 92 P - on note !

Une médiane d’un triangle joint le milieu d’un côté au sommet opposé. 93 E - la médiane d’un triangle équilatéral et une hauteur ?

[Le professeur explique…elle est médiane, hauteur, …etc.] 94 P - Comment noter que M est milieu de AC ? 95 E - | MA | = | MC |

C’est comme avant ! 96 P - oui !

Une hauteur ? 1 on la construit 2 puis on la définit.

Comment construire la hauteur d’un triangle ? [Au tableau]

97 E - j’ai tracé un segment perpendiculaire à la base et qui comprend le sommet A. 98 P - segment ?

99 E - non !

100 P - définition d’une hauteur d’un triangle?

101 E - une perpendiculaire à un côté d’un triangle qui passe par le sommet opposé. [Le professeur dicte : une hauteur d’un triangle est la perpendiculaire…]

102 E - on doit parfois rallonger un côté ? 103 P - oui, dans quel cas ?

104 E - dans un triangle obtusangle [Le professeur dessine ce cas au tableau.]

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[Au tableau]

Les exercices qui suivront sont des constructions d’axes et de centres de symétrie de figures géométriques.