Analyse 2

Par Jairus M. KHALAGAI

African Virtual university Université Virtuelle Africaine Universidade Virtual Africana

Analyse 2

^{Analyse 2}

Note

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http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/

License (abréviation « cc-by »), Version 2.5.

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I. Analyse 2 ________________________________________________ 3 II. Préalables ________________________________________________ 3 III. Durée ___________________________________________________ 3 IV. Matériel __________________________________________________ 3 V. Raison d’être du module _____________________________________ 3 VI. Contenu__________________________________________________ 4 6.1 Vue d’ensemble ________________________________________ 4 6.2 Plan de cours __________________________________________ 5 6.3 Organisateur graphique ___________________________________ 6 VII. Objectifs précis d’apprentissage _______________________________ 6 VIII. Activités pédagogiques et d’apprentissage _______________________ 7 IX. Activités d’apprentissage ___________________________________ 10 X. Glossaire des concepts-clés _________________________________ 48 XI. Liste des lectures obligatoires ________________________________ 56 XII. Liste compilée de ressources multimédias et liens utiles ___________ 57 XIII. Synthèse du module _______________________________________ 58 XIV. Évaluation sommative ______________________________________ 59 XV. Références ______________________________________________ 73 XVI. Auteur principal du module __________________________________ 73

Table des maTières

i. analyse 2

par le professeur Jairus M. Khalagai

ii. Préalables

Chapitre 4 : L’analyse réelle

L’analyse sur la droite réelle (chapitre 1) Chapitre 5 La topologie

L’analyse réelle (chapitre 3)

Chapitre 6 La théorie de la mesure L’analyse réelle (chapitres 3 et 4)

iii. durée

Ce module demande 120 heures d’étude.

iV. matériel

Les étudiants devraient avoir accès aux lectures principales spécifiées plus tard. Ils auront également besoin d’un ordinateur afin d’y avoir un accès complet. De plus, les étudiants devraient pouvoir installer le logiciel wxMaxima et l’utiliser pour pratiquer les concepts algébriques.

V. raison d’être du module

L’enseignement de l’analyse a pour but d’établir le contenu minimal de mathématiques pures requis pour les étudiants de mathématiques du premier cycle. Il est important de noter que la capacité à démontrer des énoncés mathématiques est une caractéris- tique que doivent acquérir les étudiants de mathématiques. Il est essentiel pour les étudiants d’être capable de donner les preuves complètes et claires d’un théorème afin qu’ils puissent finalement comprendre les détails complets et la rigueur nécessaire à l’analyse des concepts mathématiques. En fait, c’est dans Analyse que l’étudiant est exposé à la matière autant qu’aux techniques de preuves. Il est aussi important de

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noter que si un cours comme celui de calculs, avec ses vastes applications en sciences mathématiques, est une fin en soi, alors Analyse comprend les moyens par lesquels on peut arriver à cette fin.

Vi. Contenu

6.1 Vue d’ensemble

Ce module comprend trois chapitres : Chapitre 4 – L’analyse réelle

Dans ce chapitre, nous définissons et donnons des exemples d’espaces métriques généraux qui démontrent qu’ils se présentent abondamment en mathématiques. On observe ensuite la structure d’un espace métrique général en suivant le modèle du chapitre 1. De plus, on présente le concept de compacité et ses effets sur la continuité des fonctions.

Chapitre 5 – La topologie

Les structures des espaces topologiques ainsi que celles des espaces métriques sont étudiées. Cependant, la principale différence est que, ici, les axiomes qui définissent les espaces métriques dépendent du concept de distance alors que ce concept est absent dans les axiomes qui définissent les espaces topologiques.

L’étude des concepts inséparables de convergence et de continuité fait notamment très bien ressortir cette différence. Finalement, on jette un regard sur diverses topologies, comme la topologie produit ou la topologie quotient fondée sur un ensemble, ce qui est essentiel dans ce chapitre.

Chapitres 6 et 7 – La théorie de la mesure

Dans ces chapitres, on commence par l’étude de la mesure extérieure de Lebesgue et de la droite réelle avant d’observer les sous-ensembles Lebesgue mesurables de la droite réelle. Un coup d’œil à la sigma algèbre des sous-ensembles d’un ensemble sous-jacent donné crée un espace mesurable sur lequel on peut également étudier une classe de fonctions appelée fonctions mesurables. En plus de la mesure de Le- besgue, on étudie une mesure abstraite qui mène à un espace mesurable abstrait sur lequel est présentée une intégrale abstraite. Finalement, une brève comparaison entre l’intégrale de Lebesgue et la célèbre intégrale de Riemann est également essentielle dans ce chapitre.

6.2 Plan de cours

Chapitre 4 – L’analyse réelle (30 heures) Le chapitre 1 est le préalable

• Définition et exemples d’espaces métriques

• Voisinages, points intérieurs et ensembles ouverts

• Points limites et ensembles fermés

• Sous-ensembles denses et sous-ensembles compacts

• Compacité et continuité Chapitre 5 – La topologie (30 heures) Le chapitre 3 est le préalable

• Révision des espaces métriques

• Espaces topologiques, voisinages, intérieur et ensembles ouverts

• Points limites, ensembles fermés, fermeture et frontière • Topologies de base, topologies relatives et topologies produits • Continuité et homéomorphismes

• Convergence et axiome de Hausdorff Chapitre 6 – La théorie de la mesure (40 heures) Les chapitres 3 et 4 sont les préalables

• Mesure extérieure de Lebesgue et mesure de Lebesgue sur la droite réelle

• Sous-ensembles Lebesgue mesurables de ℜ

• Espaces mesurables et fonctions mesurables • Espaces mesurables abstraits et intégrales abstraites

• Théorème de convergence monotone, lemme de Fatou et théorème de conver- gence dominé de Lebesgue

• Relation entre l’intégrale de Riemann et l’intégrale de Lebesgue Chapitre 7 – L’intégrale de Lebesgue (20 heures)

Le chapitre 6 est le préalable

• Définition de l’intégrale de Lebesgue

• Exemples des intégrales de Lebesgue définies sur différents ensembles

• Certaines propriétés de l’intégrale de Lebesgue seront énoncées

• Certaines propriétés de l’intégrale de Lebesgue seront vérifées

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6.3 Organisateur graphique

Vii. Objectifs précis d’apprentissage (Objectifs pédagogiques)

Vous devriez être capable de :

1. Démontrer votre compréhension des concepts de base et des principes de l’analyse mathématique.

2. Développer une structure logique pour énoncer et prouver des théorèmes.

Module Development Template 7

6.3 Organisateur graphique

Continuité et homéomorphisme

Intégrale abstraite Espace mesurable

Fonctions mesurables Structure d’un

espace topologique

Fonctions des espaces topologiques

Espace

Structure d’un espace métrique

Fonctions des espaces métriques

Continuité et compacité

Espace de mesure

Viii. activités pédagogiques et d’apprentissage

PRÉ-ÉVALUATION

1. Lequel de ces ensembles est dénombrable ?

(a) ℝ (b) Q^c (c)⎡⎣ ⎤⎦0,1 ^(d) A= § ∩ a,b⎡⎣ ⎤⎦

est l’ensemble de nombres rationnels.

2. Lequel de ces ensembles possède à la fois une borne supérieure et inférieure?

(a)A= x : 0 < x < 1

{ }

{ }

(b)B = x :− ∞ < x ≤ 1

{ }

{ }

3. Selon l’ensemble A= 1

n,n ∈J⁺

⎧⎨

⎩

⎫⎬

⎭^, ʹA possède combien de points limi- tes?

(a) 2 (b) 0 (c) 1 (d) Infini

4. Selon cette suite de nombres réels,

x_n= 1 if n isodd 0 if n iseven

⎧⎨

⎩

laquelle des affirmations suivantes est vraie par rapport à la suite

( )

(a)A= x :1 < x ≤ 2

{ }

{ }

(b)B = x : 0 < x < 1

{ }

{ }

si n est impair si n est pair

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6. Lequel des sous-ensembles de ℝ suivants est un ensemble fermé?

(a)A= x :1 ≤ x ≤ 5

{ }

{ }

(b)B = x : 20 < x < 30

{ }

{ }

7. Lequel des sous-ensembles de ℝ suivants est ni ouvert ni fermé?

(a)A= x : 2 ≤ x ≤ 5

{ }

{ }

B = x : 0 < x < 3

{ }

{ }

8. Lequel des énoncés suivants à propos d’une fonction à variation bornée est vrai?

(a) Elle est continue (c) Elle est uniformément continue (b) Elle est discontinue (d) Elle est bornée

9. Ce qui suit est une somme de Riemann :

π

n sin ^k

k =1 n

∑

Utilisez ce fait pour évaluer ceci :

n→∞lim π

n sin ^k

k =1 n

∑

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

(a) 2 (b) 0 (c) -2 (d) -1

10. Examinez la fonction définie par

f : π 4,π

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥→ ° f x

( )

En se servant du théorème des valeurs intermédiaires, déterminez la valeur non nulle

deα ∈ π 4, π

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥telle que : sin α = 2

π α

(a)π

4 ^(b)π (c)3

4π (d) π 2

Solutions

A. Pré-évaluation 1. d

2. a 3. c 4. c 5. b 6. a 7. c 8. d 9. a 10. d

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iX. activités d’apprentissage

Chapitre 4

Titre : Analyse réelle

Objectifs précis

À la suite de cette activité, l’apprenant sera capable de :

• Définir le concept d’une métrique sur un espace donné

• Donner des exemples d’espaces métriques

• Démontrer comment la continuité d’une fonction dépend de la structure de l’espace sur laquelle elle est définie

• Définir et distinguer une variété de concepts constituant la structure d’un espace métrique tels que les voisinages, les points intérieurs et limites, les ensembles ouverts et fermés, etc.

Résumé

Il est très important de noter qu’on commence une analyse adéquate, en tant que branche des mathématiques pures, en portant un regard critique sur la structure d’un espace. La théorie classique a été développée en grande partie sur la droite réelle ℝ, dont la structure est déterminée par la fonction de valeur absolue et ses célèbres inégalités. Donc, sur ℝ, on peut définir une application

:° →° ^{+ par}

x = x, x ≥ 0

−x, x < 0

⎧⎨

⎩

qui satisfait les axiomes suivants : (i) a − b ≥ 0 ∀ a, b ∈°

(ii) a − b = 0 iff a = b (iii)

a + b ≤ a + b ∀ a, b ∈°

(iv) a ≤ b, − a ≤ b iff a ≤ b

Ces axiomes constituent une structure géométrique sur ¡ puisqu’ils font référence au

concept de distance qui a été utilisé au fil des années en analyse, sans que l’on porte une attention particulière à la structure en tant que telle. En analyse moderne, c’est le point de départ. Alors, pour un ensemble non vide X , on définit une application d : X x X →° ⁺, appelée distance, afin qu’un nombre d’axiomes soit satisfait (voir la section sur les mots-clés plus bas). Dans ce cas, on dit que l’ensemble non vide X a été doté de la structure géométrique d (aussi appelé une métrique) et la paire

(

)

(

)

Mots-clés et concepts

• Espace : Il s’agit d’un ensemble non vide qui possède une structure géométrique ou algébrique.

• Métrique : Il s’agit d’une application X x X →° ⁺+définie sur un ensemble non vide X tel que :

(i) d x, y

( )

(ii) d x, y

( )

( )

( )

(iv) d x, z

( )

( )

( )

(

)

• Voisinage : Dans tout espace métrique

(

)

( )

{ (

)

}

pour un nombre réel r >0.

• Point intérieur : Dans tout espace métrique

(

)

(

)

de p tel que N p,r

( )

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• L’intérieur d’un ensemble : Pour tout sous-ensemble A de

(

)

{

• Ensemble ouvert : Tout sous-ensemble A de

(

)

• Point limite : Dans tout espace métrique

(

)

• Ensemble fermé : Soit A un sous-ensemble de

(

)

• Fermeture d’un ensemble : Pour tout sous-ensemble A de

(

)

{

• Ensemble borné : Tout ensemble A en

(

)

( )

• Recouvrement ouvert : Soit A un sous-ensemble de

(

)

( )

(

)

∪

α ∈Ω

E_α .Alors, la famille

( )

α^i,i = 1,...,n on a ceci A ⊆

∪

n

i =1

E_α

i , alors E_α

i

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟i=1 n

est un sous-recouvrement ouvert fini pour A.

• Ensemble compact : Soit A est un sous-ensemble de

(

)

• Continuité simple: Une fonction f : X ,d

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

( )

( ) )

pour tous x de X où d X ^et dY dénotent des métriques respectivement sur X et Y.

• Continuité uniforme d’une fonction : Une fonction f : X , d

(

)

( )

d_X

( )

(

( )

( ) )

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Activité d’apprentissage :

Analyse réelle sur la structure géométrique d’un espace

L’histoire de la construction d’une maison

Il s’agit de l’histoire d’un jeune homme, appelé M. Waweru, d’un des villages du dis- trict de Kiambu au Kenya. Un jour, il a construit une maison aux murs rectangulaires, mais il ne s’était pas douté qu’il devait s’assurer que les murs parallèles soient de la même longueur et que les murs adjacents soient placés aux bons angles. Il ignorait ces facteurs. Après avoir terminé de couvrir la maison de chaume, il a tenté de la regarder sous différents angles et s’est rendu compte qu’elle n’était pas aussi rectan- gulaire qu’il l’aurait souhaité. Il s’est également rendu compte que, même en plaçant des meubles à l’intérieur de la maison, il y avait un problème avec l’arrangement des différentes pièces du mobilier.

Question

Écrivez un court texte afin d’expliquer quelles sont les mathématiques que M. Waweru aurait dû prendre en considération lors de la construction de sa maison.

Introduction

Le principal message à retenir de l’histoire ci-dessus est que la prise de mesure de la longueur et des angles est essentielle et c’est ce qui constitue la structure qui résulte de la géométrie. En effet, la structure géométrique crée de la symétrie dans tout ar- rangement. Dans l’histoire ci-dessus, il n’y a pas de géométrie. C’est donc pourquoi même la disposition du mobilier est problématique.

Dans un espace métrique, comme vu plus tôt, il existe un ensemble non vide qui possède une métrique qui, en elle-même, est un concept de distance d’où prend forme une structure géométrique. Par conséquent, chaque composante de la structure doit être définie en fonction de la distance. Toutes les définitions des mots-clés et des concepts sont données de façon séquentielle et en fonction de la distance. En fait, ils peuvent être résumés sous la forme du schéma suivant.

Exemples 4.1

(i) L’ensemble ° de nombres réels est un des exemples les plus communs d’espace métrique. La métrique est ici définie comme suit :

d x, y

( )

(ii) L’ensemble £ de nombres complexes est également un espace métrique dont la métrique est définie comme suit :

d z

(

)

(iii) L’espace euclidien de dimension n ° ⁿ est également un espace métrique dont la métrique d est définie comme suit :

d x, y

( )

i = 1

∑

Où x=

(

)

Voisinage

Ensemble fermé Point

intérieur

Intérieur

Point limite

Ensemble ouvert

Fermeture

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(

)

y= y y yn

Remarques 4.2

(i) Notez que pour un ensemble donné, plus d’une métrique peut être définie.

(ii) Notez également que chaque définition a sa négation. En général, si la définition exige que « pour chaque… », sa négation sera donc « il existe au moins un… ».

Par exemple, on a vu plus haut qu’un ensemble est ouvert si chaque membre de l’ensemble est un point intérieur. Dans ce cas, sa négation est qu’« un ensemble n’est pas ouvert si au moins un membre de l’ensemble n’est pas un point inté- rieur ».

Exercice 4.3

(i) Essayez de donner la négation de toutes les définitions de cette activité et de tout autre définition qui est en lien et que vous avez vue ailleurs.

(ii) Utilisez les définitions et leur négation pour montrer que l’ensemble A ci-dessous est ni ouvert ni fermé.

A = x ∈° : 0 < x ≤ 1

{ }

Énoncez aussi la fermeture de A dénotée par A .

(iii) Montrez que tout ensemble A est ouvert si A=IntA et que A est fermé si .

A A=

Remarque 4.4

Notez que les définitions à elles seules ne peuvent expliquer comment les concepts sont reliés. On a aussi besoin de théorèmes pour arriver à cette compréhension. Le théorème suivant démontre la relation entre un ensemble ouvert et un ensemble fermé ainsi que celle entre un ensemble compact et un ensemble fermé.

Théorème 4.5

(i) Dans tout espace métrique

(

)

(ii) Que A soit compact implique que A soit fermé et borné. La réciproque est vraie si l’espace est ° ^n.

Remarque 4.6

Notez que la structure d’un espace, tel qu’un espace métrique, peut aussi être examinée grâce aux applications sur l’espace, en particulier celles qui sont continues. Pour ce faire, il existe le théorème suivant.

Théorème 4.7

Soit X et Y des espaces métriques et soit f : X → Y une fonction. Alors, on a : (i) Si X est compact et f est continue, alors f est uniformément continue.

(ii) Si X est compact et f est continue, alors l’image ^{f X}

( )

Exercice 4.8

(i) Cherchez un contre-exemple dans vos lectures pour montrer que le contraire du théorème 4.5 (ii) est généralement faux.

(ii) Soit

f : 0,1⎡⎣ ⎤⎦ → ° donné par

f x

( )

[

]

Soit X un espace métrique compact et soit f : X → ° une fonction continue.

Déterminez les nombres m et M selon m = min f(x) et M = sup f(x) x∈X x∈X

Montrez que ∃ p, q ∈ X ^{tel que f p}

( )

( )

4.9 Lectures

1. Vous devriez lire Mathematical Analysis 1 par Elias Zakon, publié par The Trillia Group. Lisez entièrement les sections et faites les exercices.

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Chapitre 5

Activité d’apprentissage 3

Titre: La topologie

Objectifs précis

À la fin de cette activité, l’apprenant devrait être capable de :

• Définir la topologie d’un ensemble

• Donner des exemples d’espaces topologiques

• Remanier les définitions des éléments de la structure comme celles de voisi- nage, de point intérieur, de point limite, etc., sans faire référence au concept de distance

• Remanier la définition de la continuité d’une fonction sans faire référence au concept de distance

• Énoncer et prouver les propriétés de la continuité purement en fonction des sous-ensembles de l’espace

Résumé

Cette activité est résumée dans la même optique que l’activité 2 dans laquelle on a vu que la structure d’un espace métrique dépend fortement du concept de distance.

Dans le cas d’un espace topologique (voir la définition dans la prochaine section), la structure dépend des ensembles ouverts et des ensembles fermés.

Par conséquent, on a comme principale tâche dans cette activité de voir comment ces définitions peuvent être remaniées dans l’espace métrique sans faire aucune ré- férence au concept de distance puisque, dans une structure ensembliste, le concept de distance est généralement absent. Il est également important de noter que toute définition dans un espace métrique qui ne fait pas référence à la distance peut tout de même être transférée dans un espace topologique général.

Il faut aussi noter que, notamment, le concept de continuité des fonctions est consi- dérablement généralisé quand sa définition et ses propriétés sont énoncées du point de vue d’ensembles ouverts. Ce fait est important puisque le concept de continuité possède des propriétés exceptionnelles qui apportent beaucoup d’applications en mathématiques.

Mots-clés et concepts

• Topologie : Soit X un ensemble non vide et soit τ un ensemble de sous-en- sembles de X, τ est donc appelé une topologie sur X si les propriétés suivantes sont rencontrées :

(i) φ ∈τ (ii) X ∈τ

(iii) _{i =1}

∩

(iv)

∪

α∈ΩO_α ∈τ ^lorsque O_α ∈τ pour chaque α ∈Ω^. .

• Ensemble ouvert : Soit A un sous-ensemble d’un espace topologique

( )

• Ensemble fermé : Soit A un sous-ensemble d’un espace topologique

( )

( )

• Voisinage : Soient

( )

• Intérieur d’un ensemble : Soit A un sous-ensemble d’un espace topologique

( )

• Point limite : Soit

( )

• Fermeture d’un ensemble : Pour tout ensemble A en

( )

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• Frontière d’un ensemble : Pour tout sous-ensemble A d’un espace topologique X, la frontière de A est donnée par B 'dary A

( )

( )

• Continuité d’une fonction : Soient

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

{ ( )

}

. Par conséquent, f est continue si f⁻¹

( )

• Homéomorphisme : Soient X et Y des espaces topologiques. f est un homéomor- phisme si f : X → Y ainsi que et son contraire f⁻¹:Y → X sont continus.

Activité d’apprentissage sur la structure ensembliste d’un espace

L’histoire d’un designer

Un jour, alors que je marchais dans les rues de Nairobi, la capitale du Kenya, j’ai rencontré une designer qui utilisait un module de dessin (OpenOffice Draw) pour créer des images symétriques.

Elle faisait cette opération par étapes. Elle dessinait premièrement une étoile et en produisait ensuite une centaine de copies. Elle assemblait ensuite les copies pour en faire une image symétrique.

Étape 1

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Étape 2

Question

Pouvez-vous suggérer toute autre forme dont les copies peuvent être assemblées afin de créer un dessin symétrique?

Introduction

Il est à noter que dans la deuxième activité d’apprentissage, on fait référence à des structures géométriques représentant la symétrie ou la beauté. Cependant, dans l’histoire ci-dessus, il s’agit d’un cas où de belles images ou des images symétriques peuvent être créées sans nécessairement se servir du concept de distance. La structure dépend ici de certains arrangements d’ensembles d’éléments dans l’espace. C’est une situation où la structure est analogue à celle d’un espace topologique général qui dépend des ensembles et de leurs ensembles. En effet, les définitions dans un espace topologique, comme vu plus tôt, dépendent d’éléments comme les voisinages, les en- sembles ouverts et les ensembles fermés ou leurs ensembles. Il est également important de noter que les définitions dans les espaces métriques qui ne font pas référence au concept de distance resteront les mêmes dans les espaces topologiques généraux. Par exemple, des définitions comme celles de recouvrement ouvert, d’ensemble compact, etc., restent intactes qu’elles soient dans un espace métrique ou topologique.

À ce sujet, la structure ensembliste sur un espace topologique réorganise l’ordre des concepts d’une manière qui peut être résumée par le schéma suivant.

Exemple 5.1

Voici des exemples d’espaces topologiques généraux.

(i) Soit ^{X =}

{

}

τ₁= φ , X , a,b

{ { }

{ }

{ }

{ }

}

τ₂= φ , X

{ }

τ₃= All subsets of X

{

}

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Alors, τ^1,τ_{2 ,}and τ₃ sont toutes des topologies sur τ³ est appelée la topologie la plus fine sur X et τ² est appelée la topologie la moins fine sur X. Par conséquent,

X ,τ₁

( )

(

)

(

)

(ii) Considérez X = ° avec sa métrique standard et soit τ³={ tous les intervalles ouverts de }. Alors, ° est un espace topologique.

(iii) Soit X n’importe quel espace métrique et soit τ³={tous les sous-ensemble ouvert de X}.

Alors

( )

Afin que l’apprenant comprenne mieux l’exemple 5.1 partie (iii), on va travailler sur les exercices suivants.

Exercice 5.2

Dans n’importe quel espace métrique X, montre que : (i) The null set φ is open

(ii) The whole space X is open

(iii) _{i =1}

∩

(iv)

∪

α ∈ΩO_αis open whenever O_αis open for eachα ∈Ω.

(i) Si φ n’est pas ouvert, alors ∃ x∈φ, qui n’est pas un point intérieur. Toutefois, il n’y a pas de x en φ puisque φ est vide. Il s’agit d’une contradiction, d’où le fait que φ est ouvert.

(ii) Pour tout point p ∈X ∃ r > 0, tel que le voisinage N p,r

( )

(iii) Supposez que O O1, 2,...,O_n sont ouverts.

Soient O =_{i =1}

∩

Donc, il existe des voisinages N(p,r_i ) tel que N p, r

(

)

Soit r = min

1≤i ≤n

{ }

( )

^∩

D’où le fait que O =_{i =1}

∩

(iv) Soit O_α ouvert pour chaque α ∈Ω et soit O =

∪

α ∈ΩO_{α .} Maintenant,

p∈O ⇒ p∈Oα pour certainsα ∈Ω^{, mais} O_α

est ouvert, d’où le fait qu’ il existe un voisinage ^{N p r}

(

)

p ∈ N p,r

( )

∪

α ∈ΩOα c.-à-d. que p est un point intérieur de O.

D’où le fait que O =

∪

α ∈ΩOα est ouvert.

Remarque 5.3

Il faut noter d’après les solutions de l’exercice plus haut que si � est l’ensemble de tous les sous-ensembles ouverts d’un espace métrique, alors :

(i) φ ∈τ (ii) x ∈τ

(iii) _{i =1}

∩

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(iv)

∪

α∈ΩO_α∈τ ,chaque fois que O_α∈τ pour chaque α ∈Ω.

C’est pourquoi chaque espace métrique est un exemple d’espace topologique.

Essayez maintenant l’exercice suivant.

Exercice 5.4

(a) Dans chaque espace métrique X, montrez que : (i) φis closed

(ii) X is closed

(iii) _{i =1}

∪

(iv) _{i =1}

∩

F^αest fermé pour chaque α ∈Ω.

(b) Donnez des raisons pour lesquelles l’ensemble des fermés ne peut être utilisé pour définir une topologie sur un espace métrique X.

Voici maintenant certains théorèmes qui montrent les relations de manière plus ap- profondie entre certains concepts dans un espace topologique.

Théorème 5.5

Soit X un espace topologique. Alors, on a :

(i) Pour chaque x ∈ X , ∃ un voisinage N de x dans X.

(ii) Si N est un voisinage de x∈X ^{, alors} x∈N.

(iii) Si pour chaque voisinage N de x on a ʹN ⊃ N^{, alors} N �est également un voi- sinage de x.

(iv) Si pour chaque x ∈ X , N et M sont des voisinages de x alors N ∩ M est aussi un voisinage de x.

Théorème 5.6

Soit X un espace topologique. Alors, un sous-ensemble O de X est ouvert si O est un voisinage de chacun de ses points.

Théorème 5.7

Selon le sous-ensemble A d’un espace topologique X, on a :

(i) Si F est un ensemble fermé tel que A⊆ F , ^alors A ⊆ F .

(ii) Si

{ }

α ∈ΩF_α. (iii) Si

{ }

α ∈Ω

est une famille de sous-ensembles ouverts de X dont chacun d’eux est contenu dans A, alors Int A = ∪

α ∈ΩO_α. Remarque 5.8

Il faut noter que la partie (i) du théorème ci-dessus affirme simplement que : « Cha- que ensemble fermé F qui contient A contient également la fermeture de A » alors que la partie (ii) dit simplement que : « La fermeture de A est le plus petit ensemble fermé qui contient A ». Il faut aussi noter que la partie (iii) affirme que l’intérieur d’un ensemble est le plus grand sous-ensemble de l’ensemble.

Exercice 5.9

En se servant des lectures, essayez de prouver le théorème 5.6 qui se trouve plus haut.

Remarque 5.10

Il faut noter que la définition de continuité d’un espace topologique peut aussi être formulée du point de vue d’ensembles fermés. Donc, f : X → Y est continu si

f⁻¹

( )

En raison de cette définition équivalente, le théorème énoncé ci-dessous peut être prouvé.

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Théorème 5.11

Soient X et Y des espaces topologiques et soit f : X → Y une fonction. Alors, f est continue si pour n’importe quel sous-ensemble A de X on a :

f A

( )

( )

Exercice 5.12

(a) Pour tout sous-ensemble A et B d’un espace topologique X, montrez que (i) A ∪ B = A ∪ B

(ii) A ∩ B ⊂ A ∩ B

(b) En exprimant la fermeture d’un ensemble A comme ceci : A = A ∪ ʹB dary A

( )

Montrez que :

A est fermé si B dary A

( )

(c) Faites une brève comparaison entre la continuité d’une fonction d’espaces mé- triques et la continuité d’une fonction d’espaces topologiques généraux.

(d) Considérez l’intervalle ouvert (0,1) avec tout autre intervalle ouvert, par exemple

( )

Soient ^{X =}

( )

( )

Soit également f : X → Y défini par f t

( )

( )

( )

Montrez que f est un homéomorphisme de X sur Y.

Chapitre 6

Titre : Sur la structure ensembliste avec mesures

Objectifs précis

À la fin de cette activité, l’apprenant sera capable de :

• Donner la définition de la mesure extérieure de Lebesgue et énoncer ses pro- priétés.

• Donner la définition et des exemples d’ensembles Lebesgue mesurables.

• Définir et donner des exemples de σ −algèbres.

• Définir et donner des exemples d’espaces mesurables.

• Définir et donner des exemples de fonctions mesurables.

• Définir et donner des exemples d’espaces de mesure.

Résumé

On a déjà vu dans les deux dernières activités qu’un espace est un ensemble non vide doté d’une structure soit géométrique, soit algébrique. En effet, dans le cas d’un espace métrique

(

)

( )

Une classe de fonctions appelée fonctions mesurables sera également définie et ses propriétés seront étudiées afin d’en comprendre la structure de façon plus approfondie.

Il est à noter ici que, comme dans le cas d’un espace topologique, la structure d’un espace mesurable dépend également d’ensembles d’ensembles. Cependant, il est possible de donner une mesure à ces ensembles. Ceci suggère que la structure d’un espace de mesure est à la fois géométrique et algébrique puisque, dans une mesure, se trouve le concept de longueur.

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Mots-clés et concepts

• Mesure extérieure de Lebesgue : Soit λ I

( )

λ^∗_{( )r} = λ I

( )

I ∈r

∑

où r est un ensemble dénombrable de sous-intervalles ouverts de ℝ. Pour tout sous- ensemble E de ℝ, on dénote la classe de tous les ensembles dénombrables de sous- intervalles ouverts de ℝ qui couvrent E par ^{C E}

( )

μ^∗

( )

∗

est la mesure extérieure de Lebesgue de l’ensemble E.

• Ensemble Lebesgue mesurable : Tout sous-ensemble E de ℝ est Lebesgue mesurable si pour tout autre sous-ensemble Y de ℝ, on a ceci :

μ^∗

( )

(

)

(

)

• σ −algèbre : Soit X un ensemble non vide et soit � un ensemble de parties de X tel que :

(i)φ ∈ χ

(ii) If φ ∈ x ^{, alors} A^C∈ χ

(iii) Si

( )

∞ A_n∈ χ .

• Espace mesurable : Soit X un ensemble non vide et soit χ _la σ −^algèbre de tous les sous-ensembles de X. Alors le couple

(

)

• Fonction mesurable : Soit

(

)

{

( )

}

• Mesure : Soit

(

)

• Espace mesuré : Soit

(

)

( )

(

)

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Activité d’apprentissage :

Sur la structure ensembliste avec mesures

L’histoire de la conception de motifs symétriques

Dans l’activité 3, on a vu l’histoire d’une designer qui pouvait créer des images symé- triques simplement en générant des motifs, sans tenir compte du concept de distance ou des mesures. Dans l’histoire suivante, l’attention est portée sur le fait qu’il y a des moments où les designers ont également besoin de mesures afin de créer des images symétriques. Alors que je marchais un jour dans les rues de Nairobi, j’ai également fait la connaissance d’un tel designer qui pouvait commencer avec un nombre de carrés sur une ligne, par exemple, pour ensuite prendre quelques mesures de distances et d’angles avant d’ajouter d’autres figures, comme des triangles équilatéraux sur une ligne, etc., jusqu’à l’obtention d’une figure complète, comme un hexagone.

Question

À part créer un hexagone dont les côtés ont des figures de formes différentes, pouvez- vous créer d’autres motifs?

Introduction

Il est à noter que dans l’histoire ci-dessus, le designer n’est pas seulement soucieux de produire des copies d’une figure donnée, comme d’une étoile, mais aussi d’utili- ser les mesures de longueurs et d’angles afin de créer un motif, comme celui qui se trouve dans le schéma plus haut.

Ceci est un exemple parfait de structure qui combine à la fois la géométrie et l’algèbre dans un espace. Dans la théorie de la mesure, il est question d’un espace nommé espace mesuré (comme défini dans la section précédente) où se trouve le triplet

(

)

Il est à noter qu’en dehors de l’ensemble sous-jacent X en-soi, la σ −algèbre χ concerne les combinaisons de sous-ensembles de X, ce qui est l’aspect algébrique de l’espace. Cependant, la mesure μ concerne les mesures sur les sous-ensembles

de X. Par exemple, si I est un intervalle en ℝ, alors μ I

( )

En fait, la suite de concepts peut être résumée par le schéma qui suit :

Ensemble sous-jacent X

Mesure

extérieure


algèbre

Ensemble

mesurable Espace

mesurable

(X
^, )

Mesure

Espace de mesure

(X
^{, ,} )

Fonction mesurable

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Exemple 6.2

(i) Soit X = ° , la classe de tous les sous-ensembles de Lebesgue mesurables de ° , est dénotée par σ m, et on a les ensembles vides φ, § ^et ° qui appartien- nent à σ m^.

σ m est également une σ -algèbre des sous-ensembles de ° ^.

(ii) SoientΡ °

( )

( )

Alors, Ρ °

( )

( )

Β °

( )

( )

Notez également que l’on a ceci :

μ = μ^* σ m est la mesure Lebesgue sur ° .

( i i i ) S o i e n t X = ° ^{e t} χ = Ρ °

( )

( )

(

( ) )

(

)

(

( ) )

(iv) Soient X = ° , χ = σ m ^et μ = μ^* σ m les mesures de Lebesgue sur ° ^. Alors, le triplet

(

)

Exemple 6.3

Soit E un sous-ensemble mesurable de X.

Considérez la fonction χE définie par :

χ_E

( )

⎧⎨

⎪

⎩⎪

χE est mesurable où χE est la fonction caractéristique de l’ensemble E.

En effet, pour r >1, l’ensemble est : x ∈ X : χ

E^{( )x} < r

{ }

Pour 0 < r ≤ 1, l’ensemble est : x ∈ X : χ_E

( )

{ }

Également pour r ≤ 0, l’ensemble est : x ∈ X : χ_E

( )

{ }

D’où le fait que, pour tout r ∈° , l’ensemble est : x ∈ X : χ_E

( )

{ }

Par conséquent, χE est mesurable.

Notez que la classe de toutes les fonctions mesurables sur une fonction mesurable d’un espace mesurable

(

)

( )

Dans ce cas, χ_E ∈ M X , χ

( )

Si X = ° ^et χ =σ m^{, alors} χE est une fonction Lebesgue mesurable.

Exercice 6.4

Dans l’exemple ci-dessus, X = ° ^et χ = σ m esquisse le graphique de χ_{E et} l’utilise pour vérifier que χE est en effet Lebesgue mesurable.

Voici maintenant quelques théorèmes qui donnent quelques propriétés et qui montrent quelques relations parmi certains concepts dans les espaces mesurables et dans les espaces de mesure.

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Théorème 6.5

Soit μ^∗ la mesure extérieure de Lebesgue sur les sous-ensembles de ℝ ^{Alors :} (i) μ^∗

( )

(ii)

μ^∗

( ) { }

(iii) μ^∗est monotone, c.-à-d., μ^∗

( )

( )

(iv) μ^∗ est invariant par translation, c.-à-d., μ^∗

( τ

( )

)

( )

où

τ_r

( )

(v) μ^∗ est dénombrablement sous-additifve, c.-à-d., si

( )

∪

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≤ μ^∗

( )

∑

Remarques 6.6

(i) Il est à noter qu’en dehors des propriétés énoncées plus haut, la définition de

μ^∗:Ρ °

( )

(ii) Il est également à noter que la principale différence entre les propriétés de la mesure extérieure de Lebesgue μ^∗ sur ℝ et la mesure de Lebesgue μ sur ℝ est que μ est dénombrablement additive. Par conséquent, si

( )

∪

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = μ E

( )

n=1

∑