Théorie cinétique et amortissement Landau.

TD n°5 : Physique des plasmas (session du 19/10/10) Exercice 1 :

Théorie cinétique et amortissement Landau.

Partie 1 : Théorie fluide

a) En utilisant un modèle à deux fluides, établir la relation de dispersion d’une onde plasma longitudinale dans un plasma. Vous détaillerez les équations et les approximations utilisées. Vous démontrerez que la relation de dispersion est de la forme

ω

² =

ω

p² + f

( γ

e,k,vth

) .

La théorie fluide ne nous permet pas d’obtenir la valeur de

γ

_e. Nous allons utiliser la théorie cinétique pour déterminer cette valeur.

Partie 2 : Théorie cinétique

Une onde plasma peut être amortie, même en l’absence de collisions, s’il y a un échange d’énergie entre l’onde et la particule (c’est le cas pour les particules qui ont une vitesse voisine de la vitesse de phase de l’onde plasma). Cet effet n’apparait pas dans le cadre de la théorie fluide. Ici, nous proposons de le mettre en évidence en utilisant la théorie cinétique.

On utilise les équations suivantes :

∫

=

=

∇

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

∂

fdv n

E

v f m

E q r v f t f

0

0

ε

ρ

r r

r r r r

On considère une fonction de distribution des électrons à l’équilibre f₀ telle que :

T k mv

B

e B

T k m n

f ¹² ₂

0 0

2

2

−







=

π

a) On se limite à un problème à une dimension et on considère une petite perturbation :

1

0 f

f

f = + , n=n₀ +n₁, E₀ =0 Linéariser les équations précédentes.

b) En cherchant des solutions de la forme e^i(ωt−kx), établir la relation de dispersion :

( )

^{, =1+ 2 +∞}

∫

₋^{1 ∂}_∂^{~0 =0}

∞

−

v dv f kv k k

D ^p

ω

ω ω

^avec

0 0 0

~ n f = f

c) Pour des particules telles quev<<

ω

k, développer la relation de dispersion et montrer qu’on obtient :

2 2 2

2 =

ω

_p +3k v_th

ω

On rappelle que :

∫

^y2e−y2dy=

^π

²

d) Maintenant, on considère également les particules dont la vitesse v est du même ordre que la vitesse de phase v_ph =ω k de l’onde plasma. La relation de dispersion s’écrit :

( )

^{, 1} ₂^{2 1 ~0 =0}

∂

∂

− −

= ^+∞

∫

∞

−

v dv f k k v

k

D ^p

ω ω ω

On montre (intégration dans le plan complexe) :

k

v v

k f sign i principale Partie

v dv f k

v ω

ω π ₌

+∞

∞

− 











∂

− ∂

∂ =

∂

∫

− ^{0 0}

~ ) ( . .

1 ~

Montrer que la partie imaginaire de la fréquence ω =ω_R +iω_i

(

où

ω

_R ^et ω_i ^sont respectivement les parties réelle et imaginaire de

ω )

vaut :

k v R

p

i v

k f k sign

ω

ω ω ω π

 =











∂

= ₂ ∂ ⁰

2 ~

) ( 2 .

L’amortissement obtenu est l’amortissement Landau

Correction :

Exercice 2 :

Partie 1 : voir cours ondes dans les plasmas Partie 2 :

a) Le problème d’onde le plus simple est celui de l’excitation d’une onde de plasma (onde Langmuir) en une dimension. On cherche donc des ondes électrostatiques de haute fréquence dans un plasma constitué d’électrons et d’un fond ionique neutralisant (ions infiniment lourds). Dans ce cas, les ions ne se manifestent qu’à travers leur densité moyenne ni, identique à celle des électrons ne= ni, et toute la dynamique est déterminée par les seuls électrons.

En une dimension, le système Vlasov-Maxwell s’écrit :

∑

∫

=

=

∂ =

− ∂

∂ + ∂

∂

∂

∞ +

∞

−

α α α

ε0

0

n q dx

dE

fdv n

v f m eE x v f t f

e

e

En vue de la linéarisation, on écrit la fonction de distribution et la densité des électrons comme

) , ( ) ( ) , (

) , , ( ) ( ) , , (

1 0

1 0

t x n v n t x n

t v x f v f t v x f

e e

+

=

+

=

Passage Fourier-Laplace (système non perturbé avant le temps t=0) :

∫

∫

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

−

− =

=

−

=

∂

= ∂

−

∂ =

− ∂

−

dv e f

ikE en dv f n

v f m kv eE if

v f m ikvf eE f i

e e

1 0 0

1 1

1 1

0 1 1

0 1 1 1

) (

0

ε ε

ω ω

Soit

∫

^∞

+

∞

− ∂−

∂

−

=

− dv

kv i

v f m eE ikE e

e ( )

0 1 0

1 ε ω

On obtient ainsi :

∫

^∞

+

∞

− ∂−

∂

−

= dv

kv v f k

E m

e E n

e ( )

~

0 1

0 2 0

1

ε ω

Avec

0 0 0

~ n f = f

b) Relation de dispersion cinétique des ondes de Langmuir :

+∞

∫

∞

− −

∂ + ∂

=

∆ dv

kv v f

k k^p

) (

~ 1

) ,

( ⁰

2

ω ω ω

Ou de manière générale :

∑

^+∞

∫

∞

− −

∂ + ∂

=

∆

α α α

ω

ω ω

^dv

kv v f

k k^p

) (

~ 1

) ,

( ⁰

2

c) Si v<<v_ph =

ω

k(domaine principal de l’intégrale) :

+∞

∫

∞

− −

∂ + ∂

=

∆ dv

kv v f

k k^p

) 1 (

~ 1

) ,

( ⁰

2

ω ω ω ω

Un DL à l’ordre 3 donne :

∫

∫

^+∞

∞

− +∞

∞

− 





















 



 

 + 



 

 +



 

 +

∂ + + ∂

=

−

∂ + ∂

=

∆ kv dv

kv O kv

kv v

f dv k

kv v f

k k^{p p}

4 3

2 0

2 0

2

1

~ 1

) 1 (

~ 1

) ,

(

ω ω ω ω ω

ω ω ω

ω ω

Avec :

[ ]











 =















 



 



− 











 



 



= 



 





∂

∂







 



 



− 











 



 



= 



 





∂

∂



 



− 











 



 



= 



 





∂

∂

=



 





∂

∂

−

=

 −

 

=

∂

∂

=

∂ =

∂

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∞ +

∞

−

−

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

∞ − +

∞

−

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

∞ +

∞

− +∞

∞

−

T k v m y avec

dy e m y

T k T

k k m

f kv kv dv

v f

dv e

T v k m k

f kv kv dv

v f

dv v k f

f kv kv dv

v f

kv dv v f

dv k k f

f kv kvdv

v f

v f f

B e

y e

B B

e

T k v m

B

e B

e

2

2 3 2

~ ~

3 2

~ ~

3 ~

~ ~

0

~

~

~ ~

~ 0

~

2 2

2 2 3 1

3 0 3

0

2 2 2

3 1 3

0 3

0

2 0 3 3

0 3

0 2 0

0 0

0 0 0

π ω ω

ω

π ω ω

ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω

ω

On a donc :

0 3

1 ) , (

3 2

=



















 



 



− 

− +

=

∆

e p B

m T k k k k k

ω ω ω ω

Comme 1

2 2

<<











=







 



 





ph th e

B

v v m

T k k

ω

On obtient la relation de dispersion :

2 2 2

2 =

ω

_p +3k v_th

ω

d) La difficulté de la relation de dispersion cinétique est l’évaluation de l’intégrale contenant le pôle

−kv ω

1 .

Prenons pour fixer les idées, k >0. L’intégrale le long de l’axe réel des vitesses peut être évaluée si l’on impose ^Im

( ) ω

^>0 ce qui évite d’avoir un pôle sur le parcours d’intégration. Comme ^lim_→±∞^v2f

( )

^{v =0}

v (énergie), les bouts de l’intégrale ne contribuent pas à sa valeur ce qui permet en invoquant le théorème de Cauchy d’avoir des chemins différents pour arriver au même résultat. Ainsi, rien ne nous empêche de faire glisser le chemin d’intégration dans le plan inférieur des vitesses, donc d’utiliser des vitesses complexes. Notez qu’il n’y a pas de problème « physique » d’utiliser de telles vitesses si la valeur de l’intégrale ne change pas.

En pratique, on peut ramener le chemin d’intégration sur l’axe réel à l’exception du petit demi-cercle autour du pôle. L’intégrale peut alors être séparée en une valeur principale plus la contribution d’un demi-cercle (résidu du pôle). Ce qui s’écrit :

( )

























∂

− ∂













∂

∂

− −

=

∆

=

∞ +

∞

−

∫

k v p

v k f sign i v dv

f k P v

k k

ω

ω π

ω ω

₂^{2 0 0}

~ ) ( . 1 ~

1 ,

Approximation résonnante d’une relation de dispersion : Exploitons la partie imaginaire de la relation de dispersion.

( )

^{, =0}

∆

ω

k

On cherche une solution de la forme

ω

=

ω

_R +i

ω

_i tel que

ω

_R >>

ω

_i

.

Un développement de Taylor donne :

( ) (

^{,k R,k}

)

^{i i O}

( )

ⁱ²

R

ω ω ω ω

ω

ω

∂ +

∆ + ∂

∆

=

∆

Séparons les parties réelles et imaginaires :

( )

(

^,

)

^Im

( (

^,

) )

^{Re Im 0}

Re ≈











∂

∆

− ∂













∂

∆ + ∂

∆ +

∆

R R

i i

R

R k i k i

ω

ω

ω ω

ω ω ω

ω

De la partie imaginaire, on conclut que

ω

I ^≈Im

( )

^{∆ quand}

ω

_I →⁰. Le dernier terme est donc quadratique en

ω

_I et peut être négligé. La partie réelle fournit donc l’équation pour la fréquence réelle.

( ) (

^,

)

⁰

Re ∆

ω

k =

Et la partie imaginaire celle pour le taux de changement d’amplitude :

( )

( )

R

k

i

ω

ω

ω ω



 





∂

∆

∂

− ∆

= Re

, Im

Les formules n’ont un sens que si l’équation réelle possède effectivement une solution

ω

_R réelle et :

( )

( )

₁

Re ,

Im <<



 





∂

∆

∂

= ∆

R

k

R i

ω

ω

ω ω ω

ω

Qui assure la consistance de l’approximation.

Calcul de l’amortissement :

La partie imaginaire de ∆

( ) ω

^,k pouvant être exponentiellement petite, l’approximation résonnante peut être utilisée pou exploiter la relation de dispersion :

( )

^{, 1} ₂^{2 1 ~0 . ( ) ~0 =0}

























∂

− ∂













∂

∂

− −

=

∆

=

∞ +

∞

−

∫

k v p

v k f sign i v dv

f k P v

k k

ω

ω π ω ω

Dans l’approximation la plus basse en température (c'est-à-dire sans correction thermique) la partie réelle de la relation peut s’écrire :

( )

(

^,

)

¹ ₂²

Re

ω

ω

^k = −

ω

^p

∆ Qui produit

ω

_R =±

ω

_p et

R R p

R

ω ω

ω ω

_ω

2 2

Re ₃

2

=

=



 





∂

∆

∂

Dans cette formule il est important de garder que

ω

_R et de ne pas le remplacer par

ω

_p^{à cause} du signe que

ω

_R comporte. On peut donc écrire l’amortissement Landau.

k v R

p

i v

k f

k

ω

sign _ω

π ω ω

 =











∂

= ₂ ∂ ⁰

2 ~

) ( 2 .

En prenant une maxwellienne, on peut écrire

( )

( )

D ^p k

i k

e e

D

ω

λ ω

^3/2

π

^{1/2 λ}₃

2

8

− −

=

On n’a quel que soit

ω

_R ^{et k,}

ω

_i <⁰. Une onde de Langmuir est donc amortie dans un plasma en équilibre thermique. C’est un résultat très étonnant et fondamental de la théorie de Vlasov.

L’amortissement est faible si

( )

k

λ

D ^<0.3, il devient très fort quand

( )

k

λ

D ^>0.3.

Interprétation physique :

Mathématiquement, l’amortissement Landau est dû au pôle

−kv

ω

1 .

Physiquement, il correspond aux particules dont la vitesse est égale à la vitesse de phase de l’onde. Pour ces particules, le champ électrique de l’onde apparaît constant dans le temps et elles peuvent être efficacement accélérées ou décélérées. Il en résulte un transfert d’énergie entre l’onde et les particules dont le bilan se traduit par l’amortissement de l’onde. Le gain global d’énergie des particules est proportionnel à la différence entre le nombre de particules qui vont légèrement moins vite que la vitesse de phase et le nombre de particules qui vont légèrement plus vite que la vitesse de phase soit

v f

∂

−∂ ⁰

~ .

Si 0

~

0 >

∂

∂ v

f , on a une décroissance exponentielle : amortissement Landau.

Si 0

~

0 <

∂

∂ v

f , on a instabilité.