CC 1 -CORRIG´ E

Universit´e Joseph Fourier - L3 - Math 123 2016-2017

CC 1 -CORRIG´ E

28 septembre 2016 - 2 heures

Exercice 1. Soit f : [a, b] → R et (un)_n∈N ∈ [a, b]^N. Montrer que si f est continue en α et si(un)_n∈N converge versα alors(f(un))_n∈N converge. Indiquer sa limite et donner un exemple qui montre que l’hypoth`ese de continuit´e de f est n´ecessaire.

R´eponse. Soit >0. On sait que

∃δ >0, ∀x∈[a, b],|x−α| ≤δ⇒ |f(x)−f(α)| ≤.

Puisqueun →α, il existe N ∈N, tel que ∀n≥N,|un−α| ≤δ,ce qui implique|f(un)−f(α)| ≤. On a prouv´e quef(un)→f(α). Soitf(x) = 0 si x6= 0 etf(0) = 1. f n’est pas continue en 0 et si u_n= 1/n, on au_n→0 mais f(u_n) = 06→f(0) = 1.

Exercice 2. Soit (xn)n∈N une suite r´eelle born´ee telle que lim

n→∞(xn+1−xn) = 0. Montrer que l’ensemble des valeurs d’adh´erence de (xn)_n∈N est exactement l’intervalle

h liminf

n→∞ x_n,limsup

n→∞

x_ni

= [a, b]

R´eponse. Si a=b,xn converge et les valeurs d’adh´erences valent toutes a. Sinon, soit x∈]a, b[, > 0 tel que < min(|x−a|,|x−b|), et N ∈ N. Soit N⁰ ∈ N, tel que N⁰ > N et ∀n ≥ N,

|xn+1−xn| ≤. Soit aussip > N⁰ tel que up∈[a, x−].pexiste caraest valeur d’adh´erence. Soit alors

A={n≥p| ∀j ∈N, p≤j≤n, uj ≤x−}.

Aest non vide puisquep∈A, et est born´e. En effet,best valeur d’adh´erence si bien que∃r > p, ur∈ [x+, b], doncA⊂[p, r[.Maintenant, on sait queumaxA+1> x−et|umaxA+1−umaxA| ≤, donc u_maxA+1≤(x−) +≤x.Au total, u_maxA+1∈[x−, x+] et doncxest valeur d’adh´erence.

Exercice 3. Soit a ∈N tel que √

a /∈ Q. On pose α =√

a. D´emontrer qu’il existe c ∈ R avecc >0 tel que

|qα−p|> c

q (♣)

pour tous les nombres entiersp, q∈Zavec q >0.

R´eponse.On a (qα−p)(qα+p) =q²α²−p²∈Z. C’est nul ssiα²=a=p²/q²ce qui est impossible cara /∈Q. Donc|(qα−p)(qα+p)| ≥1 et

|qα−p| ≥1/|qα+p| ≥1/(qα+|p|).

Si|p| ≤2qα, alors 1/(qα+|p|)≥1/(3qα). Si|p|>2qα,|qα−p| ≥ |p| −qα > qα≥α/q carq≥1.

On a donc le r´esultat en prenant c= min(α,1/(3α)).

Exercice 4. On dit qu’une suite (a_n)_n∈N ∈ Q^N est finalement arithm´etique s’il existe n₀∈Netq∈Qtels que a_n+1−a_n=q pour tout n≥n₀. D´emontrer que l’ensemble

(an)_n∈N∈Q^N: (an)_n∈N est finalement arithm´etique

1

est d´enombrable.

R´eponse. Pour toutq∈Qetn∈N, on d´efinit

A(q, p) ={(an)n fin. arith.,∀n≥p, an+1−an =q}.

Soit φ : Q^p+1 → A(q, p), o`u φ(x₀,· · ·, x_p) est la suite fin. arith. a telle que a_i = x_i pour tout 0≤i≤pet a_n d´efinie pourn≥ppar r´ecurrence : a_n+1=a_n+q. φest clairement bijective, donc A(q, p) est d´enombrable car en bijection avec un produit fini d’ensembles d´enombrables. Puisque

A= [

p∈N,q∈Q

A(p, q),

Aest une r´eunion d´enombrable d’ensemble d´enombrables, donc est d´enombrable.

Exercice 5. Soit (a_n)_N^∗ ∈ (R^∗+)^N∗ une suite poss´edant une valeur d’adh´erence c > 0.

D´emontrer qu’il existe une bijection σ : N^∗ → N^∗ telle que la suite (b_n)_N^∗ d´efinie par b_n=a^1/n_σ(n) soit convergente.

R´eponse. Soitd >1 tel quec∈]d⁻¹, d[ . L’ensemble A₁=

n∈N^∗:a_n∈]d⁻¹, d[

est non vide puisquecest une valeur d’adh´erence de la suite etc∈]d⁻¹, d[ . On poseσ(1) = minA1. On suppose qu’on a d´efinitBm={σ(1), . . . , σ(m)} ⊆N^∗ un ensemble de cardinalit´em∈N^∗, et on consid`ere

Am+1=

n∈N^∗: n /∈Bm etan∈]d⁻

√m+1

, d

√m+1

[ . Commec∈]d⁻

√m+1, d

√m+1[ , l’ensembleB_m+1⁰ d’indicesntels quea_n∈]d⁻

√m+1, d

√m+1[ est infini, et donc Am+1 =B⁰_m+1\Bm n’est pas vide. On definit σ(m+ 1) = minAm+1. On voit bien que l’ensembleBm+1={σ(1), . . . , σ(m+ 1)} ⊆N^∗ a cardinalit´em+ 1.

Par construction l’applicationσ:N^∗ →N^∗ est injective. On affirme qu’elle est aussi surjective.

Soitn0∈N^∗un ´el´ement qui n’est pas dans l’image deσ. Comme on a les limites des suite monotones d

√m→+∞et d⁻

√m→0 quand mtend vers l’infini, il existem0 tel quean₀ ∈]d⁻

√m, d

√m[ pour toutm≥m0. Commen0 n’est pas dans l’image deσ(et d’apr`es la d´efinition deσ), on conclut qu’il existe k = σ(m0) < n0 tel que ak ∈]d^−√m0, d^√m0[ . De plus, pour tout m ≥ m0 l’´el´ement σ(m) doit satisfaire queσ(m)< n0et aσ(m)∈]d⁻

√m, d

√m[ . L’applicationσ´etant injective, cela dit qu’il existe une infinit´e de nombres entiers positifs inf´erieures `an0, ce qui est absurde. Cela implique que σest surjective, et donc bijective.

Il reste `a d´emontrer que la suite b<sub>n</sub> = a<sup>1/n</sup><sub>σ(n)</sub> est convergente. Comme a<sub>σ(n)</sub> ∈]d<sup>−√n</sup>, d<sup>√n</sup>[ par d´efinition,d<sup>−1/√n</sup> ≤a<sup>1/n</sup><sub>σ(n)</sub>≤d<sup>1/√n</sup>, et donc, par le th´eor`eme d’encadrement, a^1/n_σ(n) converge vers 1 quandntend vers l’infini.

Exercice 6. Soit(an)_n∈Nune suite r´eelle. On d´efinit une suite(bn)_n∈N^∗ parbn =a_n−1+ 2an

pour toutn∈N^∗. D´emontrer que si (bn)_n∈N^∗ est convergente avec limite `, alors la suite (an)<sub>n∈N</sub> est aussi convergente. Exprimer sa limite en fonction de`.

R´eponse. Si an converge vers l⁰, alors l = l⁰+ 2l⁰ soit l⁰ = l/3. Soit k tel que si n ≥ k alors

|bn−`|< . On a

>|bn−`|=|a<sub>n−1</sub>+ 2an−3`⁰| ≥2|an−`<sup>0</sup>| − |a<sub>n−1</sub>−`⁰| pour toutn≥k. On utilise cette ingalit alors pour produire (pourp∈Netn≥k)

|an+p−`⁰|<(/2)(

p

X

i=0

1/2ⁱ) + (1/2^p+1)|an−1−`⁰| ≤+

sip >>1.

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