www.etude-generale.com 1ère SM Matière : Mathématiques
Professeur : Yahya MATIOUI
Correction du devoir surveillé
Exercice 1 .
Soit f la fonction dé…nie par :
f(x) =p
x+ 7 p x+ 3 1. On détermine Df:
Df = fx2R= x+ 7 0 et x+ 3 0g
= fx2R= x 7 et x 3g
= [ 3;+1[:
2. a) Montrons que f est minorée par 0: C-à-d : (8x2[ 3;+1[); f(x) 0:
Soit x2[ 3;+1[:
f(x) = p
x+ 7 p x+ 3
= (x+ 7) (x+ 3) px+ 7 +p
x+ 3
= 4
px+ 7 +p
x+ 3 0 Donc
(8x2[ 3;+1[); f(x) 0 Ceci signi…e que la fonctionf est minorée par 0:
b) Résolvons l’équationf(x) = 0 dans [ 3;+1[.
Soit x2[ 3;+1[:
f(x) = 0 () p
x+ 7 p
x+ 3 = 0 () p
x+ 7 =p x+ 3 () x+ 7 =x+ 3
() 7 = 3 (Ce qui est impossible)
Alors l’équation n’admet aucune solution dans [ 3;+1[: C’est-à-dire (8x2[ 3;+1[); f(x)6= 0:
D’où 0 n’est pas un minimum de f:
3. a) Montrons que f est majorée par 2: C-à-d : (8x2[ 3;+1[); f(x) 2:
f(x) 2 = p
x+ 7 p
x+ 3 2
= p
x+ 7 2 p x+ 3
=
px+ 7 + 2 p
x+ 7 2 px+ 7 + 2
px+ 3
= x+ 7 4 px+ 7 + 2
px+ 3
= x+ 3 px+ 7 + 2
px+ 3
= p
x+ 3
px+ 3 px+ 7 + 2 1
= p
x+ 3
px+ 3 p
x+ 7 2 px+ 7 + 2
= p
x+ 3 f(x) 2 px+ 7 + 2
Comme f(x) 0 pour tout x2[ 3;+1[, alors f(x) 2 0; donc (8x2[ 3;+1[); f(x) 2
Ceci signi…e que f est majorée par2:
b) Résolvons l’équationf(x) = 2 dans [ 3;+1[.
Soit x2[ 3;+1[:
f(x) = 2 () p
x+ 7 p
x+ 3 = 2 () p
x+ 7 p x+ 3
2
= 4 () x+ 7 2p
(x+ 7) (x+ 3) +x+ 3 = 4 () 2p
(x+ 7) (x+ 3) = 2x 6 () p
(x+ 7) (x+ 3) =x+ 3 () (x+ 7) (x+ 3) = (x+ 3)2 () (x+ 7) (x+ 3) (x+ 3)2 = 0 () (x+ 3) [(x+ 7) (x+ 3)] = 0 () x+ 3 = 0 ou 4 = 0| {z }
impossible
() x= 3 Donc
(8x2[ 3;+1[); f(x) f( 3):
Ceci signi…e que 2 est un maximum en point d’abscisse x0 = 3:
4. Montrons que f est strictement décroissante sur [ 3;+1[:
Soient x et y deux éléments de [ 3;+1[ tels que: x6=y: Calculons f(x)x yf(y) : f(x) f(y)
x y =
px+ 7 p
x+ 3 p
y+ 7 p y+ 3
x y
=
px+ 7 p y+ 7
x y
px+ 3 p y+ 3
x y
= (x y)
(x y) p
x+ 7 +p y+ 7
x y
(x y) p
x+ 3 +p y+ 3
!
= 1
px+ 7 +p y+ 7
p 1
x+ 3 +p y+ 3
=
px+ 3 +p
y+ 3 p
x+ 7 +p y+ 7 px+ 7 +p
y+ 7 p
x+ 3 +p y+ 3
=
px+ 7 p
x+ 3 p
y+ 7 p y+ 3 px+ 7 +p
y+ 7 p
x+ 3 +p y+ 3
= f(x) f(y)
px+ 7 +p
y+ 7 p
x+ 3 +p
y+ 3 <0
Donc f(x) f(y)
x y <0 , où x; y 2[ 3;+1[ et x6=y:
Ceci signi…e que la fonction f est strictement décroissante sur [ 3;+1[: Exercice 2 .
Soit f la fonction dé…nie sur R par:
f(x) = 2x x2+ 1 1. a) Montrons que f est impaire.
Pour tout x2R on a x2R: Soit x2R:
f( x) = 2 ( x)
( x)2+ 1 = 2x
x2+ 1 = f(x) Ceci sigini…e que la fonction f est impaire.
b) Soit x2R:
f(x) 1 = 2x x2+ 1 1
= 2x (x2+ 1) x2+ 1
= 2x x2 1 x2+ 1
= (x2 2x+ 1) x2+ 1
= (x 1)2 x2+ 1 0 Donc
(8x2R); f(x) 1 Soit x2R :
f 1
x =
2 x 1 x2 + 1
=
2 x x2+1
x2
= 2x
x2+ 1 =f(x):
Donc
(8x2R ); f 1
x =f(x):
2. f n’est pas surjective car 2 n’a pas d’antécédent par f: D’autre part f(2) =f 12 mais 26= 12 ce qui montre que f n’est pas injective.
3. a) Soient a et b deux éléments de R+ tels que : a6=b: Calculons f(a)a bf(b) : f(a) f(b)
a b =
2a a2+1
2b b2+1
a b
= 2a(b2+ 1) 2b(a2+ 1) (a2+ 1) (b2+ 1) (a b)
= 2ab2 + 2a 2ba2 2b (a2+ 1) (b2 + 1) (a b)
= 2ab(a b) + 2 (a b) (a2+ 1) (b2+ 1) (a b)
= (a b) ( 2ab+ 2) (a2+ 1) (b2 + 1) (a b)
= 2 (1 ab) (a2+ 1) (b2 + 1)
Donc f(a) f(b)
a b = 2 (1 ab)
(a2+ 1) (b2+ 1) , où a; b2R+ et a6=b:
b) La monotonie de f sur [1;+1[ et [0;1]:
Soient a et b deux éléments de [1;+1[ tels que : a6=b:
On a ab 1, et comme a 6= b alors ab 1, de plus 2 (1 ab) < 0: Puisque (a2+ 1) (b2+ 1) 0:Donc
f(a) f(b)
a b <0 , où a; b2[1;+1[ et a6=b Ceci signi…e que f est strictement décroissante sur [1;+1[: Soient a et b deux éléments de [0;1] tels que: a 6=b:
On a 0 a 1 et 0 b 1, et comme a 6= b alors 0 ab < 1, de plus 0<2 (1 ab) 2: Donc
f(a) f(b)
a b 0 , où a; b2[0;1] et a6=b Ceci signi…e que f est strictement croissante sur[0;1]:
4. a) La fonction f est strictement croissante sur[0;1]et puisque elle est impaire alorsf est strictement croissante sur[ 1;0]:D’autre part, f est strictement décroissante sur [1;+1[ et puisque elle est impaire alors f est strictement décroissante sur ] 1; 1]:
b) Montrons que : (8(a; b)2R2); a+b p
3 =) (a+b)a+b2+1 4p
3 3 : Soit (a; b)2R2:
a+b p
3
=)
f est strict&sur[1;+1[f(a+b) f p 3
=) 2 (a+b) (a+b)2+ 1
2p 3 4
=) (a+b)2+ 1 2 (a+b)
4 2p
3
=) (a+b)2+ 1 a+b
p4 3
=) (a+b)2+ 1 a+b
4p 3 3
Donc
8(a; b)2R2 ; a+b p
3 =) (a+b)2+ 1 a+b
4p 3 3 : 5. Soit g la restriction def à l’intervalle I = [1;+1[. On pose J = ]0;1]:
Montrons que g est une bijection de I sur J:
Soit y2]0;1]. Résolvons dans I l’équationg(x) = y:
Soit x2[1;+1[:
f(x) = y () 2x
x2+ 1 =y () 2x=yx2+y () yx2+ 2x y = 0
Calculons le discriminant de l’équation (E) : yx2 + 2x y= 0:
= 4 4 ( y) ( y) = 4 1 y2 0 L’équation (E) admet deux solutions distinctes ou confondues :
x1 = 1 p 1 y2
y et x2 = 1 +p 1 y2 y
On a exactement deux solutions cherchons celle qui est supérieure à 1:
x1 1 On a
() 1 p 1 y2
y 1
() 1 p
1 y2 y () 1 p
1 y2+y () 1 1 y2 + 2yp
1 y2+y2 () 0 2yp
1 y2 Si y= 1 alors 1
p1 y2
y = 1 et 1+
p1 y2
y = 1:
Si y2]0;1[ alors ceci signi…e que : 1
p1 y2
y 2= [1;+1[: x2 1
On a
() 1 +p 1 y2
y 1
() 1 +p
1 y2 y () 1 +p
1 y2 y () 1 + 2p
1 y2+ 1 y2 y2 () 2 + 2p
1 y2 2y2 0 () 1 +p
1 y2 y2 0 () 1 y2 +p
1 y2 0 () p
1 y2 p
1 y2+ 1 0 Puisque la dernière assertion est vraie donc: 1+
p1 y2
y 2[1;+1[:
Alors l’équation g(x) =y admet une unique solution dans [1;+1[, ceci signi…e que g réalise une bijection de I sur J:
Et
g 1: ]0;1] ! [1;+1[ x 7 ! 1 +p
1 x2
x :
FIN
Pr : Yahya MATIOUI
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