www.etude-generale.com 1ère SM Matière : Mathématiques
Professeur : Yahya MATIOUI
Devoir surveillé
Durée 2H
Exercice 1 .
Soit f la fonction dé…nie par :
f(x) =p
x+ 7 p x+ 3
1. Déterminer Df:
2. a) Montrer que f est minorée par 0:
b) 0 est-il un minimum def ? justi…er votre réponse.
3. a) Montrer que f est majorée par2:
b) 2 est-il un maximum de f ? justi…er votre réponse.
4. Montrer que f est strictement décroissante sur Df: Exercice 2 .
Soit f la fonction dé…nie sur R par:
f(x) = 2x x2+ 1 1. a) Montrer que f est impaire.
b) Montrer que : (8x2R); f(x) 1 et (8x2R ); f 1x =f(x): 2. f est elle surjective ? est-elle injective ? Justi…er chaque réponse.
3. a) Montrer que : f(a)a bf(b) = (a22(1+1)(bab)2+1); où a; b2R+ et a6=b:
b) Montrer que f est strictement décroissante sur [1;+1[ et qu’elle est strictement croissante sur [0;1]:
4. a) Dresser le tableau de variations de f sur R. b) Montrer que : (8(a; b)2R2); a+b p
3 =) (a+b)a+b2+1 4p
3 3 : 5. Soit g la restriction def à l’intervalle I = [1;+1[. On pose J = ]0;1]:
Montrer que g est une bijection deI sur J et donner sa bijection réciproqueg 1:
FIN
Pr : Yahya MATIOUI
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