Devoir surveillé sur la logique et raisonnement 1 bac

www.etude-generale.com 1ère S Matière : Mathématiques

Professeur : Yahya MATIOUI

Correction du devoir surveillé

Exercice 1 .

1. Soient (a; b; x; y)2R⁴:

On suppose que ax+by = 1; et on montre que : _x2+y^{1 2} a² +b²: 1

x²+y² a²+b² = 1 (x²+y²) (a²+b²) x² +y²

= 1 (a²x²+b²x²+a²y²+y²b²) x²+y²

= 1 (a²x²+b²y²+a²y²+b²x²) x²+y²

= 1 (ax+by)² 2axby+a²y²+b²x² x²+y²

= 1 (1 2axby+a²y²+b²x²) x²+y²

= 1 1 + 2axby a²y² b²x² x²+y²

= (a²y² 2aybx+b²x²) x²+y²

= (ay bx)² x²+y²

Donc _x2+y^{1 2} (a²+b²) 0; c’est-à-dire : _x2+y^{1 2} a²+b²: D’où ax+by= 1 =) 1

x²+y² a²+b²: 2. Soit (a; b)2(]0;+1[)²:

a² = b+ 1

=) a² b = 1

=) a p

b a+p b = 1

=) q

a p

b q

a+p b = 1

=) 2 q

a p

b q

a+p b= 2

=) 2a+ 2 q

a p

b q

a+p

b 2a= 2

=) a+p b+ 2

q

a p

b q

a+p

b+a p

b = 2 (a+ 1)

=)

q a+p

b

2

+ 2 q

a p

b q

a+p b+

q

a p

b

2

= p

2 (a+ 1)

2

=)

q

a p

b+ q

a+p b

2

= p

2 (a+ 1) ²

=) q

a p

b+ q

a+p b=p

2 (a+ 1)

=)

pa p b+p

a+p p b

2 (a+ 1) = 1:

Donc

8(a; b)2(]0;+1[)²; a² =b+ 1 =)

pa p b+p

a+p p b

2 (a+ 1) = 1 3. a) Soient (a; b; c)2R³:

(a+b)² (a b)² = a²+ 2ab+b² a²+ 2ab b²

= 4ab b) Soient (a; b; c)2R³:

L’assertion :jabj ^c2² =) ja bj c ou ja+bj c; est équivalente à : ja bj c et ja+bj c =) jabj c²

2

On suppose que ja bj c et ja bj c et on montre que : jabj ^c2²: On a 4ab= (a+b)² (a b)²; donc

j4abj= (a+b)² (a b)² ja+bj²+ja bj² et comme ja+bj² c² et ja bj² c², alors

j4abj 2c²

par suite

jabj c² 2: Par contraposition ceci équivalent à :

jabj c²

2 =) ja bj c ou ja+bj c 4. Soit (x; y)2R²:

L’assertion : y6= ₄³x =) ^{x y}_x+y 6= 7; est équivalente à :

x y

x+y = 7 =) y= 3 4 x On a

x y

x+y = 7

=) x y= 7 (x+y)

=) y 7y= x+ 7x

=) 8y= 6x

=) y= 6x 8

=) y= 3 4 x Par contraposition ceci équivalent à :

8(x; y)2R², y6= 3

4 x =) x y x+y 6= 7

5. Soient n et m deux entiers naturels tels que n est impair et m est pair.

On suppose par l’absurde que : _mⁿ 2N: Donc 9p2N; n

m =p

Alors n=p:m; ce qui est contradictoire puisque n est impair et m:p est pair. Donc n

m 2= N Exercice 2 .

1. Soient (a; b)2([0;+1[)²: pa+ 1 p

b+ 1 < p

a p

b () p

a+ 1 +p b <p

a+p b+ 1 () p

a+ 1 +p b

2

< p a+p

b+ 1

2

() (a+ 1) + 2p

(a+ 1)b+b < a+ 2p

(b+ 1)a+ (b+ 1) () 2p

(a+ 1)b <2p

(b+ 1)a () p

(a+ 1)b <p

(b+ 1)a () (a+ 1)b < (b+ 1)a () ab+b < ab+a () b < a

Donc

8(a; b)2([0;+1[)²; p

a+ 1 p

b+ 1 <p

a p

b () b < a 2. Soit (x; y)2R²:

px² + 1 +p

y²+ 1 = 2 () p

x²+ 1 1 + p

y²+ 1 1 = 0 () p

x²+ 1 = 1 et p

y²+ 1 = 1 () x² = 0 et y² = 0

() x= 0 et y= 0 () x=y= 0 Donc

8(x; y)2R²; p

x²+ 1 +p

y² + 1 = 2 () x=y= 0 3. a) Soient a et b deux réels non nuls.

a+1

a = b+1

b () a b+1

a 1 b = 0 () (a b) + b a

ab = 0 () (a b) (a b)

ab = 0 () (a b) 1 1

ab = 0 () a=b ou 1 = 1

ab () a=b ou ab= 1 () a=b oua = 1

b

Donc

a+ 1

a = b+1

b () a=b ou a= 1 b b) On déduit l’ensemble de solutions de l’équation(E) : x²+ _x¹2 = ¹⁷₄:

L’équation existe si et seulement si x2R : Soit x2R :

x²+ 1

x² = 17

4 () x²+ 1

x² = 4 + 1 4 () x² = 4 ou x² = 1

4

() x= 2 ou x= 2 oux= 1

2 ou x= 1 2 Par suite l’ensemble de solutions de l’équation(E) est

S = 2; 1 2 ;1

2;2

Exercice 3 Soit n2N: On pose : u_n= (1 + 1)² 1 + ¹₃ ² 1 + ¹₅ ² ::: 1 + _2n+1^{1 2}: 1. a) Soit n2N:

u_n+1 = (1 + 1)² 1 + 1 3

2

1 + 1 5

2

::: 1 + 1

2 (n+ 1) + 1

2

= (1 + 1)² 1 + 1 3

2

1 + 1 5

2

::: 1 + 1 2n+ 3

2

= (1 + 1)² 1 + 1 3

2

1 + 1 5

2

::: 1 + 1 2n+ 1

2

| {z }

=un

1 + 1 2n+ 3

2

= u_n 1 + 1 2n+ 3

2

Donc

8n 2N; u_n+1 =u_n 1 + 1 2n+ 3

2

: b) Montrons que : 8n2N; un 2n+ 3:

1. Pour n= 0, on a 2 3 l’inégalité est vraie.

Soit n2N: On suppose que u_n 2n+ 3, et on montre que : u_n+1 2n+ 5:

On a

un+1 =un 1 + 1 2n+ 3

2

et comme un 2n+ 3; alors

u_n+1 (2n+ 3) 1 + 1 2n+ 3

2

puisque(2n+ 3) 1 + _2n+3^{1 2} = ⁴⁽ⁿ⁺²⁾_2n+3² 2n+ 5; donc u_n+1 2n+ 5:

D’après le principe de récurrence on conclut que: 8n 2N; u_n 2n+ 3 3) Montrons que : (8n2N); 6 divise n(n+ 1) (n+ 2):

1. Pour n= 0, on a 6 divise 0: L’assertion est vraie.

Soit n 2 N: On suppose que 6 divise n(n+ 1) (n+ 2), et on montre que : 6 divise (n+ 1) (n+ 2) (n+ 3):

On a6 divise n(n+ 1) (n+ 2); alors il existe k 2N tel que :n(n+ 1) (n+ 2) = 6k:

Alors

(n+ 1) (n+ 2) (n+ 3) = n(n+ 1) (n+ 2)

| {z }

=6k

+ 3 (n+ 1) (n+ 2)

= 6k+ 3 (n+ 1) (n+ 2)

= 6k+ 3 0

@n(n+ 1)

| {z }

=2p

+ 2 (n+ 1) 1 A

= 6k+ 3 (2p+ 2 (n+ 1))

= 6k+ 6 (p+ (n+ 1))

= 6 (k+p+n+ 1) On pose p⁰ =k+p+n+ 12N; on obtient

(n+ 1) (n+ 2) (n+ 3) = 6p⁰: Ceci signi…e que 6 divise (n+ 1) (n+ 2) (n+ 3): D’après le principe de récurrence on conclut que:

(8n 2N); 6 divise n(n+ 1) (n+ 2):

Exercice 4 Résolvons dans R² le système : x³+x² 2 = 0 x² +xy y+y² = 0 : Soit (x; y)2R²:

1.

x³+x² 2 = 0 x²+xy y+y² = 0 () (x³ 1) + (x² 1) = 0

x²+xy y+y² = 0

() (x 1) (x²+x+ 1) + (x 1) (x+ 1) = 0 x²+xy y+y² = 0

() (x 1) (x²+ 2x+ 2) = 0 x² +xy y+y² = 0 () x= 1 ou x²+ 2x+ 2 = 0

x²+xy y+y² = 0

() x²+xy y+y² = 0 et x= 1 ou x²+ 2x+ 2 = 0 () x²+xy y+y² = 0 et x= 1 ou

0

@x²+xy y+y² = 0 et x²+ 2x+ 2 = 0

| {z }

F

1 A () 1 +y² = 0

| {z }

F

et x= 1

Donc

S =?

FIN

Pr : Yahya MATIOUI

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