TaleBT S DOM OT IQU E NOMBRES COMPLEXES Mardi 22 septembre 2009
Devoir Surveillé n˚1
✒ Exercice 1 (Un soupçon de calcul dans C pour se mettre en appétit ...) 1. Résoudre dansC l’équation z2−8z+ 19 = 0.
2. On considèrez etz′ d’affixes respectives z= 4−√
3ietz′ =−1 2 +
√3 2 i.
Calculer les nombres complexes suivants :
(a) 4zz′ (b) z3 (c) z
z′
✒ Exercice 2 (... de la linéarisation pour continuer ...)
On considère la fonction f définie surRpar f(x) = cos(x)×sin(2x)×cos(3x).
1. En utilisant les formules d’Euler, montrer que l’expression f(x) peut s’écrire f(x) = 1
8i
e6ix−e−6ix+e4ix−e−4ix−e2ix+e−2ix.
2. En déduire une écriture de f(x) sous la forme d’une somme de fonctions trigonométriques.
3. Donner alors une primitiveF de la fonction f surR.
✒ Exercice 3 (... et pour terminer, un peu de géométrie !)
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O;−→u;−→v) d’unité graphique 2 cm.
1. Soit A le point d’affixezA= 1 + i√ 3.
(a) Déterminer le module et un argument du nombre complexe zA. (b) ÉcrirezA sous forme exponentielle.
(c) Placer le point A d’une manière précise dans le repère (O;−→u;−→v).
2. Soit B le point d’affixezB= 2e2iπ3 .
(a) Écrire le nombre complexe zB sous forme algébrique.
(b) Placer le point B dans le repère (O;−→u;−→v).
3. Montrer que le triangle AOB est équilatéral.
4. Soit C le point d’affixe zC =zAeiπ4.
(a) Écrire le nombre complexe zC sous forme algébrique.
(b) Écrire le nombre complexe zC sous forme exponentielle, puis trigonométrique.
(c) Déduire des questions précédentes les valeurs exactes cos7π 12
et de sin7π 12
. (d) Placer le point C dans le repère (O;−→u;−→v).
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Correction DS n˚1
✒ Exercice 1
1. ∆ =b2−4ac= (−8)2−4×1×19 =−12 = 2√ 3i2.
∆ est négatif, il y a donc deux racines complexes conjuguées :
z1=8−2√ 3i
2 = 4−√3i et z2= 8 + 2√ 3i
2 = 4 +√3i 2. 4zz′ = 4(4−√
3i)
−1 2 +
√3 2 i
z3 = (4−√
3i)2(4−√
3i) z
z′ = 4−√ 3i
−1 2 +
√3 2 i
= (4−√3i)(−2 + 2√3i) = (16−8√3i−3)(4−√3i) =
(4−√ 3i)
−1 2−
√3 2 i
−1 2 +
√3
2 i −1 2−
√3 2 i
=−8 + 8√
3i+ 2√
3i+ 6 = (13−8√
3i)(4−√
3i) = −2−2√
3i+
√3 2 i−3
2
−1 2
2 +
√ 3 2
2
= −2 + 10√
3i = 52−13√
3i−32√
3i−24 = −7 2 −3√
3 2 i 1 4 +3
4
= 28−45√
3i = −7
2−3√3 2 i
✒ Exercice 2
1. cos(x)×sin(2x)×cos(3x) =1
2 eixe−ix
×1
2 e2ix−e−2ix
×1
2 e3ix+e−3ix
= 1
8i e3ix−e−ix+eix−e−3ix
e3ix+e−3ix
= 1
8i e6ix+e0−e2ix−e−4ix+e4ix+e−2ix−e0−e−6ix D’où : f(x) = 1
8i e6ix−e−6ix+e4ix−e−4ix−e2ix+e−2ix 2. f(x) = 1
8i[2isin(6x) + 2isin(4x)−2isin(2x)]
f(x) = 1
4[sin(6x) + sin(4x)−sin(2x)]
3. F(x) =1 4
−1
6cos(6x)−1
4cos(4x) +1
2cos(2x)
F(x) = 1
18[−2 cos(6x)−3 cos(4x) + 6 cos(2x)]
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✒ Exercice 3
1. (a) On a|zA|=√1 + 3 D’où : |zA|= 2 θA=arg(zA) vérifie : cos(θA) = 1
2 et sin(θA) =
√3
2 . D’où θA= π 3 (b) zA= 2eiΠ3
(c) Voir figure.
2. (a) zB= 2
cos 2π
3
+isin 2π
3
= 2
−1 2+ i
√3 2
donc : zB=−1 + i√ 3 (b) Voir figure.
3. • OA=|zA|= 2.
• OB=|zB|= 2.
• AB=|zB−zA|=
−1 +i√
3−1−i√ 3
=|−2|= 2.
OA=OB=AB= 2, le triangleAOB est donc équilatéral 4. (a) zC=zAeiπ4 =zA
cosπ
4 + i sinπ 4
zC=zA
√2 2 + i
√2 2
. zC= 1 + i√
3 √
2 2 + i
√2 2
zC=
√2 2 + i
√2 2 + i
√6 2 −
√6 2 zC=
√2−√ 6
2 + i
√2 +√ 6 2 (b) zC= 2eiπ3 ×eiπ4 = 2ei(π3+π3)
zC= 2ei7π12 = 2
cos 7π
12
+isin 7π
12
(c) On azC= 2 cos 7π
12
+ 2i sin 7π
12
=
√2−√ 6 2 + i
√2 +√ 6
2 ,
on en déduit par identification des parties réelles et imaginaires que : cos
7π 12
=
√2−√ 6
4 et sin 7π12=
√2 +√ 6 4 (d) Voir figure.
b
b b
u v O B A
C
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