Lycée La Prat's PTSI
Devoir Surveillé 1
La clarté de la rédaction sera prise en compte dans l'appréciation de la copie. Les réponses aux diérentes questions seront séparées par un trait horizontal et les résultats seront encadrés. L'usage de la calculatrice ou de tout autre instrument de calcul (téléphone, ordinateur ...) est formellement interdit.
Exercice 1
On considère la fonctionf qui àx >1associef(x) =√
x−1. Pour toutx >1, calculer et simplier les expressions suivantes.
1. f(x) +f(x)1 2. f(x+2)−f(x) f(x+2)+f(x)
3. p
x+ 2f(x)
4. ff(x)0(x)
5. f(x) + 4f00(x) 6. ff(x)00(x)
Exercice 2
Soitf :x7→ eexx−e+e−x−x .
1. Préciser l'ensemble de dénition de cette fonction
2. Montrer que pour tous réelsaet bon af(a+b) =1+f(a)f(b)f(a)+f(b) 3. Déterminer la limite def en+∞.
4. Déterminer la limite def en−∞.
Exercice 3
Nier la propriété mathématique suivante :
∀y∈R,∃x >0 : ln(x) =y.
Exercice 4
Résoudre dansRles équations ou inéquations suivantes : 1. e3x−5>12
2. 1≤e−x2+x 3. e1+ln(x)>2 4. e−6x≤√
e
5. ln(−x−5) = ln(x−61)−ln(x+ 7) 6. ln(−x−5) = ln
x−61 x+7
.
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Probleme
On considère la suite(un)dénie par :
u0= 0,u1= 1, et∀n∈N, un+2=un+1+un.
Partie 1 : une formule explicite
1. Calculer les neufs premiers termes de la suite.
2. Montrer que pour toutn∈N, on aun∈N. Montrer de plus que un>0 pour toutn >0. 3. Soient r1 etr2, les deux solutions réelles de l'équationX2−X−1 = 0.
(a) Déterminerr1et r2.
(b) Montrer que pour toutn∈N:
un = 1
√5(r1n−rn2).
4.
5. Quelle est la limite deun lorsquentend vers+∞.
Partie 2 : Propriétés de la suite
1. (a) Démontrer que∀n≥1,u2n =un−1un+1+ (−1)n+1.
(b) En déduire que pour toutn≥1, un entierp≥2ne peut pas divisier à la foisun et un+1. 2. Montrer que pour tous(p, q)∈(N∗)2, up+q =up−1uq+upuq+1.
3. (a) Soitm∈N∗. Montrer que pour tout k∈N∗,ukm est un multiple de um.
(b) On admet que u25 = 75025 est le premier terme non nul de la suite divisible par 25. Donner sans l'expliciter, un terme de la suite divisible par100.
(c) En déduire qu'il existe une innité de termes de la suite dont l'écriture décimale se termine par deux0. 4. Montrer que pour tous(n, k)∈N2vériant0≤k≤n, on a :
unuk+1−ukun+1= (−1)kun−k.
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