Terminales S2&3 – spécialité mathématiques vendredi 4 octobre 2013
Devoir surveillé n˚1
Durée : 1 heure
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée
Exercice 1. (4 points)
1. Soit aetbdeux entiers. Rappeler la définition de « bdivisea».
2. Montrer que, pour tous entiersa,bet c, siaetb divisentcalors abdivisec2. 3. La réciproque de la propriété précédente est-elle vraie ?
Exercice 2. (5 points)
1. Déterminer l’ensemble des entiers naturelsn tels que 2n+ 3 divise 19.
2. Déterminer l’ensemble des entiers naturelsn tels que 19 divisen+ 5.
3. Déterminer l’ensemble des entiers naturelsn tels quen+ 5 divise 2n+ 3.
Exercice 3. (6 points)
1. Déterminer l’ensemble des diviseurs de 21 dansZ.
2. Montrer, sans la résoudre, que l’équation n(n+ 2) = 21 n’a pas de solution dansN. 3. Résoudre dansN l’équation (n2−1)(n3−1) = 21.
Exercice 4. (5 points)
Soit nun entier naturel non nul. Dans chaque cas, déterminer le reste dans la division euclidienne de A parB.
1. A=n3+ 2n+ 3 etB=n; 2. A= 6n+ 5 etB = 2n+ 3 ; 3. A= 6n−1 etB = 2n−1.
Exercice 5. (facultatif) — On considère un polynômeP de degré 3 à coefficients entiers. Ainsi,P est de la formeP(x) =ax3+bx2+cx+doùa,b,c etdsont des entiers tels quea6= 0.
1. Démontrer que sin∈Zest une racine de P alorsndivised.
2. En déduire que le polynômex3−2x2+ 4x−10 n’a pas de racine dansZ.
3. Donner une condition nécessaire et suffisante sur les cœfficients a, b etc pour que le polynômeP ait une racine dans Ndans le cas où d= 1.
